2) Pulsa (sebesar H dan berdurasi T)

BAB 2 MATEMATI KA SEBAGAI ALAT ANALI SI S SI STEM KONTROL Teknik untuk analisis dinamika proses:

  1. Transformasi Laplace umum

  ⇒

  2. Simulasi komputer lebih akurat dan detail

  ⇒ 2. 1 Transformasi Laplace (TL):

• Berlaku hanya pada Persamaan Differensial (PD) linear: merubah PD menjadi persamaan aljabar
• Dapat menggunakan teknik grafik untuk meramal performansi sistem tanpa menyelesaikan PD

  Pada kebanyakan proses: PD nonlinear linearisasi TL

  ⇒ ⇒

• TRANSFORMASI LAPLACE

  Definisi:

  ∞ _st −

  ( )

  F(s) = f t e dt ∫

  dengan: TL dari f(t)

  F(s) : F(t) : fungsi waktu (ingat: proses bersifat dinamik) _st ∞ − e dt : simbol operasi integral Laplace

  ∫ s : variabel TL t : waktu Matematika Sebagai Alat Analisis SistemKontrol

  Sinyal Uji

  Sinyal Respon

  (Input) SISTEM (Output)

  Sulit/impossible Sinyal-sinyal uji dalam praktek sebagai pembanding

Gambar 2.1 Urgensi sinyal uji

  Dalam analisis sistem kontrol, sinyal diterapkan sebagai input ke sistem (seperti gangguan atau disturbance, perubahan set point, dll) agar bisa dilakukan studi respon- nya. Meski beberapa jenis sinyal biasanya sulit atau bahkan tidak dapat dicapai dalam prakteknya, sinyal-sinyal uji bisa diterapkan sebagai perbandingan respon.

  Berikut ini adalah contoh-sontoh penurunan Transformasi Laplace dari beberapa sinyal uji:

1) Unit step function

  _t < u ( t )

  = ^{1 t} ≥

  { ∞ _st − u ( t ) e dt =

  ∫

   1 ∞

  1 st

  − = e

  − s

   = -1/s (0 -1) u(t)] = 1/s t t=0

  Matematika Sebagai Alat Analisis SistemKontrol

  2) Pulsa (sebesar H dan berdurasi T) _{t , t T} < ≥ f ( t )

  = H t T ≤ <

  { ∞ _st − f ( t ) e dt =

   H ∫

  ∞ − st He dt =

  ∫ ∞

  H H − st sT − e = − = ( e

  1 ) − − s s

  H − sT

  = ( 1 e ) − t s t=0 t=T

  3) Fungsi impulsa satuan Dirac Delta function ( (t)) ⇒ ⇒ δδ

  Ada 2 pendekatan:

  ∞ Pendekatan Smith, dll.

  ( t ) lim f ( t ), δ = _T

  → f ( t ) fungsi pulsa

  =

  dengan: HT = 1 (luas)

   H = 1/T _{1 − sT 1}

  lim ( 1 ) (

  1 1 )

  (t)] = e δ − = − = _{T Ts}

  → t t=0

  (tdk didefinisikan) Aturan : _{sT d −} − sT _{dT −} 1 e se

  ( ) (t)] = lim lim

  1

  δ = = _{T T d} → → _{dT ( )} Ts s

  (t)] = 1 δ du ( t )

  Pendekatan Luyben:

• ( t )

  δ = _{t / T} dt −

  ( ) lim

  1

  u t e = − _T ( )

  → d _{t / T}

   −  lim 1 e

  δ − ( )

  { T } → dt

    Matematika Sebagai Alat Analisis SistemKontrol

  1 £ lim lim _{1 T} ^{1 / 1} Ts s

• =
• =

  

  

  

  

  (t)] = 1

  _T e _{T T T T} ^{T t} δ

  [ ]  

   

   

  → → − →

  1

  1 lim

4) Gelombang sinus (amplitudo satuan & frekuensi

  Matematika Sebagai Alat Analisis SistemKontrol =

  1

     

   

  = _{2 2 2} ¹

  2

  2

  1

  1 ω ω

  ^{) ( ) (} dt e dt e ^{t i s t i s} _{i 2} ¹ ω ω

  ω ω + =  

   

  s i i i s i s ⁱ

  ω t] = _{2 2}

  ω ω

   1 t=T t

  = ∞

  ∞

  ∫ −

  ∫ ∞ −

  ω ω )

