Pertemuan ke 4 Notasi Jumlah Luas Integr

KALKULUS LANJUT
Pertemuan ke-4
Reny Rian Marliana, S.Si.,M.Stat.

Plot Materi
Notasi
Jumlah &
Sigma

Integral
Tentu

Jumlah
Rieman

Pendahuluan
Luas

Notasi Jumlah & Sigma
Purcell, et all. (page 226,2003):
Sebuah fungsi yang daerah asalnya hanya terdiri dari bilangan

bulat positif (atau suatu himpunan bagian lain dari bilangan
positif) disebut sebagai barisan.
Notasi dari sebuah barisan diantarnya a(n) atau an .
Sebagai contoh barisan {an } ditentukan oleh an = n2 dan barisan
{bn } ditentukan oleh bn = 1/n.
Contoh :
a1 , a2 , a3 , a4 , …
1, 4, 9, 16, …

Notasi Jumlah & Sigma
Perhatikan jumlah dari barisan berikut :
12 +22 +32 +42 +52 +…+1002
a1 + a2 + a3 + a 4 + … + an
Untuk menunjukkan jumlah ini dalam bentuk yang kompak,
barisan pertama dapat dituliskan sebagai berikut :
100

2
i


i 1

Sedangkan untuk barisan kedua dapat dituliskan menjadi
n

a
i 1

i

Notasi Jumlah & Sigma
Σ berpadanan dengan S yang menyatakan untuk
menjumlahkan (menambahkan) semua bilangan berbentuk
seperti yang ditunjukkan dengan indeks i terus meningkat
seiring peningkatan bilangan bulat positif, mulai dengan
bilangan bulat yang diperlihatkan di bawah Σ dan berakhir
dengan bilangan bulat di atas tanda Σ tersebut.
4

ab  a b

i 2
n

i i

2 2

 a3b3  a4b4

1 1 1 1
   

1 2 3
j 1 j
4

1

n

1
2
3
4
k
 2
 2
 2
 2

2
1 1 2 1 3 1 4 1
k 1 k  1

Notasi Jumlah & Sigma
Untuk n ≥ m
n

 F  i   F  m   F  m  1  F  m  2  

 F n

i m

n

Jika semua ci dalam  c memiliki nilai yang sama atau
konstan, anggap c maka :
i 1

n

c
i 1

i

i

 ccc

 c  n  c  nc

n suku

Contoh :
100

  4   100  4   400
i1

Notasi Jumlah & Sigma
TEOREMA A (Purcell, et all. page 227,2003):
Kelinearan Σ
Andaikan {ai } dan {bi } menyatakan dua barisan dan c suatu
konstanta, maka :
n

 ca

i 

i 1

i

n

 c  ai
i 1

n

n

n

i 1

i 1

i 1

n

n

n

i 1

i 1

i 1

 ii    ai  bi    ai   bi
 iii    ai  bi    ai   bi

Notasi Jumlah & Sigma
Contoh :

Andaikan
100

a
i 1

i

 60 dan

100

 b  11
i 1

i

100

Hitunglah

  2a  3b  4 
i 1

Penyelesaian :

i

i

100

100

100

100

  2a  3b  4    2a   3b   4
i 1

i

i

i 1

i

i 1

i

i 1

100

100

100

i 1

i 1

i 1

 2 ai  3 bi   4
 2  60   3 100   4 100 
 487

Notasi Jumlah & Sigma
Rumus Jumlah khusus (Purcell, et all. page 228,2003):
n

1. i  1  2  3 

n

i 1
n

2. i 2  12  22  32 

n  n  1
2

 n2 

i 1
n

3. i 3  13  23  33 
i 1
n

4. i  1  2  3 
4

4

4

4

6

 n  n  1 
 n3  

2


n 
4

i 1
n

5.  an 1  ai   an 1  a1
i 1
n

n  n  1   2n  1 

2
2
6.   i  1  i 2    n  1  1


i 1

2

n  n  1   6n 3  9n 2  n  1 
30

Notasi Jumlah & Sigma
Contoh
Hitunglah :
n

a. i
i 1

10

b. i

10

2

i 1

c. i 4
i 1

Penyelesaian :
10

a. i  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  55
i 1
10

10 10  1  20  1

i 1

6

b. i 2 

10

atau

i 
i 1

10 10  1
 55
2

 385

3
2
 10 4  4  10 10  1  60  90  10  1 
  1  25.332
c. i    i   1  
30
i 2


 i 1 
10

4

Pendahuluan Luas
Purcell, et all. (page 233,2003)
Sifat-sifat luas :
1. Luas sebuah daerah rata adalah bilangan (real) tak negatif.
2. Luas segi empat adalah hasil kali panjang dan lebarnya
(keduanya diukur dalam satuan sama). Hasil dalam suatu
persegi misalnya kaki persegi atau sentimeter persegi.
3. Daerah-daerah yang sama dan sebangun mempunyai luas
sama.
4. Luas gabungan dua daerah yang hanya berimpit menurut
sebuah ruas garis sama dengan jumlah luas kedua daerah
tersebut.
5. Jika sebuah daerah terkandung di dalam daerah yang
kedua, maka luas daerah pertama lebih kecil daripada atau
sama dengan luas yang kedua.

