BAB 4 Usaha dan Momentum1

USAHA DAN ENERGI

SUB POKOK BAHASAN

   Pengertian Usaha

  

Usaha oleh gaya dalam berbagai

lintasan

   Daya

   Teorema Usaha Energi

   Hukum Kekekalan Energi Mekanik Sasaran Pembelajaran 

  Mahasiswa mampu menghitung usaha oleh berbagai gaya melalui berbagai lintasan.

   Mahasiswa mampu mencari kecepatan sebuah sistem menggunakan Hukum Kekekalan Energi Mekanik maupun Teorema Usaha Energi.

   Syarat Kelulusan : 75%

USAHA DAN ENERGI

   Usaha dalam pengertian di Fisika sebanding dengan gaya dan perpindahan

  

 Usaha yang dilakukan makin besar jika gaya yang bekerja

pada benda juga besar  Jika gaya yang bekerja pada benda besar namun benda belum bergerak maka tidak ada usaha

   Energi didefinisikan sebagai kemampuan untuk melakukan usaha Beberapa contoh energi

   Energi yang dimiliki oleh benda yang bergerak dinamakan energi kinetik  Energi yang ada karena letak atau konfigurasi sistem dinamakan energi potensial

  Contoh mobil yang bergerak akan memiliki energi kinetik

  Usaha

 Usaha disimbolkan dengan lambang W memiliki satuan Interna-

  sional Joule [J]

   Jika gaya (F) konstan dan berimpit F dengan perpindahan ( benda maka

  r) B A

  W _AB = F(r)

   Jika gaya (F) konstan dan tidak berimpit F dengan perpindahan ( benda maka

  r) 

    W F . r F ( r ) cos

      

  B A

   Secara umum jika gaya tidak konstan

  F

  dan/atau lintasan tidak membentuk

  B

  garis lurus maka _B

    A W F . d r . _AB 

  

  Contoh  ˆ

  Gaya bekerja pada sebuah partikel. Dengan gaya F y i

  2 x j N  ˆ   

  tersebut partikel berpindah dari titik A(0,0) ke titik B(2,4). Hitung usaha yang dilakukan gaya tersebut jika lintasan partikel a dalah

  y(m)

  a. Garis patah ACB B D

  b. Garis patah ADB

  c. Garis lurus AB

  d. Garis parabola

  Usaha yang dilakukan gaya tsb dari A ke B adalah _B

  ˆ ˆ ˆ ˆ A C x(m)

  W y i 2 x j . i dx j dy _AB      

   _{A B} W ydx 2 xdy _AB  

    a. Melalui lintasan ACB _{C B}

  W W W ydx 2 xdy ydx 2 xdy _{AB AC CB}           _{( 2 , ) (}   _{A C 2 , 4 )}

  W ydx 2 xdy ydx 2 xdy _{AB    }     _{( , ) (}   _{2 , )} Untuk lintasan AC hanya koordinat x yang berubah sementara

y tetap, yaitu y=0 (dy=0), Sedangkan untuk lintasan CB koordinat x

tetap, yaitu x=2 (dx=0) dan koordinat y berubah. _{( 2 , 4 ) 4} W 2 xdy 4 dy

  16 J _AB    _{( 2 , )}   b. Melalui lintasan ADB

      W xdy ydx xdy ydx W W ^B _D ^D _{A DB AD AB}

  2

  2      

       

  W xdy ydx xdy ydx _AB

  2

  ⁾ 2 ^{) 4 , 2 (} _{) ( 4 ,} ^{( 4 ,} _{) , (}    

    Untuk lintasan AD hanya koordinat y yang berubah sementara

x tetap, yaitu x=0 (dx=0), Sedangkan untuk lintasan DB koordinat y

tetap, yaitu y=4 (dy=0) dan koordinat x berubah.

  J dy ydx W _AB

  8

  4 ₎ ^{2 ) 4 , 2 (} _{( 4 ,}      c. Melalui lintasan garis lurus AB

  Persamaan garis lurus AB adalah dx dy x y

  2

  2       

  W xdy ydx xdy ydx ^B _{A AB}

  2

  2 ^{) 4 , 2 (} _{) , (}      

     

     ^{2 2}

  6

  _AB 4 W 2 xdx xdx xdx

  Usaha yang dilakukan melalui garis lurus AB adalah

Ganti variabel y dan dy sesuai dengan persamaan garis AB

sehingga

  J W _AB

  12  c. Melalui lintasan garis parabola AB

  Persamaan garis parabola AB adalah xdx dy x y

  2 ²    Usaha yang dilakukan melalui garis lurus AB adalah

      W xdy ydx xdy ydx ^B _{A AB}

  2

  2 ^{) 4 , 2 (} _{) , (}      

  

