Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat – sifat barisan Barisan Monoton
Barisan
Barisan Tak Hingga
Kekonvergenan barisan tak hingga
Sifat – sifat barisan Barisan Monoton
Secara sederhana, barisan merupakan susunan dari bilangan −bilangan yang urutannya berdasarkan bilangan asli. Suatu barisan yang terdiri dari n suku biasanya dinyatakan dalam
bentuk a 1 ,a 2 , …,a n .a 1 menyatakan suku ke –1, a 2 menyatakan suku ke –2 dan a n menyatakan suku ke –n.
Barisan tak hingga didefinisikan sebagai suatu fungsi real di mana daerah asalnya adalah bilangan asli. Notasi barisan tak hingga adalah
n 1
− contoh barisan
Contoh
Barisan
Bisa dituliskan dengan rumus 2 n n 1
Barisan
Bisa dituliskan dengan rumus
Penentuan a n tidak memiliki aturan khusus dan hanya bersifat coba –coba.
19/02/2016 Matematika 2 19/02/2016 Matematika 2
Suatu barisan tak hingga dikatakan konvergen menuju L, bila lim a n L n
atau
{ untuk setiap epsilon positif terdapat N positif sedemikian hingga untuk n lebih besar atau sama dengan N, selisih antara dan a n
L akan kurang epsilon} L akan kurang epsilon}
Contoh 1
Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut
Jawaban
Karena lim n
maka divergen maka divergen
Contoh 2
Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut
Jawaban
2 n Karena merupakan bentuk tak tentu maka untuk lim n n
menyelesaikannya digunakan teorema berikut :
Misal ,bila maka a f n lim f x L lim f n n L
untuk x R.
tak hingga
Jawaban (lanjutan)
Jadi dan dengan menggunakan dalil L’hopital maka f x
lim
lim 0
lim
Berdasarkan teorema maka . lim 0
Karena nilai limitnya menuju 0, maka
Konvergen menuju 0.
tak hingga
Contoh 3
Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut
1 cos n
Jawaban
Bentuk dari suku −suku barisannya merupakan bentuk ganti tanda akibat dari nilai cos n , untuk n ganjil tandanya − , untuk n genap tandanya +. Nilai tidak ada tetapi minimal bernilai lim cos n
–1 dan
maksimal bernilai 1. Sedangkan akibatnya untuk n lim 0 nilai
, akan mendekati nol. Jadi deret konvergen menuju 0. . cos n
Sifat – sifat barisan
Misal {a n } dan {b n } barisan-barisan yang konvergen, dan k suatu konstanta, maka
1. lim k k
2. lim k a n k lim n a n n
3. lim a n b n lim a lim b
4. lim a b lim a lim b
a lim n a n n
5. lim , lim b n 0 n n
b n lim b
Barisan Monoton
Kemonotonan barisan {a n } dapat dikelompokkan menjadi 4 macam :
1. Monoton naik bila a n a n 1
2. Monoton turun bila a n a n 1
3. Monoton tidak turun bila a n a n 1
4. Monoton tidak naik bila a n a n 1
Deret Tak Hingga
Deret tak hingga merupakan jumlahan dari yaitu a a n n 1 1 +a 2 + …+a n .
Notasi deret tak hingga adalah . a
n 1
Kekonvergenan suatu deret dapat di ketahui dari kekonvergenan lim barisan jumlahan parsial yaitu , ,dimana : S n
S n a 1 a 2 a 3 ... a n
Dan S n S , S , ..., S , ....
Deret Tak Hingga
Contoh
Selidiki apakah deret konvergen ?
Jawaban
Karena , maka adalah deret lim S n lim 1
konvergen yaitu konvergen menuju 1. Penentuan Sn dari suatu deret juga tidak memiliki aturan khusus dan bersifat coba – coba.
Deret Suku Positif
Sebuah disebut deret suku positif, bila semua suku- sukunya positif. Berikut ini adalah deret-deret suku positif yang sering digunakan :
1. Deret geometri
2. Deret harmonis
3. Deret-p Deret –p akan dibahas secara khusus dalam uji integral
Deret Suku Positif
Deret geometri
k 1 2 3 n Bentuk umum : 1
a r a a r a r a r ... a r ....
