Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat – sifat barisan Barisan Monoton

Barisan

Barisan Tak Hingga

Kekonvergenan barisan tak hingga

Sifat – sifat barisan Barisan Monoton

Secara sederhana, barisan merupakan susunan dari bilangan −bilangan yang urutannya berdasarkan bilangan asli. Suatu barisan yang terdiri dari n suku biasanya dinyatakan dalam

bentuk a 1 ,a 2 , …,a n .a 1 menyatakan suku ke –1, a 2 menyatakan suku ke –2 dan a n menyatakan suku ke –n.

Barisan tak hingga didefinisikan sebagai suatu fungsi real di mana daerah asalnya adalah bilangan asli. Notasi barisan tak hingga adalah

n 1

− contoh barisan

Contoh

Barisan

 Bisa dituliskan dengan rumus  2 n n 1

Barisan

Bisa dituliskan dengan rumus

Penentuan a n tidak memiliki aturan khusus dan hanya bersifat coba –coba.

19/02/2016 Matematika 2 19/02/2016 Matematika 2

Suatu barisan tak hingga dikatakan konvergen menuju L, bila lim a  n L   n

atau

{ untuk setiap epsilon positif terdapat N positif sedemikian hingga untuk n lebih besar atau sama dengan N, selisih antara dan a n

L akan kurang epsilon} L akan kurang epsilon}

Contoh 1

Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut

Jawaban

Karena lim   n  

maka divergen   maka divergen  

Contoh 2

Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut

Jawaban

2 n  Karena merupakan bentuk tak tentu maka untuk lim n   n 

menyelesaikannya digunakan teorema berikut :

Misal ,bila maka a  f  n lim f  x  L lim f  n  n L

untuk x  R.

tak hingga

Jawaban (lanjutan)

Jadi dan dengan menggunakan dalil L’hopital maka f  x 

lim

 lim  0

lim

Berdasarkan teorema maka . lim  0

Karena nilai limitnya menuju 0, maka

Konvergen menuju 0.

tak hingga

Contoh 3

Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut

1   cos n  

Jawaban

Bentuk dari suku −suku barisannya merupakan bentuk ganti tanda akibat dari nilai cos n  , untuk n ganjil tandanya − , untuk n genap tandanya +. Nilai tidak ada tetapi minimal bernilai lim cos n

–1 dan

maksimal bernilai 1. Sedangkan akibatnya untuk n lim  0  nilai

, akan mendekati nol. Jadi deret konvergen menuju 0. . cos n 

Sifat – sifat barisan

Misal {a n } dan {b n } barisan-barisan yang konvergen, dan k suatu konstanta, maka

1. lim k  k

2. lim k a n  k lim n a   n   n

3. lim  a n  b n  lim a  lim b

4. lim  a b  lim a lim b

a lim n a n   n

5. lim  , lim b  n 0   n   n

b n lim b

Barisan Monoton

Kemonotonan barisan {a n } dapat dikelompokkan menjadi 4 macam :

1. Monoton naik bila a n  a n  1

2. Monoton turun bila a n  a n  1

3. Monoton tidak turun bila a n  a n  1

4. Monoton tidak naik bila a n  a n  1

Deret Tak Hingga

Deret tak hingga merupakan jumlahan dari yaitu a  a n n 1 1 +a 2 + …+a n .

Notasi deret tak hingga adalah .  a

n 1

Kekonvergenan suatu deret dapat di ketahui dari kekonvergenan lim barisan jumlahan parsial yaitu , ,dimana : S n

 S n  a 1  a 2  a 3  ...  a n

Dan  S n  S , S , ..., S , ....

Deret Tak Hingga

Contoh

Selidiki apakah deret konvergen ?    

Jawaban

Karena , maka adalah deret lim S n  lim  1 

konvergen yaitu konvergen menuju 1. Penentuan Sn dari suatu deret juga tidak memiliki aturan khusus dan bersifat coba – coba.

Deret Suku Positif

Sebuah disebut deret suku positif, bila semua suku- sukunya positif. Berikut ini adalah deret-deret suku positif yang sering digunakan :

1. Deret geometri

2. Deret harmonis

3. Deret-p Deret –p akan dibahas secara khusus dalam uji integral

Deret Suku Positif

Deret geometri

k  1 2 3 n  Bentuk umum : 1

a r  a  a r  a r  a r  ...  a r   ....