Ganti variabel y dan dy sesuai dengan persamaan garis para-

bola AB sehingga  

     ^{2 2 2 2 2}

  _AB 5 W 4 dx x dx x x J W _AB

  3 /

  40 

  Usaha Gaya Konservatif dan Non Konservatif  Gaya Konservatif (F ) adalah gaya yang usahanya tidak ber- _k gantung pada lintasan tempuh

   Gaya Non Konservatif (F ) adalah gaya yang usahanya ber- _nk gantung pada lintasan tempuh  ˆ

  Gaya pada contoh di atas termasuk gaya non F y i

  2 x j N  ˆ   

  konservatif karena usaha yang dilakukan gaya ini dari A ke B melalui tiap lintasan berbeda-beda nilainya

  

 Untuk Gaya Non Konservatif (F ), usaha yang dilakukan gaya

_nk ini pada suatu lintasan tertutup tidak nol, _{B A B B}          

  W F . d r F . d r F . d r F . d r F . d r       _{nk nk nk nk nk}

  C ₁      _{C C C C A B A A 1 2 1 2} A B C ₂

  Usaha Gaya Konservatif dan Non Konservatif (2) Gaya gesekan juga termasuk gaya non konservatif karena gaya gesekan

adalah gaya disipasif yang usahanya selalu negatif (gaya gesekan arahnya

selalu melawan perpindahan) sehingga usaha yang dilakukan gaya gesekan

pada suatu lintasan tertutup tidak akan pernah nol

  Contoh gaya konservatif adalah gaya gravitasi, gaya pegas, dan gaya Listrik. Ketiga gaya ini usahanya tidak bergantung lintasan.

  Gaya adalah contoh lain gaya konservatif, karena gaya ini tidak bergantung pada lintasan tempuh. Coba kita masukkan gaya ini pada contoh sebelumnya.

    N j x i y F

  ˆ ˆ   

      

       ^B _A ^B _{A AB} W xdy ydx dy j dx i j x i y

  ˆ ˆ . ˆ

  2 ˆ  

      ^{) 4 , 2 (} _{) , (} ^{) 4 , 2 (} _{) , (} ( 8 ) J xy d xdy ydx W _AB

  Daya  Daya menyatakan seberapa cepat usaha berubah terhadap

  waktu atau didefinisikan sebagai laju usaha yang dilakukan per detik  Contoh :

   Daya disimbolkan dengan P memiliki satuan Joule/detik atau Watt F v dt

  F r d dt dW P

   

    .

  .

    

  

dengan F adalah gaya yang bekerja dan v adalah kecepatan benda

Sebuah pompa air tertulis 100 Watt artinya dalam satu detik pompa

tersebut memiliki usaha 100 J. Jika dibutuhkan usaha10 KJoule untuk

memompa 100 liter air dari kedalaman 10 m maka pompa tersebut

dapat memompa 100 liter dalam waktu100 detik.

  Energi Kinetik

   Energi kinetik adalah energi yang dimiliki oleh setiap benda yang bergerak

   Energi kinetik sebanding dengan massa benda dan sebanding juga dengan kuadrat laju benda

   Jika suatu gaya F bekerja pada benda bermassa m maka usaha yang dilakukan gaya tsb dari A ke B adalah _{B B}

     d v

  

W F . d r m . dr Ingat Hk. Newton F=ma

_AB   

   _{A B A} dt

    _{1 2 1 2}

  md v . v mv mv Ek Ek

       _{2 B A B A 2}

   _A dengan Ek adalah energi kinetik di B dan Ek energi kinetik di A _{B A}

   Dari persamaan terakhir disimpulkan :

  Usaha = Perubahan Energi Kinetik

  Contoh

Sebuah benda bermassa 2 kg dilepaskan dari ketinggian 5 m. Berapa

usaha yang dilakukan gaya gravitasi dan berapa laju benda setelah sampai di tanah?

   Usaha gaya gravitasi

B

A

  W W mgdy mgh 100 J    

  AB grav



  

A

mg

   Mencari kecepatan di tanah (B) h

  

2

  2

  1

  2

  2 AB B A

  1 W mv mv  

  2

  1 B mgh mv

  

  2 B v 10 / m s

   B

  Pembahasan Usaha dari Grafik

 Jika gaya yang bekerja pada benda adalah satu dimensi, dan

gaya tersebut dinyatakan dalam bentuk kurva atau grafik maka usaha adalah luas daerah di bawah kurva _B

  F(x)

  W F ( x ) dx _AB   _A

  = luas daerah arsir

  x A B

F(N)

  Contoh

  8 Gaya yang bekerja pada benda 2kg digambarkan dalam grafik di samping.

  Jika kecepatan awal benda 2 m/s, berapa kecepatannya di x = 6 m?

