PEMBAHASAN DIMENSI TIGA KELAS X
PEMBAHASAN SOAL DIMENSI TIGA
1.
H
G
T
E
F
D
∝
C
P
A
B
Jarak titik C terhadap bidang AFH adalah CQ
CQ = AC sin ∝
sin ∝=
PT
AT
AC =√ 62 +6 2=6 √ 2
PT = tinggi = rusuk = 6 cm
AT =√ AP 2 + PT 2
1
1
AP= AC = .6 √ 2=3 √ 2
2
2
√
2
AT = ( 3 √ 2 ) +62 =√ 18+ 36= √54=3 √ 6
CQ = AC sin ∝=6 √ 2.
2 6 12
=12 √ . √ = √ 12=2.2 √ 3=4 √ 3
3 √6
√ 6 √6 6
6
Jawaban : B
2.
H
G
E
A
1
F
D
B
C
P
Panjang proyeksi AH pada bidang BDHF adalah panjang PH
PH =√ AH 2− AP2
Segitiga APH =segitiga siku−sikudi P
1
AP= AC
2
1
AP= .8 √2=4 √ 2
2
AC =8 √ 2 . Jadi
AH = diagonal bidang = 8 √ 2
√
2
2
√
2
2
PH = AH − AP = ( 8 √ 2 ) −( 4 √ 2 ) =√ 128−32= √ 96=4 √ 6 cm
Jawaban: C
3. AD tegak lurus alas, berarti AD ⊥ AC dan AD ⊥ DB
Dari gambar terlihat ∠ BDC
= siku-siku
4 cm
A
D
C
2 cm
2 cm
E
B
2
tan ∝=
AD
; AD=4 cm
DE
0
DE=DB cos
tan ∝=
90
1
=DB cos 450=2. √ 2=√ 2 cm
2
2
4 4
= √ 2=2 √ 2 cm
√2 2
Jawaban : E
4.
H
G
E
F
D
C
A
B
BG sejajar AH.
∠ BE, AH∠ BE, BG 60 0
Jawaban : C
5. Pada kubus ABCD.EFGH, titik P, Q, dan R terletak di pertengahan rusuk AD, BC, dan CG.
Y
X
H
G
E
F
S
D
R
3
C
P
Q
A
B
Langkah- langkah melukisnya adalah:
Hubungkan titik P dan Q, karena keduanya terletak pada bidang ABCD. PQ adalah
sumbu afinitas.
Hubungkan titik Q dan R, karena keduanya terletak pada bidang BCGF.
Perpanjang garis QR dan FG sehingga berpotongan di titik X.
Perpanjang garis EH.
Dari titik X buatlah garis yang sejajar HG sehingga memotong perpanjangan garis
EH di titik Y.
Hubungkan titik P dan Y sehingga memotong sisi DCGH di titik S.
Diperolehlah persegi panjang PQRS.
Jadi, irisan bidangnya berbentuk persegi panjang.
Jawaban : E
6. T.ABCD limas beraturan dengan panjang rusuk alas 12 cm dan rusuk tegak = 12 √ 2 cm.
Jarak A ke TC = AP
∆ ATP = ∆
siku-siku di P
Perhatikan ∆ ATC.
AC adalah diagonal sisi alas limas.
AC = 12 √ 2 cm.
AT = CT = 12 √2 cm (rusuk tegak)
Karena AC = CT = AT = 12 √ 2 cm maka ∆ ACT adalah segi tiga sama sisi.
4
∆ ACT sedangkan AP adalah garis tingginya. Dengan demikian CP = TP
CT adalah alas
1
2
=
CT = 6 √ 2 cm.
Karena ∆ ATP siku-siku, maka berlaku :
AP2 = AT2 – TP2
= (12 √ 2)2 – (6 √ 2)2 = 288 – 72 = 216
AP =
√ 216 cm = 6 √ 6 cm
Jadi jarak A ke TC adalah 6 √ 6 cm.
Jawaban : C
7. Bidang empat beraturan dengan panjang rusuk 4 cm.
Suut antara TP dengan bidang alas = sudut TPC.
