IR o func þie realã de p variabile reale, p

FORMULA LUI TAYLOR. EXTREME

  Vom extinde în acest capitol formula lui Taylor la funcþii scalare de mai multe

  p

  variabile de forma f : A  IR  IR. Reamintim cã în cazul p=1, dacã A este un

  n+1 interval, fC

  (A) ºi a,xA, atunci existã un  între a ºi x astfel încât:

  n

  1

  1

   k n

  1

  f ( x )  d f ( x  a )  d f ( x  a ) (*)

  a  

  k ! ( n  1 )!

   k

  Vom arãta cã ºi pentru p1, în anumite condiþii, existã o formulã similarã,

  V

  adicã putem sã aproximãm într-o vecinãtate V funcþia f cu polinomul Taylor T

  a n

  (de grad n):

  n

  1

  f ( x ) T ( x ) d f ( x a )

  k    .

  n a 

  k !

   k

  Una din problemele cele mai stringente din tehnicã, economie, etc. este cea a optimizãrii diverselor procese; optimizarea unui proces constã în aflarea extremelor (minime ori maxime) unei funcþii  funcþie care modeleazã matematic procesul respectiv  în anumite condiþii impuse variabilelor  condiþii care dau domeniul de definiþie al funcþiei. De aceastã problematicã se ocupã teoria optimizãrii. Noi vom aborda aici doar câteva tehnici de depistare a punctelor de extrem (locale, uneori ºi globale) ºi a naturii acestora folosind formula (*).

A. FORMULA LUI TAYLOR

  p

  Fie f : A IR  IR o funcþie realã de p variabile reale, p1.

  Definiþia 1. Dacã f este diferenþiabilã de n ori în punctul aA atunci funcþia p

  polinomialã T : IR  IR

  n

  1

  1

  n

  T ( x )  f ( a )  d f ( x  a )  ...  d f ( x  a ), x  A

  n a a

  1 ! n ! se numeºte polinomul lui Taylor de grad n asociat funcþiei f în punctul a; notând

  n

  1

  

k

  d f  f ( a ) , atunci putem scrie T ( x )  d f ( x  a ) . Funcþia:

  a n a 

  k !

   k

  R : A  IR , R (x)=f(x)T (x), xA

  n n n

  se numeºte restul de ordinul n, iar relaþia f(x)= T (x)+ R (x), xA

  n n

  o numim formula lui Taylor de ordinul n, sau dezvoltarea Taylor a funcþiei f în jurul punctului a.

  Observaþie. Folosind operatorul de diferenþiere d avem ( k )

     

  k

  d f  dx ... dx  f ( a ) ;   

  a 1 p

    x x  

  1 p

    dacã a=(a ,…a ), x=(x ,…x ), atunci:

  1 p 1 p

  ( k )

     

  k

    d f ( x a ) ( x a ) ... ( x a ) f ( a ) .      

  a

  1 1 p p

    x x  

  1 p

    Pentru a extinde formula (*) valabilã pe intervalul A pentru cazul p1 avem nevoie de douã noþiuni noi: cea de segment ºi cea de mulþime convexã.

  p Definiþia 2. Fie x,y IR . Numim segment închis care uneºte punctele x ºi y

  mulþimea:

  p

• x , y x t(y x)

  I R t , 1 .

           

  Mulþimea

  p p

  x , y x t(y x)

• p

  I R t ,

  1 I R

            

  , [x,y] A, spunem cã A se numeºte segment deschis. Dacã pentru orice x,yAIR este o mulþime convexã.

  p Teorema 1(formula lui Taylor). Fie AIR

  o mulþime convexã ºi f : A  IR o

  n+1

  funcþie de clasã C pe A ºi aA Å. Pentru orice xA existã un (a,x) astfel ca

  1

  1

  1

  1

  2 n n 

  1 f ( x ) f ( a ) d f ( x a ) d f ( x a ) ... d f ( x a ) d f ( x a ) .

           

   a a a

  1 ! 2 ! n ! ( n 1 )! 

  ,…a ), x=(x ,…x

  Demonstraþie. Sã considerãm a=(a 1 p 1 p ) ºi funcþia F : [0,1]IR

  definitã prin: F ( t )  f ( a  t ( x  a ))  f ( a  t ( x  a ),..., a  t ( x  a )) .

