Sistem Persamaan Linier dan Matriks
Sistem Persamaan Linier dan Matriks
1.1 Pendahuluan
Sebuah garis pada bidang-
dapat dinyatakan secara aljabar dengan sebuah persamaan
linier:
Sebuah persamaan jenis ini disebut persamaan linier dalam dua peubah yaitu
Secara
umum,
Dengan
persamaan
dan
linier dalam
dan .
buah peubah disajikan dalam bentuk
merupakan konstanta, yaitu bilangan riil.
Contoh: Berikut merupakan contoh persamaan linier
Pada persamaan linier, tidak melibatkan hasil kali maupun akar dari peubah. Semua
peubah hanya muncul sekali dan tidak melibatkan fungsi transenden, seperti fungsi trigonometri,
logaritma, dan lainnya.
Suatu penyelesaian atau solusi dari persamaan linier
adalah sejumlah
buah nilai
yang apabila nilai ini disubstitusikan ke
pada ruas kiri dari persamaan linier akan bernilai
. Himpunan semua penyelesaian yang
1
mungkin dari suatu persamaan linier disebut himpunan penyelesaian atau himpunan solusi.
Kadang-kadang disebut penyelesaian umum persamaan.
Apabila terdapat beberapa persamaan linier, maka disebut sistem persamaan linier.
Bentuk umum dari sistem
persamaan linier
peubah adalah:
(1)
Dengan
adalah peubah, dan subskrip
dan
menyatakan konstanta.
Setiap sistem persamaan linier mungkin tidak mempunyai penyelesaian, mempunyai
tepat satu penyelesaian, atau mempunyai tak-hingga banyaknya penyelesaian.
Matriks yang diperbanyak (augmented matrix) dari sistem persamaan linier yang
diberikan pada Persamaan (1) adalah:
[
]
Salah satu metode dasar untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linier adalah
dengan menggantikan sistem yang ada dengan suatu sistem baru yang memiliki himpunan
penyelesaian yang sama dan lebih mudah dicari solusinya. Sistem baru ini dapat diperoleh
dengan melakukan tiga langkah berikut ini:
1. Kalikan salah satu persamaan dengan konstanta riil tak nol
2. Tukarkan dua buah persamaan
3. Tambahkan perkalian dari suatu persamaan ke persamaan lain.
Ketiga operasi di atas disebut operasi baris dasar.
2
Contoh: Carilah solusi dari sistem persamaan berikut ini dengan menerapkan operasi baris dasar
hingga memperoleh sistem persamaan baru yang mudah untuk didapatkan penyelesaiannya.
Jawab:
Bentuk matriks yang diperbanyak dari sistem persamaan di soal
[
]
Lakukan operasi baris agar didapatkan matriks yang lebih sederhana (misalnya, banyak
mengandung nol)
]
[
̃
̃
Didapatkan
̃
]( )[
[
, sehingga
[
]
]
. Dari baris 2 pada matriks yang terakhir
didapatkan
, substitusi
terakhir didapatkan
penyelesaiannya adalah
, untuk mendapatkan
, substitusi
, dan
. Dari baris pertama pada matriks yang
dan
untuk mendapatkan
. Jadi,
.
3
1.2 Eliminasi Gaussian
Pada sub bab 1.1 telah diperkenalkan definisi dari operasi baris dasar. Operasi baris dasar
dilakukan guna mendapatkan sistem persamaan baru (matriks baru) yang sederhana sehingga
mudah untuk didapatkan penyelesaiannya. Salah satu bentuk khusus matriks yang sederhana
sehingga mudah dicari penyelesesaian dari sistem yang bersesuaian adalah matriks yang
berbentuk baris-eselon tereduksi. Untuk menjadi bentuk ini, sebuah matriks harus memenuhi
sifat-sifat berikut ini.
1. Jika suatu baris tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka angkat tak-nol pertama pada baris
tersebut adalah angka 1 (angka 1 ini disebut utama 1)
2. Jika ada baris yang merupakan baris nol, maka baris-baris ini dikelompokkan bersama di
bagian bawah matriks.
