BAB XVIII. NOTASI SIGMA, BARISAN, DERET DAN INDUKSI MATEMATIKA - Notasi Sigma Barisan Deret
BAB XVIII. NOTASI SIGMA, BARISAN, DERET DAN INDUKSI MATEMATIKA Notasi Sigma :
- = −
- 1
- ∑
- = n m i i
- = − p n p m i p i
- p n p m i p i
- n i i i
- 2 i n i i
- U
- U
- . . . + U n
- ∑
U
1
∑ =
2 b.
1
V
= n i i
1
=
V U ∑
2
1
U
∑ = n i i
2 ) ( =
V U
1
− n i i i
U 9. a.
− − =
U = ∑
U = ∑
∑ = n m i i
; dimana 1< m < n 8.
1
U
1
U
∑ = m i i
=
∑ =
1
V U
2
Bentuk umum barisan aritmetika : a , a+b, a +2b,…, a+(n-1)b Bentuk umum deret aritmetika: a + (a+b) + (a+2b) +… + {a+(n-1)b} dimana: a = suku pertama b = beda n = banyak suku
1 − n
= U n - U
2
3
= U
1
2
, U n disebut barisan aritmetika jika selisih dua suku sebelum dan sesudahnya tetap, dimana selish tersebut dinamakan beda (b). b = U
1 − n
,…, U
3
, U
, U
2 ) (
1
Suatu barisan U
2 Barisan dan Deret Aritmetika (Deret Hitung):
1
V
= n i i
1
=
V U ∑
2
1
U
∑ = n i i
=
∑ = n i i
2
1 n i i U 7.
2
adalah notasi sigma, digunakan untuk menyatakan penjumlahan berurutan dari suatu bilangan yang sudah berpola.
∑
merupakan huruf capital “S” dalam abjad Yunani adalah huruf pertama dari kata SUM yang berarti jumlah. Bentuk umum notasi sigma:
∑ = n i i
U
1
1
= U
1
3
∑ = n i i
∑ = n i i
= U
U
U
1
Sifat-sifat notasi sigma: 1.
2 i i
1
50
∑
KU
dibaca penjumlahan suku U i untuk i=1 sampai dengan i=n i = indeks penjumlahan i =1 disebut batas bawah penjumlahan i = n disebut batas atas penjumlahan {1,2,3,…,n} adalah wilayah penjumlahan Contoh: 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + … + 100 dapat ditulis dengan notasi sigma yaitu
1 ±
∑
1 n i i U =
∑ − =
=
1
U
∑ = n i i
1 6.
V
∑ = n i i
U
1
∑ = n i i
1 ) ( =
V U
± n i i i
∑ =
1 5.
U
∑ = n i i
= K
- 2 i n i i
- ∑
- U
- U
∑ =
- U
- U
- . . . + U n 2.
∑ = n i i
1
1
2
3
∑ = n i i
U
1
∑ = n k k
U
1 3.
∑ = n i
K
1
= nK ; dimana K adalah konstanta 4.
=
1. Antara bilangan 60 dan 110 disisipkan 10 bilangan sehingga bersama kedua bilangan semula terbentuk deret aritmetika. Tentukan jumlah deret yang terbentuk .
,…, U
4
,…, U
3
,…, U
2
, …,U
1
c. . jika banyaknya suku =4 U
= 3 +2 k = 3 +(3-1)k
'
k suku k suku banyaknya suku baru: n
3
2
'
, …,U
1
b. jika banyaknya suku =3 U
= 2 + k = 2 +(2-1)k
'
k suku banyaknya suku baru: n
2
, …,U
1
a. jika banyaknya suku =2 U
U
= n
U '
k suku k suku k suku banyaknya suku baru: n
= 4 +3 k = 3 +(4-1)k Jadi, jika banyaknya suku adalah n buah maka banyaknya suku baru adalah: n
4
'
) contoh soal sisipan :
U
(a + n
2 ' n
=
'
maka, S n
U
= n
U '
} n
'
(2a + (n
'
2 ' n
= {
'
) atau S n
U '
(a + n
2 ' n
=
'
) S n
'
3. Jumlah n suku setelah sisipan (S n
= n + (n-1) k
,… U n k suku k suku k suku k suku dari barisan baru dapat dilihat bahwa n
,…, U
- U
- U
- . . . + U n
2
(a + U n ) =
2 n
(2a +(n-1) b) hubungan U n dan S n adalah: U n = S n - S
1 − n
3. Jika n ganjil, maka suku tengah barisan aritmetika (U t ) ditulis sbb: U t =
3
2
barisan lama dengan b
barisan lama U
=
1
},… k buah bilangan sisipan U
'
),{a+(k+1) b
'
),…,(a+k b
'
), (a+2 b
'
2 n
3
1
, U
,…, U
2
, …,U
1
, U n Barisan baru: U
1 − n
,…, U
3
2
2
, U
1
) Barisan lama : U
'
2. Menentukan banyaknya suku baru (n
Rumus-rumus :
1. Suku ke n barisan aritmetika (U n ) ditulis sbb: U n = a + (n-1) b
2. Jumlah n suku pertama deret aritmetika (S n ) ditulis sbb: S n = U
1
(a + U n ) Sisipan: Suatu barisan aritmetika : a , a+b, a +2b,…, a+(n-1)b apabila diantara dua suku disisipkan k buah bilangan , maka barisan aritmetika yang baru adalah sbb: a , (a+ b
- 1) b
'
1. Beda barisan baru (b
'
) hubungan barisan baru dan lama : a +b = a+(k+1) b
'
b = (k+1) b
'
b
'
=
1 + k b
b = beda deret lama b
'
= beda deret baru k = banyaknya bilangan yang disisipkan
= beda baru setelah ada k bilangan sisipan
, U n disebut barisan geometri jika perbandingan antara dua suku sebelum dan sesudahnya selalu tetap, perbandingan dua suku tersebut disebut pembanding atau rasio (r).