  1

  1 1 p p p n+1

  (n+1)

  Cum f este de clasã C rezultã cã F este derivabilã de n+1 ori, cu derivata F continuã. Din formula lui Mac-Laurin rezultã cã pentru orice t[0,1] existã (0,1) astfel ca:

  

2 n n 

  1

  t t t t

   '' ( n ) ( n 1 ) F ( t ) F ( ) F ' ( ) F ( ) ... F ( ) F ( t ) .

         1 ! 2 ! n ! ( n 1 )!

  

  1

  1

  1

   ( n ) ( n 1 )

  Cum f ( x ) F ( 1 ) F ( ) F ' ( ) ... F ( ) F ( ) , avem nevoie de        1 ! n ! ( n

  1 )! 

   '' ( n ) ( n

1 )

  valorile explicite F ' ( ), F ( ),..., F F ( ) . Conform regulilor de derivare a 

  ºi funcþiilor compuse ºi observaþiei precedente obþinem: f f

    F ' ( t ) ( x a ) ( a t ( x a )) ... ( x a ) ( a t ( x a ))

           

  1 1 p p

  x x  

  1 p (

1 )

      ( x a ) ... ( x a ) f ( a t ( x a )) .

         

  1 1 p p 

  x x  

  1 p

   

  2

  2

   

    f f

  '' F ( t )  ( x  a ) ( x  a ) ( a  t ( x  a ))  ...  ( x  a ) ( a  t ( x  a ))  ...

   

  1

  1

  1 1 p p

  2

   x  x  x

  1 1 p

   

  2

  2

   

   f  f ...  ( x  a ) ( x  a ) ( a  t ( x  a ))  ...  ( x  a ) ( a  t ( x  a )) 

  p p 

  1 1 p p 

  2

   x  x  x 

  

  p 1 p

   

  (

2 )

      ( x a ) ... ( x a ) f ( a t ( x a )) .

        

  1 1 p p

    x x p  

  1

   

• a) (x a unde ), a x ( f d ) ( F

  ... x x x

     

      

   

    

   

     

      

  1

  1

  1 n 1 k p p

  1

  ) ( 1 n ) k ( p p

  1 ) ( f ) x ( f

  ! k

  1 ) ( f x

    

   

  a x )!

  ( 1 n M p a x

  )! ( 1 n

  M ) x ( R ) x ( T ) x ( f

     

   

    

  )! ( 1 n

    

   

    

   .

  Observaþia 3. Dacã a=0=(0,...,0)A, formula lui Taylor:

  ) x ( f x ... x x x

   

    

  1 n 1 n 1 n p

  2

    

   

  2

  2

  2

  2

  2

     

  2

  ) b y )( b , a ( y f

  ) b y )( a x )( b , a ( y x f

  )( 2 ) a x b , a ( x f

  !

  2

    

   

   

    

   se numeºte formula lui Mac-Laurin.

  Observaþia 4. În cazul p=2 (folosind binomul lui Newton) dezvoltarea Taylor

  a funcþiei f în jurul punctului (a,b)A (sau dupã puterile lui xa ºi yb) devine: 

    

    

   

   

    

    ) b y )( b , a ( y f

  ) a x )( b , a ( x f

  !

  1

  1 ) b , a ( f ) y , x ( f

     

  1 k i i n n

  , în c azul în care derivatele parþiale de ordinul n+1 ale funcþiei f pe A (care intervin în expresia diferenþialei de ordinul n+1) sunt mãrginite de aceeaºi constantã M0:

  … )) a x ( t a ( f x

  n a ) n (

    

   

     

    

    .

  Prin urmare ) a x ( f d ) ( F ),..., a x ( f d ) ( F ), a x ( f d (0) F' , ) a ( f ) ( F

  2 a '' a

  1 ) ( 1 n

         , iar

  (a, x)

  ) 1 n ( 1 n

         

     .

  În consecinþã: ) a x ( f d

      

  1

  1 ) a x ( f d

      

  ) a x ( ... x

  ) a x ( ) t ( F

  ) n ( p p p

  1

  1

  1 ) n (

    

  1

   

     

     .

  )) a x ( t a ( f x ) a x ( ... x

  ) a x ( ) t ( F

  ) ( 1 n p p p

  )! ( 1 n

  ! k

  1 ) x ( T ) x ( f

     

  ) a x ( f d ) a ( f ) x ( f , egalitate care constituie o generalizare (pentru p1) a formulei creºterilor finite a lui Lagrange.

