PENCOCOKAN KURVA (CURVE FITTING)
- Interpolasi Linier • Interpolasi Kuadratik • Interpolasi Polinomial • Interpolasi Lagrange • Regresi Linier • Regresi Eksponensial
• Regresi Polinomial
Interpolasi digunakan untuk menaksir nilai antara (intermediate value) diantara titik titik data yang tepat.
Metode yang sering digunakan adalah interpolasi polinomial yang terdiri dari beberapa orde sbb :
Interpolasi Linier Interpolasi Kuadratik Interpolasi Kubik
! : menentukan titik antara dari " # $ dengan menggunakan garis lurus.
− − = − −
Sehingga :
− = − ( )
- −
Semakin kecil interval P1 & P2 semakin baik hasil interpolasi.
Algoritma interpolasi linier :
1. Tentukan 2 titik P dan P dg koordinat masing
1
2
masing ( , ) dan ( , )
1
1
2
2
2. Tentukan nilai dari titik yang akan dicari (Q)
3. Hitung nilai dengan :
− = −
( )
- −
4. Nilai titik yang baru (Q) adalah : ( , )
Contoh : Taksirlah nilai ln(2) dengan interpolasi linier serta hitunglah kesalahan relatifnya jika digunakan data : 2
a. ln(1) dan ln(6) 1.5 y = ln(x) b. ln(1) dan ln(4) 1 Jawab (a) : 0.5
= 1, = ln(1) = 0
1
1
= 6, = ln(6) = 1,791759
2
2
= 2 0.5 1 2 3 4 5 6 7 −
= ( ) + = −
Nilai eksak = ln(2) = 0,693147 → ε = 48,4%
2 y = ln(x)
Jawab (b) : 0.5 1.5 1 = 1, = ln(1) = 0
1
1
= 4, = ln(4) = 1,386294
2
2 0.5 1 2 3 4 5 6 7
= 2 −
= ( ) + = −
Nilai eksak = ln(2) = 0,693147 → ε = 33,3%
%
! : menentukan titik antara dari & # $
P 2 (x 2 ,y 2 )
dengan menggunakan pendekatan fungsi kuadrat.
Q(x,y) P (x ,y )
Bentuk umum persamaan
P 1 (x 1 ,y 1 )
utk interpolasi kuadratik : ......... (1)
= − − − + + ( ) ( )( )
%
Bentuk umum tersebut jika ditulis dalam fungsi kuadrat sbb :
- = +
dimana :
= − − = − − =
Bagaimana mendapatkan nilai , dan ?
1
2
%
Untuk = , persamaan (1) menjadi : = .............. (2)
Untuk = dan substitusi pers. (2) kedalam (1) :
1 −
................. (3)
= −
Untuk = dan substitusi pers. (2) dan (3)
2
kedalam (1) :
− − − − −
................. (4)
= − %
Selain menggunakan bentuk umum persamaan (1) dengan nilai , dan pada persamaan (2) s/d
1
2
(4), untuk menghitung nilai pada interpolasi kuadratik bisa juga menggunakan persamaan sbb :
− − − − ( )( ) ( )( )
= + − − − − ( )( ) ( )( )
− − ( )( )
- − −
( )( )
%
Algoritma interpolasi kuadratik :
1. Tentukan 3 titik input P ( , ), P ( , ) dan
1
1
1 P ( , )
2
2
2
2. Tentukan nilai dari titik yang akan dicari (Q)
3. Hitung nilai dengan :
− − − − − − ( )( ) ( )( ) ( )( )
- = + − − − − − −
( )( ) ( )( ) ( )( )
4. Nilai titik yang baru (Q) adalah : ( , )
% Contoh :
Taksirlah nilai ln(2) dengan interpolasi kuadratik serta
hitunglah kesalahan relatifnya jika digunakan data ln(1),
2 ln(4) dan ln(6)Jawab : 1.5 y = ln(x)
= 1, = ln(1) = 0 1 = 4, = ln(4) = 1,386294
1
1 0.5 = 6, = ln(6) = 1,791759
2
2 = 2 0.5 Harga harga tsb dimasukkan 1 2 3 4 5 6 7 kedalam rumus sehingga diperoleh :
ŷ = 0.565844
'
! : menentukan titik antara dari # $ dg menggunakan pendekatan fungsi polinomial. Metode yang bisa digunakan untuk memperoleh hasilnya adalah interpolasi polinomial beda terbagi Newton (divided difference interpolation polynomial by Newton). Bentuk umum persamaan interpolasi polinomial Newton :
= − − − + + + ( ) ( )( )
- − − −
( )( ) ( )
−'
dimana :
=
→ beda terbagi hingga ke 1
=
→ beda terbagi hingga ke 2
= =
→ beda terbagi hingga ke
−
[…,…] disebut ( $
( )
'
Cara menghitung “ ( $ ( ) ” :
Simbol : − −
= → = − − − = − −
− − − =
− −
' Langkah langkah perhitungan interpolasi polinomial beda terbagi Newton :