Proses menentukan rumusan S n adalah sebagai berikut :

S n  a  a r  a r  a r  ...  a r

r S n  a r  a r  a r  ...  a r  a r

Dari rumusan tersebut diperoleh bahwa sehingga

. untuk r S n   1. Kekonvergenan dari deret geometri

bergantung pada nilai r.

Deret Suku Positif

Deret geometri(lanjutan)

Ada 3 kasus nilai r yang akan menentukan kekonvergenan deret geometri : –Bila r = 1, maka S n = na sehingga , sehingga deret lim na  

divergen

lim r  –Bila | r |<1, maka , sehingga deret konvergen ke 0

–Bila | r | >1, maka , sehingga deret divergen n

lim r  

Deret Suku Positif

Deret harmonis

Bentuk umum :

n 1 n

Untuk menentukan kekonvergenan, dapat diketahui dari nilai limit dari S n nya, yaitu

1 1 1 1 1 1 1 1 S n  1         .... 

Deret Suku Positif

Deret harmonis (lanjutan)

1  1 1   1 1 1 1   1 1  S n  1               ....    ..

Karena, maka . Sehingga deret harmonis divergen. lim 1   

Deret Tak Hingga

Bila deret konvergen, maka .  a n lim a n  0

n 1

kontraposisinya (pernyataan lain yang sesuai ) adalah

Bila ,maka deret akan divergen. lim a n  0  a n

n 1

Bila dalam perhitungan limit a n –nya diperoleh nol, maka deret belum tentu konvergen, sehingga perlu dilakukan pengujian deret dengan uji-uji deret positif.

Deret Tak Hingga

Contoh

Periksa apakah konvergen ? 

n 1 2 n  1

Jawaban

lim a n  lim  lim

Jadi divergen 

n 1 2 n  1

1. Uji integral

2. Uji Banding

3. Uji Banding limit

4. Uji Rasio

5. Uji Akar

Uji integral

Misal merupakan deret suku positif dan monoton turun,  a n

n 1

n  f  n  n  B

dimana , maka integral tak wajar dari f(x) a

adalah .  f  x dx  lim

 f  x dx

Bila nilai limit dari integral tak wajar tersebut tak hingga atau tidak ada, maka deret divergen.

Bila nilainya menuju suatu nilai tertentu(ada), maka deret konvergen.

Deret Suku Positif

Contoh 1: Uji Integral Deret –p

Bentuk umum : 

n 1 n

Kalau diperhatikan maka deret harmonis sebenarnya juga merupakan deret –p dengan p=1. Kekonvergenan deret p akan bergantung pada nilai p. Untuk menentukan pada nilai p berapa deret konvergen atau divergen, digunakan integral tak wajar yaitu

Misal a n  f  n  maka f  x  .

Selanjutnya nilai f(x) tersebut di integralkan dengan batas 1 sampai .

Deret Suku Positif

Deret –p (lanjutan)

Integral tak wajar dari f(x) adalah

dx  lim  dx  lim

 lim 

Kekonvergenan deret –p ini akan tergantung dari nilai integral tak wajar tersebut. Bila integralnya konvergen maka deretnya juga konvergen. Sebaliknya bila integralnya tak hingga atau tidak ada maka deretnya juga akan divergen.

Deret Suku Positif

Deret –p (lanjutan)

Nilai integral tak wajar tersebut bergantung pada nilai p berikut : – Bila p = 1, maka deretnya harmonis, sehingga deret divergen

– Bila 0 p<1, maka ,sehingga deret lim   

b   1  p 1  p divergen

– Bila p>1, maka ,

lim 

 lim 

p  b 1   1  p 1  p b   p  1 

sehingga deret konvergen.

Contoh 2

 n ln n

Tentukan kekonvergenan deret

n 2

Jawaban

Deret tersebut monoton turun, sehingga dapat digunakan uji integral yaitu :

Misal , maka a n  f  n  f ( x ) 

n ln n

x ln x

Perhitungan integral tak wajar :

 ln x     2

b    x ln x b  

dx b 

lim

dx  lim ln

x ln x

Karena nilai limitnya menuju tak hingga, maka integral

 n ln n n 2

tak wajarnya divergen. Sehingga deret juga

divergen.