  Observaþia 2. Restul de ordinul n din formula lui Taylor:

  (a, x) ), a x ( f d )!

  ( 1 n

  1 ) x ( R

  1 n n

  

  p 1 k k k k

   

  ne permite sã evaluãm eroarea din aproximarea de ordinul n:

   

     

  n k k a n

  A x ), a x ( f d ! k

  (a, x) ), a x ( ) ( x f

      

  1 ) ( F

  

( 1 n

n k ) k (

  )! ( 1 n

  1 ) ( F

  ! k

  1 ) x ( f )

  F 1 (

  1 n n k k a

)

   

       

      

    

    



     ºi formula lui Taylor este demonstratã.

  Observaþia 1. Pentru n=0, din formula lui Taylor rezultã 

   

  1

  n n

  1 f  

  k n k k

  ... C ( a , b )( x a ) ( y b ) R ( x , y ) ,     

  n  n  n k k

  n ! x y

     k

  unde:

   n 

  1 n

  1

  1 f   

  k n 1 k k

  R ( x , y )  C (  ,  )( x  a ) ( y  b ) ,

   n n 1   n

  1 k k 

  ( n 1 )! x y    

  k

    a   ( x  a ),   b   (y - b), cu   (0,1) . În acest caz graficul funcþiei f este o suprafaþã de ecuaþie: S : z = f(x,y), (x,y)A.

  2

  

2

Sã presupunem cã fC (A), d f d f

    ºi U este o vecinãtate a punctului

  ( a , b ) ( a , b ) (a,b)A.

  Aproximarea de ordinul 0: f ( x , y ) T ( x , y ) f ( a , b ) , (x, y) U înseamnã, din    punct de vedere geometric, cã dacã (x,y)U punctul M(x,y,f(x,y)) este înlocuit cu punctul M

  (x,y,f(a,b)) aparþinând porþiunii de plan paralel cu xOy de ecuaþie: S : z = T (a,b) = f(a,b), (x,y)A, aproximare care, în general, este nesatisfãcãtoare chiar dacã vecinãtatea U este

  “ micã”.(vezi Fig.1.)

  z z=T (x,y) M (a,b,f(a,b)) M y

  U (a,b,0) x Fig.1.

  Aproximarea de ordinul întâi: f ( x , y )  T ( x , y )  f ( a , b )  d f(x

  a, y - b), (x, y)  U este -

  1 ( a , b )

  mai finã, cãci presupune înlocuirea punctului M cu punctul M (x,y,T (x,y)) din

  1

  1

  porþiunea de plan tangent în punctul P(a,b,f(a,b)) la suprafaþa S: S : z = T (x,y), (x,y)A.

  1

  1 (vezi Fig.2.).

  Aproximarea de ordinul al doilea:

  1

  2

  f ( x , y )  T ( x , y )  f ( a , b )  d f(x

  a, y

  b)  - d f(x

  a, y - b), (x, y)  U - -

  2 ( a , b ) ( a , b )

  2 este mai finã decât precedenta; în acest caz punctul M(x,y,f(x,y)) de pe graficul S, (x,y)U este înlocuit cu punctul M (x,y,T

  2 2 (x,y)) aparþinând suprafeþei de ecuaþie:

  S : z = T (x,y), (x,y)A,

  2

  2 suprafaþã tangentã în P(a,b,f(a,b)) la suprafaþa S ºi care are drept plan tangent în P planul S (vezi Fig.3.).

  1 z z=T ^{1 (x,y)}

  M (a,b,f(a,b))

  M ¹ S ¹ y (a,b,0) x Fig.2. z z=T ^{2 (x,y)} (a,b,f(a,b)) y

  S ² A (a,b,0) x

  Fig.3

  3

  3

  2 Exemplul 1. Sã se dezvolte polinomul f(x,y,z) = x +y +xyzz +xy+xz+1 dupã puterile lui x1, y+1 ºi z1.

  Rezolvare. Vom folosi dezvoltarea Taylor a funcþiei f în jurul punctului

  3

  4

  a=(1, 1,1) IR . Cum f este un polinom de gradul al treilea d f=0, deci R

  3 (x,y,z)=0 ºi

  formula lui Taylor este:

  1

  1

  

2

  3 f ( x , y , z )  f ( 1 ,  1 , 1 )  d f ( x  1 , y  1 , z 

1 )  d f ( x 

1 , y  1 , z  1 )  d f ( x  1 , y  1 , z  1 )

  ( 1 ,  1 , 1 ) (

1 , 

1 , 1 ) ( 1 ,  1 , 1 )

  2

  6

  2

2 Dar df

  3 x dx 3 y dy yzdx zxdy xydz 2 zdz ydx xdy dx dz ,          

  2

  2

  2

  2

  d f  6 xdx  6 ydy  ( zdy  ydz ) dx  ( zdx  xdz ) dy  ( ydx  xdy ) dz  2 dz  2 dxdy , iar

  3

  3

  d f  6 ( dx  dy  dxdydz ) .

