Matematika IMatematika I Matematika I Matematika I Matematika I
MATEMATIKA 1
Ronny Susetyoko,
S.Si., M.Si.
Matematika 1 - bangrs
1
Materi
Fungsi-fungsi di bidang teknik:
bilangan dan interval, konsep dasar
fungsi, beberapa fungsi di bidang
teknik.
Fungsi Trigonometri: derajat dan
radian, perbandingan trigonometri,
fungsi sinus, cosinus dan tangent,
identitas trigonometri, pemodelan
gelombang menggunakan sin t dan
cos t, persamaan trigonometri.
Diferensial: pendekatan grafik
untuk diferensial, limit fungsi,
kekontinyuan, diferensial fungsi
aljabar, diferensial beberapa fungsil
perkalian dan pembagian, diferensial
fungsi implisit, titik optimum
(maksimum dan minimum) dari
fungsi dengan satu atau lebih
peubah bebas, diferensial parsial.
Integral: integral tak tentu, integral
parsial, integral fungsi-fungsi
1 - bangrs
trigonometri, integralMatematika
pecahan
Aljabar Matriks : definisi determinan,
notasi determinan, minor dan kofaktor,
nilai determinan, aturan Sarrus, Ekspansi
Laplace, penggunaan determinan untuk
menyelesaikan sistem persamaan linier,
sifat-sifat determinan, operasi matriks,
jenis-jenis matriks, matriks transpose,
invers matriks, penyelesaian sistem
persamaan linier, metode Eliminasi Gauss,
nilai eigen dan vector eigen, beberapa
aplikasi matriks untuk teknik elektronika.
Vektor: definisi, notasi, aljabar vector,
hokum-hukum vector, vector satuan,
komponen-komponen vector, translasi dan
rotasi vektor, dot product, cross product,
triple product.
Bilangan kompleks: bentuk-bentuk
bilangan kompleks, Teorema D'Moivre
theorem, operasi bilangan kompleks, sifatsifat bilangan kompleks, hokum-hukum
bilangan kompleks, aljabar phasor.
2
Referensi & Pembobotan Nilai
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Croft A., Robert D.& Martin H.,
2001, Engineering Mathematics :
A Foundation for Electronic,
Electrical, Communications and
Systems Engineers, Prentice Hall.
Kreyszig E., 1988, Advanced
Engineering Mathemetics, Sixth
Edition, John Willey & Sons
Purcell EI., 1984, Calculus with
Analytic Geometry, Forth Edition,
Prentice-Hall Inc.
Spiegel MR & Wospakrik HJ,1991,
Analisis Vektor, Erlangga, Jakarta.
Anton HA., 2000, Elementary
Linear Algebra, 8th Edition, John
Wiley & Sons.
Stroud, KA, Engineering
Mathematics, Fifth Edition,
Matematika 1 - bangrs
Pembobotan Nilai Akhir
UAS;
40.00%
UTS;
40.00%
Tugas;
20.00%
3
FUNGSI-FUNGSI
DI BIDANG TEKNIK
Matematika 1 - bangrs
4
Pendahuluan
Suatu fungsi f dari X ke Y adalah suatu aturan di mana setiap
anggota dari X menentukan dengan tunggal satu anggota dari Y.
X dibawa ke f(x), maka y = f(x) didalam Y dinamakan peta
(image) dari x atau dinamakan harga fungsi f di x.
Sebaliknya himpunan x di dalam X yang petanya adalah y elemen
Y dinamakan peta invers (invers image) dari y, simbol f -1(y).
Fungsi dapat digunakan untuk mendeskripsikan perubahan
kuantitas, sebagai contoh:
Variasi/karakteristik tegangan yang melaluisebuah komponen
elektronik terhadap waktu
Variasi/karakteristik posisi motor listrik terhadap waktu
Variasi/karakteristik kekuatan sinyal terhadap posisi atau waktu
Pandang Hukum Ohm : V = I R
Matematika 1 - bangrs
5
Bilangan & Interval
Bilangan dapat dikelompokkan dalam beragam kelas atau
himpunan.
Bilangan bulat (integer), Z : { …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
Bilangan natural, N: {0, 1, 2, 3, …}
Bilangan bulat positif, N + : {1, 2, 3, …}
Bilangan rasional (p/q), Q : 5/2, 45/1234,-1/7, dll.
Bilangan irrasional (tidak dpt diekspresikan dalam p/q) : p, √2,
dll.
Bilangan riil, R : 1.53, 0.00012876, dll.
Bilangan kompleks, Z : 3 + 2j, 3 + j2, 3 + 2i, dll.
Kadang-kadang kita hanya mengamati pada bagian kecil saja
atau interval tertentu dari suatu garis bilangan riil. Contoh:
interval [1, 3] 1 ≤ x ≤ 3
Interval (1, 3) 1 < x < 3
Interval [1, 3) 1 ≤ x < 3
Matematika 1 - bangrs
6
Ilustrasi Interval
Matematika 1 - bangrs
7
Konsep Dasar Fungsi
Contoh :
Diberikan f(x) = 2x +1
Tentukan f(3), f(0), f(-1), f(a), f(t), f(t+3), f(3t/2t)
Diberikan f(x) = (3-x)/(x2+1)
Tentukan f(3), f(0), f(-1), f(a), f(t), f(t+3), f(3t/2t)
Argument adalah input suatu fungsi
Contoh : y(t) = t2 + t
Tentukan y(t + 2), y(t/2), y(2-t2)
Matematika 1 - bangrs
8
Variabel Bebas dan Tak
Bebas
Variabel x dalam pasangan berurutan (x,y)
disebut variabel bebas (independent variable)
atau argumen dari f, sedangkan y dinamakan
variabel tak bebas (dependent variable).
Dalam pemakaian, domain dari variabel
disajikan dengan interval ( himpunan bagian
dari himpunan real).
Interval : buka, tutup-buka, buka-tutup, tutup.
Matematika 1 - bangrs
9
Grafik Fungsi
One to many, many to one, one to one function?
Matematika 1 - bangrs
10
Contoh
Matematika 1 - bangrs
11
Contoh
Matematika 1 - bangrs
12
Soal-soal
Matematika 1 - bangrs
13
Definisi parametrik sebuah fungsi
Kadang-kadang penting untuk
mengekspresikan koordinat x dan y dari
variabel ketiga yang disebut sebagai
parameter.
