P S TQ R P A BC D EF E A C

SOLUSI SOAL-SOAL 3
1.

Hitunglah luas segi
ABC  AED  90 .

lima
E

AB  AE  CD  1 ,

jika

ABCDE,

BC  DE  1 ,

dan

D

C
A
B

2.

E

D

Solusi:
Hubungkan titik A dengan titik D dan C. Perpanjang BC, sehingga
FB = DE. Jelaslah bahwa ADE  AFB , sehingga luas segi lima
C
ABCDE = luas segi empat AFCD. Perhatikan AFC  ACD ini
A
CD  FB  BC  FC  1 dan
mengikuti
kenyataan
bahwa

B
AF  AD (ingat kembali ADE  AFB )
1
 ABCDE   2  AFC   2  11  1
F
2
Pada diagram PQRS adalah persegi panjang dan T adalah titik tengah RS. Lingkaran dalam
PTS

dan RTQ masing-masing mempunyai jari-jari 3 cm. Lingkaran dalam PQT

mempunyai jari-jari 4 cm. Hitunglah luas persegi panjang PQRS .
R

T

S

Q
P

Solusi:
Lingkaran dalam RTQ berpusat di A menyinggung TR,
RQ, dan TQ berturut-turut di B, C, dan D. Lingkaran
dalam PQT berpusat di E dan menyinggung PQ di F.

R B
C

1
1
RTQ dan EQF  TQF .
2
2
ATB ~ EQF , sehingga

QF TB

FE AB
EF  4 , AB  3 , TB  QF  3

Sehingga
QF QF  3

4
3

1 | Husein Tampomas, Kreatif Pemecahan Soal Matematika , 2015

A
D

Jelaslah bahwa RTQ  TQP . Di sini,
ATB 

T

Q

S

E

F

P

3QF  4QF  12

QF  12

 QP  2  QF  2  12  24
TD  TB  12  3  9
QC  QD  QR  3

QT  QD  TD  QC  TB  QR  3  9  QR  6

Menurut Pythagoras:
QR 2  TR 2  QT 2
QR 2  122  QR  6

2

QR 2  144  QR 2  12QR  36

144  12QR  36
12QR  108

QR  9

Luas perasegi panjang ABCD
 QP  QR  24  12  216
3.

Jika a adalah bilangan bulat positif, maka a! adalah hasil perkalian 1 2  3  ...  a  1  a .
Sebagai contoh 3! 1 2  3  6 . Jika n adalah bilangan bulat positif, maka jumlah
1  1 1!2  2!3  3!...  n  n! adalah ....
Solusi:
1  1 1!2  2!3  3!...  n  n! 1!1 1!2  2!3  3!...  n  n!
 1!1  1  2  2!3  3!...  n  n!
 2!2  2!3  3!...  n  n!

 2!2  1  3  3!...  n  n!
 3!3  3!...  n  n!
 ...  n!n  n! n!n  1  n  1!

4.

Berapa banyak persegi panjang yang mempunyai sisi bilangan bulat positif yang mempunyai
nilai numerik keliling dan luasnya sama?
Solusi:
Ambillah ukuran persegi panjang adalah x dan y.
Keliling  2 x  2 y
Luas  xy
2 x  2 y  xy

xy  2 x  2 y

 y  2x  2 y
x

2y

2 y  2  2
4

 2
y2
y2
y2

y  2 adalah faktor positif dari 4, sehingga y  2  1,2,4
y  2  1  y  3 dan x  6

y  2  2  y  4 dan x  4
y  2  4  y  6 dan x  3

Jadi, banyak persegi adalah 2 buah.

2 | Husein Tampomas, Kreatif Pemecahan Soal Matematika , 2015

5.

2010
i


kal


... 222
Tentukan akar kuadrat dari 111... 111222


5 .
2011kali

Solusi:
2010
2010


kali





kali


111... 111222
...
222
5

111
...
111
 102012  222
... 222





  10  5
2011kali

2011kali



10

2010

1

9

 102012  2 

102011  1
 10  5
9





1 4022
10
 102012  2  102012  20  45
9
1
 104022  102012  25
9
1
 104022  2  5  102011  25
9
2
1
  102011  2  5  102011  52 


9
2
1
  102011  5 


9























2


1
  102011  5 
3


2010
kal
i



1 2011
111
...
111
222
... 222
5
Jadi, akar kuadrat dari


 5 adalah 3 10
2011kali



6.

