REGRESI DAN KORELASI LINEAR GANDA

  REGRESI DAN KORELASI LINEAR GANDA

  Analisis regresi linear ganda bertujuan untuk mencari bentuk hubungan linear antara satu variabel terikat Y dan k variabel bebas X

  1 , X

2 , X

3 , ..., X k .

  Menentukan persamaan regresi linear ganda

   Persamaan regresi Y pada X

  X

  1

  1

  2

  1 dan X 2 adalah Y  b  b X  b

  2 Dengan metode kuadrat terkecil, koefisien b , b , dan b dapat dicari dari 3 persamaan

  1

  2 dengan 3 variabel berikut:

  n b  b ₁ X  b _{1 2} X  Y ₂    ₂ b X b X b

  X X

  X Y ₁    _{1 1 2 1 2 1}     ₂ b X  b _{2 1} X ₁ X  b _{2 2} X  ₂ X Y ₂

     

  , , dan Konstanta b b b dapat dicari dengan metode substitusi dan eliminasi, dengan invers

  1

  2 matriks, atau dengan cara lain.

  Selain cara di atas, b , b , dan b dapat dicari dengan:

  1

  2

  2

  x x y x x x y      

   

  2

  1

  1

  2

  2

      b

  

  1

  2

  2

  2

  x x  x x  

  

  1  2 

  1

  2

    

  2

  x x y x x x y

  

        

  1

  2

  1

  2

  1

      b 

  2

  2

  2

  2

  x x x x

    

  

  1  2 

  1

  2

     b Y b

  X

  1 b

  X

  2   

  1

  2

  dengan : ₂ X _{2 2}    x  X 

    n

  X X    _{1 2}

    x x  _{1 2} X ₁ X  ₂

    n

  Contoh: Y 5 6 8 7 5 6 5 8 6 5 6 6

  1 X 4 6 8 6 5 5 4 7 6 4 6 7

  2 X 7 5 7 7 4 5 5 8 6 5 5 5 Carilah persamaan regresi linear ganda dari data di atas.

  Penyelesaian: Dari data diperoleh: _{2 2 2} Y

  73 ,

  X 68 ,

  X 69 , Y 457 , X 404 , X 413       _{1 2 1 2}

       

  X X 398 ,

  X Y 427 ,

  X Y 430 _{1 2}    _{1 2}   

  Cara 1:

  12 b  68 b  ₁ 69 b  ₂ 73 .......... .......... ( 1 ) 68 b  404 b  398 b  427 .......... .......... ( _{1 2} 2 ) 69 b  398 b  413 b  430 .......... .......... ( _{1 2} 3 ) ( 3 )  ( 2 ) : b  6 b  15 b  3 .......... .......... ( 4 )

  1

  2

  ( 4 )  12 : 12 b  72 b  180 b  _{1 2}

  36 ( 1 ) : 12 b  68 b  ₁ 69 b  ₂ 73 

   140 b  111 b   _{1 2} 37 .......... .......... ( 5 ) ( 2 )  3 : 204 b  1212 b  1194 b  1281 _{1 2}

  ( 1 ) 17 : 204 b 1156 b 1173 b 1241      _{1 2} 56 b  ₁ 21 b  ₂ 40 .......... .......... ( 6 )

  ( 5 ) :  140 b  111 b   _{1 2}

  37 ( 6 )  2 , 5 : 140 b  ₁ 52 , 5 b  100  ₂ 163 ,

  5 b  ₂

  63 , 385 b  ₂ b  , ₁

  57 b  , 639

   Jadi persamaan regresinya adalah Y  , 639  ,

  57 X  , 385

  X

  1

  2 Cara 2 : Dari besaran-besaran yang telah dicari di atas, diperoleh:

  X ₁ X Y ₂

  68

  69

  73 ₁    ₂ X    5 , 667 ;

  X   

  5 , 75 ; Y    6 , 083

  n

  12 n _{2 2} 12 n

  12 X _{2 2  }

   ^{1 }

  68

   x  ₁ X   404   404  385 , 333  ₁

  18 , 667

    n ₂

  12 ₂ X _{2 2}

   ^{2   }

  69

   x  ₂ X   413   413  396 , ₂ 75  16 ,

  25

    n

  12 X

  X  ^{1  2 }

    