  3

  2

  2

  2

  2 Calculãm acum f(1,1,1)=2, d f 

  2 dx  5 dy  4 dz , d f 6 dx 6 dy 2 dz    

    ( 1 , 1 , 1 ) ( 1 , 1 , 1 )

   4 dxdy  2 dydz  2 dzdx ; prin urmare:

  2

  2

  2

  f ( x , y , z )

  2 2 ( x 1 ) 5 ( y 1 ) 4 ( z 1 ) 3 ( x 1 ) 3 ( y 1 ) ( z 1 )               

  3

  3

  2 ( x 1 )( y 1 ) ( y 1 )( z 1 ) ( z 1 )( x 1 ) ( x 1 ) ( y 1 ) ( x 1 )( y 1 )( z 1 ) .                 

  Observaþie. Polinomul f din exemplul precedent este un vector din spaþiul

  liniar IR [x,y,z] al polinoamelor de trei variabile de grad mai mic sau egal cu trei

  3

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  exprimat în baza canonicã B ={1, x, y, z, xy, yz, x , y , z , x y, x z, y x, y z, z x, z y,

  c

  3

  3

  3

  x , y , z , xyz} (dim IR [x,y,z]=20). Dezvoltarea lui f dupã puterile lui x1, y+1, z1

  3

  înseamnã de fapt exprimarea acestui vector în baza B= {1, x1, y+1, z1, (x1)(y+1),

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  (y+1)(z1), (x1)(z1), (x1) , (y+1) , (z1) , (x1) (y+1), (x1) (z1), (y+1) (x1),

  2

  2

  2

  

3

  3

  3 (y+1) (z1), (z1) (x1), (z1) (y+1), (x1) , (y+1) , (z1) , (x1) (y+1) (z1)}.

  Exemplul 2. Folosind formula lui Taylor de ordinul al treilea sã se calculeze 2,1 valoarea aproximativã a numãrului (0,9) . y

  în punctul (x,y)=(0,9;

  Rezolvare. Ne intereseazã valoarea funcþiei f(x,y)=x

  2,1); vom alege drept punct (a,b) în jurul cãruia vom dezvolta funcþia f unul în care

  

putem calcula exact funcþia f ºi derivatele sale parþiale ºi, totodatã, cât mai apropiat

  de (x,y). Fie deci (a,b)=(1,2). Atunci: _{2 , 1}

  1 ₂ ( , 9 )  f ( x , y )  T ( x , y )  f ( _{3 (} 1 , 2 )  d f ( x  a , y  b )  d f ( x  a , y  b )  _{1 , 2 ) ( 1 , 2 )}

  2

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1   

  3

  2

  3

   d f ( x  a , y  b )  1  d f   ,  d f  ,  d f   , .

       

  ( 1 , 2 ) ( 1 , 2 ) ( 1 , 2 ) ( 1 , 2 )

  6

  10

  10

  2

  10

  10

  6

  10

  10      

   y 1 y 2 y  1 y 

  2 Cum d f yx dx x ln xdy |

  2 dx , d f  x dxdy  y ( y  1 ) x dx    

   ( 1 , 2 ) (1,2) ( 1 , 2 )    y 1 y 1 y y

  1

  2

  x ln x dx yx dx x ln xdy ln xdy x d xdy | dxdy 2 dx dxdy           

   (1,2)

  2

  7

  3

  2 2 ,

  1

    , iar d f 7 dx dy , rezultã cã .