Umumnya kita menggunakan t atau q
sebagai notasi parameter
Contoh : x = t2 y = 2t , 0 ≤ t ≤ 5
Plot titik-titik (x,y)
Matematika 1 - bangrs
14
Komposisi Fungsi
Penggabungan operasi dua fungsi
secara berututan akan menghasilkan
sebuah fungsi baru. Penggabungan
tersebut disebut komposisi fungsi dan
hasilnya disebut fungsi komposisi.
Jika h(x) = 2x dan g(x) = x2 maka
y(x) = 2x2 = 2(g(x)) = h(g(x))
Jika f(t) = 2t + 3 dan g(t) = (t + 1)/2
Tentukan f(g(t)) dan g(f(t))
15
A
x
B
f
y
C
g
z
x A dipetakan oleh f ke y B
ditulis f : x → y atau y = f(x)
y B dipetakan oleh g ke z C
ditulis g : y → z atau z = g(y)
atau z = g(f(x))
16
A
x
B
f
y
C
g
z
gof
maka fungsi yang memetakan
x A ke z C
adalah komposisi fungsi f dan
g
ditulis (g o f)(x) = g(f(x))
17
contoh 1
f : A → B dan g: B → C
didefinisikan seperti pada
gambar
B
A
a
b
f
g
1
2
3
C
p
q
Tentukan (g o f)(a) dan (g o f)
(b)
18
Jawab:
(g o f)(a)
A =? B
g
f
a
b
1
2
3
C
p
q
f(a) = 1 dan g(1) = q
Jadi (g o f)(a) = g(f(a)) =
g(1) q
19
(g o f)(b)
A =? B
g
f
a
b
1
2
3
C
p
q
f(b) = 3 dan g(3) = p
Jadi (g o f) = g(f(b)) = g(3)
=p
20
contoh 2
Ditentukan g(f(x)) = f(g(x)).
Jika f(x) = 2x + p dan
g(x) = 3x + 120
maka nilai p = … .
21
Jawab:
f(x) = 2x + p dan g(x) = 3x + 120
g(f(x)) = f(g(x))
g(2x+ p) = f(3x + 120)
3(2x + p) + 120 = 2(3x +
120) + p
6x + 3p + 120 = 6x + 360 +
p
3p – p = 360 – 120
2p = 240 p = 120
22
Sifat Komposisi Fungsi
1.Tidak komutatif:
fog≠gof
2. Bersifat assosiatif:
f o (g o h) = (f o g) o h = f
ogoh
3. Memiliki fungsi identitas:
I(x) = x
foI=Iof=f
23
Invers Fungsi
f(f-1(x)) = f-1(f(x)) = x
Contoh :
f(x) = 5x maka f-1(x) = x/5
f(x) = 2x + 1, tentukan f-1(x)
g(x) = (x-1)/2, tentukan g-1(x)
Matematika 1 - bangrs
24
Fungsi Kontinyu & Kontinyu sebagian-sebagian
Matematika 1 - bangrs
25
Fungsi Periodik
Matematika 1 - bangrs
26
Soal-soal
Matematika 1 - bangrs
27
FUNGSI-FUNGSI
TRIGONOMETRI
Matematika 1 - bangrs
28
Derajat dan Radian
Matematika 1 - bangrs
29
LIMIT & KEKONTINUAN
Matematika 1 - bangrs
30
Pemanasan
3x 2x 1
Jika f ( x ) 2
x 3x 2
2
Tentukan :
( A ) xlim
f (x)
3
(B ) xlim
f ( x)
1
(C) lim
f ( x)
x 2
Matematika 1 - bangrs
31
Definisi
f(x) dikatakan mempunyai limit L untuk
x x0, bila setiap bilangan positif h yang
diberikan, dapat ditunjukkan bilangan positif
sedemikian hingga untuk semua harga x yang
memenuhi 0 < |x – x0| < berlaku
|f(x) – L| < h.
Pernyataan 0 < |x – x0| < berarti untuk
semua x yang memenuhi x0 – < x < x0 +
Matematika 1 - bangrs
32
Ilustrasi
Matematika 1 - bangrs
33
Matematika 1 - bangrs
34
Contoh
Matematika 1 - bangrs
35
Kontinuitas
Matematika 1 - bangrs
36
Kontinuitas
Fungsi f(x) adalah kontinu di titik x = x 0 jika
limit kiri dan limit kanan dari f(x) adalah sama.
Fungsi f(x) adalah kontinu di titik x = x 0, bila
untuk setiap h > 0 dapat dicari bilangan
positif sedemikian hingga |f(x) – f(x0)| < h
untuk |x – x0| < atau x0 – < x < x0 + .
Matematika 1 - bangrs
37
Soal-soal
Matematika 1 - bangrs
38
DIFERENSIAL
(Turunan)
Matematika 1 - bangrs
39
Turunan Fungsi Aljabar
Matematika 1 - bangrs
40
Secara Geometri
Matematika 1 - bangrs
41
Matematika 1 - bangrs
42
Turunan Baku
Matematika 1 - bangrs
43
Matematika 1 - bangrs
44
Fungsi dari Suatu Fungsi
Matematika 1 - bangrs
45
Matematika 1 - bangrs
46
Perkalian & Pembagian
Matematika 1 - bangrs
47
Contoh
Matematika 1 - bangrs
48
Soal-soal
Matematika 1 - bangrs
49
Bagaimana jika fungsinya lebih dari dua?
Contoh :
y = uvw
y = uv/w
y = u/vw
y = tu/vw
Dll.
di mana t, u, v, w adalah fungsi dalam x.
Solusi : memakai turunan logaritmik (natural)
Matematika 1 - bangrs
50
Contoh
Matematika 1 - bangrs
51
Soal-soal Terapan
Matematika 1 - bangrs
52
Fungsi Implisit
Jika y terdefinisi sepenuhnya oleh x maka y
disebut fungsi eksplisit dari x.
Contoh :
y = x4 – 3x2 + 1
Y = 3x2 + cos x
Kadang tidak dapat/tidak perlu y dipisah
sendiri, maka y disebut fungsi implisit dari x.
Contoh :
y = xy + sin y – 2
x2 + 2xy + 3y2 = 4
Matematika 1 - bangrs
53
Contoh :
Matematika 1 - bangrs
54
Soal-soal Campuran
Matematika 1 - bangrs
55
Titik Balik (maks/Min)
Macam-macam :
Titik maksimum
Titik minimum
Titik belok
Titik balik : turunan pertama = nol
Turunan kedua :
Negatif titik maksimum
Positif titik minimum
Nol
titik belok
Matematika 1 - bangrs
56
Ilustrasi
Matematika 1 - bangrs
57
Soal-soal
Matematika 1 - bangrs
58
Soal cerita
Matematika 1 - bangrs
59
Turunan Parsial
Misal z = f(x,y) = x2-4xy+y3
Variabel x dan y merupakan fungsi dari variabel
z
Variabel z bergantung pada variabel x dan y
Variabel z dipengaruhi oleh variabel x dan y
Bagaimana perubahan z terhadap x jika y
z
2 x 4 y
konstan?
x
z
2
4
x
3
y
Bagaimana
y perubahan z terhadap y jika x
konstan?