Dari ∆ TPC terlihat
TP = PC
TP = √ 4 2−22
= √ 12 = 2 √ 3
Dan TC = 4
Dari rumus cosinus didapat :
2
2
2
TC =TP + PC −2TP . PC cos α
2
2
2
4 =(2 √3) +(2 √ 3) −2. ( 2 √ 3 ) ( 2 √3 ) cos α
16=12+12−2.12 cos α
−8=−24 cos α
cos α =
8 1
=
24 3
Lihat gambar !
tan α =
2 √2
=2 √ 2
1
Jawaban : A
5
8. Limas T.ABCD dengan panjang rusuk tegak =
√ 11 cm dan panjang rusuk alas = 2 √ 2
cm
Sudut antada bidang TAD dan TBC adalah α . Sudut antara bidang TAD dan TBC adalah
¿ PTQ = α
1
AP =
AD = √ 2
2
TP = TQ
TP 2=TA 2 −AP 2
11
√¿
¿
¿
¿¿
= 11 – 2
=9
TP = √ 9 = 3 = TQ
PQ = AB = 2 √ 2
Dari rumus cosinus didapat :
PQ2 =TP2+ TQ2 −2TP . TQ cos α
2
(2 √2) =32 +32 −2.3.3 cos α
8=18−18 cos α
18 cos α = 18 – 8 = 10
10 5
cos α = =
18 9
Jawaban : B
9. Prisma segi empat beraturan ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm dan tinggi prisma 8 cm.
Jarak D ke garis HT adalah DP
DP = TD sin ¿ PTD
¿ PTD=¿ HTD , jadi
DP=TD sin¿ HTD
TD =
1
2
diagonal alas =
1
×6 √ 2=3 √ 2 cm
2
DH
TH
DH = tinggi prisma = 8 cm
TH = √ TD 2+ DH 2= (3 √ 2)2+ 82
= √ 18+64=√ 82 , jadi :
sin ¿ HTD=
√
sin ¿ HTD=
8
√ 82
Sehingga didapat :
DP = TD sin ¿ HTD=3 √ 2.
=
3 √ 2 ×8
√ 2 √ 41
=
8
√ 82
24 24
= √ 41
√ 41 41
6
Jawaban : B
10. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm.
α adalah sudut antara BF dan bidang BEG
FI
sin α =
BI
1
1
×4 √2=2 √2
FI =
diagonal sisi =
2
2
BI = √ FI 2 +BF 2
2
=
(2 √ 2) +4 2 = √ 8+16
= √ 24=2 √ 6
Sehingga didapat :
FI
2 2
sin α = =2 √
BI
2√6
2
1
√ = = 1 √3
=
√2 √ 3 √3 3
Jawaban : C
√
11. Limas beraturan T.ABC dengan panjang rusuk alas 6 cm dan rusuk 9 cm. sudut antara
bidang TAB dengan bidang ABC adalah ¿ TDC=α
DE
cos α =
TD
1
Karena T.ABC limas beraturan, maka DE =
DC
3
1
. √ BC 2−BD 2
DE =
3
1
1
2
2
. √6 −3 = √ 27
=
3
3
1
.3 √3=√ 3
=
3
TD = √ TB2−BD 2
= √ 92−32
= √ 72=6 √ 2
DE √ 3 √6
cos α =
=
=
TD 6 √2 12
sin α =√ 1−cos α
2
=
√
2
6
1−( √ )
12
6
144−6 √ 138
=
1−
=
=
144
144
12
Jawaban : D
√
√
12.
T
D
A
5
cm
E
5
C
B
F
7
AE = jarak (A,TBC)
BC =√ 52 +52=5 √ 2
TC=√ 5 2+5 2=5 √ 2
1
CD= TC =5 √ 2
2
BD =√ BC 2 −CD2
2
5 √¿
¿
2
5
2
¿ −( √ 2)
2
¿
¿
¿√¿
√ (√ )√
2
√
2 75
50
25 5
AE=√ AB −BE = 5 −
= 25− =
= √3
3 2
3
3 3
Jawaban : B
2
2
2
13.
∝=∠ ( ADHE , ACH ) =∠CPD
Misal: rusuk kubus = a
1
1
PD= ED= a √ 2
2
2
2
2
1
3 2 1
2
2
2
2 1
CP=√ CD + PD = a + a √ 2 = a + a = a = a √ 6
2
2
2
2
1
a √2
PD 2
2
1 1
cos ∝=
=
= √ = = √3
CP 1
3 3
a √6 √6
2
Jawaban : B
√
(
)
√
√
√
14. Kubus ABCD.EFGH, panjang rusuk 4 cm. P titik tengah EH. Ditanyakan jarak P terhadap
garis CF.