Pendahuluan Luas

Luas Menurut PoligonPoligon Dalam
Luas Daerah dengan batas
melengkung

Luas Menurut PoligonPoligon Luar

Luas Menurut Poligon-Poligon Dalam
Tinjaulah daerah R yang dibatasi parabola y=f(x)=x2 , sumby-x
dan garis tegak x=2. R adalah daerah di bawah kurva y=x2 di
antara x=0 dan x=2.
y

y=f(x)=x2

4

3

2

1
x

R
1

2

Luas Menurut Poligon-Poligon Dalam
Luas A(R) dapat dicari dengan langkah berikut.
Buatlah selang [0,2] menjadi n selang bagian, masing-masing
dengan panjang Δx menggunakan titik-titik n+1.
x0  0

0  x0  x1  x2  x3  x4 

 xn1  2

0

x0

x1  x 

2
n

4
n
6
x3  3  x 
n
x2  2  x 

2

x1

x2

x3

xi  i  x 
xn-1

xn

2i
n

xn 1   n  1  x 
xn   n   x 

2  n  1
n

2n
2
n

Luas Menurut Poligon-Poligon Dalam
Perhatikan segi empat dengan alas [xi-1 , xi ] dan tingginya f(xi-1)
Luasnya adalah f(xi-1)Δx .

f(xi-1)

xi-1

xi

Gabungan dari Rn dari semua segi empat yang demikian
membentuk poligon dalam dengan luas A(Rn) dapat dihitung
dengan menjumlahkan luas semua segi empat.

Luas Menurut Poligon-Poligon Dalam
A  Rn   f  x0  x  f  x1  x  f  x2  x  f  x3  x 

Dimana :

 f  xn1  x

A  lingkaran   lim A  Pn 
n

Maka :
A  Rn   f  x0  x  f  x1  x  f  x2  x  f  x3  x 
 8
  3
 n

 2   8
 0    3
   n

 2   8
 1    3
   n

 2   8
 2    3
   n

n 1

 f  xn 1  x   f  xi  x

 2
3 
 

i 0

 8 
2
   3   n  1 
 n 


 8   n 1 2 

  n  1   3    i 
  n   i 1 
3
2
 8    n  1  n   2  n  1  1  8   2n  3n  n  

 3 
 
3
n
6
6
 n  



8
1 1  8 4 4
 2  3  2     2
6
n n  3 n 3n

 8
 3
n

 2
2
2
 1  2  2 


2

Luas Menurut Poligon-Poligon Dalam
Purcell, et all. (page 233,2003):
Luas lingkaran adalah limit n∞ dari luas Pn . Jadi jika A(F)
menyatakan luas daerah F maka :

A  lingkaran   lim A  Pn 
n

Dengan demikian :

A  R   lim A  Rn 
n 

8 4 4 
 lim    2 
n  3
n 3n 

8

3

Luas Menurut Poligon-Poligon Luar
Perhatikan segi empat dengan alas [xi-1 , xi ] dan tingginya f(xi)
Luasnya adalah f(xi)Δx .

f(xi)

xi-1

xi

Gabungan dari Sn dari semua segi empat yang demikian
membentuk poligon luar dengan luas A(Sn) dapat dihitung
dengan menjumlahkan luas semua segi empat.

Luas Menurut Poligon-Poligon Luar
A  Sn   f  x1  x  f  x2  x  f  x3  x 

Dimana :

 f  xn  x

A  lingkaran   lim A  Pn 
n

Maka :
A  S n   f  x1  x  f  x2  x  f  x3  x 
 8
  3
 n

 2   8
 1    3
   n

 2   8
 2    3
   n

 2
3 
 

n

 f  xn  x   f  xi  x
i 1

 8 
2
   3   n  1 
 n 


 8   n 1 2 

  n  1   3    i 
  n   i 1 
3
2
 8    n  1  n   2  n  1  1  8   2n  3n  n  

 3 
 
3
6
n
6
 n  



8
1 1  8 4 4
 2  3  2     2
6
n n  3 n 3n

 8
 3
n

 2
2
2
 1  2  2 


2

Luas Menurut Poligon-Poligon Luar
Purcell, et all. (page 233,2003):
Luas lingkaran adalah limit n∞ dari luas Pn . Jadi jika A(F)
menyatakan luas daerah F maka :

A  lingkaran   lim A  Pn 
n

Dengan demikian :