  4

  6

  2 X(m)

   Usaha = luas daerah di bawah kurva W m _AB

  32

  8

  16

  8    

   Usaha = perubahan energi kinetik W s m v v mv mv _AB

  / 6 ) ) 2 ( 2 )(

  2 (

  32 ² ₂ ^{1 2}

₂

¹

² ₂ ^{1 2} ₂ ¹

      

  Contoh 2 Balok 2 kg meluncur ke kanan dengan laju 10 m/s pada lantai kasar dengan μ _k seperti grafik di samping x(m) μ _k

  4

  10 0,5

  Tentukan :

   Usaha yang dilakukan oleh gaya gesekan dari x=0 sampai x=10 m  Kecepatan balok saat sampai pada titik x=10 m

   Besar gaya gesekan adalah _{k k k k} N mg f

    

  20    Usaha yang dilakukan gaya gesekan adalah

  J kurva daerah luas x W dx dx f ^x _{x k} ^x _{x k ges} 80 )

  3 1 ( ( 20 )

  20

  20 ^{10 10}           

    ^ _ ^ _ 

   Usaha=perubahan energi kinetik

  2 _{2 1} ² _{2 1} ^{2 2 1 2 2 1}

  ) 10 )( ) 2 ( 2 (

  80   

   

  v W mv mv _ges / s m v

  20 

  (tanda minus pada usaha yang dilakukan gaya gesekan disebabkan Karena gaya gesekan berlawanan arah dengan perpindahan balok) Ada gesekan menyebabkan kecepatan balok menjadi ber- kurang (perlambatan)

  Energi Potensial

   Jika gaya yang bekerja pada benda adalah gaya konservatif maka usaha yang dilakukan gaya ini tidak bergantung pada lintasan tempuh, usahanya hanya bergantung pada titik awal dan titik akhir saja (usahanya hanya bergantung pada posisi)

   Oleh karena itu dapat didefinisikan besaran U yang merupakan

  fungsi dari posisi  

  ) ( ) ( . A U B U r d F W ^B _{A AB k}     

  

   

  dengan U(B) adalah energi potensial di titik B dan U(A) adalah energi potensial di titik A

   Biasanya dalam pendefinisian energi potensial digunakan titik acuan, yaitu suatu titik yang diketahui energi potensialnya.

  Energi Potensial (2)  Misalnya dalam kasus di atas diambil titik A sebagai acuan, di mana U(A)=0 maka

    ) ( ) ( ) ( .

  B U A U B U r d F W ^B _{Acuan AB k}

        

  

   

   Dengan kata lain, untuk sembarang posisi r, energi potensial di posisi r tersebut adalah

     r Acuan k

  F r d r U  

  . ) ( Jadi energi potensial di titik r adalah usaha untuk melawan gaya Konservatif yang bekerja pada benda agar benda berpindah dari

  Titik acuan ke titik r tersebut

  Contoh

 Energi potensial benda bermassa m yang terletak pada keting-

gian h :

  U mgh dy j j mg h h

      

  ˆ ). ˆ ( ) (

  Titik acuan diambil di permukaan h=0 dengan energi potensial sama dengan nol

   Energi potensial benda bermassa m yang terletak pada sistem pegas yang teregang sejauh x : ₂

  2 ¹ ) ( kx kxdx x U ^x    

  

Titik acuan diambil di x=0, yaitu saat pegas dalam keadaan

Kendur, dengan energi potensial sama dengan nol

  Hukum Kekal Energi Mekanik  Jika gaya yang bekerja pada benda adalah gaya konservatif maka usaha yang dilakukan gaya ini dari A ke B adalah _B

    W F . d r U ( B ) U ( A ) _{AB k  }     

   _A

   Di sisi lain semua usaha yang dilakukan suatu gaya dari A ke B sama dengan perubahan energi kinetik

  B  

  W F . d r Ek Ek   

  AB k B A 

  A  Dari dua pernyataan di atas dapatdisimpulkan jika gaya yang bekerja pada benda adalah gaya konservatif maka

  Ek Ek U ( B ) U ( A ) _{B A  }     

  atau

  Ek U ( B ) Ek U ( B )   

  B A

  Hukum Kekal Energi Mekanik (2)

  Pernyataan di atas dikenal dengan Hukum Kekal Energi Mekanik, yang arti fisisnya adalah bahwa energi mekanik total di titik B sama dengan energi mekanik total di titik A

