PROS Yessy O, Bambang S, Hanna AP Estimasi Parameter Full text
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VII UKSW
ESTIMASI PARAMETER DALAM MODEL RETURN STOKASTIK
DENGAN LOMPATAN MENGGUNAKAN METODE MARKOV
CHAIN MONTE CARLO
Yessy Okvita1), Bambang Susanto2), dan Hanna Arini Parhusip3)
1)
Mahasiswa Program Studi Matematika
2) 3)
Dosen Program Studi Matematika
1)
email: emakyessy@gmail.com 2)bsusanto5@gmail.com 3)hannaariniparhusip@yahoo.co.id
Fakultas Sains dan Matematika
Universitas Kristen Satya Wacana
Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711
PENDAHULUAN
Pergerakan harga saham dapat terjadi
secara berkala hampir di semua pasar saham.
Tetapi hal ini belum bisa menjawab
pertanyaan finansial yang penting: apakah
times dan sizes lompatan dapat diprediksi?
Apakah ada variabel yang dapat memprediksi
lompatan? Apakah lompatan mempengaruhi
distribusi return harian? Karena itu diperlukan
model lompatan yang akurat untuk menjawab
beberapa
pertanyaan
tersebut
().
Kemungkinan terjadinya lompatan dapat
mencakup lompatan sebelumnya. Model yang
akan digunakan adalah model Return
Stokastik dengan lompatan yang biasa dikenal
dengan Jump diffusion model with volatility
constant (Witzany,2011).
Algoritma Gibb Sampling adalah salah
satu algoritma Monte Carlo. Dalam algoritma
Gibb
Sampling
tidak
menggunakan
mekanisme accept-reject karena hasil simulasi
diterima sampai konvergen yang akan diuji
menggunakan Heidelberg-Welch test.
Dari model Return Stokastik dengan
lompatan parameter-parameter yang akan
diestimasi menggunakan
algoritma Gibb
Sampling adalah , , , , , , . Sebagai
ilustrasi digunakan data sekunder yaitu harga
saham penutupan harian Bank Negara
Indonesia (Persero) tahun 2009-2010 yang
diperoleh dari finance.yahoo.com.
KAJIAN TEORI
Model Return Stokastik dengan Lompatan
dengan
,
, ,… , ,
adalah
harga saham penutupan pada hari ke-t
(Tsay,2010),
adalah drift,
adalah
volatility,
yang mana diasumsikan
~
, , ~
, , dan ~
dengan
menunjukkan jump saat dan
sebaliknya, sehingga
,
,
(Witzany,2011)
Markov Chain Monte Carlo (MCMC)
Metode MCMC
296
ln
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VII UKSW
Markov Chain Monte Carlo digunakan
untuk menghasilkan
sampel titik yang
ditetapkan
oleh
distribusi posterior
gabungan. Secara
umum
untuk
menghitung
distribusi posterior
gabungan melibatkan distribusi gabungan
parameter, yang sulit untuk di pecahkan.
Namun, dengan menggunakan distribusi
posterior bersyarat untuk parameter yang
belum di ketahui dapat diestimasi dengan
mudah.
Penentuan
distribution
,
, ,
Bangkitkan
.
.
.
Bangkitkan
,
,
,
,
1. Menetapkan vektor nilai awal x
,…,
2. Ulangi langkah untuk
, ,…,
Bangkitkan
,
posterior
Distribusi yang diperoleh dari distribusi
gabungan dari semua komponen, yakni
sebagai berikut :
Algoritma Gibbs Sampling
dari
conditional
,
, ,
,
,
, ,
,
,
,
,
,
,
,
,…,
dari
,…,
√
.
dari
,…,
3. Langkah diulang M kali.
Gibbs Sampling dapat diterapkan apabila
distribusi bersyarat dari setiap parameter
diketahui
(Witzany,2011).
Algoritmanya
sebagai berikut :
√
exp
Setelah distribusi posterior gabungan
diketahui, kemudian menentukan distribusi
posterior masing-masing parameter.
