MENENTUKAN POTENSIAL PADA TITIK PENAMPANG KONDUKTOR BEBRBENTUK BUJUR SANGKAR DENGAN PERSAMAAN LAPLACE DAN SECARA NUMERIK

₁

₂ Cekmas Cekdin Faisal Damsi

Staf Dosen Jurusan Teknik Elektro Universitas Muhammadiyah Palembang *

** Staf Dosen Program Studi Elektronika Jurusan Teknik Elektro Politeknik Negeri Sriwijaya

Palembang

ABSTRAK

Permasalahan dalam mendapatkan medan potensial pada penampang konduktor berbentuk bujur

sangkar dimana dalam literatur yang digunakan banyak metode yang digunakan matematisnya rumit yang

menyita waktu yang lama dalam analisinya. Untuk itulah melalui paper penulis memaparkan untuk mendaptkan

medan potensial pada titik-titik berbentuk bujur dengan menggunakan metode penyelesaian persamaan Laplace

dan secara numerik. Karena dua metode ini masih dikategorikan masih cukup sederhana.

Penyelesaian persamaan Laplace yang dilakukan untuk mendapatkan medan potensial pada penampang

konduktor berbentuk bujur sangkar dilakukan secara manual, sedangkan secara numerik adalah adalah dengan

bantuan komputer digital yang berbasis bahasa pemrograman MATLAB. Hasil yang didapat dari kedua metode

tidak jauh berbeda.

Kata kunci : Potensial listrik, penampang konduktor, persamaan Laplace, numerik.

ABSTRACK

Problems in getting the potential field on the conductor cross-section of a square where in the literature

that used a lot of complicated mathematical methods are used that take a long time in analisinya. For that

through the paper the author describes for mendaptkan potential field at points in the form of longitude by using

the settlement method and the Laplace equation numerically. Because of these two methods is still considered

still quite simple.

Completion of the Laplace equation is done to obtain the potential field on the conductor cross-section

of a square is done manually, while numerically is is with the help of a digital computer-based MATLAB

programming language. The results of both methods are not much different.

Keywords: Electric potential, conductor cross-section, the Laplace equation, numerically.

1. Dalam paper ini diambil adalah koordinat kartesian, PENDAHULUAN

walaupun dapat berlaku juga untuk sistem koordinat

1.1. Latar Belakang

lainnya. Sedangkan menentukan medan potensial secara numerik adalah metode yang potensialnya Potensial listrik merupakan pintu gerbang

untuk setiap informasi yang diinginkan tentang diketahui pada perbatasan suatu daerah, terutama

medan elektrostatik pada setiap titik. Intensitas persoalan yang potensialnya tidak berubah dalam

suatu arah tertentu, yang distribusi potensial medan listrik dapat dicari dari potensial dengan

operasi gradien yang mengandung diferensial, dan berdemensi dua. Metode ini penyelesaiannya adalah

dengan bantuan komputer digital. itensitas medan listrik dapat dipakai mencari kerapatan fluks listrik.

1.2. Permasalahan Pada beberapa konduktor atau perbatasan Intensitas medan listrik dalam suatu medan konduktor untuk menentukan potensial setiap titik listrik adalah dapat ditentukan lebih dahulu dari dalam pemecahannya melalui analisa atau potensial listrik. Intensitas medan listrik ini dapat perhitungan dalam paper ini ada dua cara, yaitu dipakai untuk mencari kerapatan fluks listrik dengan dengan penyelesaian persamaan Laplace dan secara mengalikannya dengan permitivitas. Dalam numerik. Dan untuk menentukan harga eksak atau mendapatkan potensial listrik tidak bisa diperoleh pasti adalah dengan eksperimental. Menentukan melalui konfigurasi muatan, karena belum ada medan potensial dengan denyelesaian persamaan literatur yang menceritakan bagaimana muatan Laplace yang merupakan menentukan titik potensial tersebut tersebar. Banyak dalam literatur untuk yang berubah terhadap lebih dari satu koordinat. mendapatkan potensial medan listrik secara analisis, akan tetapi permasalahannya dalam metode yang digunakan matematisnya rumit yang menyita waktu yang lama dalam analisinya. Untuk itulah dalam paper ini penulis memaparkan untuk menentukan medan potensial pada titik-titik berbentuk bujur dengan menggunakan metode penyelesaian persamaan Laplace dan secara numerik. Karena metode ini dapat dikategorikan masih cukup sederhana.