  1 ,

  2 sin

  − = − =

  − i i e e t ^{t i t i}

  ω ω ω ω t] =

  sin dt te ^st

  − ∫ ∫

  ω = dt e i e e _st ^{t i t i}

  − ∞ −

  2

  ω ω =

• − ∞ − −

     

• − − −
• − − ^{) ( ) (}
₂ ¹ ω ω ω ω i s s i s s ^{t i s t i s} i<
• − − −
• −
• s
• ⁿ

• -at

• 1
• -at
• ⁿ
• s
• -at
• -at
• a s a s
• s s
• −

  ω ω

  8. Cosine

  cos ω t _{2 2}

  ω + s s

  9. Damped sine

  e

   sin ω t _{2 2}

  ) ( ω ω

  a s

  10. Damped cosine

  e

   cos ω t _{2 2}

  ) ( ω + +

  11. Diverging sine

  t sin ω _{2 2 2}

  ) (

  2 ω ω

  12. Diverging cosine

  t cos ω t _{2 2 2} ^{2 2}

  ) (

  ω ω

  sin ω t _{2 2}

  a s n

  7. Sine

  s

  Matematika Sebagai Alat Analisis SistemKontrol

Tabel 2.1 Transformasi Laplace Sinyal Uji NO NAME Time Function

  f(t) Laplace

  Transform F(s) Figure

  1. Unit impulse

  δ (t)

  1

  ∞

  2. Unit step U(t)

  1

  ( ) ¹ !

  3. Unit ramp t ₂

  1 s

  4. n-th-order ramp t

  n ₁ !

  s n

  5. Exponential

  e

  a s

  6. n-th-order exponential

  t n e

  s s

  2. 2 TEOREMA TL:

  1. Linearitas

  k.f k = constant

  Sifat distributif:

  f

  2. Real Differentiation Theorem

  df ( t )  

  £ sF ( s ) f (()) = − dt

    ₂

  ( )

   d f t  ^{2 df} £ s F ( s ) sf (()) ( ) ₂ = − −   dt dt

   

  Rumus umum: _{n n 2 n 1}

  − −  d f ( t )  df d f d f _{n n − 1 n − 2}

  £ s F ( s ) s f ( ) s ( ) ... s ( ) ( ) _n

= − − − − −

_{n 2 n 1}   − − dt dt dt dt

   

  3. Real Integration Theorem _t

  1  

  £ f ( t ) dt F ( s ) =

  ∫   s

  4. Complex Differentiation Theorem

  d £ tf ( t ) F ( s ) = −

  [ ] ds

  5. Real Translation Theorem (Dead Time) _st

  − £ f t t e F ( s ) f(t)

  − = ( ) [ ] f(t-to)

  Complex Translation Theorem _at

  t=to £ e f t F ( s a )

  = − [ ( ) ]

  Matematika Sebagai Alat Analisis SistemKontrol

  6. Final Value Theorem

  lim f ( t ) lim sF ( s ) _{t s} = → ∞ →

  7. Initial Value Theorem

  lim f ( t ) lim sF ( s ) _{t s} = → → ∞

  CONTOH: Cari fungsi Laplace dari PD di bawah ini: ₂

  d x ( t ) dx ( t ) ₂

  2 x ( t ) Kr ( t ) ₂ + + ξω ω = _{n n}

  dt dt dx x ( ) ( )

  dengan: K, n , konstanta dan

  ω ξ = = dt

  Jawab: Teorema 2 (bentuk sederhana):

  2

  2 s X(s) + 2 n sX(s) + n X(s) = KR(s)

  ω ξ ω

  2

2 X(s)[s + 2 n s + n ] = KR(s)

  ω ξ ω K X ( s ) R ( s )

  = _{2 2} s 2 s

• ω n ξ ω n

  2. 3 SOLUSI PERSAMAAN DIFFERENSIAL Pers. Differensial linear: _{n n − 1 m m − 1}

  d y ( t ) d y ( t ) d x ( t ) d x ( t )