Proses menentukan rumusan S n adalah sebagai berikut :
S n a a r a r a r ... a r
r S n a r a r a r ... a r a r
Dari rumusan tersebut diperoleh bahwa sehingga
. untuk r S n 1. Kekonvergenan dari deret geometri
bergantung pada nilai r.
Deret Suku Positif
Deret geometri(lanjutan)
Ada 3 kasus nilai r yang akan menentukan kekonvergenan deret geometri : –Bila r = 1, maka S n = na sehingga , sehingga deret lim na
divergen
lim r –Bila | r |<1, maka , sehingga deret konvergen ke 0
–Bila | r | >1, maka , sehingga deret divergen n
lim r
Deret Suku Positif
Deret harmonis
Bentuk umum :
n 1 n
Untuk menentukan kekonvergenan, dapat diketahui dari nilai limit dari S n nya, yaitu
1 1 1 1 1 1 1 1 S n 1 ....
Deret Suku Positif
Deret harmonis (lanjutan)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 S n 1 .... ..
Karena, maka . Sehingga deret harmonis divergen. lim 1
Deret Tak Hingga
Bila deret konvergen, maka . a n lim a n 0
n 1
kontraposisinya (pernyataan lain yang sesuai ) adalah
Bila ,maka deret akan divergen. lim a n 0 a n
n 1
Bila dalam perhitungan limit a n –nya diperoleh nol, maka deret belum tentu konvergen, sehingga perlu dilakukan pengujian deret dengan uji-uji deret positif.
Deret Tak Hingga
Contoh
Periksa apakah konvergen ?
n 1 2 n 1
Jawaban
lim a n lim lim
Jadi divergen
n 1 2 n 1
1. Uji integral
2. Uji Banding
3. Uji Banding limit
4. Uji Rasio
5. Uji Akar
Uji integral
Misal merupakan deret suku positif dan monoton turun, a n
n 1
n f n n B
dimana , maka integral tak wajar dari f(x) a
adalah . f x dx lim
f x dx
Bila nilai limit dari integral tak wajar tersebut tak hingga atau tidak ada, maka deret divergen.
Bila nilainya menuju suatu nilai tertentu(ada), maka deret konvergen.
Deret Suku Positif
Contoh 1: Uji Integral Deret –p
Bentuk umum :
n 1 n
Kalau diperhatikan maka deret harmonis sebenarnya juga merupakan deret –p dengan p=1. Kekonvergenan deret p akan bergantung pada nilai p. Untuk menentukan pada nilai p berapa deret konvergen atau divergen, digunakan integral tak wajar yaitu
Misal a n f n maka f x .
Selanjutnya nilai f(x) tersebut di integralkan dengan batas 1 sampai .
Deret Suku Positif
Deret –p (lanjutan)
Integral tak wajar dari f(x) adalah
dx lim dx lim
lim
Kekonvergenan deret –p ini akan tergantung dari nilai integral tak wajar tersebut. Bila integralnya konvergen maka deretnya juga konvergen. Sebaliknya bila integralnya tak hingga atau tidak ada maka deretnya juga akan divergen.
Deret Suku Positif
Deret –p (lanjutan)
Nilai integral tak wajar tersebut bergantung pada nilai p berikut : – Bila p = 1, maka deretnya harmonis, sehingga deret divergen
– Bila 0 p<1, maka ,sehingga deret lim
b 1 p 1 p divergen
– Bila p>1, maka ,
lim
lim
p b 1 1 p 1 p b p 1
sehingga deret konvergen.
Contoh 2
n ln n
Tentukan kekonvergenan deret
n 2
Jawaban
Deret tersebut monoton turun, sehingga dapat digunakan uji integral yaitu :
Misal , maka a n f n f ( x )
n ln n
x ln x
Perhitungan integral tak wajar :
ln x 2
b x ln x b
dx b
lim
dx lim ln
x ln x
Karena nilai limitnya menuju tak hingga, maka integral
n ln n n 2
tak wajarnya divergen. Sehingga deret juga
divergen.