Jarak suatu titik terhadap garis adalah jarak tegak lurus titik tersebut terhadap garis atau
perpanjangannya.
Jarak P terhadap CF adalah PQ.
PQ=CP sin ( ∠ PCF )
Untuk mencari sin ∠ PCF digunakan rumus cosinus
2
2
2
PF =CP +CF −2CP .CF cosθ
2
2
2
2
2
PF =FE + EP =4 +2 =20
2
2
2
2
2
2
2
CP =CD + DH + HP =4 + 4 +2 =36
CP=√ 36=6
2
2
2
2
2
CF =CB + BF =4 + 4 =32
CF= √ 32=4 √ 2
2
20=62+ ( 4 √ 2 ) −2.6.4 √ 2 cos ∠ PCF
8
68−20 1
= √2
48 √ 2 2
2
1
1
sin ∠ PCF= 1+( √ 2) = √ 2
2
2
1
PQ=CPsin ∠ PCF=6. √ 2=√ 18
2
Jawaban : B
cos ∠ PCF=
√
15. Kubus ABCD.EFGH, α sudut antara bidang ACF dan ABCD.
1
2+¿( √2)
2
3
1 2 = 1+ =
4
2
PF=√ ¿
PF sin ∝=1
1
1 √2 1
sin ∝=
=
= = √6
PF
3 √3 3
2
Jawaban : B
2
√ √
√
16. KL= jarak (K,CH)
CH =12 √ 2 cm
KC= √ 122 +62 =√ 180=6 √ 5
DK =KC=6 √ 5
5
6 √¿
¿
2
¿
¿
122+ ¿
KH =√ ¿
KH 2 =KC 2 +CH 2 −2. KC . CH . cos ∠ KCH
2
2
182=( 6 √ 5 ) + ( 12 √ 2 ) −2.6 √ 5.12 √ 2 cos ∠ KCH
324=180+288−144 √ 10 cos ∠ KCH
144 √ 10 cos ∠ KCH=144
144
1
cos ∠ KCH =
=
144 √10 √ 10
3
sin ∠ KCH=
√ 10
KL
sin ∠ KCL=
KC
3
KL
=
√10 6 √ 5
√ 10 KL=18 √ 5
18 5 18
KL= √ = =9 √ 2
√ 10 √2
Jawaban : D
9
1.
H
G
T
E
F
D
∝
C
P
A
B
Jarak titik C terhadap bidang AFH adalah CQ
CQ = AC sin ∝
sin ∝=
PT
AT
AC =√ 62 +6 2=6 √ 2
PT = tinggi = rusuk = 6 cm
AT =√ AP 2 + PT 2
1
1
AP= AC = .6 √ 2=3 √ 2
2
2
√
2
AT = ( 3 √ 2 ) +62 =√ 18+ 36= √54=3 √ 6
CQ = AC sin ∝=6 √ 2.
2 6 12
=12 √ . √ = √ 12=2.2 √ 3=4 √ 3
3 √6
√ 6 √6 6
6
Jawaban : B
2.
H
G
E
A
1
F
D
B
C
P
Panjang proyeksi AH pada bidang BDHF adalah panjang PH
PH =√ AH 2− AP2
Segitiga APH =segitiga siku−sikudi P
1
AP= AC
2
1
AP= .8 √2=4 √ 2
2
AC =8 √ 2 . Jadi
AH = diagonal bidang = 8 √ 2
√
2
2
√
2
2
PH = AH − AP = ( 8 √ 2 ) −( 4 √ 2 ) =√ 128−32= √ 96=4 √ 6 cm
Jawaban: C
3. AD tegak lurus alas, berarti AD ⊥ AC dan AD ⊥ DB
Dari gambar terlihat ∠ BDC
= siku-siku
4 cm
A
D
C
2 cm
2 cm
E
B
2
tan ∝=
AD
; AD=4 cm
DE
0
DE=DB cos
tan ∝=
90
1
=DB cos 450=2. √ 2=√ 2 cm
2
2
4 4
= √ 2=2 √ 2 cm
√2 2
Jawaban : E
4.
H
G
E
F
D
C
A
B
BG sejajar AH.
∠ BE, AH∠ BE, BG 60 0
Jawaban : C
5. Pada kubus ABCD.EFGH, titik P, Q, dan R terletak di pertengahan rusuk AD, BC, dan CG.
Y
X
H
G
E
F
S
D
R
3
C
P
Q
A
B
Langkah- langkah melukisnya adalah:
Hubungkan titik P dan Q, karena keduanya terletak pada bidang ABCD. PQ adalah
sumbu afinitas.