  ... ( ) ... ( )

  a a a y t b b b x t _{n n 1 = m m n − n 1 m − m}

+ + + + + +

¹ ₁ − − dt dt dt dt

  dengan:

• - a dan b adalah koefisien PD
• - y(t) adalah fungsi keluaran (respon)
• - x(t) adalah forcing function (variabel yang memaksa) variabel keluaran untuk berubah

  atau fungsi masukan

  Matematika Sebagai Alat Analisis SistemKontrol

• - initial conditions _n
₁ − dy d y y

  ( ) ; ( ) ;.......; ( ) = = = _{n 1}

  − dt dt _{m 1}

  − dx d x x

  ( ) ; ( ) ;.......; ( ) = = = _{m 1}

  − dt dt

  Prosedur penyelesian PD: 1. Ubahlah PD ke dalam p'-ersamaan aljabar variabel s (Iihat Teorema TL).

  2. Selesaikan secara al abar untuk TL variabel keluaran Y(s) dan substitusikan TL variabel masukan X(s) sehingga diperoleh rasio dua polinomial:

  N ( s ) Y ( s ) dengan N(s) = numerator =

  D ( s ) D(s) = denominator

  3. Lakukan TL Balik (invers) sehingga diperoleh variabel keluaran sebagai fungsi waktu :

  y(t)

• -1

  y [Y(s)]

  Dengan menggunakan prosedur di atas, maka: _{m m 1}

  − N ( s )  b s b s b  _{m m}

¹ −

  Y ( s ) X ( s ) = = _{n n 1}  − 

  D ( s ) a s a s a _{n n −} + + ₁  

  diubah menggunakan metode ekspansifraksi-parsial menjadi:

  N ( s ) Y ( s ) ke dalam sejumlah k fraksi: =

  ( s r )( s ).....( s r ) − − − _{1 2 k}

  A A A A _{1 2 i k} Y ( s ) ... ....

  = + + + + + ( s r ) ( s r ) ( s r ) ( s r )

  − ^{1 − 2 − i − k}

  Ada 4 kasus untuk (mencari akar-akarnya): 1. Akar nyata tak berulang.

  2. Sepasang akar konjuingasi kompleks tak berulang.

  3. Akar-akar berulang.

  4. Adanya dead time.

  Matematika Sebagai Alat Analisis SistemKontrol

  KASUS 1: Akar nyata tak berulang A i = lim (s - r i ). Y(s) s r i

  →

  Contoh: Cari c(t) dari PD linear orde-dua di bawah ini ₂

  d c ( t ) dc ( t ) dc

  3 2 c ( t ) 5 u ( t ) dengan c ( ) ; ( ) ₂ + + = = =

  dt dt dt

  Jawab:

  2 s C(s)+ 3sC(s) + 2C(s) = 5U(s).

2 C(s) (s + 3s + 2) = 5/s

  A 1 = lim (s + 1) C(s)

• 1

   s →

  5

  5 lim

  5

  = = = − _{s 1} → −

  ( s 2 ) s (

  1 2 )( 1 )

• − −

  A 2 = 5/2 dan A 3 = 5/2

• -t -2t

  c(t) = -5e + 5/2.e + 5/2. u (t) KASUS 2: Sepasang akar konjungasi kompieks

  Bila akar-akarnya terdapat bilangan imajiner i, maka: ^{© ©} + ( )

  A A A s a A b ¹ + Y ( s )

  = = ^{2 1 −} _{2 2} ²

  ( s a bi ) ( s a bi ) ( s a ) b

  − − − − + +

  2

  2

  2 lim A 1 lim [(s - a) + b ].Y(s) s a+bi s a+bi

  → → Matematika Sebagai Alat Analisis SistemKontrol Contoh. ₂

  d c ( t ) dc ( t ) dc

  2 5 c ( t ) 3 u ( t ) dengan c ( ) ; ( ) ₂ + + = = =

  dt dt dt

  Jawab:

  2 s C(s) + 2sC(s) + 5C(s) = 3U(s)

  2

  2

  ) + A [(s + 1)

  lim A I (s + 1

2 2 = lim + 2 ]. C(s)

s -1-2i s -1-2i → →

  A 1 (-1 - 2i + 1) + A 2 2 = 3/(-1 - 2i)

  Ruas kanan dikalikan akar sekawannya:

  A 1 (-2i) + A 2 2 = -3/5 + 6/5.i maka: A 1 (-2 i) = 6/5i

  A 2 2 = -3/5 A2 =-3/10 A 3 = 3/5

• -t -t

  c(t) = -3/5.e cos 2t - 3/10.e sin 2t + 3/5 u(t) KASUS 3: Akar~akar berulanq A A A A N ( s ) _{1 2 m k} Y ( s )

  ... ...