2 z
z
4 x 3 y 2 4
xy x y x
Bagaimana perubahan z thd y, kemudian thd x
Matematika 1 - bangrs
60
Soal-soal
w w w
2
2
3
d
w
w
d
w
Tentukan , , ,
,
,
x y z xy yx xyz
( x 2 4 xy )
w
z3
( x 2 4 xy 2 ) 3
w
z3
4 xy 2 3
(x
) (3 x 2 yz )
z
w
yz 3
2
Tentukan nilai a dan b berdasarkan
informasi data sampel berpasangan (x,y).
n
E ( y i a bx i ) 2
i 1
Matematika 1 - bangrs
61
INTEGRAL
Matematika 1 - bangrs
62
Apa beda sigma & integral?
Matematika 1 - bangrs
63
Integral Baku
Matematika 1 - bangrs
64
Contoh
1 5x
e dx 5 e c
2 sinh xdx 2 cosh x c
4 7
4 x dx 7 x c
5
x dx 5 ln x c
5x
6
x
5
5 dx ln 5 c
x
Matematika 1 - bangrs
1
2
3
2
2
x dx x dx x c
3
65
Fungsi Suatu Fungsi Linier
Matematika 1 - bangrs
66
Integral dalam bentuk
f’(x)/f(x) dan f(x)f’(x)
Matematika 1 - bangrs
67
Soal-soal
Matematika 1 - bangrs
68
Integral Parsial
Matematika 1 - bangrs
69
Contoh
Matematika 1 - bangrs
70
Soal-soal
Matematika 1 - bangrs
71
Integral Dengan Pecahan Parsial
Matematika 1 - bangrs
72
Contoh
Matematika 1 - bangrs
73
Contoh
Matematika 1 - bangrs
74
Soal-soal
Matematika 1 - bangrs
75
Integral Lipat Dua
Matematika 1 - bangrs
76
DETERMINAN
Ronny Susetyoko
Matematika 1 - bangrs
77
Definisi
Asumsikan A adalah suatu matriks bujur
sangkar, fungsi determinan, det(A)
adalah jumlah semua hasil kali dasar
bertanda dari A.
atau
Determinan ordo n ialah suatu skalar
yang terkait dengan sebuah matriks
bujur sangkar A yang berordo n.
Notasi :
det(A) atau |A| atau |aij|
Matematika 1 - bangrs
78
Contoh
Matematika 1 - bangrs
79
Minor & Kofaktor Determinan
Jika
A adalah suatu matriks bujur
sangkar, maka Minor elemen aij (Mij)
didefinisikan sebagai determinan submatriks yang masih tersisa setelah baris
ke-i dan kolom ke-j dihilangkan
Kofaktor elemen aij dinyatakan sebagai
kij = (-1)i+j Mij
Matematika 1 - bangrs
80
Menghitung Minor dan Kofaktor
Matematika 1 - bangrs
81
Beda Kofaktor & Minor
Kofaktor dan minor suatu elemen aij hanya
berbeda tanda. Jika pangkatnya genap
maka kij=mij, sebaliknya jika pangkatnya
ganjil maka kij = -mij. Lebih mudahnya
apakah kofaktor bertanda + atau – adalah
menggunakan ’papan periksa’ sebagai
berikut :
Matematika 1 - bangrs
82
Nilai Determinan
a). Aturan Sarrus (n = 3)
Nilai determinan adalah jumlah
perkalian elemen-elemen dari
sebarang baris atau kolom dengan
kofaktor-kofaktornya.
Matematika 1 - bangrs
84
Contoh :
Dari soal sebelumnya,
Ekspansi Laplace baris ke – 1 :
Coba gunakan ekspansi Laplace pada
baris-baris atau kolom-kolom yang lain,
kemudian bandingkan hasilnya!
Tips : Pilih baris atau kolom yang banyak
mengandung elemen nol.
Matematika 1 - bangrs
85
Sifat-Sifat Determinan
1. det(A) = 0 jika dalam suatu baris/kolom
semua elemennya nol
2. det(A) = det(AT)
Matematika 1 - bangrs
86
Sifat-Sifat Determinan
3). Nilai determinan menjadi k kali bila
dalam satu baris/kolom dikalikan
dengan k (suatu skalar).
Dari soal sifat 2), baris 1 dikalikan dengan
5 menjadi :
Matematika 1 - bangrs
87
Sifat-Sifat Determinan
4. det(A) = 0 jika 2 baris/kolom sebanding.
5. Nilai determinan berubah tanda jika dua
baris/kolom ditukar tempatnya
Matematika 1 - bangrs
88
Sifat-Sifat Determinan
6). Nilai determinan tidak berubah jika
baris/kolom ke – i ditambah k kali
baris/kolom ke – j.
Dari soal sifat 6), baris 1 ditambah 3 kali baris 2 :
7). Elemen sebuah baris/kolom memuat 2
buah suku maka determinan tersebut
dapat ditulis sebagai jumlah determinan.
Matematika 1 - bangrs
89
Teorema
Jika A adalah matriks segitiga n x n
(segitiga atas, segitiga bawah, atau
diagonal), maka det(A) adalah hasil kali
elemen-elemen
diagonal
utamanya,
yaitu det(A) = a11a22...ann .
Catatan
Untuk mempermudah perhitungan nilai
determinan, dapat menggunakan sifatsifat tersebut.
Matematika 1 - bangrs
90
Contoh
Matematika 1 - bangrs
91
Sifat-Sifat Lain
Jika A dan B adalah matriks bujur
sangkar dengan ukuran yang sama,
maka det(AB) = det(A) det(B).
Suatu matriks bujur sangkar ada
inversnya jika det(A) 0.