3. Untuk sembarang dua baris tak-nol yang berurutan, utama 1 dari baris yang berada di
atas, berada di sebelah kiri utama 1 dari baris di bawahnya.
4. Masing-masing kolom yang berisi sebuah utama satu mempunyai nilai nol di tempat
lainnya.
Matriks yang hanya memenuhi sifat 1-3 disebut matriks yang berbentuk baris-eselon.
Contoh. Matriks a) dan matriks b) berbentuk baris-eselon tereduksi, sedangkan matriks c) dan d)
berbentuk baris-eselon.
a)
[
]
b) [
]
c) [
d) [
]
]
4
Contoh. Misalkan diberikan dua buah matriks, yaitu matriks
[
dan matriks
[
]
] yang merupakan matriks yang diperbanyak dari suatu
sistem persamaan linier yang telah direduksi oleh operasi baris menjadi bentuk baris-eselon
tereduksi. Selesaikan sistem tersebut.
Jawab.
Untuk matriks A. Sistem persamaan yang berpadanan adalah
,
,
.
Tanpa menghitungnya, langsung didapatkan penyelesaian dari sistem yang diminta.
Untuk matriks B. Sistem persamaan yang berpadanan adalah:
Karena
,
, dan
berpadanan dengan utama 1 dalam matriks yang diperbanyak, kita
menyebutnya peubah utama. Peubah non utama yaitu
, disebut peubah bebas. Peubah utama
dinyatakan dalam peubah bebas untuk mendapatkan:
Kita misalkan peubah bebas
dengan suatu nilai, misalkan
. Maka didapat
penyelesaian umumnya:
5
Prosedur untuk mereduksi suatu matriks menjadi bentuk baris-eselon tereduksi disebut
eliminasi Gauss-Jordan, sedangkan prosedur untuk mereduksi suatu matriks menjadi bentuk
baris-eselon disebut elimininasi Gaussian.
Pandang Sistem Persamaan Linier (1). Apabila nilai
,
bernilai nol, maka
sistem tersebut dinamakan sistem persamaan homogen. Salah satu penyelesaian yang sudah
pasti memenuhi sistem persamaan adalah
,
semuanya bernilai nol. Penyelesaian jenis
ini disebut penyelesaian trivial, jika ada penyelesaian lain maka disebut penyelesaian taktrivial.
1.3 Matriks dan Operasi pada Matriks
Matriks adalah susunan bilangan berbentuk segiempat. Bilangan-bilangan dalam
susunan tersebut disebut anggota dalam matriks tersebut. Ukuran (orde) dari suatu matriks
diberikan oleh jumlah baris dan kolom yang dikandungnya. Sebagai contoh matriks
[
] memiliki 3 baris dan 2 buah kolom, dikatakan berukuran 3 kali 2, ditulis 3x2. Sebuah
matriks dengan hanya satu kolom disebut matriks kolom, sedangkan matriks dengan hanya satu
baris disebut matriks baris.
Untuk menyatakan suatu matriks biasanya digunakan huruf kapital, sedangkan untuk
menyatakan bilangan digunakan huruf kecil. Jadi boleh dituliskan:
[
] dan
[
]
Ketika mendiskusikan matriks, biasanya huruf kecil mewakili suatu bilangan, atau bisa
juga disebut suatu skalar. Anggota pada baris i dan kolom j dari suatu matriks A dinotasikan
dengan
. Sehingga, suatu matriks umum berukuran 3x2 bisa dituliskan:
[
]
6
Dan sebuah matriks umum mxn dapat ditulis sebagai:
[
]
Definisi: Dua buah matriks dikatakan sama jika keduanya mempunyai ukuran yang sama dan
anggota-anggota yang berpadanan bernilai sama.
Definisi: Jika A dan B adalah matriks-matriks berukuran sama, maka jumlah A+B adalah
matriks yang diperoleh dengan menambahkan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B
yang berpadanan, dan selisih A-B adalah matriks yang diperoleh dengab mengurangkan anggotaanggota A dengan anggota-anggota B yang berpadanan. Matriks-matriks yang memiliki ukuran
berbeda tidak bisa ditambahkan atau dikurangkan.
