Statistika Rata Rata dan rangking
UKURAN SENTRAL
TENDENSI
UKURAN TENDENSI SENTRAL
(CENTRAL TENDENCY MEASUREMENT)
1.
2.
3.
Rata-rata (mean)
Nilai tengah (median)
Modus
1. RATA-RATA (MEAN)
Jika data berasal dari suatu sampel, maka rata-rata
(mean) dirumuskan
Data Tidak Berkelompok
xi
x
n
Data Berkelompok
x
f x
f
i
i
i
Dimana
xi = nilai tengah kelas ke-i
fi = frekuensi kelas ke-i
Jika data merupakan data populasi, maka rata-rata
dirumuskan
Data Tidak Berkelompok
Data Berkelompok
x
i
N
fi x i
f
Dimana
i
xi = nilai tengah kelas ke-i
fi = frekuensi kelas ke-i
RATA-RATA HITUNG TERTIMBANG
Seringkali dalam suatu persoalan, masing-masing nilai
mempunyai bobot atau timbangan tertentu.
Misalnya X1 dengan timbangan W1, X2 dengan timbangan W2
dan seterusnya sampai Xn, dengan timbangan Wn
Oleh karena itu, rata-rata yang menggunakan timbangan
tersebut disebut rata-rata tertimbang
n
XiWi
X w i 1n
Wi
i 1
Contoh : Rata-rata Hitung Tertimbang
Seorang Mahasiswa dari jurusan Managemen U-Binus,
Mengikuti ujian untuk mata kuliah Ekonomi Mikro(4sks),
Metode Kuantitatif Bisnis (4sks), Statistik Ekonomi I
(2sks), Ekonomi Manajerial (4sks). Dari 4 mata kuliah
yang diambil diperoleh nilai akhirnya adalah:
Ekonomi Mikro
: 80
Metode Kuantitatif Bisnis
: 88
Statistik Ekonomi I
: 78
Ekonomi Manajerial
: 90
Hitunglah rata-rata hasil ujian dari mahasiswa tersebut?
Jawab :
Diketahui : X1 = 80, X2 = 88, X3 = 78, X4 = 90
W1 = 4, W2 = 4, W3 = 2, W4 = 4
Jawab :
n
XiWi
X w i 1n
Wi
4,80 4,88 2,78 4,90
84,67
4424
i 1
Jadi rata-rata ujian nilai mahasiswa tersebut = 84.67
RATA-RATA UKUR
Dalam masalah bisnis dan ekonomi seringkali diperlukan
data untuk mengetahui rata-rata persentasi tingkat
perubahan sepanjang waktu
log Xi
G anti log
n
Contoh : Rata-rata Ukur
Wilayah Metropolitan diharapkan akan memperlihatkan
laju kenaikan jumlah lapangan kerja yang tinggi antara
tahun 2001 dan 2002. Jumlah lapangan kerja
diharapkan meningkat dari 5.164.900 jiwa menjadi
6.286.800 jiwa berapa rata-rata ukur laju pertumbuhan
kenaikkan tahunan yang diharapkan?
Jawab:
log Xi
G anti log
n
Diketahui : X1 = 5.164.900, X2 = 6.286.800, n = 2
Log G = ½ (Log X1 +Log X2)
= ½ (Log 5164900 + Log 6286800)
= ½ (6.713 + 6.798)
= 6.7555
G = Antilog 6.7555 = 5695082.2
RATA-RATA HARMONIS
Rata-rata
harmonis (RH) dari n angka, X1, X2, …, Xn
adalah nilai yang diperoleh dengan jalan membagi n
dengan jumlah kebalikan dari masing-masing X
RH
n
n
1
X
i 1 i
Contoh : Rata-rata Harmonis
Seorang Pedagang Kaos di Bandung memperoleh hasil
penjualan Rp 2.000.000/Minggu dengan rincian sebagai
berikut :
Minggu 1 : Terjual 100 Kaos seharga Rp. 20.000/Kaos
Minggu 2 : Terjual 80 Kaos seharga Rp. 25.000/Kaos
Minggu 3 : Terjual 40 Kaos seharga Rp. 50.000/Kaos
Minggu 4 : Terjual 50 Kaos Seharga Rp. 40.000/Kaos
Berapakah Harga rata-rata kaos tersebut per-Kaosnya?
Jawab:
RH
n
4
n
1
1 1
1
1
20000 25000 50000
40000
X
i 1 i
29629,63
Jadi rata-rata harmonis harga per kaos = Rp.29629.63
EXERCISE
Pengawas Kualitas perusahaan industri batere secara
random memilih 20 buah batere guna diuji daya
tahannya. Hasil pengujian tersebut dinyatakan dalam
jam sebagai berikut:
158 272 127 184 213 135 140 220
200 130 111 160 193 131 281 242
116 281 192 217
Berapa rata-rata daya tahan dari keduapuluh batere
diatas?