1.3. Tujuan dan Manfaat Penulisan ini bertujuan untuk mendapatkan potensial listrik pada titik-titik konduktor berbentuk bujur sangkar secara analisis, yaitu dengan penyelesaian persamaan Laplace dan secara numerik. Manfaatnya adalah untuk memperkenalkan dalam menentukan medan potensial pada titik-titik konduktor selain berbentuk bujur sangkar, yaitu dengan modifikasi bentuk konduktor tersebut, sehinngga akan didapatkan penyelesaiannya.

 

dy Y d Y dx

X d

 

(6) Bila masing-masing suku harus merupakan tetapan, misalkan tetapan tersebut adalah k ² , maka ₂ ₂ ₂

k dx X d



(7) ₂ ₂ ₂

k dy Y d Y

(8) Persamaan (7) dapat dituliskan sebagai berikut ₂ ₂ ₂ k

1.4. Metode Pembahasan Metode pembahasan yang dilakukan adalah menghitung potensial pada titik-titik bujur sangkar penyelesaian persamaan Laplace dengan manual, dan untuk secara numerik adalah dengan bantuan komputer digital yang berbasis bahasa pemrograman MATLAB .

X dx X d



(9) Penyelesaian Persamaan (9), dengan menganggap X sebagai deret seperti berikut

  

 _n ⁿ _n

x a

X (10) dan subtitusikan Persamaan (10) ke Persamaan (9) menjadi,

   



   ² ² ₂ ² ) 1 ( ⁿ _n ⁿ _n

x a k x a n n dx X d

(11) Kedua deret yang berhingga tersebut harus sama untuk setiap harga x, berarti juga keduanya harus identik, dan koefisien x berpangkat sama dapat disamakan suku demi suku, jadi

X (5) atau ₂ ₂ ₂ ₂

dy Y d Y dx X d

1 ₂ ² ₂ ²  

X d Y (4) atau

dy Y d X dx

 

X Y (3) Karena X tidak mengandung y dan Y tidak mengandung x, maka turunan biasa dipakai, menjadi ₂ ₂ ₂ ₂

y Y X x

 

 

 

2. TINJAUAN PUSTAKA

2.1. Menentukan Potensial Pada Penampang Konduktor Berbentuk Bujur Sangkar Dengan Persamaan Laplace (Bo Thide, [1] : 2004., Hayt, William H, Jr, [3] : 1982., Ida, Nathan., Bastos, Joao P. A, [4] : 1997)

XY x

 

 

) ( ) ( ₂ ² ₂ ² 

V (1) atau

V x

 

 

 

X V  Dapat disajikan seperti berikut ₂ ₂ ₂ ₂

). ( ) ( y Y x

Bila persamaan Laplace yang berupa potensial dalam koordinat kartesian berubah dalam lebih dari satu arah, akan mengandung lebih dari satu suku. Misalkan potensial V adalah fungsi dari x dan y, dan mempunyai bentuk khusus yaitu

XY (2) atau ² ² ² ²



2 dan deret kedua sebagai sinus hiperbolik seperti

2  1  a  k a ₂ ₂ berikut 3  2  a  k a ₃ _n ₃ ₅



dan umumnya dapat hubungan

  k x ( k x ) ( k x )  sinh k x  k x     ₂  _{, ganjil} n ! 3 ! 5 !

( n  2 ) ( n  1 ) a  k a _n _{2 n} 

Koefisien genapnya dapat dinyatakan dengan a Sehingga Persamaan (13) menjadi sebagai berikut ₂ k a ₁ a a ₂ 

X  a cosh k x  sinh k x

1 

2 ₂ ₂

k k k

(14)

a a a ₄   ₂ 3  ₂

4 4 ! atau

X  A cosh k x  B sinh k x k a a ₆  6 !

(15)

dan dalam bentuk umum n genap adalah _n Untuk Y dengan cara yang sama dapat menghasilkan dua deret pangkat yang dapat dinyatakan dengan k a  a sinus dan cosinus, dan didapatkan _n n !

