PENCOCOKAN KURVA (CURVE FITTING)

• Interpolasi Linier • Interpolasi Kuadratik • Interpolasi Polinomial • Interpolasi Lagrange • Regresi Linier • Regresi Eksponensial

  • Regresi Polinomial

  Interpolasi digunakan untuk menaksir nilai antara (intermediate value) diantara titik titik data yang tepat.

  Metode yang sering digunakan adalah interpolasi polinomial yang terdiri dari beberapa orde sbb :

  

Interpolasi Linier Interpolasi Kuadratik Interpolasi Kubik

  ! : menentukan titik antara dari " # $ dengan menggunakan garis lurus.

  − − = − −

  Sehingga :

  − = − ( )

• −

  Semakin kecil interval P1 & P2 semakin baik hasil interpolasi.

  Algoritma interpolasi linier :

  1. Tentukan 2 titik P dan P dg koordinat masing

  1

  2

  masing ( , ) dan ( , )

  1

  1

  2

  2

  2. Tentukan nilai dari titik yang akan dicari (Q)

  3. Hitung nilai dengan :

  − = −

( )

• −

  4. Nilai titik yang baru (Q) adalah : ( , )

  Contoh : Taksirlah nilai ln(2) dengan interpolasi linier serta hitunglah kesalahan relatifnya jika digunakan data : ₂

  a. ln(1) dan ln(6) _1.5 y = ln(x) b. ln(1) dan ln(4) ₁ Jawab (a) : _0.5

  = 1, = ln(1) = 0

  1

  1

  = 6, = ln(6) = 1,791759

  2

  2

  = 2 _{0.5 1 2 3 4 5 6 7} −

  = ( ) + = −

  Nilai eksak = ln(2) = 0,693147 → ε = 48,4%

  2 y = ln(x)

  Jawab (b) : _{0.5 1.5 1} = 1, = ln(1) = 0

  1

  1

  = 4, = ln(4) = 1,386294

  2

  2 _{0.5 1 2 3 4 5 6 7}

  = 2 −

  = ( ) + = −

  Nilai eksak = ln(2) = 0,693147 → ε = 33,3%

  %

  ! : menentukan titik antara dari & # $

  P ^{2 (x 2 ,y 2 )}

  dengan menggunakan pendekatan fungsi kuadrat.

  Q(x,y) P (x ,y )

  Bentuk umum persamaan

  P ^{1 (x 1 ,y 1 )}

  utk interpolasi kuadratik : ......... (1)

  = − − − + + ( ) ( )( )

  %

  Bentuk umum tersebut jika ditulis dalam fungsi kuadrat sbb :

• = +

  dimana :

  = − − = − − =

  Bagaimana mendapatkan nilai , dan ?

  1

  2

  %

  Untuk = , persamaan (1) menjadi : = .............. (2)

  Untuk = dan substitusi pers. (2) kedalam (1) :

  1 −

  ................. (3)

  = −

  Untuk = dan substitusi pers. (2) dan (3)

  2

  kedalam (1) :

  − − − − −

  ................. (4)

  = − %

  Selain menggunakan bentuk umum persamaan (1) dengan nilai , dan pada persamaan (2) s/d

  1

  

2

  (4), untuk menghitung nilai pada interpolasi kuadratik bisa juga menggunakan persamaan sbb :

  − − − − ( )( ) ( )( )

  = + − − − − ( )( ) ( )( )

  − − ( )( )

• − −

  ( )( )

  %

  Algoritma interpolasi kuadratik :

  1. Tentukan 3 titik input P ( , ), P ( , ) dan

  1

  1

  1 P ( , )

  2

  2

  2

  2. Tentukan nilai dari titik yang akan dicari (Q)

  3. Hitung nilai dengan :

  − − − − − − ( )( ) ( )( ) ( )( )

• = + − − − − − −

  ( )( ) ( )( ) ( )( )

  4. Nilai titik yang baru (Q) adalah : ( , )

  % Contoh :

Taksirlah nilai ln(2) dengan interpolasi kuadratik serta

hitunglah kesalahan relatifnya jika digunakan data ln(1),

₂ ln(4) dan ln(6)

  Jawab : ^1.5 y = ln(x)

  = 1, = ln(1) = 0 ₁ = 4, = ln(4) = 1,386294

  1

  1 _0.5 = 6, = ln(6) = 1,791759

  2

  2 = 2 _0.5 Harga harga tsb dimasukkan _{1 2 3 4 5 6 7} kedalam rumus sehingga diperoleh :

  ŷ = 0.565844

  '

  ! : menentukan titik antara dari # $ dg menggunakan pendekatan fungsi polinomial. Metode yang bisa digunakan untuk memperoleh hasilnya adalah interpolasi polinomial beda terbagi Newton (divided difference interpolation polynomial by Newton). Bentuk umum persamaan interpolasi polinomial Newton :

  = − − − + + + ( ) ( )( )

• − − −

  

( )( ) ( )

−

  '

  dimana :

  =

  → beda terbagi hingga ke 1

  =

  → beda terbagi hingga ke 2

  = =

  → beda terbagi hingga ke

  −

  […,…] disebut ( $

  ( )

  '

  Cara menghitung “ ( $ ( ) ” :

  Simbol : − −

  = → = − − − = − −

  − − − =

  − −

  ' Langkah langkah perhitungan interpolasi polinomial beda terbagi Newton :