[
Contoh.
] dan
[
dapat menghitung A+B dan A-B, yaitu:
[
], dan
[
]. Karena matriks A dan B berukuran sama, maka kita
].
Definisi. Jika A adalah sembarang matriks dan c adalah suatu skalar, maka hasil kali skalar cA
adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap anggota dari A dengan c.
Contoh. Misal diberikan matriks
[
],
maka
[
]
7
Definisi. Jika A adalah sebuah matriks berukuran mxr dan B adalah sebuah matriks berukuran
rxn, maka hasil kali AB adalah matriks berukuran mxn, yang anggota-anggotanya: untuk
mencari anggota pada baris i kolom j dari AB, pilih baris i dari matriks A dan kolom j dari
matriks B. Kalikan anggota-anggota yang berpadanan dari baris dan kolom bersama-sama dan
kemudian jumlahkan hasil kalinya.
[
Contoh. Misal diberikan matriks
] dan
[
]. Maka
[
]
Sebuah matriks bisa dibagi atau dipartisi menjadi matriks-matriks yang lebih kecil
dengen cara menyelipkan garis horisontal atau vertikal diantara baris dan kolom yang ditentukan.
Misalnya, pada contoh di bawah ini, diberikan tiga buah partisi yang mungkin dari suatu matriks
umum A, yang berukuiran 3x4. Pertama, adalah sebuah partisi A menjadi empat sub-matriks
; kedua adalah partisi A menjadi matriks-matriks baris
adalah partisi A menjadi matriks-matriks kolom
[
, dan
]
[
.
[
[
]
[ ]
]
]
; dan ketiga
[
]
Definisi. Jika A adalah sembarang matriks berukuran mxn, maka transpos A, dinyatakan dengan
, didefinisikan sebagai matriks nxm yang didapatkan dengan menukarkan baris dan kolom
8
dari A; yaitu, kolom pertama dari A adalah baris pertama dari
baris kedua dari
, kolom kedua dari A adalah
, dst.
Contoh. Misal diberikan matriks
[
] maka
[
].
9
1.1 Pendahuluan
Sebuah garis pada bidang-
dapat dinyatakan secara aljabar dengan sebuah persamaan
linier:
Sebuah persamaan jenis ini disebut persamaan linier dalam dua peubah yaitu
Secara
umum,
Dengan
persamaan
dan
linier dalam
dan .
buah peubah disajikan dalam bentuk
merupakan konstanta, yaitu bilangan riil.
Contoh: Berikut merupakan contoh persamaan linier
Pada persamaan linier, tidak melibatkan hasil kali maupun akar dari peubah. Semua
peubah hanya muncul sekali dan tidak melibatkan fungsi transenden, seperti fungsi trigonometri,
logaritma, dan lainnya.
Suatu penyelesaian atau solusi dari persamaan linier
adalah sejumlah
buah nilai
yang apabila nilai ini disubstitusikan ke
pada ruas kiri dari persamaan linier akan bernilai
. Himpunan semua penyelesaian yang
1
mungkin dari suatu persamaan linier disebut himpunan penyelesaian atau himpunan solusi.
Kadang-kadang disebut penyelesaian umum persamaan.
Apabila terdapat beberapa persamaan linier, maka disebut sistem persamaan linier.
Bentuk umum dari sistem
persamaan linier
peubah adalah:
(1)
Dengan
adalah peubah, dan subskrip
dan
menyatakan konstanta.
Setiap sistem persamaan linier mungkin tidak mempunyai penyelesaian, mempunyai
tepat satu penyelesaian, atau mempunyai tak-hingga banyaknya penyelesaian.
Matriks yang diperbanyak (augmented matrix) dari sistem persamaan linier yang
diberikan pada Persamaan (1) adalah:
[
]
Salah satu metode dasar untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linier adalah
dengan menggantikan sistem yang ada dengan suatu sistem baru yang memiliki himpunan
penyelesaian yang sama dan lebih mudah dicari solusinya. Sistem baru ini dapat diperoleh
dengan melakukan tiga langkah berikut ini:
1. Kalikan salah satu persamaan dengan konstanta riil tak nol
2. Tukarkan dua buah persamaan
3. Tambahkan perkalian dari suatu persamaan ke persamaan lain.
Ketiga operasi di atas disebut operasi baris dasar.