Uji Banding
Bila untuk n N, berlaku b n a n maka
a. Bila konvergen, maka juga konvergen b n a n
n 1
n 1
b. Bila divergen, maka juga divergen a
n 1
n 1
Jadi pada uji banding ini, untuk menentukan kekonvergenan suatu deret, bila menggunakan sifat a maka deret pembandingnya adalah yang bersifat konvergen.
Sedangkan bila menggunakan sifat nomor 2 maka deret pembandingnya adalah yang bersifat divergen.
Contoh 1
Uji kekonvergenan
Jawaban
Dalam uji banding, pemilihan deret pembanding adalah dipilih yang paling mirip dengan deret yang akan diuji.
Dapat dipilh sebagai deret pembanding.
n 1 3 n
Karena dan merupakan deret
n 1 3 n
p yang divergen, maka disimpulkan deretnya juga divergen
Contoh 2
Uji kekonvergenan 2
Jawaban
Dengan uji banding, digunakan deret pembanding ,
3 3 1 dimana . Karena merupakan deret 3
n 1 n
konvergen, maka juga konvergen.
Contoh 3
Uji kekonvergenan 2
tg n
Jawaban
Karena untuk , maka deret pembanding yang n , tg n
digunakan adalah .Karena dan
merupakan deret konvergen, maka juga konvergen 2
tg n
Uji Banding Limit
Misal dan , merupakan deret suku positif dan a n b n
n 1
n 1
L , berlaku lim
– Bila 0 < L < , maka kedua deret bersama-sama konvergen
atau bersama-sama divergen
– Bila L = 0, dan adalah deret konvergen, maka . b n a n
n 1
n 1
juga konvergen
– Bila L = dan adalah deret divergen maka . b n a n
n 1
n 1
juga divergen
Contoh 1
Uji kekonvergenan deret
Jawaban
1 Deret pembanding yang digunakan adalah dan 3
diketahui sebagai deret divergen ( sebagai ). b n
n 1
Karena . dan deret pembandingnya L lim 1 3 2
divergen, maka . juga divergen.
Contoh 2
Uji kekonvergenan deret 2
Jawaban
Deret pembanding yang digunakan adalah dan
n 1 n n 1 n diketahui sebagai deret divergen (deret harmonis).
Karena . dan deret L lim lim 1
pembandingnya divergen, maka kedua deret bersama-sama divergen .
Uji Rasio
Misal merupakan deret suku positif dan a n lim
a n maka berlaku
– Bila <1, maka deret konvergen – Bila >1, maka deret divergen – Bila =1, maka uji gagal
Contoh
Uji kekonvergenan deret
i 1 n !
Jawaban
Dengan uji rasio diperoleh lim lim 0 2 2
Karena = 0 < 1 , maka konvergen.
Uji Akar
n Misal merupakan deret suku positif dan ,
r lim a n
n 1
maka berlaku
– Bila r < 1, maka deret konvergen a n
n 1
– Bila r > 1, maka deret divergen a n
n 1
– Bila r = 1, maka uji gagal
Contoh
Uji kekonvergenan deret n
i 1
Jawaban
Dengan uji akar diperoleh r lim
Karena , maka konvergen. r 1 n
Panduan Pemilihan uji deret
Bila deret suku berbentuk rasional (fungsi polinom) maka dapat dipilih uji banding atau uji banding limit
Bila deret suku positif mengandung bentuk pangkat n dan atau faktorial maka dipilih uji rasio atau uji akar pangkat n Bila uji – uji diatas tidak dapat digunakan dan suku – sukunya monoton turun maka dapat dipilih uji integral
Uji-uji kekonvergenan deret positif hanya digunakan untuk menguji deret-deret positif. Sedangkan untuk deret-deret yang suku-sukunya berganti-ganti tanda, yaitu berbentuk . dengan a a
1 a 2 a 3 a 4 ... n > 0 untuk semua n dilakukan uji tersendiri.