  1. Tentukan titik input untuk interpolasi orde –1.

  2. Buat ( *( $ ( ) untuk mendapatkan + koefisien

  3. Masukkan koefisien kedalam bentuk umum persamaan interpolasi polinomial Newton : = − + − − + +

  ( ) ( )( ) − − −

• −

  

( )( ) ( )

  4. Tentukan nilai dari titik yang akan dicari dan hitung

  '

  Tabel beda terbagi hingga :

  

− −

− = = =

  

− −

− − −

  = =

  1

  − − − =

  2

  −

  3

  '

  Contoh : Taksirlah nilai ln(2) dengan interpolasi polinomial serta hitunglah kesalahan relatifnya jika digunakan data ln(1), ln(4), ln(5) dan ln(6) Jawab :

  = 1, = ln(1) = 0 = 4, = ln(4) = 1,386294

  1

  1

  = 5, = ln(5) = 1,609438

  2

  2

  = 6, = ln(6) = 1,791759

  3

  3

  '

  Tabel beda terbagi hingga : 1 , ,-./",01 3,-,402&0 ,-,,21// 1 4 1,386294 0,223144 0,020411

  2 5 1,609438 0,182322

  3 6 1,791759

  '

  Sehingga persamaan interpolasi polinomialnya adalah :

  

= − − − −

( ) ( )( )

• − − + −

  ( )( )( )

  Masukkan harga harga kedalam persamaan : = 2, = 1, = 4, = 5

  Sehingga diperoleh : ŷ = 0,628769 Nilai eksak = ln(2) = 0,693147 → ε = 9,3% Metode lain utk mendapatkan interpolasi polinomial adalah model interpolasi Lagrange yg mengguna kan fungsi polinomial dalam kombinasi deret. Bentuk umum persamaan interpolasi Lagrange :

  =

  ∑ =

  dengan : −

  =

  ∏

  −

  = ≠

  Dari persamaan tersebut dpt dirumuskan beberapa interpolasi orde sbb :

• Interpolasi linier (orde 1) :

  − − = +

  − −

• Interpolasi kuadratik (orde 2) :

  − − − −

  ( )( ) ( )( )

  = + − − − −

  ( )( ) ( )( )

  − −

  ( )( )

• − −
• Interpolasi kubik (orde 3) :

  = + + +

  dimana :

  − − − − − − ( )( )( ) ( )( )( )

  = = − − − − − − ( )( )( ) ( )( )( )

  − − − − − − ( )( )( ) ( )( )( )

  = = − − − − − − ( )( )( ) ( )( )( )

  Contoh : Taksirlah nilai ln(2) dengan interpolasi polinomial serta hitunglah kesalahan relatifnya jika digunakan data ln(1), ln(4), ln(5) dan ln(6) Jawab :

  = 1, = ln(1) = 0 = 4, = ln(4) = 1,386294

  1

  1

  = 5, = ln(5) = 1,609438

  2

  2

  = 6, = ln(6) = 1,791759

  3

  3

  1

  0.4

  1 4 1,386294 2 2,772589

  2 5 1,609438 2 3,218876

  3 6 1,791759 0.6 1,075056 ŷ = ,-/"12/0

  Nilai eksak y = ln(2) = 0,693147 → ε = 9,3%

  r '

  Ada cara lain untuk mendapatkan persamaan polinomial pada interpolasi polinomial, yaitu dengan cara menyusun sistem persamaan linier simultan dari nilai nilai dan yang diketahui.

  Jika ada titik data yaitu P ( , ) s/d P ( , ) maka:

  

1

  1 1 n −

  = + + + + − −

• = +

  − − = + + + +

  − −

  '

  Penyelesaian persamaan linier simultan tersebut adalah nilai nilai , , , …, yang merupakan

  1

  

2

  koefisien dari persamaan polinomial sbb :

  −

• =

  −

  Sehingga dengan memasukkan nilai pada persamaan tersebut akan didapatkan nilai dari titik yang akan dicari.

  '

  Penyelesaian persamaan linier simultan tersebut dapat menggunakan metode metode yang telah dipelajari, seperti metode eliminasi Gauss atau metode eliminasi Gauss Jordan dengan menyusun matriks sbb :

  −        −           

  −      

  =            

  −

  '

  Dengan metode Gauss Jordan, Augmented matrix :

  2

  B

       

  1













  4 B

  1 B

  3 B

  1 B

  2 B

  B

       

  













  '

  Contoh : Taksirlah nilai ln(2) dengan interpolasi polinomial serta hitunglah kesalahan relatifnya jika digunakan data ln(1), ln(4), ln(5) dan ln(6) Jawab :

  = ln(6) = 1,791759

  3

  = 6,

  3

  = ln(5) = 1,609438

  2

  = 5,

  2

  = ln(4) = 1,386294

  1

  = 4,

  1

  = 1, = ln(1) = 0

  /3

  

−

−

− − −

  3      

  3 B

  2

  5B

  3 B

  4

  10B

       

  B

  − − −

  B

  4

  /10

       

       

  1

  '

  '

  4

  B

  1 B

  2 B

  3

  4B

  2 B

  5B

       

  1      

       

  

−

−

− − −

  B

  3

  /4

       

• 4B
• 29B

  ε = 9,3%

  4      

  Sehingga diperoleh persamaan polinomial sbb : Untuk = 2, diperoleh : ŷ = 0,628769 Nilai eksak = ln(2) = 0,693147 →

  '

  − − −

       

  

−

−

     

       

  10B

  '

  3

  4 B

  2

  4 B

  20B

  1

  B

• − + − =