  = = _{m m m 1} + + + + +

−

  ( s r ) ...( s r ) ( s r ) ( s r ) s r s r − − − − − − _{1 k k − 1 1 1 1 k}

  1 d _m lim ( ) ( )

  A s r Y s _{k = [ − k 1 1 ] s r} − → ¹

  ( 1 )!

  k ds −

  Contoh: _{3 2}

  d c ( t ) d c ( t ) dc ( t )

  3 3 c ( t ) 2 u ( t ) ₂ + + + ₂ =

  dt dt dt ₂ dc d c

  dengan ( ) ; ( ) ; ( )

  c = = = ₂ dt dt

  Matematika Sebagai Alat Analisis SistemKontrol

  1

  2 ) (

  3 3 (

  Jawab:

  s

  3 C(s) + 3s

  2 C(s) + 3sC(s) + C(s) = 2U(s) s A s A s A s A s s s s s s C s _{4 3 2 2 3 1 3 2 3}

• =
• =
• =

  1 ) ) 1 ( 1 (

  ) 1 (

  2 )

3 C(s) = -2

• -1

  Matematika Sebagai Alat Analisis SistemKontrol

  D s N s Y s

  A _{s s s} A 4 = 2 c(t) = -te

  )] ( [ ) ( ) (

  ) ( ₁ ^{st st}

  Y e s e D s N s Y s

  − − = 

       = k ^k r s A r s A r s A

  −

     

     =

  ... ) (

  ) ( ) ( ₂ ² ₁ ¹ _{1 t r k t r t r k}

  A e e A e A t y

  ... ) ( ^{2 1} _{2 1 1} Y(s) = e

  Y 1 y 1 (t - t )] y

  [Y(s)] = y 1 (t - t ) ) ( ) ( ₂ ^{) (} ₁ ^{1 1} _{2 1} ...

• ^{- t t r} _k ^{t t r t t r k}

  A e e A e A ) (t - t [Y(s)] = y y(t) = £ − − −

  − = − → − → − → s s ds d s ds d

  − = =    

    =  

  = − → − → s s ds d

  A 1 = lim (s + 1)

  s →

  2

  2 lim 2 )!

  1 2 ( 1 lim _{2 1 1 2}

  − = =   

     −

  A _{s s}

  2

  4 lim

  2

  2 lim

  2

  1

  2 )!

  1 3 ( 1 lim _{3 1 2 1 2} ² _{1 3}

  1

• -t
• - 2t e>- 2
• -2e
• -1
• + 2u(t) KASUS 4: Adanya dead time
• − =   
• −
• =
• -st0
• -1
• =

  Catatan:

• Tidak bisa di- Laplace-kan secara langsung dari _{st st st}

  − − − A e A e A e _{1 2 k} Y ( s ) ...

  = + + + s r s r s r

  − ^{1 − 2 − k}

• Multiple delays:

   N ( s )   N ( s )  ^{1 − st 01 2 − st − st − st 02} + + ₁ +

  = = ⁰¹ ₂ ⁰²     D ( s ) D ( s ) _{1 2}

• Y ( s ) e e .... [ Y ( s )] e [ Y ( s )] e ....

      y(t) = y 1 (t - t 01 ) + y 2 (t - t

  02 Contoh: dc ( t )

• 2 c ( t ) f ( t ) dengan c ( ) tentukan responnya untuk :

  = = dt

  a) Perubahan unit step pada t = 1: f(t) = u(t - 1)

  b) Fungsi tangga berundak (staircase) dari unit step pada setiap satuan waktu: f(t) = u(t - 1) + u(t - 2) + u(t - 3) + ....