  2 dx ( dx dy )  ( , 9 )  1    , 807

  ( 1 , 2 )

  10 1000

  2,1

  Sã remarcãm cã aproximarea de ordinul 0 este (0,9) (x,y)=1, iar cea de T

  2,1

  ordinul al doilea este (0,9) (x,y)=0,8. În nici unul din aceste cazuri nu avem o T

  1

  estimare a erorii comise. Dacã dorim sã calculãm o expresie cu o precizie prestabilitã  trebuie sã gãsim un nIN astfel ca R   .

  n

  N 4 , 1 ,

  4 Exemplul 3. Sã calculãm   cu douã zecimale exacte.

  9

  1

  1

  2

  4 f ( x , y ) x y pe care o dezvoltãm în jurul punctului (4; 1).

  Considerãm funcþia  Deoarece N=f(x,y) unde x=4,1 ºi y= 0,9, conform formulei lui Taylor existã (4; 4,1) ºi (0,9; 1) astfel încât:

  n

  1

  1

  1 k  

  N  f ( 4 , 1 )  d f ,   R ( x , y ) ,   ( 4 , 1 ) n

   k !

  10

  10 k  1  

  1

  1

  1

     n

  1

  unde   . Trebuie sã gãsim un nIN minimal astfel ca R ( x , y ) d f  , 

    n ( , )

  ( n  1 )!

  10

  10  

  

2 R ( x , y ) 

  10 , unde (x,y)=(4,1; 0,9). Deoarece:

  n

  1

  1

  1

  1

  1  

  R ( x , y ) d f , f ' ( , ) f ' ( , ) f ' ( , ) f ' ( , ) ,              

        ( , ) x y x y

  10

  10

  10

  10

  10   iar

  1

  1 

  1

  1

  1 1 

  3

  2

  4

  f ' (  ,  )     f ' ( , ) , atunci R ( x , y )  ºi     ºi

  x y

  3

  4

  2

  2

  4

  2

  40  aproximarea de ordinul zero: NT (x,y)=f(4,1)=2 nu pare sã fie satisfãcãtoare. Sã

  încercãm o estimare cât mai finã pentru restu l de ordinul întâi. Cum

  1

  1

  1

  1

  1

  2

  1  

  2 '' '' ''

  R ( x , y ) d f , f ( , ) f ( , ) f ( , )    ^{2       2   }

      1 ( , ) xy

  2

  2

  2 x y

  2

  10

  10

  2

  10

  10

  10  

  1

  '' '' ''

   f (  ,  )  ₂ 2 f (  ,  )  f (  ,  ) ₂

   xy  x y

  200 iar

  3

  1 

  1

  1

  ''

  2

  4

  f (  ,  )     , ₂

  x

  4

  32

  

  1

  3 

  1

  1

  1

  10

  5

  ''

  2

  4

  4

  f ( , ) ,         

  xy

  8

  8

  2

  9

  24

  

7



  1

  7

  3

  3

  1

  10

  3

  10

  5  

  ''

  2

  4

  4

  f ^{2 (  ,  )         } 2  ,  

  y

  16

  16

  2

  9

  32

  9

  24  

  1

  1

  10

  5

  1   rezultã cã R ( x , y )     , deci putem afirma cu certitudine cã  

  1

  200

  32

  24 24 100   aproximarea de ordinul întâi:

  1

  1

  1

  1

  1   

           N T ( x , y ) f ( 4 , 1 ) d f , 2   2 , 025 1 , 975

     

  1 ( 4 , 1 )

  10

  10

  10

  4

  2     este o evaluare cu douã zecimale exacte a numãrului N.

  B. EXTREMELE LOCALE ALE FUNCÞIILOR REALE DE MAI MULTE VARIABILE p

  Fie f : AIR IR, p1.

  Definiþia 3. Punctul aA se numeºte punct de extrem local (relativ) al funcþiei

  V

  f dacã existã o vecinãtate V

  a astfel încât „creºterea” funcþiei f : E(x)=f(x)f(a)

  pãstreazã semn constant pe mulþimea AV; dacã E(x)0, xAV spunem cã a este =f(a); dacã E(x)0, xAV un punct de maxim local, sau relativ pentru f ºi scriem f max

  =f(a). punctul a poartã numele de minim local (sau relativ) al funcþiei f ºi scriem f min Dacã V=A, iar punctul a este un extrem local (minim ori maxim) spunem cã a este un extrem global (sau absolut) al funcþiei f.