2. MEDIAN
Median adalah besaran yang membagi data menjadi dua
kelompok yang memiliki persentase sama besar., dimana
himpunan bilangan disusun menurut urutan besarnya.
n
2 f
Median L1
f med
1
c
Dimana
L1 = tepi kelas bawah dari kelas median.
n
= banyak data
(Σ f)1= jumlah frekuensi semua kelas yang lebih rendah dari kelas
median
f med = frekuensi kelas median
c
= panjang kelas
15
CONTOH
Sebanyak 26 orang mahasiswa terpilih sebagai
sampel dalam penelitian kesehatan di sebuah
universitas. Mahasiswa yang terpilih tersebut
diukur berat badannya. Hasil pengukuran berat
badan disajikan dalam bentuk data berkelompok
seperti di bawah ini.
Selanjutnya adalah menentukan nilai-nilai yang akan
digunakan pada rumus.
Jumlah data adalah 26, sehingga mediannya terletak di
antara data ke 13 dan 14. Data ke-13 dan 14 ini berada
pada kelas interval ke-4 (61 – 65). Kelas interval ke-4 ini
kita sebut kelas median
Melalui informasi kelas median, bisa kita peroleh tepi
bawah kelas median sama dengan 60,5. Frekuensi
kumulatif sebelum kelas median adalah 9, dan frekuensi
kelas median sama dengan 5. Diketahui juga, bahwa
panjang kelas sama dengan 5.
Secara matematis bisa diringkas sebagai berikut:
xii = 60,5
n = 26
fkii = 9
fi = 5
p=5
Dari nilai-nilai tersebut dapat kita hitung median dengan
menggunakan rumus median data berkelompok.
Sehingga median berat badan mahasiswa adalah ……..
MODUS
Modus
suatu himpunan bilangan adalah nilai
yang paling sering muncul (memiliki frekuensi
maksimum). Modus mungkin tidak ada. Modus
dapat diperoleh dari rumus :
1
Modus L1
c
1 2
Dimana
L1 = tepi kelas bawah dari kelas modus.
1 = selisih frekuensi kelas modus dan frekuensi kelas
sebelumnya
2 = selisih frekuensi kelas modus dan frekuensi kelas
sesudahnya
c
= panjang kelas
20
Berikut ini adalah nilai statistik mahasiswa
jurusan ekonomi sebuah universitas.
Dari tabel di atas, kita bisa mengetahui bahwa modus
terletak pada kelas interval keempat (66 – 70) karena
kelas tersebut memiliki frekuensi terbanyak yaitu 27.
Sebelum menghitung menggunakan rumus modus data
berkelompok, terlebih dahulu kita harus mengetahui tepi
bawah kelas adalah 65,5, frekuensi kelas sebelumnya
14, frekuensi kelas sesudahnya 21. Panjang kelas
interval sama dengan 5.
HASILNYA ?
TENDENSI
UKURAN TENDENSI SENTRAL
(CENTRAL TENDENCY MEASUREMENT)
1.
2.
3.
Rata-rata (mean)
Nilai tengah (median)
Modus
1. RATA-RATA (MEAN)
Jika data berasal dari suatu sampel, maka rata-rata
(mean) dirumuskan
Data Tidak Berkelompok
xi
x
n
Data Berkelompok
x
f x
f
i
i
i
Dimana
xi = nilai tengah kelas ke-i
fi = frekuensi kelas ke-i
Jika data merupakan data populasi, maka rata-rata
dirumuskan
Data Tidak Berkelompok
Data Berkelompok
x
i
N
fi x i
f
Dimana
i
xi = nilai tengah kelas ke-i
fi = frekuensi kelas ke-i
RATA-RATA HITUNG TERTIMBANG
Seringkali dalam suatu persoalan, masing-masing nilai
mempunyai bobot atau timbangan tertentu.
Misalnya X1 dengan timbangan W1, X2 dengan timbangan W2
dan seterusnya sampai Xn, dengan timbangan Wn
Oleh karena itu, rata-rata yang menggunakan timbangan
tersebut disebut rata-rata tertimbang
n
XiWi
X w i 1n
Wi
i 1
Contoh : Rata-rata Hitung Tertimbang
Seorang Mahasiswa dari jurusan Managemen U-Binus,
Mengikuti ujian untuk mata kuliah Ekonomi Mikro(4sks),
Metode Kuantitatif Bisnis (4sks), Statistik Ekonomi I
(2sks), Ekonomi Manajerial (4sks). Dari 4 mata kuliah
yang diambil diperoleh nilai akhirnya adalah:
Ekonomi Mikro
: 80
Metode Kuantitatif Bisnis
: 88
Statistik Ekonomi I
: 78
Ekonomi Manajerial
: 90
Hitunglah rata-rata hasil ujian dari mahasiswa tersebut?
Jawab :
Diketahui : X1 = 80, X2 = 88, X3 = 78, X4 = 90
W1 = 4, W2 = 4, W3 = 2, W4 = 4
Jawab :
n
XiWi
X w i 1n
Wi
4,80 4,88 2,78 4,90
84,67
4424
i 1
Jadi rata-rata ujian nilai mahasiswa tersebut = 84.67
RATA-RATA UKUR
Dalam masalah bisnis dan ekonomi seringkali diperlukan
data untuk mengetahui rata-rata persentasi tingkat
perubahan sepanjang waktu
log Xi
G anti log
n
Contoh : Rata-rata Ukur
Wilayah Metropolitan diharapkan akan memperlihatkan
laju kenaikan jumlah lapangan kerja yang tinggi antara
tahun 2001 dan 2002. Jumlah lapangan kerja
diharapkan meningkat dari 5.164.900 jiwa menjadi
6.286.800 jiwa berapa rata-rata ukur laju pertumbuhan
kenaikkan tahunan yang diharapkan?
