SOAL DAN PEMBAHASAN DIMENSI TIGA
1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm. jarak E ke bidang AFH adalah ….
a √
3
cm Pembahasan Perhatikan gambar berikut.
EG=a √
2
cm, diagonal bidang EP=
1
2 EG=
1
2
2
3
cm AP=
cm Dengan perbandingan segitiga ER= EP × AE
2
2
a
2
2
1
6
2
a √
2
2
a √
Dimensi Tiga SOAL DAN PEMBAHASAN DIMENSI TIGA Jarak dalam Ruang
A.
1
6
a √
6
cm B.
1
3
3
cm E.
cm C.
1
3
a √
6
cm D.
1
3
a √
2
2
- EP
- 2
)
- (
√
√
6 =
a √
2
√
6 =
a √
2
√
2
a
3 =
a
√
3 =
1
3
a √
3 cm
Jawaban B
2
a √
2× a
√ a
√ a
4
a
a √
=
√
2
4
a
=
=
=
2
√
6
√ AE
AP
=
1
2
2
Dimensi Tiga
2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. titik P adalah a titik potong AH
dengan ED dan titik Q adalah titik potong FH dengan EG. Jarak titik B dengan garis PG adalah …
22 A. √ cm
21 B. √ cm
5 C. 2 cm √
19 D. cm √
3
2 E. cm √
3. Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 12 cm. jika P titik tengah CG, maka jarak titik P dan garis GB adalah … cm.
A.
8
5
√ B.
6
5
√ C.
6
3
√ D.
6
2
√
E. 6 Pembahasan Perhatikan gambar berikut Panjang PR = AC = diagonal bidang = cm
12
2
√ Jarik titik P dengan garis HB adalah:
1
1 PO= × PR= × 12 2=6 2 cm
√ √
2
2 Jawaban D 4. Panjang rusuk ABCD.EFGH adalah a cm. jarak A ke diagonal HB adalah ….
a
6 A. √
2
a
6 B. √
3
a
6 C.
√
4
Dimensi Tiga a
6 D. √
5
a
6 E.
√
6 Pembahasan
Perhatikan gambar berikut AH merupakan diagonal bidang maka panjang
AH =a
2 cm
√ HB merupakan diagonal ruang maka panjang cm
HB=a
3
√ Jarak titik A ke diagonal HB adalah AP
AB × AH a × a
2 a 2 a
√ √ AP=
6 cm = = =
√ HB
3
a
3
3
√ √ Jawaban B
5. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm. jika S merupakan proyeksi titik C pada bidang AFH maka jarak titik A ke titik S adalah … cm
1
a
3 A.
√
3
1
a
6 B. √
3
2
a
3 C. √
3 D. a
2
√ E. a
3
√ Pembahasan Perhatikan gambar berikut.
Dimensi Tiga EG = AC merupakan diagonal bidang = a
2 cm
√
1
1 ET = EG= a 2 cm
√
2
2 Dari ∆ ATC siku-siku di E, diperoleh:
2
2
2
2 2 a
2
2
2
2 6 a a √ cm
AT = AE ET = a = a a = =
6
√ √
2
4
4
2
( ) √ √
√ Dari ∆ ATC diperoleh luasnya dengan dua cara
1
1 L ∆ ATC= × AC × OT dan L ∆ ATC= × AT × SC
2
2
sehingga diperoleh:
1
1
× AC ×OT = × AT × SC
2
2 AC ×OT a 2× a 2 a 2 2 a 2 2 a 2 a
3
√ √ √ √ SC= = = = = = cm
AT a
3
6 2.
3
3
√ √ √ √
6
√
2 Jawaban C
6. Diketahui ABCD.EFGH dengan panang rusuk 9 cm. jika titik T terletak pada pertengahan garis HF, jarak titik A ke garis CT adalah …. Cm.
Pembahasan merupakan diagonal bidang AC=9
2
√
- PT
- 9
- 81=
√
2
√
18
6 AO=
√
2
9
2 ×9
9
6 AO=
AO=
2 ×9
× 9 √
2
1
6=
√
2
9
√
18
2
40
8. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a . Titik P dan Q merupakan titik tengah AB dan CD, sedangkan R merupakan titik perpotongan EG dan FH. Jarak titik R ke bidang EPQH adalah ….
13 Pembahasan
60
13 E.
50
13 D.
45
13 C.
13 B.
√
35
A.
cm
3
√
3 AO=6
√
√ 2 .
2
× AO ×
1
Dimensi Tiga AT
2
√
4 AT =
486
4
= 162
2
2
)
√
4 =
2
9
(
=
2
2
AP
=
2
81.6
9
6 Sehingga
atau Luas segitiga ACT =
√
2
9
× AO ×
2
1
× AO × CT=
2
1
2× 9
2
× 9 √
2
1
× AC ×TP=
2
1
Luas segitiga ACT =
6 Dari gambar terlihat, bahwa AT = CT
√
7. Diketahui balok KLMN.PQRS dengan KL = 3 cm, LM = 4 cm, dan KP = 12 cm. jarak titik R ke garis PM adalah ….
14
× a a
a
5 =
a √
5 =
√
2
2
√
a
=
RT = RS × RU SU
5 Jarak titik R ke bidang EPQH adalah RT
√
2
5
5 cm
4 =
14 C.
√
4
14 D.
√
4
3
√
Jawaban D
3
2
14 B.
√
4
1
9. Dketahui limas beraturan T.ABCD dengan ABCD adalah persegi yang memiliki panjang AB = 4 cm dan TA = 6 cm. jarak titik C ke garis AT = …. Cm A.