A  R   lim A  Sn 
n 

8 4 4 
 lim    2 
n  3
n 3n 

8

3

Jumlah Riemann
Purcell, et all. (page 239,2003):
Pandanglah sebuah fungsi f yang didefinisikan pada selang
tutup [a,b]. Fungsi itu boleh bernilai positif ataupun negatif pada
selang tersebut dan bahkan tidak perlu kontinu.
Tinjaulah suatu partisi P dari selang [a,b] menjadi n selang
bagian (tidak perlu sama panjang) menggunakan titik-titik

a  x0  x1  x2  x3  x4 

 xn1  b

Dan andaikan Δxi =xi - xi -1 . Pada tiap selang bagian [xi-1, xi],
ambilah sebuah titik sebarangxi
(yang mungkin saja sebuah
titik ujuk), titik itu disebut sebagai titik sampel untuk selang
bagian ke-i

Jumlah Riemann
Contoh untuk n=6

Terbentuklah penjumlahan
n

Rp   f  xi  xi
i 1

Jumlah Riemann

Jumlah Riemann
Contoh :
Hitunglah jumlah Riemann Rp untuk :
f  x    x  1  x  2   x  4   x3  5x 2  2 x  8
Pada selang [0,5] dengan menggunakan partisi P dengan titiktitik parsial :

0  1,1  2  3, 2  4  5

Dan titik sampel berpadanan

x1  0, 5 x2  1, 5 x3  2, 5 x4  3, 6 x5  5
5

R p   f  xi  xi
i 1

 f  x1  x1  f  x2  x2  f  x3  x3  f  x4  x4  f  x5  x5
 f  0, 5  1,1  0   f 1, 5   2  1,1  f  2, 5   3, 2  2   f  3, 6   4  3, 2   f  5   5  4 
 23, 9698

Jumlah Riemann dan Integral Tentu

Paul A. Foerster (page 204, 2005) :

Definisi Integral Tentu
Purcell, et all. (page 239,2003):
Anggaplah f suatu fungsi yang didefinisikan pada selang
tertutup [a,b], jika
n

lim

P 

 f  x  x
i

i 1

i

Ada, katakan f adalah terintegrasikan pada [a,b]. Lebih lanjut
b

 f  x  dx
a

disebut integral tentu (integral riemann) f dari a ke b diberikan
oleh
b

n

 f  x  dx  lim  f  x  x
a

P 

i 1

i

i

Integral Tentu
b

 f  x  dx  A

atas

 Abawah

a
a

 f  x  dx  0
a

b

a

a

b

 f  x  dx    f  x  dx, a  b
Contoh :
2

3
x
 dx  0
2

2

6

6

2

3
3
x
dx


x

 dx

Integral Tentu
TEOREMA A (Purcell, et all. page 242,2003):
Teorema Keintegrasian
Jika f terbatas pada [a,b] dan f kontinu disana kecuali pada
sejumlah titik yang berhingga, maka f terintegrasikan pada
[a,b]. Khususnya, jika f kontinu pada seluruh selang [a,b], maka
f terintegrasikan pada [a,b].
Fungsi-fungsi yang terintegrasikan pada selang [a,b] :
1.

Fungsi polinomial

2.

Fungsi sinus dan kosinus

3.

Fungsi rasional, asalkan selang [a,b] tidak mengandung
titik-titik yang mengakibatkan penyebut 0

Integral Tentu
Contoh :
Hitunglah

3

  x  3  dx

2

Penyelesaian :

Buatlah partisi selang [-2,3]
menjadi n selang bagian yang
sama, masing-masing dengan
panjang Δx =5/n. dalam setiap
selang bagian [xi-1, xi], gunakan

xi
sebagai titik sampel :

x0  2
5
x1  2  x  2 
n
10
n
15
x3  2  3x  2 
n
x2  2  2x  2 

xi  2  i x  2 

5i
n

xn  2  nx  2 

5n
3
n

Integral Tentu
Jadi
f  xi   xi  3  1 

Sehingga :

n

5i
n

n

 f  x  x   f  x  x
i 1

i

i

i

i 1

i

n
 5i   5 
  1    
n  n
i 1 

5 n
5
 1  
n i 1  n 

2

n

i
i 1

5
5  n  n  1 
 n     

n
2
n 

25  1 
 5  1 
2  n
2



3

n

2

i 1

 f  xi  xi
  x  3  dx  Plim


25  1  
 lim  5   1   
P 
2  n 

35

2

Integral Tentu
TEOREMA B (Purcell, et all. page 244,2003):
Sifat Tambahan pada Selang
Jika f terintegrasikan pada sebuah selang yang mengandung
titik-titik a, b, dan c, maka
c

b

c

a

a

b

 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx
Tidak perduli apapun orde a, b, dan c.

Contoh :
2

1

2

0

0

1

2
2
2
x
dx

x
dx

x


 dx

TERIMA KASIH