  68

  69

    x x  _{1 2} X ₁ X   398   398  391  ₂

  7

    n

  12 X Y

   ^{1     }

  68

  73

    x y  ₁ X Y   427   427  413 , 667  ₁

  13 , 333

    n

  12 X Y

   ^{2  }

  

  69

  73

    x y  ₂ X Y   430   430  419 , ₂

  75  10 ,

  25

    ₂ n

  12

  x x y  x x x y  ^{2   1   1 2  2  }

  16 , 25  13 , 333    

  7 10 , 25  144 , 91125

      b     , _{1 2 2 2 2}

  57 18 , 667 16 ,

  25 7 254 , 33875

      x x  x x

   ^{1  2   1 2 }    ₂ x x y  x x x y _{1  2   1 2  1 }

    

  18 , 667  10 , 25    

  7 13 , 333  98 , 00575

     

b     , 385

_{2 2 2 2 2}

  



  18 , 667  16 , 25   7 254 , 33875

  x x  x x _{1 2  1 2 }   

     _{1 2} b  Y  b ₁ X  b ₂ X  6 , 083   , 57  5 , 667    , 385  5 , 75   , 639

  

  Y  , 639  ,

  57 X  , 385

  X Jadi persamaan regresinya adalah

  1

  2

  Uji keberartian regresi linear ganda

  Hipotesis H : hubungan linear ganda antara X

  1 dan X 2 dengan Y tidak berarti

  H

  1 : hubungan linear ganda antara X 1 dan X 2 dengan Y berarti

  Komputasi: ₂ Y _{2 }  

  JKT  Y   n JKR  b x y  b x y  b x y   b x y _{1 1 2 2 3 3}

... k k

      JKG JKT JKR

   

  Derajat kebebasan : dkR = k dkG = n

• – k – 1 dkT = n
• – 1

  JKR

  Rerata kuadrat: RKR 

  dkR JKG RKG  dkG

  RKR

  Statistik uji: F 

  RKG F }

  Daerah kritik: DK = {FǀF > ; k , n ¹  k 

  Tabel Rangkuman analisis

  obs

  Sumber JK dk RK F F

  α

  Regresi JKR k RKR

  RKR F

   ; k , n ¹ k 

  F 

  (R)

  RKG

  JKG n – k – 1 RKG

  Galat Total JKT n - - -

• – 1

  Uji signifikansi koefisien korelasi

  2 Koefisien determinasi ganda Y pada X

  1 , X

2 , X

3 , ..., X k disajikan dengan R , _{y k} . 123 ...

  didefinisikan sebagai berikut: ₂ JKR R  _{y . 123 ... k} JKT _{2 2 2}

  r  r  _{y 1 y 2 y} 2 r r r _{1 y 2 12} Untuk k  2, R  _{y . 12 2} 1  r ₁₂ Koefisien korelasi ganda Y pada X 1 , X 2 , X 3 , ..., X k disajikan dengan R , didefinisikan _{y k . 123 ...}

  sebagai berikut: _{2 2} R  R , dengan  R  _{y . 123 ... k y . 123 ... k y . 123 ... k y . 123 ... k} 1 dan  R 

  1 Uji signifikansi koefisien korelasi linear ganda

  1

  2 Hipotesis H : ρ = 0 (tidak terdapat korelasi ganda antara X dan X dengan Y)

  H

  1 1 dan X 2 dengan Y)

  : ρ > 0 (terdapat korelasi ganda antara X ₂ R

  2

  2

  k

  Statistik uji : F , dengan R  R

   _{2 . 123 ... y k} 1  R   n  k 

  1 F }

  Daerah kritik : {F ǀ F >  ; k , n ¹

  k 

  Contoh: Dari soal di atas, carilah koefisien korelasi ganda. Penyelesaian:

  b x y  b x y ₂ JKR ^{1 1 2 2  ,}

  57  13 , 333    , 385  10 , 25  11 , 546

   

  , 894

  R      _{y . 12 2 2} JKT

  12 , 917

   

  73 Y ₂    457 

  Y  

  12 ₂ n R  R  , 894  , 946 _{y . 12 y . 12} Sumbangan prediktor Ada dua jenis sumbangan prediktor (variabel bebas), yaitu sumbangan efektif dan sumbangan relatif.