  Am vãzut cã, în cazul funcþiilor cu o singurã variabilã realã, teorema lui _ I este un punct de extrem pentru

  Fermat oferã condiþii necesare de extrem (dacã a f ' ( a ) f=0). funcþia f : I IR  IR ºi f este derivabilã în a, atunci  sau, echivalent, d

  a Teorema lui Fermat admite o generalizare pentru funcþiile de mai multe variabile. p

  Teorema 2(a lui Fermat-condiþii necesare de extrem local). Fie f : AIR IR,

  p1. Dacã aÅ este un punct de extrem al funcþiei f iar f este diferenþiabilã în a,  f atunci d f=0, sau, echivalent, ( a )  , k  1, p .

  a

   x

  k

  

Demonstraþie. Deoarece punctul a din interiorul mulþimii A este un extrem

  local pentru funcþia f, rezultã cã existã r0 astfel ca E(x)= f(x)f(a) sã pãstreze semn

  p

  constant pentru orice xS(a,r)A. Fie s un versor arbitrar din IR ºi funcþia auxiliarã

            g : ( r , r )

  I R , g(t) f(a ts) . Atunci g ( t ) g ( ) f ( a ts ) f ( a ) E ( a ts ) pãstreazã semn constant pentru t(r,r), cãci atsS(a,r), adicã funcþia g are un extrem local în t=0. Cum g este derivabilã în t=0 (fiind o compusã de funcþii derivabile), din teorema

   f  f lui Fermat rezultã cã g ' ( )  ( a )  ; prin urmare ( a )  , pentru orice versor s  s  s

  p p

  din IR ; în particular, punând s=e , k  1 , p (vectorii bazei canonice din IR

  k

  ) obþinem  f

  ( a )  , k  1, p , sau d f=0.

  a

   x

  k p Definiþia 4. Fie f : AIR IR, p1 ºi aÅ.

  Dacã f este diferenþiabilã în a ºi d a f=0, punctul a se numeºte punct staþionar al funcþiei f. Dacã a este punct staþionar pentru f, sau dacã f nu este diferenþiabilã în a, spunem cã a este punct critic al funcþiei f (pentru funcþia f).

  

Observaþia 1. Din teorema lui Fermat rezultã cã punctele interioare de

  extrem local ale funcþiei diferenþiabile f se gãsesc, dacã existã, printre soluþiile sistemului de p ecuaþii cu p necunoscute  f   .

  ( x ,... x ) , k 1, p

  1 p

   x

  k

Observaþia 2. Ca ºi în cazul p=1, teorema lul Fermat dã condiþii necesare,

  nu ºi suficiente, de existenþã a punctelor de extrem local. De exemplu, funcþia

  2

  f : IR IR, f(x,y)=xy are derivatele parþiale nule în (0,0), dar originea nu este punct de extrem local al funcþiei f (f fiind o formã pãtraticã nedefinitã). Deci (0,0) este un punct staþionar (deci ºi critic) pentru f care nu este extrem local. În schimb, pentru funcþia g : [0,)[0,)  IR, g(x,y)=xy , originea (0,0) este un punct critic (g nu este diferenþiabilã în (0,0)) care nu este staþionar, dar este un punct de extrem global.

  Observaþia 3. Am vãzut cã la funcþiile de o singurã variabilã semnul diferenþialei de ordinul al doilea într-un punct staþionar ne dã informaþii asupra naturii acestui punct. În cazul funcþiilor de mai multe variabile semnul diferenþialei de ordinul doi (care este o formã pãtraticã) într-un punct staþionar va stabili natura punctului respectiv. Vom utiliza urmãtoarele leme:

  p Lema 1. Fie  : IR IR o formã pãtraticã. p

  (a) Dacã  este pozitiv definitã (adicã (x)0, pentru orice x IR \ {0}) existã

  2 p m0 astfel ca  ( x )  m x , pentru x IR . p

  (b) Dacã  este nedefinitã atunci existã s , s  IR \ {0} astfel încât (ts

  1

  2 1 )0 ºi

• )0, pentru orice t IR .

  (ts

  2 p

  S x

  I R | x

  1 Demonstraþie. (a). Fie    . Atunci S este o mulþime închisã

   

  ºi mãrginitã, deci o mulþime compactã, iar  este o funcþie continuã, prin urmare  este mãrginitã ºi îºi atinge marginile pe S (teorema 16, cap.1). Fie m minimul funcþiei  pe S; desigur m0 cãci  este pozitiv definitã ºi:

  (x)m, pentru orice xS (1)

  ) a x )( a x )( x ( ) a x ( f d ) a x ( f d (4)

  Lema 2. Fie fC

  2

  încât: ) a x ( f d

  Demonstraþie. Fie xA \ {a}. Conform formulei lui Taylor existã (a,x) astfel

   .