a
2
Dimensi Tiga A. a
5 E.
SU= √
perhatikan gambar berikut Dari ∆ SRU siku-siku di R diperoleh
2 Pembahasan
√
2
a
√
2
5
a
2 D.
a
3 C.
a
5 B.
SR
2
5 a
a
=
1
2
a )
2
2
=
=
1
2
- RU
- a
- a
4
2
√ (
√
√
Dimensi Tiga
3
14 E. √
2 Pembahasan
, karena merupakan diagonal bidang AC=4
2
√
1
1 AO= AC= .4 2=2
2
cm √ √
2
2
2
2
2
2 cm
OT= AT AO
6
2 2 36−8= 28=2
7 − = − ( ) =
√ √ √ √ √ √
AC × OT
4 2 ×2
7
8
4
√ √ CP= = = 14=
14
√ √ AT
6
6
3 10. Diketahui T.ABCD limas beraturan. Anjang rusuk alas 12 cm, dan panjang rusuk tegak cm.
12
2
√ Jarak A ke TC adalah ….
A. 6 B.
6
2
√ C.
6
6
√
D. 8 E.
8
6
√ Pembahasan Perhatikan gambar berikut cm
6
)
√
216=6
√
288−72=
√
=
2
)
2
√
6
2
2
Dimensi Tiga Panjang
√
12
√ (
=
2
− CP
2
√ AC
Dari ∆ APC dengan siku-siku di P, diperoleh: AP=
cm, karena AC merupakan diagonal bidang Panjang AC=TA=TC maka ∆ TAC adalah segitiga samasisi. Sehingga CP=6 √ 2 cm.
2
AC=12 √
- (
11. Diberikan bidang empat beraturan T.ABC dengan panjang rusuk a. Jika titik P adalah titik tengah rusuk BC, maka jarak titik P ke garis AT adalah ….
4
2
2
−
(
1
2
a )
2 ¿
√ a
−
2 ¿
1
4
a
2 ¿
√
3
4
a
2
√ a
PC
√
2 D.
2 B.
a
3
√
2 C.
A. a
2
√
a
2 −
2
√
3 E.
a
3
√
3 Pembahasan
Perhatikan bahwa segitiga TPC siku-siku di P, maka TP=
√ TC
a
Dimensi Tiga
1
¿ a
3
√
2 Perhatikan segitiga TPA, panjang TP = AP, maka segitiga TPA samakaki. Sehingga :
2
2 PK= TP − TK
√
2
2
1
1
a
3 a
¿ − √
2
2
( ) ( ) √
2
3
1
2 a a
¿ −
4
4
√
2
2 a
¿
4
√
1
a
2
¿ √
2 1 a
a 2=
2 PK adalah jarak titik P ke garis AT, panjangnya √ √
2
2 12. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm. jarak titik D ke garis EG adalah ….
A. cm
3
6
√ B.
4 6 cm
√
C. cm
6
2
√
D. cm
6
6
√ E.
12 2 cm
√ Pembahasan panjang cm (diagonal sisi)
EG=DE=12
2
√ perhatikan segitiga ∆ DPE, siku-siku di titik P:
2
2
2
2
2 DP = ED − EP = (
12 2 ) − (
6 2 ) = 288−72=216
√ √ cm
DP= 216=6
6
√ √
Dimensi Tiga
Karena BP tegak lurus AQ, diperoleh: Luas ∆ AQP=
3
5 .6
√
2
6
√
2
30+5 x=36+3 x
2 x=6
x=3 diperoleh panjang AQ = 12 + 3 = 15 cm
1
BP AH ⇔ 6+x
2
. AQ . BP=
1
2 .15 .
3
5 .6
√
2=27
√
2
12+x =
=
13. Pada kubus ABCD.EFGH, titik P terletak segmen BG sehingga 3 PG = 2 BP. Titik Q adalah titik potong garis HP dan bidang ABCD. Jika panjang sisi kubus 6 cm, luas segitiga APQ adalah … cm 2 A.
√
9
√
2 B.
12
√
2 C.
18
√
2 D.
27
2 E.
Kesebangunan ∆ AQH dengan ∆ BQP BQ AQ
36
√
2 Pembahasan
BP: PG=3 :2
BP=
3
5 BG=
3
5 .6
√
2
cm 2
Dimensi Tiga
14. Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk 6 cm. titik P pada CT sehingga TP : PC = 2 : 1. Jarak P ke bidang BDT adalah ….
Pembahasan
2
2
1 TP= TC= .6=4 cm dan PC= .6=2 cm
3
3
3 AC = diagonal sisi =
6 2 cm
√
1 OC= .6 2=3
2 Maka, √ √ cm
2 Segitiga TOC dan TQP sebangun, maka berlaku perbandingan sisi-sisinya:
PQ TP PQ
4 = ⟹ =
OC TC
6
3
2
√
4.3
2
√ PQ=
2 2 cm =
√
6