Persamaan Linear Simultan (ElGaussJordan)

  Persamaan Linier Simultan

• Eliminasi Gauss • Gauss Jordan

Persamaan Linier Simultan

  Persamaan linier simultan adalah suatu bentuk persamaan-persamaan yang secara bersama-sama menyajikan banyak variabel bebas.

  m persamaan

  Bentuk persamaan linier simultan dengan dan n variabel bebas dapat dituliskan sebagai berikut:

  a x a x a x ... a x b _{11 1 12 2 13 3} + + + + _{1 n n} = _{1 21 1 22 2 23 3 2 n n} = + + + + a x a x a x ... a x b _{2 31 1 32 2 33 3 3 n n} = + + + + a x a x a x ... a x b ₃ .......... .......... .......... .......... .......... ........ _{m 1 1 m 2 2 m} + + + = + a x a x a x ... a x b _{3 3 mn n m} dimana: a untuk i=1 s/d m dan j=1 s/d n adalah koefisien atau persamaan simultan _ij x untuk i=1 s/d n adalah variabel bebas pada persamaan simultan _i

  Penyelesaian persamaan linier simultan adalah penentuan nilai x _i

Persamaan Linier Simultan

  ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

  2 ^{2 22 21 1 12 11} Matrik A=Matrik Koefisien atau Matrix Jacobian Vektor x =Vektor variabel

  ... ... ... ... ... ... _{2 1 2 1}

  ... ... , ...

  m n mn m mi ^{n n} b b b danB x x x x a a a a a a a a a A

  ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

  = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

  ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

  = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

  Persamaan linier simultan di atas dapat dinyatakan sebagai bentuk matrik yaitu : dimana:

  ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

  2 ^{1 2 22 21 1 12 11} A x = B

  ... ... ... ... ... ... _{2 1 2 1}

  ...

  ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ n n mn m m ^{n n} b b b x x x a a a a a a a a a ... ...

  ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

  ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥

  = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

  ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

  ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

Persamaan Linier Simultan

  

Augmented Matrix ( matrik perluasan ) dari persamaan linier simultan

  adalah matrik yang merupakan perluasan matrik A dengan menambahkan vektor B pada kolom terakhirnya, dan dituliskan:

  Augmented (A) = [A B] ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

  ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ m mn m m m ^{n n} b a a a a b a a a a b a a a a ...

  ... ... ... ... ... ... ... ...

  3 ^{2 1 2 2 23 22 21 1 1 13 12 11}

Teorema Persamaan Linier Simultan

  Suatu persamaan linier simultan mempunyai penyelesaian tunggal bila memenuhi syarat-syarat sebagai berikut: (1) Ukuran persamaan linier simultan bujursangkar, dimana jumlah persamaan sama dengan jumlah variable bebas.

  (2) Persamaan linier simultan non-homogen dimana minimal ada ≠ 0. satu nilai vector konstanta B tidak nol atau ada b _n

  (3) Determinan dari matrik koefisien persamaan linier simultan tidak sama dengan nol.

Metode Eliminasi Gauss

  Metode Eliminasi Gauss : metode yang dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu menghilangkan atau mengurangi jumlah variable sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable bebas.

  Metode eliminasi gauss: metode dimana bentuk matrik augmented, pada bagian kiri diubah menjadi matrik segitiga atas /segitiga bawah dg menggunakan OBE (Operasi Baris Elementer).

  ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

  ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ n nn n n n ^{n n n} b a a a a b a a a a b a a a a b a a a a ...

  ... ... ... ... ... ... ... ... ...

  3 ^{2 1 3 3 33 32 31 2 2 23 22 21 1 1 13 12 11}

  ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

  ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

  n nn ^{n n n} d c d c c d c c c d c c c c

  ...

  ... ... ... ... ... ... ... ... ...

  3 ^{3 33 2 2 23 22 1 1 13 12 11}

Metode Eliminasi Gauss

  Sehingga penyelesaian dapat diperoleh dengan: Operasi Baris Elementer (OBE) : operasi pengubahan nilai elemen matrik berdasarkan barisnya, tanpa mengubah matriknya.

• − = =

  OBE pada baris ke-i+k dengan dasar baris ke i dapat dituliskan dengan : _{j i j k i j k i}

  a c a a _{, , ,}

  . − =

  dimana c : konstanta pengali dari perbandingan nilai dari elemen a _i,i dan a _i+k,i

  ( ) (

  ) ( ) _{n n} ^{n n n n n n n n n nn n n x c x c x c d} _c ^{x x c x c x c d c x d x c c x c d x} _{1 13 2 12 1 11 1}

²

^{4 24 3 23 2 22 2 1 , 1 1 , 1 1 ... 3 1 ... 1 ....... .......... .......... .......... 1}

  − − − − = − − − − =

  − − _{− −} ⁻ ( ) _{n n n n n n n} x c d c x _{, 1 1 1 , 1 1}

  ₋ 1 _{− − − −} − =

  = − − = x ^{x x}

  6

  1 ^{3 1 2}

  2B ^{B B B} − −

  ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

  ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

  − − − − _{2 1} ^{4 2 1 6 1 1 1}

  2 ³ B B

  ⎢ ⎢ ⎡ − −

  − −

  2

  1

  4

  2

  1

  6

  1

  1

  1

  dengan demikian diperoleh penyelesaian:

  ( ) ( ) ^{1 3 2 6} ₁ ^{1 2 3 ) 2 ( 4 1 1 3 2 6} ₁ ^{2 3} = − − = = − − =

  1

  6

  Contoh Penyelesaian Pers.Lin.Simultan dg. Metode Eliminasi Gauss

  Augmented matrik dari persamaan linier simultan tersebut adalah:

  Selesaikan persamaan berikut :

  10

  2

  2

  2

  2

  6

  3 ²

¹

^{3 2 1 3 2 1} = + + = − +

  = + + x x x x x x x x x

  ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

  1

  ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

  −

  10

  2

  1

  2

  2

  1

  2

• ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢

  Algoritma Metode Eliminasi Gauss

  Algoritma Metode Eliminasi Gauss adalah sbb :

  1. Masukkan matrik A, dan vektor B beserta ukurannya n

  2. Buat augmented matrik [A|B] namakan dengan A

  3. Untuk baris ke i dimana i=1 s/d n, perhatikan apakah nilai a _i,i =0 :

  Bila ya : pertukarkan baris ke i dan baris ke i+k ≤ n, dimana a _i+k

  ,i

  ≠0, bila tidak ada berarti perhitungan tidak bisa dilanjutkan dan proses dihentikan dengan tanpa penyelesaian. Bila tidak : lanjutkan

  4. Untuk baris ke j, dimana j = i+1 s/d n Lakukan operasi baris elementer:

  Hitung Untuk kolom k dimana k=1 s/d n+1 hitung Hitung akar, untuk i = n s/d 1 (bergerak dari baris ke n sampai baris pertama) : ^{i i i j}

  a a c _, ^,

  = k i k j k j

  . a c a a _{, , ,} − =

  ( ) _{n n i i i i i i i i i} ^{x a x a x a b x} _{, 2 2 , 1}

_{1 ,}

^{... 1}

  − − − − = _{+ + + +}

Metode Eliminasi Gauss Jordan

  1 ...

  yaitu menggunakan OBE (Operasi Baris Elementer). Hanya perhitungan

  ,...., , , ₃

₃

_{2 2 1 1} Metode eliminasi Gauss-Jordan ini sama seperti metode eliminasi Gauss

  d x d x d x d x = = = =

  ,…,dn dan atau: _{n n}

  3 ^{2 1} Penyelesaian dari persamaan linier simultan diatas adalah nilai d1,d2,d3

  1

  1 ...

  Metode Eliminasi Gauss Jordan: metode pengembangan metode eliminasi gauss, hanya saja augmented matrik, pada sebelah kiri diubah menjadi matrik diagonal sebagai berikut:

  ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

  1 ...

  n d d d d

  ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

  ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

  3 ^{2 1 3 3 33 32 31 2 2 23 22 21 1 1 13 12 11}

  ... ... ... ... ... ... ... ... ...

  ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ n nn n n n ^{n n n} b a a a a b a a a a b a a a a b a a a a ...

  ... ... ... ... ... ... ...

  Contoh Penyelesaian Pers.Lin.Simultan dg. Metode Eliminasi Gauss Jordan

  2

  2

  1

  1

  3

  2

  2

  2

  1 2 /

  1

  3

  1

  1

  1

  ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −

  Selesaikan persamaan berikut : Augmented matrik dari persamaan linier simultan tersebut adalah: Lakukan operasi baris elementer sebagai berikut: dengan demikian diperoleh penyelesaian:

  ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥

  ⎢ ⎡ − ⎥

  1 ⎥ ⎤

  1

  3

  2

  4

  8

  ⎣ ⎡

  ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

  3 ₂

₁

_{2 1} = + = + x x

x x

  2

  4

  8

  2 ^{1 1 2} B B B B b x1 = 2 dan x2 = 1

  Algoritma Metode Eliminasi Gauss Jordan

  Algoritma Metode Eliminasi Gauss adalah sbb :

  1. Masukkan matrik A, dan vektor B beserta ukurannya n

  2. Buat augmented matrik [A|B] namakan dengan A

  3. Untuk baris ke i dimana i=1 s/d n, Perhatikan apakah nilai a _i,i =0 : Bila ya : pertukarkan baris ke i dan baris ke i+k

  ≤n, dimana a _i+k

  ,i

  ≠0, bila tidak ada berarti perhitungan tidak bisa dilanjutkan dan proses dihentikan dengan tanpa penyelesaian. Bila tidak : lanjutkan Jadikan nilai diagonalnya menjadi satu, dengan cara untuk setiap kolom k dimana k=1 s/d n+1, hitung

  4. Untuk baris ke j, dimana j = i+1 s/d n Lakukan operasi baris elementer:

  Hitung Hitung

  5. Penyelesaian, untuk i = n s/d 1 (bergerak dari baris ke n sampai ^{i i k i k i}

  a a a _, ^, _,

  = c = a _{j,i k i k j k j a c a a , , , . − =}