Simulasi Algoritma Gibb Sampling
Spesifikasi Prior
Parameter distribusi prior adalah
distribusi probabilitas yang merepresentasikan
ketidakpastian tentang parameter sebelum
data saat diperiksa. Sehingga pendekatan
bayesian untuk pemodelan tidak bisa
dilakukan tanpa menggunakan distribusi
sebelumnya (Didit,2011). Menurut Witzany
(2011) diasumsikan bahwa distribusi priornya
sebagai berikut :
Menurut Witzany (2011) estimasi Gibb
Sampling dilakukan sebagai berikut
297
• Menetapkan
,
,
,
nilai
,
,
• Menyampel
, maka
Jika
;
Jika
;
;
,
, maka
,
,
awal
,
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VII UKSW
,
• Menyampel
, ,
⁄
, di mana
;
,
;
,
• Menyampel
,
dari
yang berdistribusi normal
Misalkan
y , y , … , yT ; y ~N µ, σ
dengan y
Z J dan prior
serta
T
;
√
;
∑
; ,
| ,
∑
∑
,
,
,
∑
∑
,
ANALISA DAN PEMBAHASAN
√
Berikut ini adalah grafik data harga
saham penutupan harian Bank Negara
Indonesia (Persero) tahun 2009-2010 yang
ditunjukkan oleh Gambar 1 sedangkan
Gambar 2 grafik return harga saham
penutupan harian Bank Negara Indonesia
(Persero) tahun 2009-2010 yang diskalakan.
; ,
• Menyampel
dari
berdistribusi bernoulli
Jika
, ,…, ;
dengan prior
|
|
√
;
; ,
,
Demikian pula
| ,
∑
∑
∑
∑
∑
Demikian pula
,
| ,
φ y ; µ, σ
; ,
√
yang
4600
4400
~
4200
harga saham
| ,
,
4000
3800
3600
Gambar 1. Harga saham penutupan harian Bank
Negara Indonesia (Persero) tahun 2009-2010.
3400
3200
;
,
dari
,
• Menyampel
berdistribusi normal dan
serta
3000
50
100
150
waktu
yang
prior
298
0
200
250
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VII UKSW
0.15
0.6
0.1
0.4
0.2
return harga saham
return harga saham
0.05
0
-0.05
-0.1
0
-0.2
-0.4
-0.15
-0.2
-0.6
0
50
100
150
200
250
waktu
-0.8
10
Gambar 2. Harga return dari saham
20
30
40
50
60
waktu
70
Gambar 3b. model return saat
Dengan
menggunakan
estimasi
Gibb
Sampling menurut Witzany (2011), pada
Tabel 1 menunjukkan beberapa hasil simulasi
masing-masing parameter
model return
stokastik dengan lompatan dengan kata lain
.
Tabel 1. Beberapa Hasil Estimasi parameter
menggunakan Gibb Sampling
80
90
100
sampai
Berikut ini adalah grafik data harga saham
penutupan harian Bank Negara Indonesia
(Persero) tahun 2009-2010 yang ditunjukkan
oleh Gambar 1 sedangkan Gambar 2 grafik
return harga saham penutupan harian Bank
Negara Indonesia (Persero) tahun 2009-2010
yang tidak diskalakan.
0.4
0.3
0.2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0.1
return harga saham
.
.
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
0
50
100
150
200
250
waktu
Gambar 4a model return saat
sampai
0.3
0.2
Sedangkan jika
, ternyata memberikan
peluang lebih banyak tidak ada lompatan
sehingga hal ini tidak mungkin. Dari hasil
estimasi gibb sampling menurut witzany
grafik model return stokastik dengan
lompatan dan return dari harga penutupan
saham yang diskalakan ditunjukkan pada
Gambar 3a dan 3b.
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1
Gambar 4b model return saat
0.5
sampai
return harga saham
0
-0.5
KESIMPULAN
-1
-1.5
-2
-2.5
0
50
100
150
200
250
Pada makalah ini telah dijelaskan bagaimana
mengestimasi parameter model return
stokastik dengan lompatan. Metode yang
digunakan adalah Markov Chain Monte Carlo
waktu
Gambar 3a model return saat
sampai
299
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VII UKSW
khususnya
algoritma
Gibb
Sampling.
Parameter
mempengaruhi harge return.
Hasil simulasi parameter perlu dicek
kekonvergenannya. Saran untuk penelitian
selanjutnya hasil simulasi parameter sampai
konvergen maka perlu melakukan HeidelbergWelch test / Geweke test.
UCAPAN TERIMA KASIH
Terima kasih ditujukan kepada :
Didit Budi Nugroho untuk informasi
literatur, bimbingan tentan makalah ini.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Kumar.J, Polson.1999. State Dependent
Jump Models. GSB, University of Chicago
[2]Malik dan Pitt. 2008. Modeling Stochastic
Volatility with Leverage and Jumps.