Bentuk umum barisan geometri:
2
, ar n Bentuk umum deret geometri: a + ar + ar
1 − n
, . . . , ar
3
, ar
2
a, ar, ar
1 − n n U U
1 − n
= . . .=
3 U U
2
=
2 U U
1
Jadi r =
3
- ar
- . . . + ar
- ar n a = suku pertama n = banyaknya suku r = rasio
1. Suku ke n barisan geometri (U n ) ditulis sbb: U n = ar
Rumus-rumus:
U n = S n - S
1 − n
, . . . , ar
3
, ar
2
a, ar, ar
3. Untuk n ganjil, maka suku tengah barisan geometri (U t ) adalah : U t = n U a . Sisipan: Suatu barisan geometri:
1 − n
dan S n
untuk r <1 Hubungan U n
1 ) 1 (
r r a n − −
untuk r >1 S n =
− r r a n
1 ) 1 ( −
2. Jumlah n suku pertama deret geometri (S n ) ditulis sbb: S n =
1 − n
- = 2
- 1) b
,…, U
1 − n
2
=
1 + k b
=
'
2. Diantara dua suku berurutan pada barisan 5, 15, 25,… disisipkan 4 bilangan sehingga membentuk barisan aritmetika yang baru . Tentukan jumlah 10 suku pertama dari barisan yang terbentuk Jawab: dari barisan 5, 15, 25,… diketahui a = 5 b = 10 k = 4 beda barisan yang baru: b
(60+110) = 1020
12
) =
4
U
(a + n
2 ' n
=
'
= n+(n-1)k = 2+(2-1)10 = 12 Jumlah deret yang terbentuk : S n
'
jawab: banyaknya suku awal = 2 Æn deret setelah sisipan 60+ … + 110 10 bilangan Banyaknya suku baru: n
1
10
3
2
, U
2
, U
1
Suatu barisan U
Barisan dan Deret Geometri (Deret Hitung):
{2.5+(10-1)2} = 5(10+18) = 140
10
=
Jumlah 10 suku pertama barisan yang terbentuk : S n
10
} S
'
'
(2a + (n
2 ' n
= {
'
, ar n
4 2 = 2
= n + (n-1) k = 2 +(2-1)3= 5 rasio barisan lama , r =
4
16
3
1
=
1 + k r
=
'
= 16 Rasio barisan baru, r
48 768
'
- =
Barisan geometri tak hingga:
Jawab: Barisan baru : 48, sisipan1, sisipan2, sisipan3, 768 3 sisipan Banyaknya suku barisan lama n = 2 banyaknya suku barisan baru : n
< 1 Contoh soal sisipan: Diantara bilangan 48 dan 768 disisipkan 3 buah bilangan sehingga terbentuk barisan geometri. Tentukan rasio dan jumlah barisan setelah sisipan.
'
; r
− −
1 [ ' r r a n
' ' ' 1 ] ) (
=
'
> 1 atau S n
Deret geometri yang banyak suku-sukunya tak terbatas /tak hingga dinamakan deret geometri tak hingga. Deret : a + ar + ar
- ar
- . . . + ar
- ar n
- ar
; dinamakan konvergen (mempunyai nilai)
1 + . . .
1
1
2
1. Diketahui deret geometri :
; dinamakan divergen (tidak mempunyai nilai) Contoh deret tah hingga:
∞
=
∞
2. Bila |r| > 1 S
1
2
r a −
=
∞
1. Bila |r| < 1 atau -1 < r < 1 S
disebut deret tak hingga (n nya tak hingga) Jumlah n suku pertama deret geometri tak hingga :
3 + . . .