Notasi deret ganti tanda adalah . atau . n 1 (
Deret ganti tanda dikatakan konvergen, bila
0 a n 1 a n a. (monoton tak naik) lim b. a n 0
Contoh
Tentukan kekonvergenan deret 1
n 1 n n 1
Jawaban
1 merupakan deret ganti tanda
n 1 n n 1
–nnya adalah . a n
dengan rumus suku ke
n n 1
Deret akan konvergen bila memenuhi dua syarat berikut :
0 a n 1 a. . a n
b. Nilai lim a n 0 b. Nilai lim a n 0
n 1 n 2 n n 1
a n 1 n 4 n n 1
a n n 1 n 2 n 3
a n 1 n n 4 n 4 n
a n n 2 n 3 n 5 n 6
Karena jadi {a 1 n } adalah monoton tak naik.
b. lim a n lim 0 n n n n 1
Karena kedua syarat dipenuhi maka deretnya konvergen.
Konvergen Bersyarat
Deret dikatakan konvergen a n a 1 a 2 a 3
mutlak, bila deret mutlak konvergen a n a a
(suku a n bisa berupa suku positif atau tidak).
Hal tersebut tidak berlaku sebaliknya. Tetapi bila a n
n 1
divergen, maka . juga divergen. a n
n 1
Kovergen bersyarat terjadi bila konvergen tetapi a n a n
n 1
n 1
divergen.
Konvergen Bersyarat
Contoh 1
cos n
Tentukan apakah konvergen mutlak atau bersyarat ?
n 1 n
Jawaban
cos n
Deret mutlaknya adalah . Dengan menggunakan uji
n 1
banding, dimana deret pembandingnya adalah maka
n 1 n
diperoleh bahwa untuk semua nilai n. cos
cos n
Karena merupakan deret konvergen, maka 3
n 1 n
cos n
n 1
juga konvergen. Sehingga konvergen mutlak.
n 1 n
Konvergen Bersyarat
Contoh 2
Tentukan apakah konvergen mutlak atau 1
bersyarat ?
Jawaban
Deret mutlaknya adalah .
n 1 n !
Dengan uji rasio diperoleh . lim lim 0 n
n n 1 ! 2 n n 1
Karena =0<1, maka konvergen.
n 1 n !
Sehingga konvergen mutlak. 1
Konvergen Bersyarat
Contoh 3
Tentukan apakah konvergen mutlak atau bersyarat ? 1
Jawaban
Deret mutlaknya adalah yang merupakan deret divergen.
n 1 n
Pengujian kekonvergenan deret ganti tanda
a. (monoton tak naik) 0 a 1 a
Diperoleh bahwa n n
benar
b. Jadi deret ganti tandanya konvergen.
Karena deret ganti tandanya konvergen sedangkan deret lim a
n lim 0
mutlaknya divergen maka konvergen bersyarat .
kekonvergenan mutlak
Misal deret dengan suku tak nol dan , a n r lim
n 1
tiga kondisi yang mungkin terjadi adalah : n
• Bila r<1, maka konvergen mutlak a n
n 1
• Bila r>1, maka divergen a n
n 1
• Bila r=1, pengujian gagal ( tidak dapat disimpulkan) Konvergen bersyarat tidak bisa ditentukan oleh uji rasio ini. .
Konvergen Bersyarat
Contoh 1
Tentukan apakah konvergen mutlak atau n n
divergen?
Jawaban
Dengan uji rasio mutlak diperoleh :
3 n 1 e n 1 1
r lim
n lim 1 3
Karena , maka konvergen mutlak. r 1 1 n
Konvergen Bersyarat
Contoh 2
Tentukan apakah konvergen mutlak atau divergen? 1
Jawaban
Dengan uji rasio mutlak diperoleh :
n
r lim
lim
Karena r > 1, maka divergen . 1 n
Bentuk umum :
n x a 0 a x a x ... a n x ... 1 2
a n x b a 0 a 1 x b a 2 x b ... a x ... n b
Contoh deret pangkat
x x ... x ...