Jika A dapat diinverskan, maka :
Matematika 1 - bangrs
92
Manfaat
penyelesaian sistem persamaan linier
menghitung matriks invers
menentukan karakteristik suatu sistem
linier
Matematika 1 - bangrs
93
Penyelesaian Sistem Persamaan Linier
Matematika 1 - bangrs
94
Sistem Persamaan Linier Berbentuk Ax = x
Banyak
aplikasi
aljabar
linier
yang
membahas masalah sistem n persamaan
linier dalam n peubah yang dinyatakan
dalam bentuk :
Ax = x
{A matriks bujur sangkar, x vektor, dan suatu
skalar}
Sistem
ini
merupakan
sistem
linier
homogen tersamar, karena dapat ditulis
ulang sebagai :
Ax = x Ax – x = 0 atau dengan
menyelipkan
matriks
identitas
dan
memfaktor-kannya :
(A - I )x = 0
*)
Matematika 1 - bangrs
95
Contoh
Matematika 1 - bangrs
96
Yang Menarik?
Masalah utama yang menarik dalam sistem linier
*) adalah menentukan nilai-nilai di mana sistem
tersebut mempunyai suatu penyelesaian taktrivial. Nilai disebut suatu nilai karakteristik atau
nilai eigen dari A. Maka penyelesaian tak trivial
dari *) disebut vektor eigen dari A yang
berpadanan dengan.
Sistem (A - I )x = 0 mempunyai penyelesaian
tak trivial jika dan hanya jika :
disebut persamaan karakteristik
Catatan : eigen value, campuran bahasa Jerman &
Inggris, yang berarti nilai yang tepat atau akar
laten atau akar ciri.
Matematika 1 - bangrs
97
Soal Latihan
Matematika 1 - bangrs
98
Soal Latihan
Matematika 1 - bangrs
99
Soal Latihan
Matematika 1 - bangrs
100
MATRIKS
Matematika 1 - bangrs
101
Definisi
Himpunan
skalar dari bilangan real/
kompleks yang disusun dalam empat
persegi panjang menurut baris/kolom.
Matematika 1 - bangrs
102
Operasi Matriks
Penjumlahan (syarat : ordo sama)
Perkalian skalar dengan matriks
Perkalian matriks
(syarat : jumlah kolom matriks-1 =
jumlah baris matriks-2)
Matematika 1 - bangrs
103
Hukum-Hukum
1.
2.
3.
4.
5.
A(B + C) = AB + AC H. Distributif I
(A + B)C = AC + AB H. Distributif II
A(BC) = (AB)C
H. Asosiatif
AB BA
general
AB = 0
tidak harus A = 0 atau
B = 0 atau A & B nol.
6. Jika AB = AC
belum tentu AB = AC
atau B = C
Matematika 1 - bangrs
104
Jenis-Jenis Matriks
1. Matriks Bujur sangkar (jumlah baris = jumlah
kolom)
2. Matriks Diagonal
Matematika 1 - bangrs
105
Jenis-Jenis Matriks
Matematika 1 - bangrs
106
Jenis-Jenis Matriks
Matematika 1 - bangrs
107
Jenis-Jenis Matriks
Matematika 1 - bangrs
108
Jenis-Jenis Matriks
Matematika 1 - bangrs
109
Jenis-Jenis Matriks
Matematika 1 - bangrs
110
Jenis-Jenis Matriks Yang Lain
Matriks
Matriks
Matriks
Matriks
Matriks
dll.
Bidiagonal Atas
Bidiagonal Bawah
Tridiagonal
Hermitian
Singular
Matematika 1 - bangrs
111
Penyelesaian Sistem Persamaan Linier
Metode grafis ( maksimum 3 variabel)
Eliminasi
Subtitusi
Determinan
Eliminasi Gauss
Gauss-Jordan
Gauss-Seidel
Dll.
Matematika 1 - bangrs
112
Operasi Dasar
Operasi Dasar Persamaan
Pertukaran tempat dua persamaan
Perkalian persamaan dengan konstanta bukan nol
Penjumlahan kelipatan persamaan yang satu ke
persamaan lain
Operasi Dasar Baris
Pertukaran tempat dua baris
Perkalian baris dengan konstanta bukan nol
Penjumlahan kelipatan baris yang satu dengan yang
lain.
Juga disebut Operasi Baris Elementer (OBE)
Matematika 1 - bangrs
113
Rank (Pangkat) Matriks
Banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam
suatu matriks
Banyaknya maksimum vektor-vektor kolom
yang bebas linier dalam suatu matriks
Jika matriks bujur sangkar : ordo minor terbesar
suatu matriks yang determinannya tidak nol.
Matematika 1 - bangrs
114
Kebebasan dan ketidakbebasan linier
Bebas linier jika p baris mempunyai rank p.
Tidak bebas linier jika rank < p.
Matematika 1 - bangrs
115
Solusi Sistem Persamaan Linier
Tidak mempunyai solusi jika matriks A dan
matriks augmented A mempunyai rank yang
sama.
Solusi tunggal, jika rank-nya sama dengan
jumlah variabel ( r = n).
Jika r < n maka sistem mempunyai solusi tak
berhingga.
Jika solusi ada maka dapat diselesaikan
dengan Eliminasi Gauss.
Matematika 1 - bangrs
116
Penerapan
Soal-soal terapan H. Kirrchoff I dan II ( T.
Elektronika)
Transformasi Linier
Curve Fititing (Interpolasi & Regresi Linier)
Markov Chains
Programa Linier
Assignment (Penugasan)
Database
Analisis Komponen Utama (termasuk
Trans.Linier)
Catt. Lebih detail akan dijelaskan di mata
kuliah Aljabar Matriks.
Matematika 1 - bangrs
117
Eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss merupakan pengembangan
dari dari cara eliminasi, yaitu menghilangkan
atau mengurangi jumlah variabel sehingga
dapat diperoleh nilai dari suatu variable
bebas. Cara eliminasi ini sudah banyak
dikenal. Untuk menggunakan metode
eliminasi Gauss ini, terlebih dahulu bentuk
matrik diubah menjadi augmented matrik .
Matematika 1 - bangrs
118
Augmented Matrix
Matematika 1 - bangrs
119
Matematika 1 - bangrs
120
Matematika 1 - bangrs
121
Matematika 1 - bangrs
122
VEKTOR
Matematika 1 - bangrs
123
Matematika 1 - bangrs
124
Matematika 1 - bangrs
125
Matematika 1 - bangrs
126
Matematika 1 - bangrs
127
Matematika 1 - bangrs
128
Matematika 1 - bangrs
129
Matematika 1 - bangrs
130
BILANGAN KOMPLEKS
Matematika 1 - bangrs
131
Matematika 1 - bangrs
132
Matematika 1 - bangrs
133
Matematika 1 - bangrs
134
Matematika 1 - bangrs
135
Matematika 1 - bangrs
136
Matematika 1 - bangrs
137
Matematika 1 - bangrs
138
Matematika 1 - bangrs
139
Matematika 1 - bangrs
140
Matematika 1 - bangrs
141
Matematika 1 - bangrs
142
Ronny Susetyoko,
S.Si., M.Si.
