CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN DIMENSI TIGA.
DIMENSI TIGA
1. Pada limas beraturan T.ABCD, panjang rusuk tegaknya 25 cm dan panjang rusuk
alasnya 7√2 cm. Jarak titik T ke bidang ABCD sama dengan …
Pembahasan
AE = ½AC = 7 cm
2. Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm, titik P adalah tepat ditengah
CG, tentukan jarak titik C ke garis AP!
Pembahasan
Posisi titik C dan garis AP pada kubus sebagai berikut:
Cari panjang AP terlebih dahulu,
dilanjutkan menentukan jarak C ke AP,
3. Panjang rusuk kubus ABCD . EFGH adalah 6 cm. Jika S adalah titik potong EG dan
FH, maka jarak DH ke AS adalah ...
Pembahasan :
4. Pada kubus ABCDEFGH, titik P pada AD dan titik Q pada EH sehingga AP=EQ =
12 cm. Jika panjang rusuk 12√3 cm maka jarak A ke BPQF sama dengan …
Pembahasan
BP2 = BA2 + AP2 = 432 + 144 = 576
BP = 24
t = 30o ====>
sin t = ½
5. Kubus ABCD.EFGH dengan panjang sisi 12 cm. Titik P adalah perpotongan diagonal
bidang ABCD. Tentukan jarak titik P ke titik G
Pembahasan
Gambar sebagai berikut
AC panjangnya 12√2, sementara PC adalah setengah dari AC. Sehingga PC = 6√2
cm. CG = 12 cm.
6. Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH. Jarak titik C dan bidang AFH= ….
H
G
E
F
6
cm
D
A
C
B
Jarak titik C terhadap bidang AFH adalah CQ
CQ = AC sin ∝
sin ∝=
PT
AT
AC =√ 62 +6 2=6 √ 2
PT = tinggi = rusuk = 6 cm
AT =√ AP 2 + PT 2
1
1
AP= AC = .6 √ 2=3 √ 2
2
2
√
2
AT = ( 3 √2 ) +62 =√ 18+ 36= √54=3 √ 6
CQ = AC sin ∝=6 √ 2.
2 6 12
=12 √ . √ = √ 12=2.2 √ 3=4 √ 3
3 √6
√ 6 √6 6
6
7. Bidang empat ABCD, pada gambar dengan AD tegak lurus alas. Sudut antara bidang BCD dan
∝=¿
….
tan ¿
BCA adalah ∝ , maka
4 cm
A
D
C
2 cm
2 cm
B
AD tegak lurus alas, berarti AD ⊥ AC dan AD ⊥ DB
Dari gambar terlihat ∠BDC
tan ∝=
AD
; AD=4 cm
DE
DE=DB cos
tan ∝=
= siku-siku
90 0
1
=DB cos 450=2. √ 2=√ 2 cm
2
2
4 4
= √ 2=2 √ 2 cm
√2 2
8. Perhatikan gambar di bawah!
T
5
cm
5
A
cm
5
B
cm
C
AT, AB dan AC saling tegak lurus di A. Jarak titik A ke bidang TBC adalah ….
AE = jarak (A,TBC)
BC =√ 52 +52=5 √ 2
TC=√ 5 2+5 2=5 √ 2
1
CD= TC =5 √ 2
2
BD =√ BC 2 −CD2
2
5 √¿
¿
2
5
¿2−( √ 2)
2
¿
¿
¿√¿
√ (√ )√
2
√
2 75
50
25 5
AE=√ AB −BE = 5 −
= 25− =
= √3
3 2
3
3 3
9. Pada kubus ABCD. EFGH, ∝ adalah sudut antara bidang ADHE dan ACH. Nilai
2
2
2
cos ∝=¿
….
∝=∠ ( ADHE , ACH ) =∠CPD
Misal: rusuk kubus = a
1
1
PD= ED= a √ 2
2
2
2
2
1
3 2 1
2
2
2
2 1
CP=√ CD + PD = a + a √ 2 = a + a = a = a √ 6
2
2
2
2
1
a √2
PD 2
2
1 1
cos ∝=
=
= √ = = √3
CP 1
3 3
a √6 √6
2
10. Diketahui kubus ABCD. EFGH, titik P,Q,R di pertengahan rusuk AD, BC, dan CG. Irisan bidang
√
(
)
√
√
√
yang melalui P, Q dan R dengan kubus berbentuk ….
Pada kubus ABCD.EFGH, titik P, Q, dan R terletak di pertengahan rusuk AD, BC, dan
CG.
Y
X
H
G
F
E
S
R
D
C
P
A
Q
B
Langkah- langkah melukisnya adalah:
Hubungkan titik P dan Q, karena keduanya terletak pada bidang ABCD. PQ
adalah sumbu afinitas.
Hubungkan titik Q dan R, karena keduanya terletak pada bidang BCGF.
Perpanjang garis QR dan FG sehingga berpotongan di titik X.
Perpanjang garis EH.
Dari titik X buatlah garis yang sejajar HG sehingga memotong perpanjangan garis
EH di titik Y.
Hubungkan titik P dan Y sehingga memotong sisi DCGH di titik S.
Diperolehlah persegi panjang PQRS.