Hubungkan titik Q dan R, karena keduanya terletak pada bidang BCGF.
Perpanjang garis QR dan FG sehingga berpotongan di titik X.
Perpanjang garis EH.
Dari titik X buatlah garis yang sejajar HG sehingga memotong perpanjangan garis
EH di titik Y.
Hubungkan titik P dan Y sehingga memotong sisi DCGH di titik S.
Diperolehlah persegi panjang PQRS.
Jadi, irisan bidangnya berbentuk persegi panjang.
Jawaban : E
6. T.ABCD limas beraturan dengan panjang rusuk alas 12 cm dan rusuk tegak = 12 √ 2 cm.
Jarak A ke TC = AP
∆ ATP = ∆
siku-siku di P
Perhatikan ∆ ATC.
AC adalah diagonal sisi alas limas.
AC = 12 √ 2 cm.
AT = CT = 12 √2 cm (rusuk tegak)
Karena AC = CT = AT = 12 √ 2 cm maka ∆ ACT adalah segi tiga sama sisi.
4
∆ ACT sedangkan AP adalah garis tingginya. Dengan demikian CP = TP
CT adalah alas
1
2
=
CT = 6 √ 2 cm.
Karena ∆ ATP siku-siku, maka berlaku :
AP2 = AT2 – TP2
= (12 √ 2)2 – (6 √ 2)2 = 288 – 72 = 216
AP =
√ 216 cm = 6 √ 6 cm
Jadi jarak A ke TC adalah 6 √ 6 cm.
Jawaban : C
7. Bidang empat beraturan dengan panjang rusuk 4 cm.
Suut antara TP dengan bidang alas = sudut TPC.
Dari ∆ TPC terlihat
TP = PC
TP = √ 4 2−22
= √ 12 = 2 √ 3
Dan TC = 4
Dari rumus cosinus didapat :
2
2
2
TC =TP + PC −2TP . PC cos α
2
2
2
4 =(2 √3) +(2 √ 3) −2. ( 2 √ 3 ) ( 2 √3 ) cos α
16=12+12−2.12 cos α
−8=−24 cos α
cos α =
8 1
=
24 3
Lihat gambar !
tan α =
2 √2
=2 √ 2
1
Jawaban : A
5
8. Limas T.ABCD dengan panjang rusuk tegak =
√ 11 cm dan panjang rusuk alas = 2 √ 2
cm
Sudut antada bidang TAD dan TBC adalah α . Sudut antara bidang TAD dan TBC adalah
¿ PTQ = α
1
AP =
AD = √ 2
2
TP = TQ
TP 2=TA 2 −AP 2
11
√¿
¿
¿
¿¿
= 11 – 2
=9
TP = √ 9 = 3 = TQ
PQ = AB = 2 √ 2
Dari rumus cosinus didapat :
PQ2 =TP2+ TQ2 −2TP . TQ cos α
2
(2 √2) =32 +32 −2.3.3 cos α
8=18−18 cos α
18 cos α = 18 – 8 = 10
10 5
cos α = =
18 9
Jawaban : B
9. Prisma segi empat beraturan ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm dan tinggi prisma 8 cm.
Jarak D ke garis HT adalah DP
DP = TD sin ¿ PTD
¿ PTD=¿ HTD , jadi
DP=TD sin¿ HTD
TD =
1
2
diagonal alas =
1
×6 √ 2=3 √ 2 cm
2
DH
TH
DH = tinggi prisma = 8 cm
TH = √ TD 2+ DH 2= (3 √ 2)2+ 82
= √ 18+64=√ 82 , jadi :
sin ¿ HTD=
√
sin ¿ HTD=
8
√ 82
Sehingga didapat :
DP = TD sin ¿ HTD=3 √ 2.
=
3 √ 2 ×8
√ 2 √ 41
=
8
√ 82
24 24
= √ 41
√ 41 41
6
Jawaban : B
10. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm.