2
Contoh: Carilah solusi dari sistem persamaan berikut ini dengan menerapkan operasi baris dasar
hingga memperoleh sistem persamaan baru yang mudah untuk didapatkan penyelesaiannya.
Jawab:
Bentuk matriks yang diperbanyak dari sistem persamaan di soal
[
]
Lakukan operasi baris agar didapatkan matriks yang lebih sederhana (misalnya, banyak
mengandung nol)
]
[
̃
̃
Didapatkan
̃
]( )[
[
, sehingga
[
]
]
. Dari baris 2 pada matriks yang terakhir
didapatkan
, substitusi
terakhir didapatkan
penyelesaiannya adalah
, untuk mendapatkan
, substitusi
, dan
. Dari baris pertama pada matriks yang
dan
untuk mendapatkan
. Jadi,
.
3
1.2 Eliminasi Gaussian
Pada sub bab 1.1 telah diperkenalkan definisi dari operasi baris dasar. Operasi baris dasar
dilakukan guna mendapatkan sistem persamaan baru (matriks baru) yang sederhana sehingga
mudah untuk didapatkan penyelesaiannya. Salah satu bentuk khusus matriks yang sederhana
sehingga mudah dicari penyelesesaian dari sistem yang bersesuaian adalah matriks yang
berbentuk baris-eselon tereduksi. Untuk menjadi bentuk ini, sebuah matriks harus memenuhi
sifat-sifat berikut ini.
1. Jika suatu baris tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka angkat tak-nol pertama pada baris
tersebut adalah angka 1 (angka 1 ini disebut utama 1)
2. Jika ada baris yang merupakan baris nol, maka baris-baris ini dikelompokkan bersama di
bagian bawah matriks.
3. Untuk sembarang dua baris tak-nol yang berurutan, utama 1 dari baris yang berada di
atas, berada di sebelah kiri utama 1 dari baris di bawahnya.
4. Masing-masing kolom yang berisi sebuah utama satu mempunyai nilai nol di tempat
lainnya.
Matriks yang hanya memenuhi sifat 1-3 disebut matriks yang berbentuk baris-eselon.
Contoh. Matriks a) dan matriks b) berbentuk baris-eselon tereduksi, sedangkan matriks c) dan d)
berbentuk baris-eselon.
a)
[
]
b) [
]
c) [
d) [
]
]
4
Contoh. Misalkan diberikan dua buah matriks, yaitu matriks
[
dan matriks
[
]
] yang merupakan matriks yang diperbanyak dari suatu
sistem persamaan linier yang telah direduksi oleh operasi baris menjadi bentuk baris-eselon
tereduksi. Selesaikan sistem tersebut.
Jawab.
Untuk matriks A. Sistem persamaan yang berpadanan adalah
,
,
.
Tanpa menghitungnya, langsung didapatkan penyelesaian dari sistem yang diminta.
Untuk matriks B. Sistem persamaan yang berpadanan adalah:
Karena
,
, dan
berpadanan dengan utama 1 dalam matriks yang diperbanyak, kita
menyebutnya peubah utama. Peubah non utama yaitu
, disebut peubah bebas. Peubah utama
dinyatakan dalam peubah bebas untuk mendapatkan:
Kita misalkan peubah bebas
dengan suatu nilai, misalkan
. Maka didapat
penyelesaian umumnya:
5
Prosedur untuk mereduksi suatu matriks menjadi bentuk baris-eselon tereduksi disebut
eliminasi Gauss-Jordan, sedangkan prosedur untuk mereduksi suatu matriks menjadi bentuk
baris-eselon disebut elimininasi Gaussian.
Pandang Sistem Persamaan Linier (1). Apabila nilai
,
bernilai nol, maka
sistem tersebut dinamakan sistem persamaan homogen. Salah satu penyelesaian yang sudah
pasti memenuhi sistem persamaan adalah
,
semuanya bernilai nol. Penyelesaian jenis
ini disebut penyelesaian trivial, jika ada penyelesaian lain maka disebut penyelesaian taktrivial.