  Sumbangan efektif disajikan dengan SE, sumbangan relatif disajikan dengan SR, dan didefinisikan sebagai berikut:

   SE(j)   r j yj

  SE(j) SR(j) 

2 R

  dengan j 1,2,3,..., k dan R R   y . 12 ... k

  Mengingat:

  r r r r r r   y y y y

  

  1

  2 12 

  2

  1

  12  

   dan 

  1

  2

  2

  2 1  r 1  r

  12

  12 maka SE(1) dan SE(2) dapat dinyatakan dalam formula berikut : r  r r r  r r y y y y

  1

  2

  12

  2

  1

  12 SE(1) r dan SE(2) r   y y

  1

  2

  2

  2 1 r 1 r  

  12

  12 Koefisien korelasi parsial

  Walaupun peneliti mempunyai beberapa variabel bebas, namun terkadang peneliti ingin melihat korelasi antara salah satu variabel bebas dengan variabel terikatnya dengan membuat variabel bebas yang lainnya tetap. Koefisien korelasi yang diperoleh disebut koefisien korelasi parsial. Pada contoh di atas terdapat 2 variabel bebas yaitu X

  1 dan X 2 dan satu veariabel terikat Y,

  maka terdapat koefisien korelasi parsial r dan r . Lambang r diartikan sebagai _{y 1 . 2 y 2 . 1 y 1 . 2}

  1

  2

  koefisien korelasi antara X dan Y, dengan menganggap X tetap. Sedangkan r diartikan _{y 2 . 1}

  2

  1 sebagai koefisien korelasi antara X dan Y, dengan menganggap X tetap.

  Pada korelasi ganda dengan dua variabel bebas X

  1 dan X 2 dengan Y, koefisien korelasi

  parsial r dan r didefinisikan sebagai berikut: _{y 1 . 2 y 2 . 1}

  r  r r _{y y}

  1

  2

  12

  r  _y 1 .

  2

  2

  2 1  r 1  r

     _y

  2

  12

  r  r r _{y y}

  2

  1

  12

  r  _y 2 .

  1

  2

  2 1  r 1  r

   y  

  1

  12

  Uji signifikansi koefisien korelasi parsial

  Uji signifikansi (keberartian) korelasi parsial adalah sebagai berikut: Hipotesis untuk korelasi antara X

  1 dengn Y

  H : tidak terdapat korelasi positif antara X

  1 dengan Y

  1

1 H : terdapat korelasi positif antara X dengan Y

  untuk korelasi antara X

  2 dengn Y

  H : tidak terdapat korelasi positif antara X

  2 dengan Y

  H

  1 : terdapat korelasi positif antara X 2 dengan Y

  Untuk r statistik ujinya adalah: _{y 1 . 2}

  r n

  3 _{y 1 . 2} 

  t  ~ t _{2 ( n  3 )}

  1  r _{y 1 . 2} Untuk r statistik ujinya adalah: _{y 2 . 1}

  r n  _{y 2 . 1}

  3

  t

   ~ t _{( n 3 ) 2}  1  r _{y 2 . 1}

  t }

    Contoh: Carilah r dan r dari contoh di atas, dan ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa _{y 1 . 2 y 2 . 1} koefisien korelasi tersebut positif. Nilai statistika matematika (Y), statistika dasar (X

  1 ), dan probabilitas (X 2 ) dari 12 anak

  adalah sebagai berikut: No

  1

  2

  3

  4

  5

  6

  7

  8

  9

  10

  11

  12 Stat-mat

  7

  6

  9

  7

  6

  7

  7

  6

  8

  9

  7

  6

  (Y) Stat-das

  6

  5

  8

  7

  5

  7

  8

  6

  7

  9

  7

  5

  1

  (X ) Probabilitas

  6

  6

  9

  7

  6

  6

  6

  5

  8

  8

  6

  8

  2

  (X )

  Dengan α=5%,

  1

  2 a. dan X . Carilah persamaan regresi Y pada X b. Ujilah keberartian regresinya.

  c. 1 dan Y, koefisien korelasi antara X 2 dan Y, Carilah koefisien korelasi antara X 1 2 , koefisien korelasi antara antara X dan X dan koefisien korelasi linear gandanya.

  d. Ujilah hipotesis yang menyatakan terdapat korelasi antara nilai-nilai statistika dasar dan probabilitas dengan nilai-nilai statistika matematika.