  Ek U ( B ) Ek U ( B )   

  B A

   Energi mekanik total di suatu titik adalah jumlah semua energi potensial

  pada benda tersebut ditambah energi kinetiknya E Ek U (r )

   

   Jika gaya yang bekerja pada benda adalah gaya gravitasi maka hukum kekal energi menjadi

  2

  2

  1

  1 mv mgh mv mgh

     B B A A

  2

  2 dengan v dan v adalah kecepatan di titik B dan A, serta _{B A}

  Contoh 1

  Balok 2 kg meluncur pada bidang miring dari titik A tanpa kecepatan awal menuju titik B. Jika bidang miring 37 ^o licin dan jarak AB adalah 5 m, tentukan :

  



Usaha yang dilakukan gaya gravitasi dari A ke B



  Kecepatan balok di B A B

  37 ^o mg N mgsin37 x h _A

  Usaha yang dilakukan gaya gravitasi adalah

         ^B _A ^B _{A grav grav}

  J AB mg dx mg r d F W 60 ) 5 )(

  )( 6 , 10 )( ) 2 ( ( 37 sin

  . 37 sin   Pada balok hanya bekerja gaya gravitasi yang termasuk gaya Konservatif sehingga untuk persoalan di atas berlaku Hukum Kekal Energi

  A A B B mgh mv mgh mv

  2

  2

  2

  1

  2

  2

  1 , ) 10 (

    

1 A B

  2

  h v   

  AB m h _A

  3 ) 37 sin (   

  _B s m v /

  60  Menentukan kecepatan balok di titik B dapat pula dicari dengan cara dinamika (Bab II), dengan meninjau semua gaya yang bekerja,

kemudian masukkan dalam hukum Newton untuk mencari percepatan,

setelah itu cari kecepatan di B.

  2 ) 2 (

  Contoh 2

  Balok m=2 kg bergerak ke kanan dengan laju 4 m/s kemudian me- m nabrak pegas dengan konstanta pegas k. A B C

  Jika jarak AB=2m, BC=0,5m dan titik C adalah titik pegas tertekan maksimum, tentukan

   kecepatan balok saat menabrak pegas di B  konstanta pegas k

  Penyelesaian :

   Gunakan hukum kekal energi untuk titik A sampai B _{1 2 1 2} mv U ( B ) mv U ( A ) _{2 B}    _{2 A}

karena energi potensial di A dan di B tidak ada U(A)=U(B)=0

maka kecepatan di B sama dengan kecepatan balok di A, yaitu

  

 Kecepatan balok di C adalah nol karena di titik C pegas tertekan

maksimum sehingga balok berhenti sesaat sebelum bergerak kembali ke tempat semula Gunakan hukum kekal energi untuk titik B sampai C

  2

  2

  2

  2

1 B B C C

  1

  2

  2

  

1

  

2

  2

  kx mv kx mv   

  N m k k BC k

  / 128 ) ) 2 ( ( 4 )(

  ) 4 )( ) 2 ( ( _{2 2 1 2 2 1 2 1} ² ₂ ^{1 2} ₂ ¹ 

     

  1

  Contoh 3 C

  Benda bermassa m diputar dengan tali sehingga membentuk lintasan lingkaran vertikal berjejari R R

   berapa kecepatan awal minimum di titik A T agar m dapat mencapai ¼ lingkaran (titik B)

  B  berapa kecepatan awal minimum di titik A agar m dapat mencapai satu putaran penuh mg

  A Penyelesaian

  

 Tinjau benda m di titik B, gaya yang bekerja pada m adalah mg dan T

Usaha yang dilakukan T adalah nol karena tegak lurus perpindahan Gunakan hukum kekal energi di titik A dan B _{1 2 1 2} mv mgh mv mgh _{2 B B A A}    _{1 2 2}

v

2 gR

  

 

mgR mv A

     _{2 A} C  Agar m dapat mencapai satu putaran penuh maka saat m mencapai titik C semua komponen mg

  R gaya pada m yang berarah ke pusat lingkaran

  T harus bertindak sebagai gaya sentripetal, shg

  B ₂ v _C

T mg F m

  

  

_sp R ₂ TR v gR

  A _C   m

  Gunakan Hukum kekal energi di titik A dan C _{1 2 1 2} mv mgh mv mgh _{2 1 A A C C 2}    _{1 TR 2} mv m ( gR ) mg