1. n 0
n 0 2 n !
x x x 1 1 ...
Pada deret pangkat ini, kalau diperhatikan terdapat dua variabel, yaitu n dan x. Untuk n , nilainya dari 0 sampai , sedangkan nilai x dapat dicari dengan uji rasio untuk kekonvergenan mutlak, yaitu pada saat r < 1.
Interval nilai x yang memenuhi kekonvergenan dari deret n
maupun disebut interval kekonvergenan. a n x b
Bentuk interval kekonvergenan dari deret pangkat ini memiliki ciri khusus dan hanya memiliki 3 variasi bentuk untuk masing – masing deret.
Tiga kemungkinan untuk interval kekonvergenan deret adalah :
Selang konvergensi untuk deret
• Deret konvergen hanya di x = 0 • Deret konvergen mutlak di x R • Deret konvergen mutlak pada interval buka (–r,r) atau
ditambah pada ujung – ujung intervalnya.
Selang konvergensi untuk deret
• Deret konvergen hanya di x = b • Deret konvergen mutlak di x R • Deret konvergen mutlak pada interval buka (b–r,b+r)
atau ditambah pada ujung – ujung intervalnya.
Contoh 1
Tentukan interval kekonvergenan deret
n 0 n !
Jawaban
Pengujian dengan uji rasio mutlak :
r lim
n n 1 ! x
lim 0
Deret akan konvergen untuk semua nilai x Atau x R
Contoh 2
Tentukan interval kekonvergenan deret n
n 0
Jawaban
Pengujian dengan uji rasio mutlak : n 1
x n 1 !
r lim
lim x n 1
Dari pengujian tersebut diperoleh bahwa nilai yang memenuhi adalah x = 0 agar r < 1. Jadi deret konvergen untuk x = 0
Contoh 3
Tentukan interval kekonvergenan deret
x
n 0 3 n 1
Jawaban
Pengujian dengan uji rasio mutlak :
3 n 1 x n 1 x
r lim
lim
n 3 n 2 3 Dari pengujian tersebut diperoleh bahwa nilai yang memenuhi
3 n 2 x
adalah –3 < x < 3. Pada ujung – ujung interval, pengujian dilakukan secara terpisah.
Pengujian deret pada saat x = 3 dan x = 3 adalah sebagai berikut :
• Saat x = -3 deretnya menjadi Deret ini
diketahui sebagai deret harmonis yang divergen .
• Saat x = 3 deretnya menjadi dengan 1
uji deret ganti tanda diketahui bahwa deret ini konvergen.
Jadi interval kekonvergenan deret adalah 1
n 0 3 n 1
Contoh 4
Tentukan interval kekonvergenan deret
Jawaban
Pengujian dengan uji rasio mutlak :
2 x 5 n n
r lim
lim x 5
n 1 x 5 n n 2 n 1
Dari pengujian tersebut diperoleh bahwa nilai yang memenuhi adalah 4 < x < 6. Pada ujung – ujung interval, pengujian dilakukan secara terpisah.
Pengujian deret pada saat x = 4 dan x = 6 adalah sebagai berikut :
• Saat x = 4 deretnya menjadi karena 2
n 1
. konvergen maka deret ganti tandanya juga 2 n 0 n
konvergen. .
• Saat x = 6 deretnya menjadi yang merupakan 2
n 1 n
deret-p yang diketahui konvergen.
Jadi interval kekonvergenan deret adalah Jadi interval kekonvergenan deret adalah
1. Operasi aljabar, yaitu penjumlahan, pengurangan, pembagian, dan substitusi
2. Turunan deret :
x na x
3. Integral deret :
a n x dx a n x dx x C
Deret geometri adalah contoh deret pangkat x dengan x
n 1
a n =1. Dengan menggunakan rumus jumlah takhingga deret geometri,
maka diperoleh
1 x x x ...
Secara umum x bisa diganti dengan U dimana U adalah fungsi yang memuat x.
1 u u u ...