Y  C cos k y  D sin k y Untuk n ganjil didapat ₂ ₃ k a k ₁

(16)

a  a  ₃ ₁ Dari hasil tersebut potensialnya dapat ditulis

2  ₅

3 3 ! k

a k ₁ a  ₅ V 

X Y  ( A cosh k x  B sinh k x ) ( C cos k y  D sin k y )

3 ! k

(17) dan dalam bentuk umum n ganjil adalah _n

2.2. Menentukan Potensial Pada Penampang k a _{1 Konduktor} a  _n

Berbentuk Bujur Sangkar Secara Numerik n ! k

(Cekdin, Cekmas, [2] : 2005., Kraus, Dengan mensubtitusikannya kembali ke

John D, [5] : 1992., Narayana Rao, dalam deret pangkat semula, maka didapat

Nannapaneni, [6] : 2001) _{n n} Pandang pada perbatasan suatu daerah yang   k a k potensialnya tidak berubah dalam suatu arah _{n n} ₁ X  a x  x _{, genap n ! k}

  tertentu, yaitu distribusi potensial berdimensi dua

_{1 , ganjil n !} seperti pada Gambar 1 dibawah ini (12) atau _{n n}

    k x a   k x ₁ X  a 

  _{, genap} n ! k n ! _{1 , ganjil} (13) deret pertama dari Persamaan (13) dapat ditulis sebagai cosinus hiperbolik seperti berikut _n ₂ ₄

   k x ( k x ) ( k x )

  cosh k x  1   

 _{, genap} n ! 2 ! 4 !

Gambar 1. Bagian suatu daerah berisi medan



V V 

V ₃ potensial dua dimensi

  x h _c

yang dibagi-bagi menjadi beberapa bujur sangkar bersisi h.

(25) Pada Gambar 1 diatas potensialnya tidak berubah dari Persamaan (24) dan (25) didapatkan terhadap koordinat z dan membagi bagian dari penampangnya, dimana potensialnya ingin diketahui dengan menjadikan bujur sangkar yang bersisi h.



V 

V Harga yang tak diketahui pada lima titik yang ₂  berdekatan ditunjukkan sebagai V , V _{o 1,} V , V dan V .  ₂ ₃ _{4 a c} V  x  x V  ₁ V  V 

V ₃ ₂   ₂ Jika daerahnya bermuatan bebas dan berisi dielektrik

 x h h

serba sama, maka (26)

 D  .

 Untuk sumbu y (18) 

V V  ₂ V dan

  y h _b

 E  .

(27) (19) sehingga untuk dua dimensi kita dapatkan dan

 E  E y _x

V 

V 

V ₄

 



 x  y

 y h _d (20)

(28) dimana operasi gradien menghasilkan dari Persamaan (27) dan (28) didapatkan

V 

E   _x  x

 V 

V ₂   y  x  V d V  V  V 

V (21) ^b ² ⁴ ₂   ₂



V  y h h

E   _y (29)

 y

sehingga Persamaan (23) didapatkan dari Persamaan (22) (26) dan (29) menjadi Persamaan (20) menjadi ₂ ₂ ₂ ₂



V  V ( V  ₁ V  ₂ V  ₃ V  ₄

4 V ) 

V 

V ₂    ₂ ₂ ₂   ₂

 x  y h  x  y

(30) atau (23)

1 Harga aproksimasi untuk differensial V   V  ₁ V  ₂ V  ₃ V  ₄ parsial pada Persamaan (23) dapat diperoleh dari

4 potensial yang diketahui, jadi (31)  Untuk sumbu x Persamaan (31) adalah untuk menentukan potensial

V V



V  _{1 pada tiap titik sudut bujur sangkar secara iterasi,}



kondisi ini berhenti bila v – v < _{sekarang sebelumnya ,}

 x h _a

dengan  adalah epsilon yang harganya ditentukan. (24)

3. MOTODELOGI dan

3.1. APLIKASI PERHITUNGAN Daerah bujur sangkar yang dibatasi oleh konduktor 

 n  x   n  y  dengan dua dimensi x dan y seperti Gambar 2.

, V  K sinh sin _n

     Potensial sisi samping kiri, atas, bawah adalah 0, dan n y y ₁ ₁

    potensial sisi kanan adalah 200 V. Jika bujur sangkar 0 < x < 1 tersebut dibagi menjadi 16 bujur sangkar yang kecil.

Jadi konstanta-konstanta b K sinh ( n  x ) _{n n}  ₁ Akan menentukan potensial pada titik-titik bujur ditentukan sebagai koefisien-koefisien dalam deret sangkar tersebut.