Matematika 1 - bangrs
1
Materi
Fungsi-fungsi di bidang teknik:
bilangan dan interval, konsep dasar
fungsi, beberapa fungsi di bidang
teknik.
Fungsi Trigonometri: derajat dan
radian, perbandingan trigonometri,
fungsi sinus, cosinus dan tangent,
identitas trigonometri, pemodelan
gelombang menggunakan sin t dan
cos t, persamaan trigonometri.
Diferensial: pendekatan grafik
untuk diferensial, limit fungsi,
kekontinyuan, diferensial fungsi
aljabar, diferensial beberapa fungsil
perkalian dan pembagian, diferensial
fungsi implisit, titik optimum
(maksimum dan minimum) dari
fungsi dengan satu atau lebih
peubah bebas, diferensial parsial.
Integral: integral tak tentu, integral
parsial, integral fungsi-fungsi
1 - bangrs
trigonometri, integralMatematika
pecahan
Aljabar Matriks : definisi determinan,
notasi determinan, minor dan kofaktor,
nilai determinan, aturan Sarrus, Ekspansi
Laplace, penggunaan determinan untuk
menyelesaikan sistem persamaan linier,
sifat-sifat determinan, operasi matriks,
jenis-jenis matriks, matriks transpose,
invers matriks, penyelesaian sistem
persamaan linier, metode Eliminasi Gauss,
nilai eigen dan vector eigen, beberapa
aplikasi matriks untuk teknik elektronika.
Vektor: definisi, notasi, aljabar vector,
hokum-hukum vector, vector satuan,
komponen-komponen vector, translasi dan
rotasi vektor, dot product, cross product,
triple product.
Bilangan kompleks: bentuk-bentuk
bilangan kompleks, Teorema D'Moivre
theorem, operasi bilangan kompleks, sifatsifat bilangan kompleks, hokum-hukum
bilangan kompleks, aljabar phasor.
2
Referensi & Pembobotan Nilai
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Croft A., Robert D.& Martin H.,
2001, Engineering Mathematics :
A Foundation for Electronic,
Electrical, Communications and
Systems Engineers, Prentice Hall.
Kreyszig E., 1988, Advanced
Engineering Mathemetics, Sixth
Edition, John Willey & Sons
Purcell EI., 1984, Calculus with
Analytic Geometry, Forth Edition,
Prentice-Hall Inc.
Spiegel MR & Wospakrik HJ,1991,
Analisis Vektor, Erlangga, Jakarta.
Anton HA., 2000, Elementary
Linear Algebra, 8th Edition, John
Wiley & Sons.
Stroud, KA, Engineering
Mathematics, Fifth Edition,
Matematika 1 - bangrs
Pembobotan Nilai Akhir
UAS;
40.00%
UTS;
40.00%
Tugas;
20.00%
3
FUNGSI-FUNGSI
DI BIDANG TEKNIK
Matematika 1 - bangrs
4
Pendahuluan
Suatu fungsi f dari X ke Y adalah suatu aturan di mana setiap
anggota dari X menentukan dengan tunggal satu anggota dari Y.
X dibawa ke f(x), maka y = f(x) didalam Y dinamakan peta
(image) dari x atau dinamakan harga fungsi f di x.
Sebaliknya himpunan x di dalam X yang petanya adalah y elemen
Y dinamakan peta invers (invers image) dari y, simbol f -1(y).
Fungsi dapat digunakan untuk mendeskripsikan perubahan
kuantitas, sebagai contoh:
Variasi/karakteristik tegangan yang melaluisebuah komponen
elektronik terhadap waktu
Variasi/karakteristik posisi motor listrik terhadap waktu
Variasi/karakteristik kekuatan sinyal terhadap posisi atau waktu
Pandang Hukum Ohm : V = I R
Matematika 1 - bangrs
5
Bilangan & Interval
Bilangan dapat dikelompokkan dalam beragam kelas atau
himpunan.
Bilangan bulat (integer), Z : { …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
Bilangan natural, N: {0, 1, 2, 3, …}
Bilangan bulat positif, N + : {1, 2, 3, …}
Bilangan rasional (p/q), Q : 5/2, 45/1234,-1/7, dll.
Bilangan irrasional (tidak dpt diekspresikan dalam p/q) : p, √2,
dll.
Bilangan riil, R : 1.53, 0.00012876, dll.
Bilangan kompleks, Z : 3 + 2j, 3 + j2, 3 + 2i, dll.
Kadang-kadang kita hanya mengamati pada bagian kecil saja
atau interval tertentu dari suatu garis bilangan riil. Contoh:
interval [1, 3] 1 ≤ x ≤ 3
Interval (1, 3) 1 < x < 3
Interval [1, 3) 1 ≤ x < 3
Matematika 1 - bangrs
6
Ilustrasi Interval
Matematika 1 - bangrs
7
Konsep Dasar Fungsi
Contoh :
Diberikan f(x) = 2x +1
Tentukan f(3), f(0), f(-1), f(a), f(t), f(t+3), f(3t/2t)
Diberikan f(x) = (3-x)/(x2+1)
Tentukan f(3), f(0), f(-1), f(a), f(t), f(t+3), f(3t/2t)
Argument adalah input suatu fungsi
Contoh : y(t) = t2 + t
Tentukan y(t + 2), y(t/2), y(2-t2)
Matematika 1 - bangrs
8
Variabel Bebas dan Tak
Bebas
Variabel x dalam pasangan berurutan (x,y)
disebut variabel bebas (independent variable)
atau argumen dari f, sedangkan y dinamakan
variabel tak bebas (dependent variable).
Dalam pemakaian, domain dari variabel
disajikan dengan interval ( himpunan bagian
dari himpunan real).
Interval : buka, tutup-buka, buka-tutup, tutup.
Matematika 1 - bangrs
9
Grafik Fungsi
One to many, many to one, one to one function?
Matematika 1 - bangrs
10
Contoh
Matematika 1 - bangrs
11
Contoh
Matematika 1 - bangrs
12
Soal-soal
Matematika 1 - bangrs
13
Definisi parametrik sebuah fungsi
Kadang-kadang penting untuk
mengekspresikan koordinat x dan y dari
variabel ketiga yang disebut sebagai
parameter.
Umumnya kita menggunakan t atau q
sebagai notasi parameter
Contoh : x = t2 y = 2t , 0 ≤ t ≤ 5
Plot titik-titik (x,y)
Matematika 1 - bangrs
14
Komposisi Fungsi
Penggabungan operasi dua fungsi
secara berututan akan menghasilkan
sebuah fungsi baru. Penggabungan
tersebut disebut komposisi fungsi dan
hasilnya disebut fungsi komposisi.