Contoh 1
Nyatakan dalam deret pangkat
Jawaban
1 x 1 x
Dengan menggunakan deret geometri
1 x x x ... x 1
1 x 1 x
Contoh 2
Nyatakan dalam deret pangkat
Jawaban
Dengan menggunakan jawaban sebelumnya x x
x 1 x x x ... x x x x ...
Contoh 3
Nyatakan dalam deret pangkat ln
Jawaban
ln ln 1 x ln 1 x
dx 1 x x x ... dx x x x ...
ln 1 x
ln 1 x dx 1 x x x ... dx x x x ...
Jadi
ln ln 1 x ln 1 x 2 x x x ...
Contoh 4
Nyatakan dalam deret pangkat
Jawaban
sehingga
2 adalah turunan dari
1 1 x d 1 x x x ... 2 3
1 2 x 3 x 4 x ...
1 x dx dx
Suatu fungsi yang terdifferensial sampai orde n di x = b dapat digambarkan sebagai suatu deret pangkat dari (x –b) yaitu ,
f x a 0 a 1 x b a 2 x b a 3 x b
dimana nilai-nilai a 0 ,a 1 ,a 2 , … diperoleh dari penurunan f(x) di x = b sampai turunan ke-n, yaitu
a 0 f b
a 1 f b
b
'' f
b
Atau f(x) bisa dituliskan sebagai
f b 2 f b 3
f x f b f b x b x b x b
b n x b
Bentuk yang diperoleh di atas dikenal dengan bentuk polinomial taylor. Fungsi yang dapat diperderetkan dalam bentuk polinomial taylor, dinamakan deret taylor.
Bila b = 0, maka fungsi diperderetkan dalam deret maclaurin,
f 0 2 f 0 3 f 0 n
yaitu n
f x f 0 f 0 x x x x
Contoh 1
Perderetkan f x e ke dalam deret maclaurin
Jawaban
Sehingga e 1 x , x
Contoh 2
Perderetkan ke dalam deret Maclaurin / Taylor f x e
Jawaban
Dari jawaban sebelumnya diperoleh bahwa
Dengan mengganti x dengan 2x –1 maka diperoleh perderetannya adalah
2 x 1 2 x 1 2 x 1
e 1 2 x 1
Berikut adalah fungsi-fungsi yang diperderetkan ke dalam deret Maclaurin
sin x x 1 , x
3 ! 5 ! 7 ! n 0 2 n 1 !
cos x 1 1 , x
ln 1 x x 1 , 1 x 1
tan x x 1 , 1 x 1
Untuk memperderetkan suatu fungsi kedalam deret taylor atau maclaurin, dapat digunakan operasi-operasi deret pangkat seperti pada bagian sebelumnya, misal :
Sin x
Cos x
dx
dx
tan x
dx
x x x dx
A. Tentukan barisan-barisan berikut konvergen atau divergen
1. n 2. n
sin
n 1 4.
3. n ln
5. n 1 6.
e cos n
A (Lanjutan)
7. n
e 2 e 8. n
n
11. 12. n n 1
A (Lanjutan)
13. n 1 1 14.
B. Tentukan deret berikut konvergen atau divergen ?
ln n
n 1 n
B. (lanjutan)
n 1 n !
n 1
cos n
n 1 n
n ! 2
ln n
9. 2 n 10.
n 1 e
B. (lanjutan)
5 sin n
n 1
tan n
1 n 1
B. (lanjutan)
17. 1 e 18. n
n 20. 2
cos n 5 1
B. (lanjutan)
C. Uji kekonvergenan deret-deret berikut, dan tentukan konvergen mutlak, konvergen bersyarat, atau divergen
4 n cos n
D. Cari interval kekonvergenan deret pangkat berikut
1 x
ln n
n 2
D. (Lanjutan)
7. x 8. 1 x 3
1 2 x 3 4 x 3 8 x 3
E. Perderetkan fungsi berikut dalam deret pangkat
f x ln x
f x e
E. (Lanjutan)
3. f x x e 4. f x
5. f x 6. f x x ln 2 1 x
7. f x sin x 8. f x
f x e f x x ln 3 x
9. 10.