Fourier berbentuk dalam daerah 0 < x < f ( x ) 

V _b

1. Persamaan koefisien Fourier adalah _y ₁

2  n  y 

b  f ( x ) sin dy _n    y y ₁ ₁ _y ₁  

2 V  n  y  _b  sin dy

   y y ₁ ₁

  _y ₁  

2 V y  n  x  _b ₁   cos

   

y n  y ₁ ₁

    _y ₁  

2 V  n  x  _b   cos

  



n  y ₁

   

 

2 V  n  y  _b ₁  

  cos  cos  

 

n  y ₁

   

Gambar 2. Penampang konduktor bujur sangkar

2 V _b

dengan potensial sisi kanan

cos (  )

1    n  

adalah 200 V, sisi atas, kiri dan bawah adalah 0 n  Volt.

Jadi Penampang dibagi menjadi 16 bujur sangkar kecil. untuk n genap  b  _n

 

4 V / n untuk n ganjil _b 

4. HASIL DAN PEMBAHASAN

Sehingga  Dengan Persamaan Laplace

4 V _b

Potensial tersebut adalah fungsi x dan y dengan

 K sinh ( n  x ) _n ₁

persamaan  n didapat

V  ( A cosh k x  B sinh k x ) ( C cos k y  D sin k y )

4 V _b K  _n n  sinh ( n  x ) ₁ Persyaratan V = 0 di x = 0 dan y = 0, menghendaki

Persamaan potensial didapat konstanta-konstanta A dan C tersebut berharga nol. Kemudian V = 0 pada y = y , k = , dengan n _{1 nπ/y} ₁  n x 

 bulat. Dengan menggantikan B dan D dengan K, sinh

   menjadi y

4 V _b ^{1  n  y }   sin

V  

  n  x n  y n sinh ( n x ) y _{n  } ₁ ₁

 

sinh sin

V  K y y ₁ ₁ dengan x = y = 1, menjadi ₁ ₁ Persamaan lebih umum dengan superposisi adalah



4 V  _b sinh ( n  x ) n  x n  y

V sin ( n y )  

 V  K sinh sin _n _{n n  n } sinh ( )

 _n y y ₁ ₁ dengan V = 200 V, maka _b Syarat batas menghendaki

 800 1 sinh ( n x )

 V  sin ( n  y ) 

 n sinh ( n  ) _n Sehingga potensial pada titik-titik bujur sangkar untuk :  V ¹ pada x = 0,25 dan y = 0,75 dengan n = 1, 3, 5 adalah

V V

800 ) 180

  

  

  

  

 



   V ⁵ pada x = 0,50 dan y = 0,50 dengan n = 1, 3, 5 adalah

V V

50 ) 000078 , 003 , 199 , (

5 ( 50 , sin

 

) 14 , 3 50 ( sinh

) 14 ,

5 ( 50 , sinh

1 ) 180

3 ( 50 , sin

) 14 , 3 3 ( sinh

) 14 ,

   

   

1 ) 180

93 ,

19 ) 0000015 , 00028 , 075 , (

800 ) 180

5 ( 50 , sin

) 14 , 3 5 ( sinh

) 14 ,

5 ( 25 , sinh

3 ( 50 , sin

o ^o ^o ⁴

) 14 , 3 3 ( sinh

) 14 ,

3 ( 25 , sinh

1 ) 180

( 50 , sin ) 14 ,

3 ( sinh ) 14 ,

3 ( 25 , sinh

1 1 800

3 ( 50 , sinh

1 ) 180

   V ⁴ pada x = 0,25 dan y = 0,50 dengan n = 1, 3, 5 adalah

3 ( 75 , sinh

3 ( 50 , sin

) 14 , 3 3 ( sinh

) 14 ,

3 ( 75 , sinh

1 ) 180

( 50 , sin ) 14 ,

3 ( sinh ) 14 ,

1 1 800

o ^o ^o ⁶

   

 

   

  

  

  

  

 



1 ) 180

5 ( 75 , sinh

( 50 , sin ) 14 ,

  

3 ( sinh ) 14 ,

3 ( 50 , sinh

1 1 800

o ^o ^o ⁵

   

 

   

  

  

  

 



   V ⁶ pada x = 0,75 dan y = 0,50 dengan n = 1, 3, 5 adalah

V V

107 5 , ) 00395 , 032 ,

( 45 , 800

) 180

5 ( 50 , sin

) 14 , 3 5 ( sinh

) 14 ,

V V



55 ,

( 14 , 800

  

  

  

 