Jika h(x) = 2x dan g(x) = x2 maka
y(x) = 2x2 = 2(g(x)) = h(g(x))
Jika f(t) = 2t + 3 dan g(t) = (t + 1)/2
Tentukan f(g(t)) dan g(f(t))
15
A
x
B
f
y
C
g
z
x A dipetakan oleh f ke y B
ditulis f : x → y atau y = f(x)
y B dipetakan oleh g ke z C
ditulis g : y → z atau z = g(y)
atau z = g(f(x))
16
A
x
B
f
y
C
g
z
gof
maka fungsi yang memetakan
x A ke z C
adalah komposisi fungsi f dan
g
ditulis (g o f)(x) = g(f(x))
17
contoh 1
f : A → B dan g: B → C
didefinisikan seperti pada
gambar
B
A
a
b
f
g
1
2
3
C
p
q
Tentukan (g o f)(a) dan (g o f)
(b)
18
Jawab:
(g o f)(a)
A =? B
g
f
a
b
1
2
3
C
p
q
f(a) = 1 dan g(1) = q
Jadi (g o f)(a) = g(f(a)) =
g(1) q
19
(g o f)(b)
A =? B
g
f
a
b
1
2
3
C
p
q
f(b) = 3 dan g(3) = p
Jadi (g o f) = g(f(b)) = g(3)
=p
20
contoh 2
Ditentukan g(f(x)) = f(g(x)).
Jika f(x) = 2x + p dan
g(x) = 3x + 120
maka nilai p = … .
21
Jawab:
f(x) = 2x + p dan g(x) = 3x + 120
g(f(x)) = f(g(x))
g(2x+ p) = f(3x + 120)
3(2x + p) + 120 = 2(3x +
120) + p
6x + 3p + 120 = 6x + 360 +
p
3p – p = 360 – 120
2p = 240 p = 120
22
Sifat Komposisi Fungsi
1.Tidak komutatif:
fog≠gof
2. Bersifat assosiatif:
f o (g o h) = (f o g) o h = f
ogoh
3. Memiliki fungsi identitas:
I(x) = x
foI=Iof=f
23
Invers Fungsi
f(f-1(x)) = f-1(f(x)) = x
Contoh :
f(x) = 5x maka f-1(x) = x/5
f(x) = 2x + 1, tentukan f-1(x)
g(x) = (x-1)/2, tentukan g-1(x)
Matematika 1 - bangrs
24
Fungsi Kontinyu & Kontinyu sebagian-sebagian
Matematika 1 - bangrs
25
Fungsi Periodik
Matematika 1 - bangrs
26
Soal-soal
Matematika 1 - bangrs
27
FUNGSI-FUNGSI
TRIGONOMETRI
Matematika 1 - bangrs
28
Derajat dan Radian
Matematika 1 - bangrs
29
LIMIT & KEKONTINUAN
Matematika 1 - bangrs
30
Pemanasan
3x 2x 1
Jika f ( x ) 2
x 3x 2
2
Tentukan :
( A ) xlim
f (x)
3
(B ) xlim
f ( x)
1
(C) lim
f ( x)
x 2
Matematika 1 - bangrs
31
Definisi
f(x) dikatakan mempunyai limit L untuk
x x0, bila setiap bilangan positif h yang
diberikan, dapat ditunjukkan bilangan positif
sedemikian hingga untuk semua harga x yang
memenuhi 0 < |x – x0| < berlaku
|f(x) – L| < h.
Pernyataan 0 < |x – x0| < berarti untuk
semua x yang memenuhi x0 – < x < x0 +
Matematika 1 - bangrs
32
Ilustrasi
Matematika 1 - bangrs
33
Matematika 1 - bangrs
34
Contoh
Matematika 1 - bangrs
35
Kontinuitas
Matematika 1 - bangrs
36
Kontinuitas
Fungsi f(x) adalah kontinu di titik x = x 0 jika
limit kiri dan limit kanan dari f(x) adalah sama.
Fungsi f(x) adalah kontinu di titik x = x 0, bila
untuk setiap h > 0 dapat dicari bilangan
positif sedemikian hingga |f(x) – f(x0)| < h
untuk |x – x0| < atau x0 – < x < x0 + .
Matematika 1 - bangrs
37
Soal-soal
Matematika 1 - bangrs
38
DIFERENSIAL
(Turunan)
Matematika 1 - bangrs
39
Turunan Fungsi Aljabar
Matematika 1 - bangrs
40
Secara Geometri
Matematika 1 - bangrs
41
Matematika 1 - bangrs
42
Turunan Baku
Matematika 1 - bangrs
43
Matematika 1 - bangrs
44
Fungsi dari Suatu Fungsi
Matematika 1 - bangrs
45
Matematika 1 - bangrs
46
Perkalian & Pembagian
Matematika 1 - bangrs
47
Contoh
Matematika 1 - bangrs
48
Soal-soal
Matematika 1 - bangrs
49
Bagaimana jika fungsinya lebih dari dua?
Contoh :
y = uvw
y = uv/w
y = u/vw
y = tu/vw
Dll.
di mana t, u, v, w adalah fungsi dalam x.
Solusi : memakai turunan logaritmik (natural)
Matematika 1 - bangrs
50
Contoh
Matematika 1 - bangrs
51
Soal-soal Terapan
Matematika 1 - bangrs
52
Fungsi Implisit
Jika y terdefinisi sepenuhnya oleh x maka y
disebut fungsi eksplisit dari x.
Contoh :
y = x4 – 3x2 + 1
Y = 3x2 + cos x
Kadang tidak dapat/tidak perlu y dipisah
sendiri, maka y disebut fungsi implisit dari x.
Contoh :
y = xy + sin y – 2
x2 + 2xy + 3y2 = 4
Matematika 1 - bangrs
53
Contoh :
Matematika 1 - bangrs
54
Soal-soal Campuran
Matematika 1 - bangrs
55
Titik Balik (maks/Min)
Macam-macam :
Titik maksimum
Titik minimum
Titik belok
Titik balik : turunan pertama = nol
Turunan kedua :
Negatif titik maksimum
Positif titik minimum
Nol
titik belok
Matematika 1 - bangrs
56
Ilustrasi
Matematika 1 - bangrs
57
Soal-soal
Matematika 1 - bangrs
58
Soal cerita
Matematika 1 - bangrs
59
Turunan Parsial
Misal z = f(x,y) = x2-4xy+y3
Variabel x dan y merupakan fungsi dari variabel
z
Variabel z bergantung pada variabel x dan y
Variabel z dipengaruhi oleh variabel x dan y
Bagaimana perubahan z terhadap x jika y
z
2 x 4 y
konstan?
x
z
2
4
x
3
y
Bagaimana
y perubahan z terhadap y jika x
konstan?