1.3 Matriks dan Operasi pada Matriks
Matriks adalah susunan bilangan berbentuk segiempat. Bilangan-bilangan dalam
susunan tersebut disebut anggota dalam matriks tersebut. Ukuran (orde) dari suatu matriks
diberikan oleh jumlah baris dan kolom yang dikandungnya. Sebagai contoh matriks
[
] memiliki 3 baris dan 2 buah kolom, dikatakan berukuran 3 kali 2, ditulis 3x2. Sebuah
matriks dengan hanya satu kolom disebut matriks kolom, sedangkan matriks dengan hanya satu
baris disebut matriks baris.
Untuk menyatakan suatu matriks biasanya digunakan huruf kapital, sedangkan untuk
menyatakan bilangan digunakan huruf kecil. Jadi boleh dituliskan:
[
] dan
[
]
Ketika mendiskusikan matriks, biasanya huruf kecil mewakili suatu bilangan, atau bisa
juga disebut suatu skalar. Anggota pada baris i dan kolom j dari suatu matriks A dinotasikan
dengan
. Sehingga, suatu matriks umum berukuran 3x2 bisa dituliskan:
[
]
6
Dan sebuah matriks umum mxn dapat ditulis sebagai:
[
]
Definisi: Dua buah matriks dikatakan sama jika keduanya mempunyai ukuran yang sama dan
anggota-anggota yang berpadanan bernilai sama.
Definisi: Jika A dan B adalah matriks-matriks berukuran sama, maka jumlah A+B adalah
matriks yang diperoleh dengan menambahkan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B
yang berpadanan, dan selisih A-B adalah matriks yang diperoleh dengab mengurangkan anggotaanggota A dengan anggota-anggota B yang berpadanan. Matriks-matriks yang memiliki ukuran
berbeda tidak bisa ditambahkan atau dikurangkan.
[
Contoh.
] dan
[
dapat menghitung A+B dan A-B, yaitu:
[
], dan
[
]. Karena matriks A dan B berukuran sama, maka kita
].
Definisi. Jika A adalah sembarang matriks dan c adalah suatu skalar, maka hasil kali skalar cA
adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap anggota dari A dengan c.
Contoh. Misal diberikan matriks
[
],
maka
[
]
7
Definisi. Jika A adalah sebuah matriks berukuran mxr dan B adalah sebuah matriks berukuran
rxn, maka hasil kali AB adalah matriks berukuran mxn, yang anggota-anggotanya: untuk
mencari anggota pada baris i kolom j dari AB, pilih baris i dari matriks A dan kolom j dari
matriks B. Kalikan anggota-anggota yang berpadanan dari baris dan kolom bersama-sama dan
kemudian jumlahkan hasil kalinya.
[
Contoh. Misal diberikan matriks
] dan
[
]. Maka
[
]
Sebuah matriks bisa dibagi atau dipartisi menjadi matriks-matriks yang lebih kecil
dengen cara menyelipkan garis horisontal atau vertikal diantara baris dan kolom yang ditentukan.
Misalnya, pada contoh di bawah ini, diberikan tiga buah partisi yang mungkin dari suatu matriks
umum A, yang berukuiran 3x4. Pertama, adalah sebuah partisi A menjadi empat sub-matriks
; kedua adalah partisi A menjadi matriks-matriks baris
adalah partisi A menjadi matriks-matriks kolom
[
, dan
]
[
.
[
[
]
[ ]
]
]
; dan ketiga
[
]
Definisi. Jika A adalah sembarang matriks berukuran mxn, maka transpos A, dinyatakan dengan
, didefinisikan sebagai matriks nxm yang didapatkan dengan menukarkan baris dan kolom
8
dari A; yaitu, kolom pertama dari A adalah baris pertama dari
baris kedua dari
, kolom kedua dari A adalah
, dst.
Contoh. Misal diberikan matriks
[
] maka
[
].
9