  2 R _{2 A}     _{2 m}

2 TR

  v 5 gR (ambil T=0)   v 5 gR  

  A m A min

  Hukum Kekal Energi dalam gaya non konservatif Jika gaya yang bekerja pada benda adalah gaya konservatif dan gaya

   non konservatif maka gaya total

     F F F

    k nk

  Usaha yang dilakukan gaya total ini dari A ke B adalah

   _{B B}

      W F . d r F . d r _{AB k nk}  

    _{A A} W U ( B ) U ( A ) W _{AB   nk B}     

    W F . d r dengan adalah usaha yang dilakukan gaya non konservatif  _{nk nk}

   _A

 Ruas kiri WAB adalah sama dengan perubahan energi kinetik, sehingga

  Ek U ( B ) Ek U ( A ) W _{B A nk}     Persamaan terakhir ini yang disebut dengan Hukum Kekal Energi

  Contoh 1

  Balok 2 kg meluncur pada bidang miring dari titik A tanpa kecepa- tan awal menuju titik B. Jika bidang miring 37 ^o kasar dengan μ _k =1/2 dan jarak AB adalah 5 m, tentukan :

   Usaha yang dilakukan gaya gesekan dari A ke B 

  Kecepatan balok di B A B

  37 ^o mg N mgsin37 x h _A f _k

  Usaha yang dilakukan gaya gesekan adalah

           ^B _{A k} ^B _{A ges ges}

  J dx mg m r d F W 30 ) 5 )(

  )( 6 , 10 )( 2 )( 2 /

  . 37 cos 1 (  

  Tanda minus diatas karena gesekan berlawanan arah dengan perpindahan Gaya gesekan adalah gaya non konservatif sehingga dalam per- soalan di atas terdapat W _nk W W

  30 J    nk ges

  Selain gesekan, pada balok hanya bekerja gaya gravitasi yang

termasuk gaya Konservatif sehingga untuk persoalan di atas berlaku

Hukum Kekal Energi dalam gaya konservatif dan non konservatif _{1 2 1 2} mv mgh mv mgh W _{1 2 B B A A nk 2}     ₂ h ( AB ) sin

  37 3 m ( 2 ) v 2 ( 10 ) h 30 ,    _{2 B A}     A v 30 m / s _B 

  Contoh 2

  Balok 0,1 kg didorong pada bidang miring dengan gaya horisontal F=1 N

  B F

  di titik A tanpa kecepatan awal. Jika _o bidang miring 37 kasar dengan μ =1/2 _o A _k

  37

  dan jarak AB adalah 5 m, tentukan :

   Usaha yang dilakukan gaya gravitasi sepanjang AB  Usaha yang dilakukan gaya gesekan sepanjang AB  Usaha yang dilakukan gaya F sepanjang AB  Kecepatan balok di titik B

  Penyelesaian

   Usaha yang dilakukan gaya gravitasi sepanjang AB _{B B}  

  W F . d r mg sin 37 dx mg sin 37 ( AB ) ( , 1 )( 10 )( , 6 )( 5 )

  3 J _{grav grav}       

   Usaha yang dilakukan gaya gesekan sepanjang AB J W

  )( 6 , 1 ( . 37 cos 

  _B s m v /

  3 ² ₂ ¹      _{B AB} W v

  3

  3

  ) ( 1 ,

  Ek Ek W W W W     

  

 Kecepatan di titik B dapat dicari dengan menggunakan konsep

usaha total = perubahan energi kinetik _{A B F ges grav AB}

  J dx F r d F W 3 ) 5 )(

  F dx mg r d F W ges ^{B A k B A ges ges}

        ^B _A ^B _{A F}

     Usaha yang dilakukan gaya F sepanjang AB

    

          

  ( 37 cos .

  1 ( ) 37 sin

  )( 6 , 10 )( ){( 1 , 2 /

  3 ) 5 )}( )( 6 , ) 1 (

  60 

  Soal

  1. Balok dengan massa 20 kg didorong sepanjang permukaan mendatar tanpa gesekan dengan gaya F yang membentuk sudut  dengan permukaan. Selama gerakannya gaya bertambah mengi- kuti hubungan F=6x, dengan F dalam Newton dan x dalam meter.

  Sudut  pun berubah menurut cos  = 0,7  0,02x. Berapa kerja yang dilakukan oleh gaya bila balok bergerak dari x = 10 m sampai x = 20 m.

  2. Benda seberat 20 N didorong ke atas bidang miring yang panjang- _o nya 30 cm (kemiringan 30 ), tanpa gesekan dengan gaya horizontal F. Bila laju di dasar adalah 6 cm/s dan di puncak adalah 30 cm/s,

  a. berapa usaha yang dilakukan F

  b. Berapa besar gaya F

c. Bila bidang adalah kasar dengan k=0,15, berapa jarak mak- simum yang dapat ditempuh benda.