2 z
z
4 x 3 y 2 4
xy x y x
Bagaimana perubahan z thd y, kemudian thd x
Matematika 1 - bangrs
60
Soal-soal
w w w
2
2
3
d
w
w
d
w
Tentukan , , ,
,
,
x y z xy yx xyz
( x 2 4 xy )
w
z3
( x 2 4 xy 2 ) 3
w
z3
4 xy 2 3
(x
) (3 x 2 yz )
z
w
yz 3
2
Tentukan nilai a dan b berdasarkan
informasi data sampel berpasangan (x,y).
n
E ( y i a bx i ) 2
i 1
Matematika 1 - bangrs
61
INTEGRAL
Matematika 1 - bangrs
62
Apa beda sigma & integral?
Matematika 1 - bangrs
63
Integral Baku
Matematika 1 - bangrs
64
Contoh
1 5x
e dx 5 e c
2 sinh xdx 2 cosh x c
4 7
4 x dx 7 x c
5
x dx 5 ln x c
5x
6
x
5
5 dx ln 5 c
x
Matematika 1 - bangrs
1
2
3
2
2
x dx x dx x c
3
65
Fungsi Suatu Fungsi Linier
Matematika 1 - bangrs
66
Integral dalam bentuk
f’(x)/f(x) dan f(x)f’(x)
Matematika 1 - bangrs
67
Soal-soal
Matematika 1 - bangrs
68
Integral Parsial
Matematika 1 - bangrs
69
Contoh
Matematika 1 - bangrs
70
Soal-soal
Matematika 1 - bangrs
71
Integral Dengan Pecahan Parsial
Matematika 1 - bangrs
72
Contoh
Matematika 1 - bangrs
73
Contoh
Matematika 1 - bangrs
74
Soal-soal
Matematika 1 - bangrs
75
Integral Lipat Dua
Matematika 1 - bangrs
76
DETERMINAN
Ronny Susetyoko
Matematika 1 - bangrs
77
Definisi
Asumsikan A adalah suatu matriks bujur
sangkar, fungsi determinan, det(A)
adalah jumlah semua hasil kali dasar
bertanda dari A.
atau
Determinan ordo n ialah suatu skalar
yang terkait dengan sebuah matriks
bujur sangkar A yang berordo n.
Notasi :
det(A) atau |A| atau |aij|
Matematika 1 - bangrs
78
Contoh
Matematika 1 - bangrs
79
Minor & Kofaktor Determinan
Jika
A adalah suatu matriks bujur
sangkar, maka Minor elemen aij (Mij)
didefinisikan sebagai determinan submatriks yang masih tersisa setelah baris
ke-i dan kolom ke-j dihilangkan
Kofaktor elemen aij dinyatakan sebagai
kij = (-1)i+j Mij
Matematika 1 - bangrs
80
Menghitung Minor dan Kofaktor
Matematika 1 - bangrs
81
Beda Kofaktor & Minor
Kofaktor dan minor suatu elemen aij hanya
berbeda tanda. Jika pangkatnya genap
maka kij=mij, sebaliknya jika pangkatnya
ganjil maka kij = -mij. Lebih mudahnya
apakah kofaktor bertanda + atau – adalah
menggunakan ’papan periksa’ sebagai
berikut :
Matematika 1 - bangrs
82
Nilai Determinan
a). Aturan Sarrus (n = 3)
Nilai determinan adalah jumlah
perkalian elemen-elemen dari
sebarang baris atau kolom dengan
kofaktor-kofaktornya.
Matematika 1 - bangrs
84
Contoh :
Dari soal sebelumnya,
Ekspansi Laplace baris ke – 1 :
Coba gunakan ekspansi Laplace pada
baris-baris atau kolom-kolom yang lain,
kemudian bandingkan hasilnya!
Tips : Pilih baris atau kolom yang banyak
mengandung elemen nol.
Matematika 1 - bangrs
85
Sifat-Sifat Determinan
1. det(A) = 0 jika dalam suatu baris/kolom
semua elemennya nol
2. det(A) = det(AT)
Matematika 1 - bangrs
86
Sifat-Sifat Determinan
3). Nilai determinan menjadi k kali bila
dalam satu baris/kolom dikalikan
dengan k (suatu skalar).
Dari soal sifat 2), baris 1 dikalikan dengan
5 menjadi :
Matematika 1 - bangrs
87
Sifat-Sifat Determinan
4. det(A) = 0 jika 2 baris/kolom sebanding.
5. Nilai determinan berubah tanda jika dua
baris/kolom ditukar tempatnya
Matematika 1 - bangrs
88
Sifat-Sifat Determinan
6). Nilai determinan tidak berubah jika
baris/kolom ke – i ditambah k kali
baris/kolom ke – j.
Dari soal sifat 6), baris 1 ditambah 3 kali baris 2 :
7). Elemen sebuah baris/kolom memuat 2
buah suku maka determinan tersebut
dapat ditulis sebagai jumlah determinan.
Matematika 1 - bangrs
89
Teorema
Jika A adalah matriks segitiga n x n
(segitiga atas, segitiga bawah, atau
diagonal), maka det(A) adalah hasil kali
elemen-elemen
diagonal
utamanya,
yaitu det(A) = a11a22...ann .
Catatan
Untuk mempermudah perhitungan nilai
determinan, dapat menggunakan sifatsifat tersebut.
Matematika 1 - bangrs
90
Contoh
Matematika 1 - bangrs
91
Sifat-Sifat Lain
Jika A dan B adalah matriks bujur
sangkar dengan ukuran yang sama,
maka det(AB) = det(A) det(B).
Suatu matriks bujur sangkar ada
inversnya jika det(A) 0.
Jika A dapat diinverskan, maka :
Matematika 1 - bangrs
92
Manfaat
penyelesaian sistem persamaan linier
menghitung matriks invers
menentukan karakteristik suatu sistem
linier
Matematika 1 - bangrs
93
Penyelesaian Sistem Persamaan Linier
Matematika 1 - bangrs
94
Sistem Persamaan Linier Berbentuk Ax = x
Banyak
aplikasi
aljabar
linier
yang
membahas masalah sistem n persamaan
linier dalam n peubah yang dinyatakan
dalam bentuk :
Ax = x
{A matriks bujur sangkar, x vektor, dan suatu
skalar}
Sistem
ini
merupakan
sistem
linier
homogen tersamar, karena dapat ditulis
ulang sebagai :
Ax = x Ax – x = 0 atau dengan
menyelipkan
matriks
identitas
dan
memfaktor-kannya :
(A - I )x = 0
*)
Matematika 1 - bangrs
95
Contoh
Matematika 1 - bangrs
96
Yang Menarik?