Uji Banding

Bila untuk  n  N, berlaku b n  a n maka

a. Bila konvergen, maka juga konvergen  b n  a n

n 1

n 1

b. Bila divergen, maka juga divergen  a

n 1

n 1

Jadi pada uji banding ini, untuk menentukan kekonvergenan suatu deret, bila menggunakan sifat a maka deret pembandingnya adalah yang bersifat konvergen.

Sedangkan bila menggunakan sifat nomor 2 maka deret pembandingnya adalah yang bersifat divergen.

Contoh 1

Uji kekonvergenan 

Jawaban

Dalam uji banding, pemilihan deret pembanding adalah dipilih yang paling mirip dengan deret yang akan diuji.

Dapat dipilh sebagai deret pembanding. 

n 1 3 n

Karena dan merupakan deret 

n 1 3 n

p yang divergen, maka disimpulkan deretnya juga divergen

Contoh 2

Uji kekonvergenan  2

Jawaban

Dengan uji banding, digunakan deret pembanding , 

3 3 1 dimana . Karena merupakan deret 3

n 1 n

konvergen, maka juga konvergen. 

Contoh 3

Uji kekonvergenan  2

tg n

Jawaban

Karena untuk , maka deret pembanding yang n   , tg n 

digunakan adalah .Karena dan 

merupakan deret konvergen, maka juga konvergen  2

tg n

Uji Banding Limit

Misal dan , merupakan deret suku positif dan  a n  b n

n 1

n 1

L  , berlaku lim

– Bila 0 < L <  , maka kedua deret bersama-sama konvergen

atau bersama-sama divergen

– Bila L = 0, dan adalah deret konvergen, maka .  b n  a n

n 1

n 1

juga konvergen

– Bila L =  dan adalah deret divergen maka .  b n  a n

n 1

n 1

juga divergen

Contoh 1

Uji kekonvergenan deret 

Jawaban

1 Deret pembanding yang digunakan adalah dan   3 

diketahui sebagai deret divergen ( sebagai ).  b n

n 1

Karena . dan deret pembandingnya L  lim  1 3 2

divergen, maka . juga divergen. 

Contoh 2

Uji kekonvergenan deret  2

Jawaban

Deret pembanding yang digunakan adalah dan  

n  1 n n  1 n diketahui sebagai deret divergen (deret harmonis).

Karena . dan deret L  lim  lim  1

pembandingnya divergen, maka kedua deret bersama-sama divergen .

Uji Rasio

Misal merupakan deret suku positif dan  a n   lim

a n maka berlaku

– Bila <1, maka deret konvergen – Bila >1, maka deret divergen – Bila =1, maka uji gagal

Contoh

Uji kekonvergenan deret

i 1 n !

Jawaban

Dengan uji rasio diperoleh   lim  lim  0 2 2

Karena  = 0 < 1 , maka konvergen. 

Uji Akar

n Misal merupakan deret suku positif dan , 

r  lim a n

n 1

maka berlaku

– Bila r < 1, maka deret konvergen  a n

n 1 

– Bila r > 1, maka deret divergen  a n

n 1

– Bila r = 1, maka uji gagal

Contoh

Uji kekonvergenan deret  n

i 1

Jawaban

Dengan uji akar diperoleh r  lim 

Karena , maka konvergen. r   1  n

Panduan Pemilihan uji deret

Bila deret suku berbentuk rasional (fungsi polinom) maka dapat dipilih uji banding atau uji banding limit

Bila deret suku positif mengandung bentuk pangkat n dan atau faktorial maka dipilih uji rasio atau uji akar pangkat n Bila uji – uji diatas tidak dapat digunakan dan suku – sukunya monoton turun maka dapat dipilih uji integral

Uji-uji kekonvergenan deret positif hanya digunakan untuk menguji deret-deret positif. Sedangkan untuk deret-deret yang suku-sukunya berganti-ganti tanda, yaitu berbentuk . dengan a a

1  a 2  a 3  a 4  ... n > 0 untuk semua n dilakukan uji tersendiri.