α adalah sudut antara BF dan bidang BEG
FI
sin α =
BI
1
1
×4 √2=2 √2
FI =
diagonal sisi =
2
2
BI = √ FI 2 +BF 2
2
=
(2 √ 2) +4 2 = √ 8+16
= √ 24=2 √ 6
Sehingga didapat :
FI
2 2
sin α = =2 √
BI
2√6
2
1
√ = = 1 √3
=
√2 √ 3 √3 3
Jawaban : C
√
11. Limas beraturan T.ABC dengan panjang rusuk alas 6 cm dan rusuk 9 cm. sudut antara
bidang TAB dengan bidang ABC adalah ¿ TDC=α
DE
cos α =
TD
1
Karena T.ABC limas beraturan, maka DE =
DC
3
1
. √ BC 2−BD 2
DE =
3
1
1
2
2
. √6 −3 = √ 27
=
3
3
1
.3 √3=√ 3
=
3
TD = √ TB2−BD 2
= √ 92−32
= √ 72=6 √ 2
DE √ 3 √6
cos α =
=
=
TD 6 √2 12
sin α =√ 1−cos α
2
=
√
2
6
1−( √ )
12
6
144−6 √ 138
=
1−
=
=
144
144
12
Jawaban : D
√
√
12.
T
D
A
5
cm
E
5
C
B
F
7
AE = jarak (A,TBC)
BC =√ 52 +52=5 √ 2
TC=√ 5 2+5 2=5 √ 2
1
CD= TC =5 √ 2
2
BD =√ BC 2 −CD2
2
5 √¿
¿
2
5
2
¿ −( √ 2)
2
¿
¿
¿√¿
√ (√ )√
2
√
2 75
50
25 5
AE=√ AB −BE = 5 −
= 25− =
= √3
3 2
3
3 3
Jawaban : B
2
2
2
13.
∝=∠ ( ADHE , ACH ) =∠CPD
Misal: rusuk kubus = a
1
1
PD= ED= a √ 2
2
2
2
2
1
3 2 1
2
2
2
2 1
CP=√ CD + PD = a + a √ 2 = a + a = a = a √ 6
2
2
2
2
1
a √2
PD 2
2
1 1
cos ∝=
=
= √ = = √3
CP 1
3 3
a √6 √6
2
Jawaban : B
√
(
)
√
√
√
14. Kubus ABCD.EFGH, panjang rusuk 4 cm. P titik tengah EH. Ditanyakan jarak P terhadap
garis CF.
Jarak suatu titik terhadap garis adalah jarak tegak lurus titik tersebut terhadap garis atau
perpanjangannya.
Jarak P terhadap CF adalah PQ.
PQ=CP sin ( ∠ PCF )
Untuk mencari sin ∠ PCF digunakan rumus cosinus
2
2
2
PF =CP +CF −2CP .CF cosθ
2
2
2
2
2
PF =FE + EP =4 +2 =20
2
2
2
2
2
2
2
CP =CD + DH + HP =4 + 4 +2 =36
CP=√ 36=6
2
2
2
2
2
CF =CB + BF =4 + 4 =32
CF= √ 32=4 √ 2
2
20=62+ ( 4 √ 2 ) −2.6.4 √ 2 cos ∠ PCF
8
68−20 1
= √2
48 √ 2 2
2
1
1
sin ∠ PCF= 1+( √ 2) = √ 2
2
2
1
PQ=CPsin ∠ PCF=6. √ 2=√ 18
2
Jawaban : B
cos ∠ PCF=
√
15. Kubus ABCD.EFGH, α sudut antara bidang ACF dan ABCD.
1
2+¿( √2)
2
3
1 2 = 1+ =
4
2
PF=√ ¿
PF sin ∝=1
1
1 √2 1
sin ∝=
=
= = √6
PF
3 √3 3
2
Jawaban : B
2
√ √
√
16. KL= jarak (K,CH)
CH =12 √ 2 cm
KC= √ 122 +62 =√ 180=6 √ 5
DK =KC=6 √ 5
5
6 √¿
¿
2
¿
¿
122+ ¿
KH =√ ¿
KH 2 =KC 2 +CH 2 −2. KC . CH . cos ∠ KCH
2
2
182=( 6 √ 5 ) + ( 12 √ 2 ) −2.6 √ 5.12 √ 2 cos ∠ KCH
324=180+288−144 √ 10 cos ∠ KCH
144 √ 10 cos ∠ KCH=144
144
1
cos ∠ KCH =
=
144 √10 √ 10
3
sin ∠ KCH=
√ 10
KL
sin ∠ KCL=
KC
3
KL
=
√10 6 √ 5
√ 10 KL=18 √ 5
18 5 18
KL= √ = =9 √ 2
√ 10 √2
Jawaban : D
9