Masalah utama yang menarik dalam sistem linier
*) adalah menentukan nilai-nilai di mana sistem
tersebut mempunyai suatu penyelesaian taktrivial. Nilai disebut suatu nilai karakteristik atau
nilai eigen dari A. Maka penyelesaian tak trivial
dari *) disebut vektor eigen dari A yang
berpadanan dengan.
Sistem (A - I )x = 0 mempunyai penyelesaian
tak trivial jika dan hanya jika :
disebut persamaan karakteristik
Catatan : eigen value, campuran bahasa Jerman &
Inggris, yang berarti nilai yang tepat atau akar
laten atau akar ciri.
Matematika 1 - bangrs
97
Soal Latihan
Matematika 1 - bangrs
98
Soal Latihan
Matematika 1 - bangrs
99
Soal Latihan
Matematika 1 - bangrs
100
MATRIKS
Matematika 1 - bangrs
101
Definisi
Himpunan
skalar dari bilangan real/
kompleks yang disusun dalam empat
persegi panjang menurut baris/kolom.
Matematika 1 - bangrs
102
Operasi Matriks
Penjumlahan (syarat : ordo sama)
Perkalian skalar dengan matriks
Perkalian matriks
(syarat : jumlah kolom matriks-1 =
jumlah baris matriks-2)
Matematika 1 - bangrs
103
Hukum-Hukum
1.
2.
3.
4.
5.
A(B + C) = AB + AC H. Distributif I
(A + B)C = AC + AB H. Distributif II
A(BC) = (AB)C
H. Asosiatif
AB BA
general
AB = 0
tidak harus A = 0 atau
B = 0 atau A & B nol.
6. Jika AB = AC
belum tentu AB = AC
atau B = C
Matematika 1 - bangrs
104
Jenis-Jenis Matriks
1. Matriks Bujur sangkar (jumlah baris = jumlah
kolom)
2. Matriks Diagonal
Matematika 1 - bangrs
105
Jenis-Jenis Matriks
Matematika 1 - bangrs
106
Jenis-Jenis Matriks
Matematika 1 - bangrs
107
Jenis-Jenis Matriks
Matematika 1 - bangrs
108
Jenis-Jenis Matriks
Matematika 1 - bangrs
109
Jenis-Jenis Matriks
Matematika 1 - bangrs
110
Jenis-Jenis Matriks Yang Lain
Matriks
Matriks
Matriks
Matriks
Matriks
dll.
Bidiagonal Atas
Bidiagonal Bawah
Tridiagonal
Hermitian
Singular
Matematika 1 - bangrs
111
Penyelesaian Sistem Persamaan Linier
Metode grafis ( maksimum 3 variabel)
Eliminasi
Subtitusi
Determinan
Eliminasi Gauss
Gauss-Jordan
Gauss-Seidel
Dll.
Matematika 1 - bangrs
112
Operasi Dasar
Operasi Dasar Persamaan
Pertukaran tempat dua persamaan
Perkalian persamaan dengan konstanta bukan nol
Penjumlahan kelipatan persamaan yang satu ke
persamaan lain
Operasi Dasar Baris
Pertukaran tempat dua baris
Perkalian baris dengan konstanta bukan nol
Penjumlahan kelipatan baris yang satu dengan yang
lain.
Juga disebut Operasi Baris Elementer (OBE)
Matematika 1 - bangrs
113
Rank (Pangkat) Matriks
Banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam
suatu matriks
Banyaknya maksimum vektor-vektor kolom
yang bebas linier dalam suatu matriks
Jika matriks bujur sangkar : ordo minor terbesar
suatu matriks yang determinannya tidak nol.
Matematika 1 - bangrs
114
Kebebasan dan ketidakbebasan linier
Bebas linier jika p baris mempunyai rank p.
Tidak bebas linier jika rank < p.
Matematika 1 - bangrs
115
Solusi Sistem Persamaan Linier
Tidak mempunyai solusi jika matriks A dan
matriks augmented A mempunyai rank yang
sama.
Solusi tunggal, jika rank-nya sama dengan
jumlah variabel ( r = n).
Jika r < n maka sistem mempunyai solusi tak
berhingga.
Jika solusi ada maka dapat diselesaikan
dengan Eliminasi Gauss.
Matematika 1 - bangrs
116
Penerapan
Soal-soal terapan H. Kirrchoff I dan II ( T.
Elektronika)
Transformasi Linier
Curve Fititing (Interpolasi & Regresi Linier)
Markov Chains
Programa Linier
Assignment (Penugasan)
Database
Analisis Komponen Utama (termasuk
Trans.Linier)
Catt. Lebih detail akan dijelaskan di mata
kuliah Aljabar Matriks.
Matematika 1 - bangrs
117
Eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss merupakan pengembangan
dari dari cara eliminasi, yaitu menghilangkan
atau mengurangi jumlah variabel sehingga
dapat diperoleh nilai dari suatu variable
bebas. Cara eliminasi ini sudah banyak
dikenal. Untuk menggunakan metode
eliminasi Gauss ini, terlebih dahulu bentuk
matrik diubah menjadi augmented matrik .
Matematika 1 - bangrs
118
Augmented Matrix
Matematika 1 - bangrs
119
Matematika 1 - bangrs
120
Matematika 1 - bangrs
121
Matematika 1 - bangrs
122
VEKTOR
Matematika 1 - bangrs
123
Matematika 1 - bangrs
124
Matematika 1 - bangrs
125
Matematika 1 - bangrs
126
Matematika 1 - bangrs
127
Matematika 1 - bangrs
128
Matematika 1 - bangrs
129
Matematika 1 - bangrs
130
BILANGAN KOMPLEKS
Matematika 1 - bangrs
131
Matematika 1 - bangrs
132
Matematika 1 - bangrs
133
Matematika 1 - bangrs
134
Matematika 1 - bangrs
135
Matematika 1 - bangrs
136
Matematika 1 - bangrs
137
Matematika 1 - bangrs
138
Matematika 1 - bangrs
139
Matematika 1 - bangrs
140
Matematika 1 - bangrs
141
Matematika 1 - bangrs
142