Notasi deret ganti tanda adalah . atau . n 1 ( 

Deret ganti tanda dikatakan konvergen, bila

0  a n  1  a n a. (monoton tak naik) lim b. a n  0

Contoh

Tentukan kekonvergenan deret    1

n  1 n  n  1

Jawaban

   1 merupakan deret ganti tanda

n  1 n  n  1

–nnya adalah . a n 

dengan rumus suku ke

n  n  1

Deret akan konvergen bila memenuhi dua syarat berikut :

0  a n  1 a. .  a n

b. Nilai lim a n  0 b. Nilai lim a n  0

     n  1 n  2 n n  1

a n  1 n  4 n  n  1

a n  n  1  n  2 n  3

a n  1 n  n  4 n  4 n

a n  n  2  n  3 n  5 n  6

Karena jadi {a  1 n } adalah monoton tak naik.

b. lim a n  lim  0 n   n   n  n  1

Karena kedua syarat dipenuhi maka deretnya konvergen.

Konvergen Bersyarat

Deret dikatakan konvergen  a n  a 1  a 2  a 3  

mutlak, bila deret mutlak konvergen a n  a  a

(suku a n bisa berupa suku positif atau tidak).

Hal tersebut tidak berlaku sebaliknya. Tetapi bila  a n

n 1

divergen, maka . juga divergen.  a n

n 1

Kovergen bersyarat terjadi bila konvergen tetapi  a n  a n

n 1

n 1

divergen.

Konvergen Bersyarat

Contoh 1

cos n 

Tentukan apakah konvergen mutlak atau bersyarat ? 

n 1 n

Jawaban

cos n 

Deret mutlaknya adalah . Dengan menggunakan uji 

n 1

banding, dimana deret pembandingnya adalah maka 

n 1 n

diperoleh bahwa untuk semua nilai n. cos 

cos n 

Karena merupakan deret konvergen, maka  3 

n 1 n

cos n 

n 1

juga konvergen. Sehingga konvergen mutlak. 

n 1 n

Konvergen Bersyarat

Contoh 2

Tentukan apakah konvergen mutlak atau    1

bersyarat ?

Jawaban

Deret mutlaknya adalah . 

n 1 n !

Dengan uji rasio diperoleh .   lim  lim  0 n

n    n  1 ! 2 n   n  1

Karena  =0<1, maka konvergen. 

n 1 n !

Sehingga konvergen mutlak.    1

Konvergen Bersyarat

Contoh 3

Tentukan apakah konvergen mutlak atau bersyarat ?    1

Jawaban

Deret mutlaknya adalah yang merupakan deret divergen. 

n 1 n

Pengujian kekonvergenan deret ganti tanda

a. (monoton tak naik) 0  a  1  a

Diperoleh bahwa n n

benar

b. Jadi deret ganti tandanya konvergen.

Karena deret ganti tandanya konvergen sedangkan deret lim a

n  lim  0

mutlaknya divergen maka konvergen bersyarat .

kekonvergenan mutlak

Misal deret dengan suku tak nol dan ,  a n r  lim

n 1

tiga kondisi yang mungkin terjadi adalah : n

• Bila r<1, maka konvergen mutlak  a n

 n 1

• Bila r>1, maka divergen  a n

n 1

• Bila r=1, pengujian gagal ( tidak dapat disimpulkan) Konvergen bersyarat tidak bisa ditentukan oleh uji rasio ini. .

Konvergen Bersyarat

Contoh 1

Tentukan apakah konvergen mutlak atau n n  

divergen?

Jawaban

Dengan uji rasio mutlak diperoleh :

3  n  1 e  n  1  1

r  lim

n lim  1 3 

Karena , maka konvergen mutlak. r   1    1 n

Konvergen Bersyarat

Contoh 2

Tentukan apakah konvergen mutlak atau divergen?    1

Jawaban

Dengan uji rasio mutlak diperoleh :

 n

r  lim

 lim

Karena r > 1, maka divergen .    1 n

Bentuk umum :

n x  a 0  a x  a x  ...  a n x   ... 1 2

a n  x  b   a 0  a 1  x  b   a 2  x  b   ...  a  x     ... n b

Contoh deret pangkat

x  x  ...  x   ...

1. n  0

n  0  2 n !

x x x  1  1     ...