  Jawab:

  sC(s) + 2C(s) = F(s)

• -s

  1

  = e a) u(t - 1)] .

  s b) F(s) u(t - 1) + u(t - 2) + u(t - 3) +....

• -s -2s -3s

  1

  = (e + e + e + ...)

  s

  1 C ( s ) F ( s ) = , maka

  2

• s

  1

  1 _{s s} − − i) C ( s ) e C ( s ) e

  = =

  2 s ¹

• s

  1

  1 A A ₁ ^{1 2}

  = = s 2 s s 2 s

• C ( s )

  A 1 = -1/2 dan A

  2

• -2t

  c

  1

• -2(t-1)

  c(t) = c 1 (t -1 1)[1 - e ] Matematika Sebagai Alat Analisis SistemKontrol

  Catatan:

  unit step u(t - 1) harus juga dikalikan dengan fungsi eksponensial untuk

  0 untuk t&lt;1

   mengindikasikan bahwa -c(t) = ii) Untuk fungsi staircase kita lihat bahwa

  1

  1 _{s 2 s}   − − C ( s ) e e ....

  = + + ( ) s

  2  

• s
• -s -2s

  = C 1 (s)e + C 1 (s)e c(t) = c 1 (t-1) + c 1 (t-2

• -2(t-1) -2(t-2

  1)[1 - e ] + 2)[1 - e =

  No. Denominator Y(s) Fraksi Parsial y(t) rt

i) Akar tidak berulang a Ae

  s r − rt

  − _{m i} − + ( s r ) B ^{2 2} _{m − 1} iii) Akar berulang A _{i rt t i i} e A

• ii) Akar konjugasi kompleks A ( s r ) Bw e (Acos wt + Bsin wt)

  ∑ ∑ _{i 1 − ( i} ( s r ) 1 )! = i = ^{1 −} iv) Dead time: y 1 (t - t )

• -sto

  Y 1 (s)e

  2. 4 EIGENVALUES DAN KESTABILAN Persamaan Karakteristik dari PD dan dari sistem yang memiliki respon dinamik adalah

  n n-1 n-2 a n s + a n-1 s + a n-2 s

1 s + a = 0

  dengan a adalah, koefisien variabel tergantung dan turunannya pada

  o , a 1 , a 2 , ... a n PD.

  Eigenvalues: eigen (Jerman) berarti karakteristik atau diri, merupakan akar-akar persamaan karakteristik.

  Matematika Sebagai Alat Analisis SistemKontrol

  Pentingnya e.v: 1. Merupakan definisi sifat PD.

  2. Tidak tergantung masukan forcing function.

  3. Menentukan apakah respon waktunya monoton (kasus 1 dan 3) atau berosilasi (kasus 2).

  4. Menentukan apakah respon tersebut stabil atau tidak.

  PD disebut stabil bila respon waktunya tetap terbatas untuk forcing function yang

  rt

  terbatas r harus negatif, agar nilai e mengecil/terbatasi. Jadi agar stabil, maka semua e.v harus punya harga r negatif.

  2. 5 MENCARI AKAR POLINOMIAL Beberapa metode yang biasa digunakan:

  1. Metode Newton Cocok untuk perhitungan manual, khususnya bila dikombinasikan dengan metode Nested Multiplication.

  2. Metode Newton- Bairstow Cocok untuk konjungasi kompleks dan akar nyata èkalkulator yang bisa diprogram.

  3. Metode Muller Cocok untuk mencari akar nyata ataupun kompleks

  èkomputer Di sini hanya dibicarakan metode Newton saja.

  Polinomial derajat ke-n:

  n n-1 n-2 f n (s) = a n s + a n-1 s + a n-2 s 1 s + a

  Syarat: f n (s) = 0 atau ada toleransi kesalahannya

  f s ( )

k

  Rumus iterasinya:

  s s = −

• k 1 k

  f ' ( s )

k

f ( ) s n

  Polinomial derajat ke-(n-1): ,

  f ( ) s = n

  1 − s r

  −

  1

  akar yang sudah diperoleh

  

r 1 = Matematika Sebagai Alat Analisis SistemKontrol Dengan Nested Multiplication (memperbaiki Newton):

• tidak perlu mencari f(s k ) dan s k )
• tidak perlu mencari f n-1 (s) dengan rumus di atas