Jawab:
log Xi
G anti log
n
Diketahui : X1 = 5.164.900, X2 = 6.286.800, n = 2
Log G = ½ (Log X1 +Log X2)
= ½ (Log 5164900 + Log 6286800)
= ½ (6.713 + 6.798)
= 6.7555
G = Antilog 6.7555 = 5695082.2
RATA-RATA HARMONIS
Rata-rata
harmonis (RH) dari n angka, X1, X2, …, Xn
adalah nilai yang diperoleh dengan jalan membagi n
dengan jumlah kebalikan dari masing-masing X
RH
n
n
1
X
i 1 i
Contoh : Rata-rata Harmonis
Seorang Pedagang Kaos di Bandung memperoleh hasil
penjualan Rp 2.000.000/Minggu dengan rincian sebagai
berikut :
Minggu 1 : Terjual 100 Kaos seharga Rp. 20.000/Kaos
Minggu 2 : Terjual 80 Kaos seharga Rp. 25.000/Kaos
Minggu 3 : Terjual 40 Kaos seharga Rp. 50.000/Kaos
Minggu 4 : Terjual 50 Kaos Seharga Rp. 40.000/Kaos
Berapakah Harga rata-rata kaos tersebut per-Kaosnya?
Jawab:
RH
n
4
n
1
1 1
1
1
20000 25000 50000
40000
X
i 1 i
29629,63
Jadi rata-rata harmonis harga per kaos = Rp.29629.63
EXERCISE
Pengawas Kualitas perusahaan industri batere secara
random memilih 20 buah batere guna diuji daya
tahannya. Hasil pengujian tersebut dinyatakan dalam
jam sebagai berikut:
158 272 127 184 213 135 140 220
200 130 111 160 193 131 281 242
116 281 192 217
Berapa rata-rata daya tahan dari keduapuluh batere
diatas?
2. MEDIAN
Median adalah besaran yang membagi data menjadi dua
kelompok yang memiliki persentase sama besar., dimana
himpunan bilangan disusun menurut urutan besarnya.
n
2 f
Median L1
f med
1
c
Dimana
L1 = tepi kelas bawah dari kelas median.
n
= banyak data
(Σ f)1= jumlah frekuensi semua kelas yang lebih rendah dari kelas
median
f med = frekuensi kelas median
c
= panjang kelas
15
CONTOH
Sebanyak 26 orang mahasiswa terpilih sebagai
sampel dalam penelitian kesehatan di sebuah
universitas. Mahasiswa yang terpilih tersebut
diukur berat badannya. Hasil pengukuran berat
badan disajikan dalam bentuk data berkelompok
seperti di bawah ini.
Selanjutnya adalah menentukan nilai-nilai yang akan
digunakan pada rumus.
Jumlah data adalah 26, sehingga mediannya terletak di
antara data ke 13 dan 14. Data ke-13 dan 14 ini berada
pada kelas interval ke-4 (61 – 65). Kelas interval ke-4 ini
kita sebut kelas median
Melalui informasi kelas median, bisa kita peroleh tepi
bawah kelas median sama dengan 60,5. Frekuensi
kumulatif sebelum kelas median adalah 9, dan frekuensi
kelas median sama dengan 5. Diketahui juga, bahwa
panjang kelas sama dengan 5.
Secara matematis bisa diringkas sebagai berikut:
xii = 60,5
n = 26
fkii = 9
fi = 5
p=5
Dari nilai-nilai tersebut dapat kita hitung median dengan
menggunakan rumus median data berkelompok.
Sehingga median berat badan mahasiswa adalah ……..
MODUS
Modus
suatu himpunan bilangan adalah nilai
yang paling sering muncul (memiliki frekuensi
maksimum). Modus mungkin tidak ada. Modus
dapat diperoleh dari rumus :
1
Modus L1
c
1 2
Dimana
L1 = tepi kelas bawah dari kelas modus.
1 = selisih frekuensi kelas modus dan frekuensi kelas
sebelumnya
2 = selisih frekuensi kelas modus dan frekuensi kelas
sesudahnya
c
= panjang kelas
20
Berikut ini adalah nilai statistik mahasiswa
jurusan ekonomi sebuah universitas.
Dari tabel di atas, kita bisa mengetahui bahwa modus
terletak pada kelas interval keempat (66 – 70) karena
kelas tersebut memiliki frekuensi terbanyak yaitu 27.
Sebelum menghitung menggunakan rumus modus data
berkelompok, terlebih dahulu kita harus mengetahui tepi
bawah kelas adalah 65,5, frekuensi kelas sebelumnya
14, frekuensi kelas sesudahnya 21. Panjang kelas
interval sama dengan 5.
HASILNYA ?