Tentukan konstanta a, b, p, dan q dari



2 x  120  ax  b20  x 2  px  q 

10

untuk semua

bilanganreal x.
Solusi:
Substitusikan x 





10
1
20
20
ke 2 x  1  ax  b   x 2  px  q , sehingga
2

20

10

a

1 1

   b    p  q
2

4 2


Karena ke dua ruas mempunyai pangkat genap, maka

a
1 1
 b  0 dan  p  q  0 .
4 2
2

Akibatnya a  2b , sehingga

2 x  120  ax  b20  x 2  px  q 
10
2 x  120   2bx  b20  x2  px  q 
10
2 x  120  b20 2 x  120  x 2  px  q 
1  b20 2 x  120  x2  px  q 10
10

1  b 4 x  4 x  1  x  px  q 
1  b 2  x  x  14   x  px  q 
20

10

2

10

2

10

20

20

2



2

10



Sehingga

3 | Husein Tampomas, Kreatif Pemecahan Soal Matematika , 2015

1  b 2
20

20

 1 , p  1 , q 

1
4

1  b20  220
b20  1  220
b  20 1  2 20  20

220  1 1 20 20

2 1
2
220

a  20 220  1

dan

b

atau

1 20 20
2 1
2

dan

a  20 220  1

7.

Jika a dan b adalah akar-akar dari x 2  px  1  0 sedangkan c dan d adalah akar-akar dari
x 2  qx  1  0 . Nyatakan ekspresi a  c b  c a  d b  d  dalam p dan q.

Solusi:
x 2  px  1  0 akar-akarnya a dan b, sehingga a  b   p dan ab  1
x 2  qx  1  0 akar-akarnya c dan d, sehingga c  d  q dan cd  1

a  c b  c a  d b  d   ab  ca  b  c2 ab  d a  b  d 2 
 1  c p   c 2 1  d  p   d 2 





 1  cp  c 2 1  dp  d 2



 1  dp  d 2  cp  cdp 2 cd 2 p  c 2  c 2dp  c 2d 2





 1  c 2d 2  d 2  c 2  d  c  c 2d  cd 2 p  cdp 2
 c 2  2  d 2   c  d   cd c  d p  p 2

 c 2  2  d 2  c  d cd  1 p  p 2
 c 2  2cd  d 2  c  d 1  1 p  p 2
 c  d   p 2
2

  q   p 2
2

 q2  p2

8.

Didefinisikan

fungsi

f

dengan

f 1  f 2  f 3  ...  f 40

f x  

4 x  4 x2  1
2x  1  2x 1

x 1 .

untuk

Hitung

jumlah

Solusi:
Ambillah x  2n  1 dan y  2n  1 , sehingga

x2  y 2 



 

2n  1 



2

2n  1  2n  1  2n  1  4n

xy  2n  1  2n  1  4n 2  1
x2  y 2 
f n  




 

2n  1 



2

2n  1  2n  1  2n  1  2

x 2  y 2  xy
x3  y 3

 2

x y
x  y2
2n  1  2n  1
4n  4n 2  1




 
2n  1   
3

2n  1 
2

3
3
1
2n  12  2n  12 

2


4 | Husein Tampomas, Kreatif Pemecahan Soal Matematika , 2015


2n  1 
2n  1

3
2

3

3

2n  12  2n  12

2n  1  2n  1

f 1  f 2  f 3  ...  f 40 

3
3
3
3
3
3
3
3
 1 3 3 
1  2 2
3  1  5 2  3 2  7 2  5 2  ...  812  79 2    812  12 
 2

2 



1
1
1
 93  1  729  1  728  364
2
2
2



9.



Jika a adalah bilangan dua digit dan a adalah bilangan dua digit tetapi susunannya dibalik dari
bilangan a. Sebagai contoh 35  53 . Berapa banyak bilangan dua digit yang memenuhi bahwa

a  a adalah bilangan kuadrat sempurna.
Solusi:
Ambillah bilangan a  10 x  y dan a  10 y  x .
a  a  10x  y  10 y  x  11x  11y  11x  y 

Agar bentuk 11x  y  adalah bilangan kuadrat sempurna, maka haruslah x  y  11 .
Jadi, bilangan yang dimaksud adalah 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92.
10. Dua titik A dan B terletak di luar garis l. f  X  untuk titik X sembarang pada l yang menyatakan
jumlah jarak dari A ke titik X dan dari B ke titik X. Tentukan jarak terpendek yang mungkin dari
f  X  , jika jarak dari A ke l adalah 1, dari B ke l adalah 2 dan dari A ke B adalah 4.
B
A
2

1
A

X
4

B

l

Solusi:
B adalah refleksi B pada garis l. f  X  adalah jumlah
jarak dari A ke titik X dan dari B ke titik X. Jelaslah
bahwa f  X  adalah jarak terpendek pada perpotongan
AB" dan l, jika AX ' dan B"X ' bersama-sama dibentuk
oleh garis dari A ke B" .
Perhatikan ACB " siku-siku di C.
Menurut Pythagoras:

B
A
2

1

X
B
2

X

A
2

f  X '  AB"  32  42  5

5 | Husein Tampomas, Kreatif Pemecahan Soal Matematika , 2015

C

4

B

l