  Kalkulasi yang dilakukan: 1. dan c

  b n = a n n = b n 2. untuk i = n-1, n-2, ...1,0 i = a i + b i+1 s k

  è b 3. untuk i = n-1, n-2

  1 i = b i +c i+1 s k

  è c

  4. f(s k )= b dan s k ) = c

  1 n-1 n-2 5. f n-1 (s) = b n s + b n-1 s 2 s + b

1 Contoh:

  _{3 2}

  d c ( t ) d c ( t ) dc ( t )

  2

  3 4 ( ) 4 ( )

  c t t _{3 2} + + + = δ dt dt dt

  3

  2 s C(s) + 2s C(s) + 3sC(s) + 4C(s) = 4.1

  4 C s ( ) =

  3

  2 s s s

  2

  3

  4

  3

  2

• + 2s

  f(s) = s + 3s + 4

  Aproksimasi awal: s o = -1 Iterasi 1

  (3) (2) (1) (0)

  a 3 = 1 a 2 = 2 a 1 = 3 a = 4 s = -1 b 3 s=-1 b 2 s=-1 b 1 s=-2 b 3 = 1 b 2 = 1 b 1 = 2 b = 2 = f(-1) c

  3 s=-1 c 2 s=0 c 3 = 1 c 2 = 0 c 1 = 2 1)

  Matematika Sebagai Alat Analisis SistemKontrol

  Iterasi 5 (3) (2) (1) (0)

  a 3 = 1 a 2 = 2 a 1 = 3 a = 4 s 4 = -1,651 b 3 s=-1,651 b 2 s=-0,577 b 1 s=-4 b 3 = 1 b 2 = 0,349 b 1 = 2,423 b = 0 =f(-1,651)

  2 f 2 (s) = s + 0,349s + 2,423

  , 349 , 1218 4 ( 2 , 423 )

  − ± −

  , 174 1 , 547

  r _{2 , 3 = = − ±} i 2 .

  1

  4 ( )

  C s =

  ( 1 , 651 )( , 174 1 , 547 )( , 174 1 , 547 )

  s s i s i − + + + +

  A A ( s , 174 ) A 1 , 547

3<
• =
_{2 2} ^{1 2} ( s 1 , 651 ) ( s , 174 ) 1

  dan A

  A 1 = 0,875 A 2 = -0,874 3 = 0,834

  maka:

• -1,651t -0,174t

  c(t) = 0,875e + e (-0,874 cos 1,547t + 0,834 sin 1,547t)

2.6 LINEARISASI DAN VARIABEL DEVIASI

  Transformasi Laplace (TL) hanya dipakai pada PD linear Proses di industri nonlinear

  ⇒

  Agar TL bisa digunakan, maka harus ada: LINEARISASI. Ini memunculkan satu vaeiabel baru: variabel deviasi/pasturbasi.

  Asumsi dasar: Respon aproksimasi linear mewakili respon proses pada daerah sekitar titik operasi

  (operating point/base point) Matematika Sebagai Alat Analisis SistemKontrol

  Variabel deviasi: Beda antara harga suatu variabel/sinyal dan harga titik operasi.

  X ( t ) x ( t ) x = −

  dengan:

  X (t ) : variabel deviasi x (t ) : variabel absolut x : harga x pada titik operasi

  variabel deviasi: deviasi suatu variabel dari harga titik operasinya. Transformasi dari absolut ke harga deviasi dari suatu variabel ekivalen dengan menggerakkkan nol pada aksis _{n n} variabel tsb. ke base value.

  d X ( t ) d x ( t )

  untuk n = 1, 2, 3

  = x : konstanta ë _{n n} dt dt

  : harga awal (initial value) ë biasanya : pada keadaan tunak (steady state)

  X(0) = 0

  ë x(0) = x _n

  d X ( ) untuk n = 1, 2, 3 _n = dt _n

  X ( )  d t  n s X ( s ) _n =

    dt

   

  Segi lain: konstanta hilang dari PD linearisasi, jika base value adalah initial steady state condition

1. Linearisasi Fungsi Satu Variabel

  dx ( t )

  = dt

• PD orde satu: f [ x ( t )] k (2-56)