1. Tentukan titik input untuk interpolasi orde –1.
2. Buat ( *( $ ( ) untuk mendapatkan + koefisien
3. Masukkan koefisien kedalam bentuk umum persamaan interpolasi polinomial Newton : = − + − − + +
( ) ( )( ) − − −
- −
( )( ) ( )
4. Tentukan nilai dari titik yang akan dicari dan hitung
'
Tabel beda terbagi hingga :
− −
− = = =
− −
− − −= =
1
− − − =
2
−
3
'
Contoh : Taksirlah nilai ln(2) dengan interpolasi polinomial serta hitunglah kesalahan relatifnya jika digunakan data ln(1), ln(4), ln(5) dan ln(6) Jawab :
= 1, = ln(1) = 0 = 4, = ln(4) = 1,386294
1
1
= 5, = ln(5) = 1,609438
2
2
= 6, = ln(6) = 1,791759
3
3
'
Tabel beda terbagi hingga : 1 , ,-./",01 3,-,402&0 ,-,,21// 1 4 1,386294 0,223144 0,020411
2 5 1,609438 0,182322
3 6 1,791759
'
Sehingga persamaan interpolasi polinomialnya adalah :
= − − − −
( ) ( )( )- − − + −
( )( )( )
Masukkan harga harga kedalam persamaan : = 2, = 1, = 4, = 5
Sehingga diperoleh : ŷ = 0,628769 Nilai eksak = ln(2) = 0,693147 → ε = 9,3% Metode lain utk mendapatkan interpolasi polinomial adalah model interpolasi Lagrange yg mengguna kan fungsi polinomial dalam kombinasi deret. Bentuk umum persamaan interpolasi Lagrange :
=
∑ =
dengan : −
=
∏
−
= ≠
Dari persamaan tersebut dpt dirumuskan beberapa interpolasi orde sbb :
- Interpolasi linier (orde 1) :
− − = +
− −
- Interpolasi kuadratik (orde 2) :
− − − −
( )( ) ( )( )
= + − − − −
( )( ) ( )( )
− −
( )( )
- − −
- Interpolasi kubik (orde 3) :
= + + +
dimana :
− − − − − − ( )( )( ) ( )( )( )
= = − − − − − − ( )( )( ) ( )( )( )
− − − − − − ( )( )( ) ( )( )( )
= = − − − − − − ( )( )( ) ( )( )( )
Contoh : Taksirlah nilai ln(2) dengan interpolasi polinomial serta hitunglah kesalahan relatifnya jika digunakan data ln(1), ln(4), ln(5) dan ln(6) Jawab :
= 1, = ln(1) = 0 = 4, = ln(4) = 1,386294
1
1
= 5, = ln(5) = 1,609438
2
2
= 6, = ln(6) = 1,791759
3
3
1
0.4
1 4 1,386294 2 2,772589
2 5 1,609438 2 3,218876
3 6 1,791759 0.6 1,075056 ŷ = ,-/"12/0
Nilai eksak y = ln(2) = 0,693147 → ε = 9,3%
r '
Ada cara lain untuk mendapatkan persamaan polinomial pada interpolasi polinomial, yaitu dengan cara menyusun sistem persamaan linier simultan dari nilai nilai dan yang diketahui.
Jika ada titik data yaitu P ( , ) s/d P ( , ) maka:
1
1 1 n −
= + + + + − −
- = +
− − = + + + +
− −
'
Penyelesaian persamaan linier simultan tersebut adalah nilai nilai , , , …, yang merupakan
1
2
koefisien dari persamaan polinomial sbb :
−
- =
−
Sehingga dengan memasukkan nilai pada persamaan tersebut akan didapatkan nilai dari titik yang akan dicari.
'
Penyelesaian persamaan linier simultan tersebut dapat menggunakan metode metode yang telah dipelajari, seperti metode eliminasi Gauss atau metode eliminasi Gauss Jordan dengan menyusun matriks sbb :
− −
−
=
−
'
Dengan metode Gauss Jordan, Augmented matrix :
2
B
1
4 B
1 B
3 B
1 B
2 B
B
'
Contoh : Taksirlah nilai ln(2) dengan interpolasi polinomial serta hitunglah kesalahan relatifnya jika digunakan data ln(1), ln(4), ln(5) dan ln(6) Jawab :
= ln(6) = 1,791759
3
= 6,
3
= ln(5) = 1,609438
2
= 5,
2
= ln(4) = 1,386294
1
= 4,
1
= 1, = ln(1) = 0
/3
−
−
− − −3
3 B
2
5B
3 B
4
10B
B
− − −
B
4
/10
1
'
'
4
B
1 B
2 B
3
4B
2 B
5B
1
−
−
− − −B
3
/4
- 4B
- 29B
ε = 9,3%
4
Sehingga diperoleh persamaan polinomial sbb : Untuk = 2, diperoleh : ŷ = 0,628769 Nilai eksak = ln(2) = 0,693147 →
'
− − −
−
−
10B
'
3
4 B
2
4 B
20B
1
B
- − + − =