Jadi, irisan bidangnya berbentuk persegi panjang.
1. Pada limas beraturan T.ABCD, panjang rusuk tegaknya 25 cm dan panjang rusuk
alasnya 7√2 cm. Jarak titik T ke bidang ABCD sama dengan …
Pembahasan
AE = ½AC = 7 cm
2. Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm, titik P adalah tepat ditengah
CG, tentukan jarak titik C ke garis AP!
Pembahasan
Posisi titik C dan garis AP pada kubus sebagai berikut:
Cari panjang AP terlebih dahulu,
dilanjutkan menentukan jarak C ke AP,
3. Panjang rusuk kubus ABCD . EFGH adalah 6 cm. Jika S adalah titik potong EG dan
FH, maka jarak DH ke AS adalah ...
Pembahasan :
4. Pada kubus ABCDEFGH, titik P pada AD dan titik Q pada EH sehingga AP=EQ =
12 cm. Jika panjang rusuk 12√3 cm maka jarak A ke BPQF sama dengan …
Pembahasan
BP2 = BA2 + AP2 = 432 + 144 = 576
BP = 24
t = 30o ====>
sin t = ½
5. Kubus ABCD.EFGH dengan panjang sisi 12 cm. Titik P adalah perpotongan diagonal
bidang ABCD. Tentukan jarak titik P ke titik G
Pembahasan
Gambar sebagai berikut
AC panjangnya 12√2, sementara PC adalah setengah dari AC. Sehingga PC = 6√2
cm. CG = 12 cm.
6. Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH. Jarak titik C dan bidang AFH= ….
H
G
E
F
6
cm
D
A
C
B
Jarak titik C terhadap bidang AFH adalah CQ
CQ = AC sin ∝
sin ∝=
PT
AT
AC =√ 62 +6 2=6 √ 2
PT = tinggi = rusuk = 6 cm
AT =√ AP 2 + PT 2
1
1
AP= AC = .6 √ 2=3 √ 2
2
2
√
2
AT = ( 3 √2 ) +62 =√ 18+ 36= √54=3 √ 6
CQ = AC sin ∝=6 √ 2.
2 6 12
=12 √ . √ = √ 12=2.2 √ 3=4 √ 3
3 √6
√ 6 √6 6
6
7. Bidang empat ABCD, pada gambar dengan AD tegak lurus alas. Sudut antara bidang BCD dan
∝=¿
….
tan ¿
BCA adalah ∝ , maka
4 cm
A
D
C
2 cm
2 cm
B
AD tegak lurus alas, berarti AD ⊥ AC dan AD ⊥ DB
Dari gambar terlihat ∠BDC
tan ∝=
AD
; AD=4 cm
DE
DE=DB cos
tan ∝=
= siku-siku
90 0
1
=DB cos 450=2. √ 2=√ 2 cm
2
2
4 4
= √ 2=2 √ 2 cm
√2 2
8. Perhatikan gambar di bawah!
T
5
cm
5
A
cm
5
B
cm
C
AT, AB dan AC saling tegak lurus di A. Jarak titik A ke bidang TBC adalah ….
AE = jarak (A,TBC)
BC =√ 52 +52=5 √ 2
TC=√ 5 2+5 2=5 √ 2
1
CD= TC =5 √ 2
2
BD =√ BC 2 −CD2
2
5 √¿
¿
2
5
¿2−( √ 2)
2
¿
¿
¿√¿
√ (√ )√
2
√
2 75
50
25 5
AE=√ AB −BE = 5 −
= 25− =
= √3
3 2
3
3 3
9. Pada kubus ABCD. EFGH, ∝ adalah sudut antara bidang ADHE dan ACH. Nilai
2
2
2
cos ∝=¿
….
∝=∠ ( ADHE , ACH ) =∠CPD
Misal: rusuk kubus = a
1
1
PD= ED= a √ 2
2
2
2
2
1
3 2 1
2
2
2
2 1
CP=√ CD + PD = a + a √ 2 = a + a = a = a √ 6
2
2
2
2
1
a √2
PD 2
2
1 1
cos ∝=
=
= √ = = √3
CP 1
3 3
a √6 √6
2
10. Diketahui kubus ABCD. EFGH, titik P,Q,R di pertengahan rusuk AD, BC, dan CG. Irisan bidang
√
(
)
√
√
√
yang melalui P, Q dan R dengan kubus berbentuk ….
Pada kubus ABCD.EFGH, titik P, Q, dan R terletak di pertengahan rusuk AD, BC, dan
CG.
Y
X
H
G
F
E
S
R
D
C
P
A
Q
B
Langkah- langkah melukisnya adalah:
Hubungkan titik P dan Q, karena keduanya terletak pada bidang ABCD. PQ
adalah sumbu afinitas.
Hubungkan titik Q dan R, karena keduanya terletak pada bidang BCGF.
Perpanjang garis QR dan FG sehingga berpotongan di titik X.
Perpanjang garis EH.
Dari titik X buatlah garis yang sejajar HG sehingga memotong perpanjangan garis
EH di titik Y.
Hubungkan titik P dan Y sehingga memotong sisi DCGH di titik S.
Diperolehlah persegi panjang PQRS.
Jadi, irisan bidangnya berbentuk persegi panjang.