  : fungsi nonlinear dari x

  f[x(t)]

  : konstanta

  k Matematika Sebagai Alat Analisis SistemKontrol Deret Taylor: ₂

  df 1 d f ² f [ x ( t )] f ( x ) ( x )[ x ( t ) x ] ( x )[ x ( t ) x ]

  = − − + + ₂ dx 2 ! dx ₃

  (2-57)

  1 d f ₃ ( x )[ x ( t ) x ] ..... ₃ − + + 3 ! dx

  eliminasi pangkat dua ke atas (harganya terlalu kecil):

  df

  X ( t ) =

• f [ x ( t )] f ( x ) ( x )

  (2-58)

  dx df

  = − dx

• f [ x ( t )] f ( x ) ( x )[ x ( t ) x ] (2-59)

  Beda antara aproksimasi linear dan fungsi aktual:

• Kecil: dekat titik operasi
• Besar: jauh dr ttk operasi

  Daerah di mana aproksimasi linear cukup akurat untuk menggambarkan fungsi nonlinear sulit ditaksir. Makin nonlinear, makin kecil daerahnya.

  Substitusi persamaan 2-59 ke 2-56: (2-60)

  dx ( t ) df f ( x ) ( x ) X ( t ) k

  = + + dt dx dx

  X Kondisi awal: x ( ) , ( ) , dan ( ) = = = dt df

  Maka: f ( x ) ( x )( ) k

  = + + dx d

  X ( t ) df

  X ( t )

  (2-61)

• f ( x ) k ( x )

  = ë = dt dx

  (tidak ada konstanta) Tahap intermediet bisa diabaikan, bisa langsung dari pers. 2-56 ke pers. 2-61.

  Matematika Sebagai Alat Analisis SistemKontrol

  Contoh-contoh fungsi nonlinear: _{( E / RT )}

  − k ( T ) k e

  1. Arrhenius:

  =

• [ A − B /( T C )]

  2. Vapor Pressure (Persamaan Antoine):

  p ( T ) e = x

  α

  3. Kesetimbangan uap-cair (relative volatility): y ( x )

  =

  1 ) x ₂ α −

• 1 (

  4. Pressure drop melalui fitting dan pipa: ( )

  P F kF ∆ = ₄

  5. Laju perpindahan panas (radiasi): q ( T ) AT ₂

= εσ

_{3 4}

  6. Enthalpi: H ( T ) H AT BT CT DT

  = + + + + Linearisasi persamaan Arrhenius :

  − ( E / RT ) k ( T ) k e

  = dk

  = − dT dk ( E / R T )  E  E

• k T ) k ( T ) ( T )( T T )

  −

  ( T ) k e k ( T )

  = = ₂

₂

dT

   R T  R T E

  ≅ − ₂ R T  E 

• k ( T ) k ( T ) k ( T ) ( T T )

  K ( T ) k ( T ) T ≅ di mana ₂  

  R T  

  K ( T ) k ( T ) k ( T ) T T T

  dan

  = − = −

  Jika:

  9 -1 k = 8.10 s , E = 22.000 cal/gmol, T = 373 K,

  dan R = 1,987 cal.g.mol.K maka:

  

9 -(22000/1,987x373) -3 -1

  k( T ) = 8.10 .e = 1,0273x10 s

  dk 22000 _{3 5} − −

  ( T ) 1 , 0273 x

  10 8 , 175 x

  10

  = = ( ) ² dT

  1 , 987 x 373 persamaan yang dilinearisasi:

  ( ) 1 , 0273

  10 8 , 175 10 ( 373 )

  k T x x T = − ³

⁵

• − −

  − ⁵ K ( T )

  8 , 175 x

  10 T

  ≅ Matematika Sebagai Alat Analisis SistemKontrol

2. Linearisasi Fungsi Dua Variabel atau Lebih

  Deret Taylor: _{2 2}

  f f

  1 f

  

∂ ∂ ∂

f x ( t ), y ( t ) f ( x , y ) ( x , y ) x ( t ) x ( x , y ) y ( t ) y ( x , y ) x ( t ) x

  