Department of Economics, University of
Warwick, Coventry CV4 7AL
[3] Nugroho, D. B, Morimoto, T. 2008.
Comparison of Griddy Gibbs and MetropolisHastings Sampler for Estimation of the
Standard LNSV. Department of Mathematical
Sciences, Kwansei Gakuin University
[4] Tsay, R.S., 2010, Analysis of Financial
Time Series, John Wiley & Sons.
[5] Witzany, J. 2011. Estimating Correlated
Jumps and Stochastic Volatilities IES
Working Paper IES FSV. Charles University.
300
ESTIMASI PARAMETER DALAM MODEL RETURN STOKASTIK
DENGAN LOMPATAN MENGGUNAKAN METODE MARKOV
CHAIN MONTE CARLO
Yessy Okvita1), Bambang Susanto2), dan Hanna Arini Parhusip3)
1)
Mahasiswa Program Studi Matematika
2) 3)
Dosen Program Studi Matematika
1)
email: emakyessy@gmail.com 2)bsusanto5@gmail.com 3)hannaariniparhusip@yahoo.co.id
Fakultas Sains dan Matematika
Universitas Kristen Satya Wacana
Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711
PENDAHULUAN
Pergerakan harga saham dapat terjadi
secara berkala hampir di semua pasar saham.
Tetapi hal ini belum bisa menjawab
pertanyaan finansial yang penting: apakah
times dan sizes lompatan dapat diprediksi?
Apakah ada variabel yang dapat memprediksi
lompatan? Apakah lompatan mempengaruhi
distribusi return harian? Karena itu diperlukan
model lompatan yang akurat untuk menjawab
beberapa
pertanyaan
tersebut
().
Kemungkinan terjadinya lompatan dapat
mencakup lompatan sebelumnya. Model yang
akan digunakan adalah model Return
Stokastik dengan lompatan yang biasa dikenal
dengan Jump diffusion model with volatility
constant (Witzany,2011).
Algoritma Gibb Sampling adalah salah
satu algoritma Monte Carlo. Dalam algoritma
Gibb
Sampling
tidak
menggunakan
mekanisme accept-reject karena hasil simulasi
diterima sampai konvergen yang akan diuji
menggunakan Heidelberg-Welch test.
Dari model Return Stokastik dengan
lompatan parameter-parameter yang akan
diestimasi menggunakan
algoritma Gibb
Sampling adalah , , , , , , . Sebagai
ilustrasi digunakan data sekunder yaitu harga
saham penutupan harian Bank Negara
Indonesia (Persero) tahun 2009-2010 yang
diperoleh dari finance.yahoo.com.
KAJIAN TEORI
Model Return Stokastik dengan Lompatan
dengan
,
, ,… , ,
adalah
harga saham penutupan pada hari ke-t
(Tsay,2010),
adalah drift,
adalah
volatility,
yang mana diasumsikan
~
, , ~
, , dan ~
dengan
menunjukkan jump saat dan
sebaliknya, sehingga
,
,
(Witzany,2011)
Markov Chain Monte Carlo (MCMC)
Metode MCMC
296
ln
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VII UKSW
Markov Chain Monte Carlo digunakan
untuk menghasilkan
sampel titik yang
ditetapkan
oleh
distribusi posterior
gabungan. Secara
umum
untuk
menghitung
distribusi posterior
gabungan melibatkan distribusi gabungan
parameter, yang sulit untuk di pecahkan.
Namun, dengan menggunakan distribusi
posterior bersyarat untuk parameter yang
belum di ketahui dapat diestimasi dengan
mudah.
Penentuan
distribution
,
, ,
Bangkitkan
.
.
.
Bangkitkan
,
,
,
,
1. Menetapkan vektor nilai awal x
,…,
2. Ulangi langkah untuk
, ,…,
Bangkitkan
,
posterior
Distribusi yang diperoleh dari distribusi
gabungan dari semua komponen, yakni
sebagai berikut :
Algoritma Gibbs Sampling
dari
conditional
,
, ,
,
,
, ,
,
,
,
,
,
,
,
,…,
dari
,…,
√
.
dari
,…,
3. Langkah diulang M kali.
Gibbs Sampling dapat diterapkan apabila
distribusi bersyarat dari setiap parameter
diketahui
(Witzany,2011).