   V ² pada x = 0,50 dan y = 0,75 dengan n = 1, 3, 5 adalah

V V

88 ,

37 ) 000055 , 0021 ,

) 180

   

5 ( 75 , sin

) 14 , 3 5 ( sinh

) 14 ,

5 ( 50 , sinh

1 ) 180

3 ( 75 , sin

) 14 , 3 3 ( sinh

) 14 ,

  

 

3 ( 50 , sinh

3 ( 75 , sin

13 ) 0000011 , 0001995 , 053 , (

800 ) 180

5 ( 75 , sin

) 14 , 3 5 ( sinh

) 14 ,

5 ( 25 , sinh

1 ) 180

) 14 , 3 3 ( sinh

   

) 14 ,

3 ( 25 , sinh

1 ) 180

( 75 , sin ) 14 ,

3 ( sinh ) 14 ,

3 ( 25 , sinh

1 1 800

^o ¹

 

( 75 , sin ) 14 ,

1 ) 180

3 ( 75 , sin

) 14 , 3 3 ( sinh

) 14 ,

3 ( 75 , sinh

1 ) 180

3 ( sinh ) 14 ,

3 ( 75 , sinh

1 1 800

o ^o ^o ³

   

 

   

  

  

  

  

5 ( 75 , sinh

) 14 ,

1 ) 180

  

( 75 , sin ) 14 ,

3 ( sinh ) 14 ,

3 ( 50 , sinh

1 1 800

^o ²

   

 

   

  

) 14 , 3 5 ( sinh

  

 



   V ³ pada x = 0,75 dan y = 0,75 dengan n = 1, 3, 5 adalah

V V

42 ,

86 ) 0028 , 022 ,

( 32 , 800

) 180

5 ( 75 , sin

   V ⁷ pada x = 0,25 dan y = 0,25 dengan n = 1, 3, 5 adalah

PENAMPANG KONDUKTOR BERBENTUK BUJUR SANGKAR

800  1 sinh ( , 25  3 , 14 ) _o sin ( , 25 180 )

V   ₇





1 sinh ( 3 , 14 )



V ₁ V ₂ V ₃ V ₄ ₅ V ₆ V ₇ V ₈ V ₉

1 sinh ( , 25  3  3 , 14 ) _o  sin ( , 25  3  180 ) 3 sinh (

3 3 , 14 ) 

Dalam Satuan Volt

5 3 , 14 )  sinh ( , 1   o

5 10 13,

sin ( ,

25 5 180 )   



,5 ,8 ,4 ,9 7, .55 ,8 ,4

5 sinh ( 5  3 , 14 ) 

800 ( , 053 , 0001995 , 0000011 )

  

  Secara Numerik

 13 ,

55 V

Untuk menentukan potensial pada titik-titik seperti Gambar 2 pertama-tama perkirakan awal dahulu potensial pada titik tengah V dengan ₅ ₈ pada x = 0,50 dan y = 0,25 dengan n = 1, 3, 5

 V menggunakan Persamaan (31), dimana V = ¼ (200 ₅ adalah

0 + 0 + 0) = 50 V. Pada celah yang angat kecil perkiraan rata-rata dari 0 dan 200 V adalah 100 V.

800  1 sinh ( , 50  3 , 14 ) _{o Potensial yang sama V = V ; V = V ; V = V .} ₃ ₉ ₂ ₈ ₁ ₇ V  sin ( , ₈ 25  180 ) 

Besarnya potensial pada V ^{3 dan V} ^{9 adalah dengan} 

1 sinh ( 3 , 14 ) 

mengambil rata-rata pada keempat titik sudut

1 sinh ( , 50  3  3 , 14 ) sepasang sumbu diagonal. Jadi untuk V = V = ¼ _o ₃ ₉  sin ( , 25  3  180 )

(100 + 200 + 50 + 0) = 87,5 V dan untuk V = V = ¼ ₁ ₇

3 sinh ( 3  3 , 14 )

(0 + 50 + 0 + 0) = 12,5 V. Untuk V , V , V dan V ₂ ₄ ₆ ₈

 adalah dengan menggunakan Persamaan (7-14) yang

1 sinh ( , 50  5  3 , 14 ) o sin ( , 25 5 180 )

   memberikan hasil V = V = ¼ (87,5 + 0 + 12,5 + 50)  ² ⁸ 5 sinh (

5  3 , 14 )