= − − −

+ + + [ ] ²

  [ ] [ ] [ ] x y

  2 ! x ₂

∂ ∂ ∂

_{2 2}

  1

  f f ∂ ∂ _{2 [ ] [ ][ ]} ( x , y ) y ( t ) y ( x , y ) x ( t ) x y ( t ) y ....... (2 62)

• 2 ! y x y

  − − − + + +

  ∂ ∂ ∂

  Aproksimasi linear orde 2 dan orde tinggi (pers. 2-63):

  f f ∂ ∂

  ( ), ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) Kesalahan aproksimasi

  f x t y t f x y x y x t x x y y t y = − − + +

  [ ]

[ ] [ ]

x y

  ∂ ∂ linear kecil pada x dan y di dekat x dan y . w ( h h ) ( h h )( w w )

  − − − h h a ( h , w ) h . w h ( w w )

  = − h h

  Luas bujur sangkar sebagai fungsi h dan w: a(h,w) = hw

  a a ∂ ∂ w h

  = = h w

  ∂ ∂

  Aproksimasi linear: ( h , w ) ( h , w ) w ( h h ) h ( w w )

  ∂ = ∂ − − + + Kesalahan: bujur sangkar kecil yang luasnya

  ( h h )( w w ) − − Kesalahan akan kecil bila h dan w dekat dengan h dan w .

  ≅

• Variabel deviasi: A ( h , w ) w H h W

  Rumus umum fungsi n variabel x

  1 , x 2 , x n : Matematika Sebagai Alat Analisis SistemKontrol

  f f f ∂ ∂ ∂ f x , x ,...., x f x ^{1 , x 2 ,..., x n x x 1 x x 2 ....... x x n} _{1 2 n ≅ 1 − 2 − n −} (2-64)

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dx dx dx _{1 n 2 n} f _{1 2 n k} ∂ f x , x ,...., x f x , x ,..., x x x

  ( ^{1 2 n ) ≅ k −} ( ) ( )

• _{k = 1 k}

  ∑

  dx f ∂ _{1 2 n} x , x ,..., x di mana merupakan turunan parsial yang dievaluasi pada .

  ( ) dx _k

  CONTOH:

  1. Tentukan aproksimasi linear dari fungsi non-linear: _{2 2} y

  3 z f f f

  ( ) = − = = = + f x , y , z 2 x xy 3 pada x 1 , y

2 , z

  ∂ ∂ ∂

  , , , ,

  f x y z f x y z x x y y z z = − − − + + +

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x y y

  ∂ ∂ ∂ f f 3 f 3 y

  ∂ ∂ ∂ ² 4 x y , 2 xy , dan

  = = − = + ₂ x y 2 z z

  ∂ ∂ ∂ _{2 2}

  2 ( ) ( )

  2

  1

  1

  2

  3

  4 = − =

• base point: f

  3 f f f

  2

  ∂ ∂ ∂

  8 , 3 dan

  = = = x y z

  3

  ∂ ∂ ∂

  Fungsi yang dilinearisasi:

  2 f x , y , z

  4 8 x

  1 3 y 2 z

  

3

= − − − + + +

  ( ) ( ) ( ) ( )

  3

  2 F

  X Y Z

  8

  3 = + +

  3 Mp

  2. Densitas gas ideal: , M (udara) = 29,

  ρ = RT

  2 p =101.3 N/m , T = 300 K, dan R = 8.314 N.m/kg.mol.K

  Maka:

  ∂ ρ ∂ ρ T T p p

  ρ + = − − + ρ ( ) ( )

  T p ∂ ∂ Mp

  ∂ ρ ρ = − = − ₂ T RT T ∂ Matematika Sebagai Alat Analisis SistemKontrol

  M ∂ ρ ρ = = p RT p

  ∂

  base condition:

  M p 1 . 178

  ρ = = R T

  1 . 178 ∂ ρ ρ

  . 00393 = − = − = −

  T 300 ∂ T

  1 . 178 ⁵ ∂ ρ ρ −

  1 . 163 x

  10 = = = p 101 , 300

  ∂ p

  Persamaan yang dilinearisasi:

  1 . 178 . 00393 T 300 1 . 163 x 10 p 101300

  ρ = − − −

⁵

( ) ( )

• −

• 5

  R = -0.00393T + 1.163x10 Matematika Sebagai Alat Analisis SistemKontrol