     

  a x

          , unde ) a ( ) x ( lim

  2 a a

  2

  1 ) a x ( f d ) a ( f ) x ( f

  2

  (A) ºi aA. Atunci existã o funcþie  : AIR astfel ca pentru orice xA: ) x ( a x ) a x ( f d

  2

  2     .

  2 a

  2

  2

  ) t ts (

        ºi

  1

  2

  1

  1

  2

      (6) Dar  este formã pãtraticã, deci pentru orice t IR

  2

  2

  ) s (

  1 ) a x ( f d ) a ( f ) x ( f

      

  1

  

  2

  2 a

  p , 1 j i j j i i ij

        

    

  ) a x )( a x ( ) a ( f ) ( f ) a x ( f d ) a x ( f d _{j i j i} , deci, din (2) obþinem:

  2

  2 a

  p , 1 j i j j i i

''

x x

'' x x

         

   

    

  (3) Atunci:

    

  

  ij a x

   iar a când xa, din (2) rezultã: 1, p j i, , ) x ( lim

  '' x x _{j i}

  Cum ) A ( C f

    (2)

    

    

    

  2 j i 2 ij

  j i

  ) x (

  ) ( x x f

  1, p j i, ), a ( x x f

  (1) Fie

      ºi

  1

  Fie acum x IR

  p

  ... y y y ) x ,..., x (         (2) unde

  1

  1 1 p

  2

  2

  2

  2

  2 p p

  la baza B. Atunci:

  c

  ) matricea de trecere de la baza B

  ij

  . Cum  este o formã pãtraticã, existã o bazã ortonormatã B în care  are forma canonicã. Fie T=(b

  baza canonicã din IR

  1,2,..., p i , x b y

  c

  (b) Fie B

  p .

  , pentru orice x IR

   ; în consecinþã, din (1) rezultã cã x m ) x (  

     

       

  2

  1

  ) x ( x 1 x x

  1  ºi

  \ {0}; atunci S x x

  p

   

  p 1 j j ij i

  ) s (

   

   soluþiile sistemelor (4), respectiv (5). Atunci, conform (2) obþinem:

  2

  1

  p

   , respectiv ) b ,..., b ( s

  1

  1

  p

  ) a ,..., a ( s

     (5) au, þinând seama de (3), ca matrice pe T; prin urmare au soluþie unicã. Fie

  2

  i

  1,3,4,..., p i , y , 1 y

     (4)

   

  1

  i

  2,3,..., p i , y , 1 y

   

  (forma  fiind nedefinitã). Sistemele:

  1 0 ºi  2 0

  sunt valorile proprii ale matricii ataºate formei pãtratice  în baza canonicã. Putem presupune (cu o eventualã permutare a indicilor) cã 

  p

  ,..., 

  2

  , 

  1

  (3) iar 

   

• ) t s ( t ) ts (

  p

  2 ( x ) ( x )( x a )( x a )

  Fie (a)0 ºi      . Atunci din (1) ºi (4) rezultã cã:

  ij i i j j

  2 

  

  x a i , j

  1

  

  1

  2 f ( x )  f ( a )  d f ( x  a )  d f ( x  a )  x  a  ( x ) . a a

  2 Rãmâne sã dovedim cã lim  ( x )  . Aplicând succesiv inegalitatea modulelor,

  x  a

  respectiv inegalitatea lui Cauchy-Buniakowsky-Schwarz (vezi exemplul 14, cap.1) obþinem:

  p

  1 ( x ) ( x ) ( x a )( x a )

        

  ij i i j j 

  x  a

   i , j 1 p p p

  1

  2

  2

  2

  ( x ) ( x a ) ( x a ) ( x ) ,       

  ij i i j j ij

  2    i , j  1 i , j  1 i , j 

  1

  x a  lim  ( x )  . iar din (3) ºi teorema cleºtelui obþinem:

   x a p

  Teorema 3 (condiþii suficiente de extrem). Fie f : AIR IR, o funcþie de

  2

  2

  clasã C d f este pozitiv (negativ) definitã,

  ºi aA un punct staþionar pentru f. Dacã

  a

  2

  d f este atunci a este un punct de minim (respectiv maxim) local al funcþiei f. Dacã

  a nedefinitã atunci a nu este punct de extrem pentru funcþia f.