Pada deret pangkat ini, kalau diperhatikan terdapat dua variabel, yaitu n dan x. Untuk n , nilainya dari 0 sampai , sedangkan nilai x dapat dicari dengan uji rasio untuk kekonvergenan mutlak, yaitu pada saat r < 1.

Interval nilai x yang memenuhi kekonvergenan dari deret n 

maupun disebut interval kekonvergenan.  a n  x  b 

Bentuk interval kekonvergenan dari deret pangkat ini memiliki ciri khusus dan hanya memiliki 3 variasi bentuk untuk masing – masing deret.

Tiga kemungkinan untuk interval kekonvergenan deret adalah :

Selang konvergensi untuk deret

• Deret konvergen hanya di x = 0 • Deret konvergen mutlak di x  R • Deret konvergen mutlak pada interval buka (–r,r) atau

ditambah pada ujung – ujung intervalnya.

Selang konvergensi untuk deret

• Deret konvergen hanya di x = b • Deret konvergen mutlak di x  R • Deret konvergen mutlak pada interval buka (b–r,b+r)

atau ditambah pada ujung – ujung intervalnya.

Contoh 1

Tentukan interval kekonvergenan deret 

n 0 n !

Jawaban

Pengujian dengan uji rasio mutlak :

r  lim

n    n  1 ! x

 lim  0

Deret akan konvergen untuk semua nilai x Atau x R

Contoh 2

Tentukan interval kekonvergenan deret n 

n 0

Jawaban

Pengujian dengan uji rasio mutlak : n  1

x  n  1 !

r  lim

 lim x n  1

Dari pengujian tersebut diperoleh bahwa nilai yang memenuhi adalah x = 0 agar r < 1. Jadi deret konvergen untuk x = 0

Contoh 3

Tentukan interval kekonvergenan deret

 x 

n  0 3  n  1

Jawaban

Pengujian dengan uji rasio mutlak :

3  n  1 x n  1 x

r  lim

 lim

n   3 n  2 3 Dari pengujian tersebut diperoleh bahwa nilai yang memenuhi

3  n  2 x

adalah –3 < x < 3. Pada ujung – ujung interval, pengujian dilakukan secara terpisah.

Pengujian deret pada saat x = 3 dan x = 3 adalah sebagai berikut :

• Saat x = -3  deretnya menjadi  Deret ini 

diketahui sebagai deret harmonis yang divergen .

• Saat x = 3  deretnya menjadi  dengan    1

uji deret ganti tanda diketahui bahwa deret ini konvergen.

Jadi interval kekonvergenan deret adalah    1

n  0 3  n  1

Contoh 4

Tentukan interval kekonvergenan deret

Jawaban

Pengujian dengan uji rasio mutlak :

 2 x  5 n n

r  lim

 lim x  5

 n  1 x  5 n   n  2 n  1

Dari pengujian tersebut diperoleh bahwa nilai yang memenuhi adalah 4 < x < 6. Pada ujung – ujung interval, pengujian dilakukan secara terpisah.

Pengujian deret pada saat x = 4 dan x = 6 adalah sebagai berikut :

• Saat x = 4  deretnya menjadi  karena  2

n  1 

 . konvergen maka deret ganti tandanya juga 2 n 0 n

konvergen. .

• Saat x = 6  deretnya menjadi yang merupakan  2

n 1 n

deret-p yang diketahui konvergen.

Jadi interval kekonvergenan deret adalah Jadi interval kekonvergenan deret adalah

1. Operasi aljabar, yaitu penjumlahan, pengurangan, pembagian, dan substitusi

2. Turunan deret :

x  na x

3. Integral deret :

  a n x dx   a n x dx   x  C

Deret geometri adalah contoh deret pangkat x dengan  x

n 1

a n =1. Dengan menggunakan rumus jumlah takhingga deret geometri,

maka diperoleh

1  x  x  x  ...

Secara umum x bisa diganti dengan U dimana U adalah fungsi yang memuat x.

 1  u  u  u  ...

Contoh 1

Nyatakan dalam deret pangkat

Jawaban

1  x 1    x

Dengan menggunakan deret geometri

 1  x  x  x  ... x  1

1  x 1    x

Contoh 2

Nyatakan dalam deret pangkat

Jawaban

Dengan menggunakan jawaban sebelumnya x x

x  1  x  x  x  ...   x  x  x  x  ...