2
disebut deret terhingga dengan n suku. Deret : a + ar + ar
1 − n
3
'
' ' ' ' − − r r a n
; r
,…, a(r
2
barisan lama U
1
,… k buah bilangan sisipan U
1 + k
)
'
) k , a(r
'
3
'
)
'
, a(r
2
)
'
, a(r
'
a, ar
apabila diantara dua suku disisipkan k buah bilangan , maka barisan geometri yang baru adalah sbb:
barisan lama r
= rasio baru setelah ada k bilangan sisipan
1 ] [( 1 )
1. Banyaknya suku baru: n
=
'
): Jumlah n suku pertama setelah sisipan : S n
'
3. Jumlah n suku setelah sisipan (S n
r = rasio lama ; k = banyaknya suku baru yang disisipkan
1 + k r
=
'
r
1 + k
)
'
r = (r
1 + k
)
'
) : hubungan rasio lama dan baru ar = a(r
'
2. Rasio baru (r
= n + (n-1) k
'
- 8
- 32
Berapakan jumlah deret tsb? jawab:
Induksi Matematika:
1
1
1
8 Induksi matematika adalah suatu cara pembuktian suatu
Diketahui : a = ; r = =
1
2
4
pernyataan umum mengenai deret yang berlaku untuk setiap
2 bilangan asli.
1 Langkah-langkah pembuktian dengan induksi matematika
r = memenuhi syarat |r| < 1 atau -1 < r < 1, maka
4
adalah: konvergen.
1. Buktikan bahwa pernyataan benar untuk n = 1
1
1
2. Buktikan bahwa pernyataan benar untuk n = k
a
4
2
2
2 S = = = = =
3. Buktikan bahwa pernyataan juga benar untuk n = k+1
∞
1
3 1 − r
6
3 1 −
4
4
contoh induksi matematika:
2. Apabila suatu deret geometri tak hingga mempunyai
1. Buktikan jumlah 10 dengan suku pertamanya adalah 5. Berapa 2 + 4 + 6 + …+2n = n (1+n) rasio dan jumlah 5 suku pertama dari deret tersebut ? langkah 1 : jawab: untuk n = 1 diketahui S = 10 ; a = 5
∞
masukkan nilai n =1 karena S = 10 maka deret tak hingga ini adalah
∞
2n = n (1+n) konvergen. 2.1 = 1 (1+1)
a
2 = 2 Æ terbukti S =
∞ 1 − r
langkah 2 :
5
5
10 = ; 1 - r =
1 − r
10
untuk n = k misalkan rumus berlaku untuk n = k maka rumus menjadi
1
1
1
1 – r = ; r = 1 - =
2
2
2
2 + 4 + 6 + …+2k = k (1+k) langkah 3 :
1 Jadi rasionya: r =
2
untuk n = k+1 berdasarkan langkah 2 jumlah 5 suku pertamanya: 2 + 4 + 6 + …+2k = k (1+k) Karena r <1 maka n jika n = k +1 didapat :
a r a ( 1 − ) n n
S = = ( 1 - r ) = S ( 1 - r ) n ∞
r r 1 − 1 −
2 + 4 + 6 + …+2k+ 2(k+1) = k (1+k) + 2 (k+1)
1
1
5 S = 10 [1 – ( ) ] = 10 ( 1 - )
5
k(1+k)
2
32 31 310
22
= 10 . = = 9 Catatan:
32
32
32 Rumus kanan awal : n (1+n) , kita masukkan n = k+1
Menjadi (k+1) (1 +(k+1)) = (k+1) (k+2) Æ ini yang akan dibuktikan ruas kanan dijabarkan jika n = k +1 didapat :
2
1
1
1
1
1
k (1+k) + 2 (k+1) = k + k + 2k +2
- . . . +
2
6 12 k ( k + + 1 ) ( k + k 1 )( 2 )
2
= k + 3k +2
k
= (k+1)(k+2) Æ terbukti
- k
1 k
1
2. Buktikan = + n
- k 1 ( k + k
1 )( 2 ) 1 n
=
∑ 1 ) n + + m m ( m
1 =
1 Catatan:
n
jawab: Rumus kanan awal : , kita masukkan n = k+1
- n
1 Nilai m dimasukkan menjadi 1 k + + k
1
1
1
1 1 n
Menjadi = Æ ini yang akan dibuktikan
- . . . + + + =
k k
1
2
2
1
1 + + +
6 12 n ( n 1 ) n + +
langkah 1 : ruas kanan dijabarkan :
Untuk n = 1
k
1
1
1
masukkan n=1 ruas kiri dan kanan
- =
- k k k k
1 ( + k 1 )( 2 ) ( + k 1 )( 2 ) ( + k 1 )( + + + 2 ) 1 n
=
- n ( n 1 ) n
1
- k ( k 2 )
1
= +
1
1
1 )( k + + + ( k 2 ) ( k + k 1 )( 2 )
=
1 (
1
1 2 ) + + k ( k
1 + + 1 )
1
=
1
1
1 )( k + + ( k 2 )
= Æ terbukti
2
2
2 k
1 = 1 )( k
2 k + +
- ( k 2 )
Langkah 2:
k k ( + + 1 )( 1 )
Untuk n = k =
- k k (
1 )( 2 )
Misalkan rumus berlaku untuk n=k rumus menjadi
- k
1
= Æ terbukti
1
1
1
1
k
- k
2
= + + . . . + +
2
1 Langkah 3 :
6 12 k ( k + + 1 ) k
Untuk n = k+1 Berdasarkan langkah 2 :
1
1
1 1 k
- . . . + + = +
2
1
6 12 k ( k 1 ) k + +