  Sebuah benda diputar dengan tali sehingga membentuk lintasan lingkaran vertikal dengan jarijari R.

a. Tentukan kecepatan minimum di titik A agar

  

dapat menempuh ¼ lingkaran (titik B)

b.Tentukan kecepatan minimum di titik A agar benda dapat mencapai satu lingkaran penuh. ^{A B C} 3. A _B ^F

  Sebuah benda 0,1 kg ada di atas bidang miring dengan sudut kemiringan 37 ^o . Pada benda ini bekerja gaya F=1 N mendatar. Mulamula benda diam di A kemudian bergerak ke B, panjang AB=5 m. Jika koefisien gesekan kinetis bidang adalah 0,5 tentukanlah kecepatan benda

  4

MOMENTUM LINIER

SUB POKOK BAHASAN

  

DEFINISI MOMENTUM LINIER

  

PERUBAHAN MOMENTUM

   PUSAT MASSA DAN SISTEM PARTIKEL

  

HUKUM KEKEKALAN MOMENTUM

SASARAN PEMBELAJARAN

   MAHASISWA MAMPU MENCARI PUSAT MASSA SEBUAH SISTEM

   MAHASISWA MAMPU MENCARI KECEPATAN BENDA ATAU SISTEM MELALUI MOMENTUM

   SYARAT KELULUSAN : 75 %

IMPULS DAN MOMENTUM LINIER

  Definisi Momentum

 Momentum linier atau ditulis momentum saja adalah kuantitas

gerak yang bergantung pada massa dan kecepatan benda (v)

   Momentum adalah vektor dan besarnya disimbolkan dengan P

  memiliki satuan kg m/s   p m v

   Definisi Impuls

   Secara matematis impuls didefinisikan sebagai integral dari gaya yang bekerja pada benda terhadap waktu  Impuls juga besaran vektor, disimbolkan dengan I memiliki satuan Ns t

   

  I F dt 

  

  Hukum Newton dalam Impuls  Hukum Newton dapat ditulis kembali dalam bentuk dp d dr F m dt dt dt

         

     F v m v m p p p d dt ^p _p ^t

        ^ _       

  

 Jika gaya F tersebut diintegralkan untuk seluruh waktu maka

persamaan di atas menjadi dengan p adalah momentum akhir, p momentum awal, v kecepatan akhir dan v kecepatan awal

   Dengan definisi impuls dan momentum maka diperoleh p p p

  I    

       Atau dengan kata lain :

  Impuls = perubahan momentum

  Contoh F (N) _x

  Benda bermassa 2 kg bergerak dengan

  5

  kecepatan awal 2 m/s dalam arah sb x,

  4

  dan 4 m/s dalam arah sb y. Kemudian

  2

  pada benda bekerja gaya dalam arah

  t(s)

  sb y F =2t N, dan gaya dalam arah sb x _y

• 5 seperti gambar di samping.

  Tentukan : a. Impuls antara t=0 sampai t=4 s

b. Kecepatan saat t=4 s

  Penyelesaian

  a. Impuls pada benda yang gayanya dua dimensi ditulis dalam bentuk  ˆ

  I I i I j  ˆ  _{x y} dengan I dan I adalah komponen impuls dalam arah sumbu x _{x y}

   Komponen impuls dalam arah sumbu x dapat diperolah dengan cara mencari luas daerah dari grafik, yaitu ) 5 )(

  I ˆ

  2 12 / p v i j m s

  ˆ ˆ

  Sehingga kecepatan saat t=4 s adalah

  4 24 / p i j kgm s   

      ˆ ˆ

  2 ˆ 16      

  2

  4 ˆ

    j i p j p p

  ) 2 ( 5 )( 2 ( ₂ ¹ ₂ ¹     _x

  b. Impuls = perubahan momentum

  16  

  I ˆ

   Jadi : Ns j

  2 ^{4 2 4}    

  16

  I _y

  Ns t tdt

  I  Komponen impuls dalam arah sumbu y adalah

      

  Sistem Banyak Partikel  Tinjau suatu sistem yang terdiri atas banyak partikel, katakan- sejumlah N partikel

  

 Momentum total sistem adalah resultan dari momentum setiap

partikel N p p p p p

       

      

  3

  2

  1

 Jika pada partikel 1 dalam sistem tersebut bekerja gaya ekster-

nal F ^e ₁ maka dinamika partikel 1 adalah

  N ^e F F F F dt p d _{1 13 12 1 1}

       

       dengan F ₁₂ , F ₁₃ ,…, F _1N adalah gaya internal/interaksi antara

Partikel ke-1 dengan ke-2, dengan ke-3, ….., dengan ke-N

  Sistem Banyak Partikel (2)  Hal yang sama akan terjadi pada partikel ke-2, ke-3, …, ke-N, jika pada setiap partikel tsb bekerja gaya eksternal