= 37,5 V, V = ¼ (50 + 12,5 + 0 + 12,5) = 18,75 V

 ⁴ dan V = ¼ (200 + 87,5 + 50 + 87,5) = 106,25 V. ₆ 800

( , 14 , 0021 , 000055 )   

Sehingga untuk menentukan potensial sebenarnya  setiap titik bujur sangkar selanjutnya dapat dihitung

 37 ,

88 V secara iterasi dengan menggunakan Persamaan (31),

dan dapat disusun melalui program bahasa MATLAB seperti pada LAMPIRAN. Dari program tersebut bila ₉ pada x = 0,75 dan y = 0,25 dengan n = 1, 3, 5  V di run kan maka hasilnya seperti berikut adalah

800  1 sinh ( , 75  3 , 14 ) _o

V  sin ( , ₉ 25  180 )





1 sinh ( 3 , 14 )  1 sinh ( ,

3 3 , 14 )   o

 sin ( , 25  3  180 ) 3 sinh ( 3 3 , 14 )



 1 sinh ( , 75  5  3 , 14 ) o

 sin ( , 25  5  180 )  5 sinh (

5  3 , 14 ) 

800  ( , 32  , 022  , 0028 )



 86 ,

42 V

Dari hasil perhitungan diatas dapat dibuat tabel Dari hasil diatas harga potensial setiap titik bujur seperti Tabel 1. sangkar adalah V = V = 14,29 V , V = V = 37,50 ₁ ₇ ₂ ₈ Tabel 1. Hasil perhitungan dengan persamaan

V , V = V = 85,71 V, V = 19,64 V, V = 50 V, V = ₃ ₉ ₄ ₅ ₆ Laplace 105,36 V, pada iterasi ke 15.

POTENSIAL PADA TITIK-TITIK 5.

KESIMPULAN Dari pembahasan dalam paper ini, maka dapat disimpulkan bahwa hasil perhitungan potensial pada titik-titik penampang konduktor berbentuk bujur sangkar antara persamaan Laplace dan secara numerik hasilnya tidak jauh berbeda. Hanya saja dengan persamaan Laplace untuk satu titik adalah satu kali perhitungan atau tidak pakai iterasi, sedangkan secara numerik untuk mencapai konvergensi pada iterasi ke 15.

DAFTAR PUSTAKA

[1]. Bo Thide., Electromagnetic Field Theory, Upsilon Books, Swedia, 2004 [2]. Cekdin, Cekmas., Teori dan Contoh Soal

Teknik Elektro Menggunakan Bahasa Pemrograman MATLAB, Penerbit ANDI, Yogyakrta, 2005.

[3]. Hayt, William H, Jr., Elektromagnetika Teknologi, Jilid 1 & 2, Penerbit Erlangga, 1982.

[4]. Ida, Nathan., Bastos, Joao P. A., Electromagnetics and _{n d} Calculations of Field, 2 Edition, Springer, 1997. _{t h} [5]. Kraus, John D., Electromagnetics, 4 Edition, McGraw-Hill, 1992.

[6]. Narayana Rao, Nannapaneni., Elemen-Elemen Elektromagnetika Teknik, Edisi Kelima, Jilid 1 & 2, Alih bahasa oleh Pantur Silaban, _A _M _S ^I Penerbit Erlangga, Jakarta, _D _L

) ) A ) ) ) ) ) ) 2001. _S )

!' !' _I _A !' !' ==!' ==!' _{F ==!' ==!'} ==!' _A _N _D _N _A _M _C _S _E _K _D _I _K ,iterasi,V1,V2,V3,V4,V5,V6,V7,V8,V9) LAMPIRAN _C ^E LISTING PROGAM

'!%5.0f!%6.2f!%6.2f!%6.2f!%6.2f!%6.2f!%7.2f!%6.2f!%6.2f!%6.2f!\n' shortg '!================================================================================ '!POTENSIALPADATITIK-TITIKPENAMPANGKONDUKTORBERBENTUKBUJURSANGKAR '! '!================================================================================ '!Iterasi!V1!V2!V3!V4!V5!V6!V7!V8!V9 '!ke:!====================================================================== '!!DalamSatuanVolt '!================================================================================

'!================================================================================

MENENTUKAN POTENSIAL PADA TITIK PENAMPANG KONDUKTOR BEBRBENTUK BUJUR SANGKAR DENGAN PERSAMAAN LAPLACE DAN SECARA NUMERIK