Contoh 3

Nyatakan dalam deret pangkat ln  

Jawaban

ln    ln  1  x  ln 1  x

 dx     1  x  x  x  ...  dx   x  x  x  ...

ln  1  x   

ln  1  x    dx   1  x  x  x  ...  dx  x  x  x  ...

Jadi

ln    ln  1  x  ln 1  x  2 x  x  x  ...

Contoh 4

Nyatakan dalam deret pangkat

Jawaban

 sehingga

2 adalah turunan dari 

1  1  x  d  1  x  x  x  ...  2 3

     1  2 x  3 x  4 x  ...

1  x dx dx

Suatu fungsi yang terdifferensial sampai orde n di x = b dapat digambarkan sebagai suatu deret pangkat dari (x –b) yaitu ,

f  x   a 0  a 1 x  b   a 2  x  b   a 3 x  b   

dimana nilai-nilai a 0 ,a 1 ,a 2 , … diperoleh dari penurunan f(x) di x = b sampai turunan ke-n, yaitu

a 0  f  b

a 1  f  b

 b

'' f

 b

Atau f(x) bisa dituliskan sebagai

f b 2 f  b 3

f    x  f b  f b    x  b   x  b   x  b

 b n     x  b

Bentuk yang diperoleh di atas dikenal dengan bentuk polinomial taylor. Fungsi yang dapat diperderetkan dalam bentuk polinomial taylor, dinamakan deret taylor.

Bila b = 0, maka fungsi diperderetkan dalam deret maclaurin,

f 0  2 f 0  3 f  0  n

yaitu n

f  x   f  0   f 0  x  x  x    x

Contoh 1

Perderetkan f  x  e ke dalam deret maclaurin

Jawaban

Sehingga e  1  x       , x  

Contoh 2

Perderetkan ke dalam deret Maclaurin / Taylor f  x  e

Jawaban

Dari jawaban sebelumnya diperoleh bahwa

Dengan mengganti x dengan 2x –1 maka diperoleh perderetannya adalah

2 x  1    2 x  1 2 x  1

e  1   2 x  1    

Berikut adalah fungsi-fungsi yang diperderetkan ke dalam deret Maclaurin

sin x  x          1  , x  

3 ! 5 ! 7 ! n  0  2 n  1 !

cos x  1          1  , x  

ln  1  x   x          1  ,  1  x  1

tan x  x          1  ,  1  x  1

Untuk memperderetkan suatu fungsi kedalam deret taylor atau maclaurin, dapat digunakan operasi-operasi deret pangkat seperti pada bagian sebelumnya, misal :

 Sin x 

Cos x

dx

dx

tan x  

dx 

x  x  x   dx

A. Tentukan barisan-barisan berikut konvergen atau divergen

1.  n  2.  n

sin 

 n  1   4.

3. n  ln

5.  n  1 6.  

e cos n

A (Lanjutan)

7. n 

e  2 e  8.  n 

 n    

11. 12.  n n  1

A (Lanjutan)

13.  n  1 1 14. 

B. Tentukan deret berikut konvergen atau divergen ?

ln n

n 1 n

B. (lanjutan)

n 1 n !

n 1

cos n 

n 1 n

 n ! 2

ln n

9.  2 n 10. 

n 1 e

B. (lanjutan)

5 sin n

n 1

tan n

  1 n  1

B. (lanjutan)

17.    1 e 18.  n

n 20.  2

cos n  5 1

B. (lanjutan)

C. Uji kekonvergenan deret-deret berikut, dan tentukan konvergen mutlak, konvergen bersyarat, atau divergen

4 n cos n 

D. Cari interval kekonvergenan deret pangkat berikut

  1 x

ln  n

n 2

D. (Lanjutan)

7. x     8.  1       x  3    

1 2      x  3 4 x  3 8 x  3

E. Perderetkan fungsi berikut dalam deret pangkat

f  x  ln x

f  x  e

E. (Lanjutan)

3. f  x  x e 4. f  x 

5. f  x  6. f  x  x ln 2 1   x

7. f  x  sin x 8. f  x 

f  x  e f  x  x ln  3 x

9. 10.