       _{N N N N} ^e _N ^N

              

  N N ^{e N e e e N} F F F F F F F F p p p p dt d

  1 ^{1 21 12 3 2 1 3 2 1} ) ... (

  

 Dinamika sistem banyak partikel ini akan ditentukan oleh resultan

dari dinamika masing-masing partikel, yaitu

     

   

  F F F F dt p d

  ) ^{1 ( 2 1 }

  N ^e F F F F dt p d _{2 23 21 2 2}

      

     

   

  N ^e F F F F dt p d _{3 32 31 3 3}

      

     

   

              

  Sistem Banyak Partikel (3)

 Pasangan gaya interaksi antar partikel saling meniadakan karena

masing-masing gaya interaksi besarnya sama dan berlawanan arah.  Jadi dinamika sistem hanya dipengaruhi gaya eksternal saja

       d p _{e e e e} F F F .... F

       _{1 2 3 N} dt

  

 Jika dihubungkan dengan Impuls dan momentum maka persama-

an di atas menjadi      _{e e e e} 

  I F F F .... F dt p        _{1 2 3 N}

   

   _N 

  Impuls total yang bekerja pada sistem sama dengan perubahan Momentum sistem

  Pusat Massa

 Dalam sistem banyak partikel, momentum total sistem adalah

resultan dari momentum setiap partikel penyusunnya

_N

p p p p p

             _{3 2 1 N N} v m v m v m v m p

       

       _{3 3 2 2 1 1} dt r d m

dt

r d m dt r d m dt r d m p ^N _N

   



 

       

³

₃ ² ₂ ¹ ₁

   Jika massa total sistem adalah M=m ₁ +m ₂ +m ₃ +….+m _N maka momentum total sistem dapat ditulis    

       

  M r m r m r m r m dt d

  M p ^{1 1 1 1 1 1 1 1}

  1 



      pm

  V M p  

  

  Pusat Massa (2)

  dengan _{pm pm}

  R dt d

  V

     disebut dengan kecepatan pusat massa sistem banyak partikel, dan

     

        

  M r m r m r m r m dt d

  R ^{N N} _pm



 _{3 3 2 2 1 1}

  adalah posisi pusat massa

  Contoh

  Tentukan letak pusat massa sistem yang tersusun atas empat buah partikel yang bermassa m =1kg, m =2kg, m =3kg, dan _{1 2 3} m =4kg. Keempat partikel terletak pada titik sudut bujur sangkar ₄ yang memiliki panjang sisi 1 m Dengan sumbu koordinat seperti gambar y maka posisi pusat massa terbagi 2 kom-

  m m _{4 3}

  ponen 1 .

  2 .

  1 3 .

  1 4 .    x

  , 5 m _pm  

  1

  2

  3

  4    1 . 2 . 3 .

  1 4 .

  1   

  x

  y , 7 m m   ₂ pm m ₁

  1

  2

  3

  4    Pusat massa untuk benda kontinu

  

Pada prinsipnya sama dengan benda yang tersusun atas banyak

Titik, hanya notasi sigma diganti dengan integral  1  r r dm

   pm

   M

  Massa total sistem M

   dm 

  Contoh

  Batang yang panjangnya 10 m dibentangkan pada sumbu x dari X=0 sampai dengan x=10 m. Jika batang tidak homogen, rapat massanya fungsi dari posisi  =12x kg/m, tentukanlah pusat massa Batang!

   elemen kecil batang pada posisi x yang panjangnya dx akan memiliki elemen kecil massa dm=

  dx

   Massa total batang

  10

  10 M dm dx 12 xdx 600 kg     

      Pusat massa batang

  1

  20 x x dx m

     pm

  

  Hukum Kekekalan Momentum

  Jika resultan gaya eksternal pada benda atau sistem sama dengan nol maka

    d P

  atau

   kons tan P  dt

  Momentum total sistem tetap (tidak berubah terhadap waktu) Momentum tiap bagian boleh berubah, tetapi momentum total sistem adalah tetap.

  

Sebagai contoh berlakunya hukum kekekalan momentum adalah

pada peristiwa tumbukan, misalnya dua buah benda

bertumbukan maka 2 benda tsb dipandang sebagai satu sistem,

sehingga momentum total sistem sebelum tumbukan sama

dengan momentum sistem sesudah tumbukan

  Tumbukan

  Dalam setiap tmbukan berlaku hukum kekal momentum, meski- pun dalam tumbukan antara 2 benda bekerja gaya yang sangat singkat (gaya impulsif) namun jika 2 benda dipandang sebagai satu sistem masing-masing gaya impulsif dapat dipandang se- bagai pasangan gaya aksi-reaksi.