  d f

  Demonstraþie. Deoarece a este punct staþionar rezultã cã  ; conform a

  lemei 3 rezultã cã pentru orice xA

  1

  2

  2

        f ( x ) f ( a ) d f ( x a ) x a ( x ) (1)

  a

  2     . lim ( x ) ( a )

  ºi

   x a

  2

  1. Presupunem cã d f este pozitiv definitã; conform lemei 1 rezultã cã:

  a

  2

  2

     (2)  m0 astfel încât d f ( x a ) m x a

  a p

  pentru orice x IR . Din (1) ºi (2) rezultã cã: m

  2

         (3) f ( x ) f ( a )  ( x )  x a

  2  

  V

  pentru orice xA. Dar   astfel ca: lim ( x ) ºi m0, deci existã V

  a  x a

  m   ( x )  , pentru orice xV (4)

2 Din (3) ºi din (4) rezultã cã f(x) f(a)  0 pentru orice xA  V,adicã a este un minim local al funcþiei f.

  2

  2

  2. Dacã d f este negativ definitã , iar g= - f, atunci d

  a a g este pozitiv definitã ºi

  V

  conform punctului precedent, existã V astfel ca:

  a

  g(x) - g(a) = f(x) + f(a)  0, pentru orice x  V  A , adicã a este un maxim local pentru funcþia f.

  2

  3. Presupunem acum cã d f este nedefinitã. Conform lemei 1(b) rezultã cã

  a p

  , s -{0} astfel încât: existã douã direcþii s  IR

  1

  2

  2

  2 *

  d f (s f (s t) < 0 , pentru orice t IR (5) t) > 0 ºi d

  a 1 a

  2 Luând x = a + ts , cum aÅ, existã o vecinãtate V a punctului 0 IR

  1 ºi y = a + ts

  2

  astfel ca x,yA, pentru tV . Din (1) obþinem :

  1

  2

  2

  f(x) - f(a) = t ( d f(s ) + (x)) (6)

  a

  1

  2

  1

  2

  2

  f(y) - f(a) = t ( d f(s ) + (y)) (7)

  a

  2

  2 Dar lim lim (y), deci existã o vecinãtate U a punctului 0 IR, UV , astfel (x) = 0 =

    t t

  ca:

  2

  2

  1 d f(s 1 d f(s ) + (y) < 0 (8)

  a 1 ) + (x) > 0 ºi a

  2

  2

  2 pentru tU. În sfârºit, din (8),(6) ºi (7) rezultã cã pentru tU: f(x)f(a)>0 ºi f(y)f(a)<0, adicã punctul a nu este un extrem pentru funcþia f.

  2

  f este o formã pãtraticã a

  Observaþie. În condiþiile teoremei precedente d a

  2

     f

    (a)= ( a ) . Reamintim cã dacã cãrei matrice este hessiana funcþiei f în a: H f

     x  x

   i 1 , p i j

   

   j 1 , p

  2

  valorile proprii  , ,…, sunt mai mari (mici) sau egale cu 0, atunci d f este pozitiv

  1 2 p a

  (negativ) definitã, iar dacã existã  < 0 ea este nedefinitã. De asemenea,

  i >0 ºi  j

  pentru stabilirea naturii punctului a putem aplica criteriul lui Sylvester:

  '' ''

  f ( a ) f ( a ) ₂

  x x x ₁ ^{1 2} ''

  notând cu  = f ( a ) ,  = ,…,  =detH (a), atunci: ₂

  1 2 p f x ₁ '' ''

  f ( a ) f ( a ) ₂

  x x _{1 2 x 2}

  (a) dacã  1 , , atunci a este un minim local; 0, k= p

  k

p

  (b) dacã  <0 ,  >0 ,  <0,…., (1) >0, atunci a este un maxim local 

  1

  2 3 p

  pentru f; =0

  (c) dacã în inegalitatãþile de la (a), respectiv (b) existã k astfel încât  k metoda nu decide natura punctului a;

  2

  (d) în rest d a f este nedefinitã, deci a nu este punct de extrem pentru funcþia f.

  2 Exemplul 4. Sã determinãm extremele locale ale funcþiei f : IR IR,

  3

  2

  3

  2

  x 3 x y y

  2

  2