  1

  Carilah sumbangan efektif dan sumbangan relatif dari X terjadinya regresi linear.

  2 e. dan X terhadap

   dan , dan ujilah hipotesis yang

  f. r r Carilah koefisien korelasi parsial y ^{1 . 2 y 2 . 1} menyatakan bahwa koefisien-koefisien korelasi parsial tersebut positif. Penyelesaian:

  Y

  2

  25

  64

  40

  

30

  48

  85

  80 81 615 552 563 547 580 584 a.

  1 385 ,

  8

  , 684 57 ,

  X X Y   

  

  b. Hipotesis: H : hubungan linear ganda antara nilai statistika dasar dan nilai probabilitas dengan nilai statistika matematika tidak berarti.

  H

  1

  : hubungan linear ganda antara nilai statistika dasar dan nilai probabilitas dengan nilai statistika matematika berarti.

  36

  5

  α

  72

  9

  8

  81

  81

  64

  72

  

81

  7

  6

  7

  6

  49

  49

  36

  42

  

49

  42

  Sumber JK dk RK F obs F

  Keputusan uji Kesimpulan

  64

  1 )(∑

  2 )( ∑

  2 − (∑ )

  2 ) = 0,707

  1

  2 = ∑

  1

  2 − (∑

  2 ) √( ∑

  2 − (∑

  1

  2 − (∑

  1 )

  2 )( ∑

  2

  2 − (∑

  2 )

  2 )

  2

  Regresi (R) Galat

  1 − (∑

  11,547 1,37

  2

  9 5,773 0,152

  37,929 4,26 H ditolak

  Hubungan linear ganda antara nilai statistika dasar dan nilai probabilitas dengan nilai statistika matematika berarti

  Total 12,917 11 - c.

  1 = ∑

  1 )(∑ ) √( ∑

  2 )(∑ ) √( ∑

  1

  2 − (∑

  1 )

  2 )( ∑

  2 − (∑ )

  2 ) = 0,859

  2 = ∑

  2 − (∑

  9

  

56

  X ₁ X ₂ Y ² X ₁ ² X ₂ ² X ₁ X ₂ X

₁

Y

  7

  9

  81

  64

  81

  72

  

72

  81

  7

  9

  7

  49

  49

  49

  49

  

49

  49

  8

  36

  5

  36

  X ₂ Y

  7

  6

  6

  49

  36

  36

  

42

  

30

  42

  6

  5

  6

  36

  25

  36

  30

  6

  6

  56

  25

  

56

  42

  6

  6

  5

  36

  36

  30

  36

  

36

  30

  8

  7

  8

  64

  49

  64

  48

  64

  36

  6

  25

  36

  30

  

30

  36

  7

  7

  49

  49

  49

  36

  42

  

49

  42

  7

  8

  6

  

2

)

= 0,402

2 JKR R y .

  ₁₂   , 894 JKT _{2 2} r  r  r r r _{2 y 1 y 2 y}

  2 _{1 y 2 12} R atau,   , 894 _{y . 12 2}  r ₂

  1 ₁₂ R  R  , 894  , 945 _{y . 12}

  d. H : ρ = 0 (tidak terdapat korelasi ganda antara nilai statistika dasar dan nilai probabilitas dengan nilai statistika matematika

  H

  1

  : ρ > 0 (terdapat korelasi ganda antara nilai statistika dasar dan nilai probabilitas dengan nilai statistika matematika) ₂ R

  k

  Statistik uji : F   ₂ 37 , 929 1  R

    n k

  1   F 

  4 , 26 } Daerah kritik : {F ǀ F > ; k , n ¹

   k  Keputusan uji : H ditolak Kesimpulan : terdapat korelasi ganda antara nilai statistika dasar dan nilai probabilitas dengan nilai statistika matematika.