  Ada 3 jenis tumbukan :  Tumbukan lenting sempurna (pada tumbukan lenting sempurna berlaku hukum kekal energi kinetik)  Tumbukan tidak lenting sama sekali  Tumbukan lenting sebagian

  

Tumbukan Elastis Sempurna

Massa identik

  

Tumbukan Elastis Sempurna

Massa berbeda

  Contoh 1

  Benda m1=2 kg bergerak dengan kecepatan 13 m/s ke kanan me- numbuk benda lain m2=4 kg yang sedang bergerak ke kiri dengan laju 2 m/s. Setelah tumbukan kedua benda bersatu. Tentukan :

   Kecepatan kedua benda setelah tumbukan  Energi kinetik kedua benda sebelum dan setelah peristiwa tumbukan terjadi

  Penyelesaian :

  Berlaku hukum kekal momentum Momentum awal sistem = momentum akhir sistem m v m v m v ' m v '

    

  1

  1

  2

  2

  1

  1

  

2

  2 2 ( 13 ) 4 ( 2 ) (

  2

4 ) v '     v ' 3 m / s Energi kinetik benda 1 sebelum tumbukan

  2

  1 Ek m v 169 J  

  1

  1

  1

  2 Energi kinetik benda 1 sebelum tumbukan

  2

  8 J  

  1 Ek m v

  2

  2

  2

  2 Energi kinetik kedua benda setelah tumbukan

  2

  27 J   

  1 Ek ( m m ) v '

  1

  1

  2

  2 Energi kinetik kedua benda sebelum dan setelah tumbukan tidak sama

  Contoh 2

  Benda m1=2 kg bergerak dengan kecepatan 13 m/s ke kanan me- numbuk benda lain m2=4 kg yang sedang bergerak ke kiri dengan laju 2 m/s. Jika tumbukannya elastis sempurna, maka tentukan :

   Kecepatan kedua benda setelah tumbukan  Energi kinetik kedua benda sebelum dan setelah peristiwa tumbukan terjadi

  Penyelesaian :

  Berlaku hukum kekal momentum Momentum awal sistem = momentum akhir sistem 1 1 2 2

  1

  1

  

2

  2

  1

  2 ' ' ' 2 ' 9 m v m v m v m v v v

      

   Elastis sempurna berarti energi kinetik kekal

  2 2 ' 2 ' 2 1 1 2 2 1 1 2 2 ' 2 ' 2

  1

  2

  1

  1

  1

  1

  2

  2

  2

  2 2 177 m v m v m v m v v v

      

  Soal

  1. Sebuah pesawat angkasa 1000 kg bergerak dengan kecepatan 2000 i m/s. Sebuah meteor menumbuk pesawat tsb sehingga kecepatannya menjadi 2000 i +2000 j m/s. Berapa Impuls tumbukkan ?

2. Sebuah bola 0,5 kg bertumbukan lenting sempurna dengan bola

  kedua yang sedang diam. Bola kedua tersebut menjauh dengan laju setengah laju awal bola. Berapa persen energi kinetik yang dipindahkan ke bola kedua

  3. Sebuah bola bilyar bergerak dengan kecepatan 4 m/s menum- buk bola lain yang identik dalam keadaan diam. Setelah tumbu- _o kan bola pertama membentuk sudut 30 terhadap arah semula.

  Bila tumbukkan lenting sempurna, tentukan kecepatan masing masing bola setelah tumbukan.

  R

  Sebuah peluru bermassa m dan kecepatan v menembus balok bermassa M, dan keluar dgn kecepatan v/2. Balok ini ada pada ujung tali dengan panjang R. Berapa kecepatan minimum peluru agar balok berayun satu lingkaran penuh ? 5.

  6. Rakit bujur sangkar 18 m kali 18 m, dengan massa 6200 kg digunakan sebagai perahu feri. Jika tiga mobil masingmasing dengan massa 1200 kg diletakkan di sudut timur laut, tenggara, dan barat daya, tentukan pusat massa dari feri.

  7. Sebuah peluru ditembakkan dengan kecepatan awal 80i +60j m/s. Pada ketinggian tertentu peluru meledak menjadi dua bagian. Ba- gian pertama bermassa 1/3 dari massa semula jatuh pada jarak 200 m dari titik asalnya. Kedua benda tiba di tanah pada waktu bersamaan. Dimana letak jatuhnya bagian kedua.