Algoritmanya
sebagai berikut :
√
exp
Setelah distribusi posterior gabungan
diketahui, kemudian menentukan distribusi
posterior masing-masing parameter.
Simulasi Algoritma Gibb Sampling
Spesifikasi Prior
Parameter distribusi prior adalah
distribusi probabilitas yang merepresentasikan
ketidakpastian tentang parameter sebelum
data saat diperiksa. Sehingga pendekatan
bayesian untuk pemodelan tidak bisa
dilakukan tanpa menggunakan distribusi
sebelumnya (Didit,2011). Menurut Witzany
(2011) diasumsikan bahwa distribusi priornya
sebagai berikut :
Menurut Witzany (2011) estimasi Gibb
Sampling dilakukan sebagai berikut
297
• Menetapkan
,
,
,
nilai
,
,
• Menyampel
, maka
Jika
;
Jika
;
;
,
, maka
,
,
awal
,
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VII UKSW
,
• Menyampel
, ,
⁄
, di mana
;
,
;
,
• Menyampel
,
dari
yang berdistribusi normal
Misalkan
y , y , … , yT ; y ~N µ, σ
dengan y
Z J dan prior
serta
T
;
√
;
∑
; ,
| ,
∑
∑
,
,
,
∑
∑
,
ANALISA DAN PEMBAHASAN
√
Berikut ini adalah grafik data harga
saham penutupan harian Bank Negara
Indonesia (Persero) tahun 2009-2010 yang
ditunjukkan oleh Gambar 1 sedangkan
Gambar 2 grafik return harga saham
penutupan harian Bank Negara Indonesia
(Persero) tahun 2009-2010 yang diskalakan.
; ,
• Menyampel
dari
berdistribusi bernoulli
Jika
, ,…, ;
dengan prior
|
|
√
;
; ,
,
Demikian pula
| ,
∑
∑
∑
∑
∑
Demikian pula
,
| ,
φ y ; µ, σ
; ,
√
yang
4600
4400
~
4200
harga saham
| ,
,
4000
3800
3600
Gambar 1. Harga saham penutupan harian Bank
Negara Indonesia (Persero) tahun 2009-2010.
3400
3200
;
,
dari
,
• Menyampel
berdistribusi normal dan
serta
3000
50
100
150
waktu
yang
prior
298
0
200
250
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VII UKSW
0.15
0.6
0.1
0.4
0.2
return harga saham
return harga saham
0.05
0
-0.05
-0.1
0
-0.2
-0.4
-0.15
-0.2
-0.6
0
50
100
150
200
250
waktu
-0.8
10
Gambar 2. Harga return dari saham
20
30
40
50
60
waktu
70
Gambar 3b. model return saat
Dengan
menggunakan
estimasi
Gibb
Sampling menurut Witzany (2011), pada
Tabel 1 menunjukkan beberapa hasil simulasi
masing-masing parameter
model return
stokastik dengan lompatan dengan kata lain
.
Tabel 1. Beberapa Hasil Estimasi parameter
menggunakan Gibb Sampling
80
90
100
sampai
Berikut ini adalah grafik data harga saham
penutupan harian Bank Negara Indonesia
(Persero) tahun 2009-2010 yang ditunjukkan
oleh Gambar 1 sedangkan Gambar 2 grafik
return harga saham penutupan harian Bank
Negara Indonesia (Persero) tahun 2009-2010
yang tidak diskalakan.
0.4
0.3
0.2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0.1
return harga saham
.
.
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
0
50
100
150
200
250
waktu
Gambar 4a model return saat
sampai
0.3
0.2
Sedangkan jika
, ternyata memberikan
peluang lebih banyak tidak ada lompatan
sehingga hal ini tidak mungkin. Dari hasil
estimasi gibb sampling menurut witzany
grafik model return stokastik dengan
lompatan dan return dari harga penutupan
saham yang diskalakan ditunjukkan pada
Gambar 3a dan 3b.
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1
Gambar 4b model return saat
0.5
sampai
return harga saham
0
-0.5
KESIMPULAN
-1
-1.5
-2
-2.5
0
50
100
150
200
250
Pada makalah ini telah dijelaskan bagaimana
mengestimasi parameter model return
stokastik dengan lompatan. Metode yang
digunakan adalah Markov Chain Monte Carlo
waktu
Gambar 3a model return saat
sampai
299
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VII UKSW
khususnya
algoritma
Gibb
Sampling.
Parameter
mempengaruhi harge return.
Hasil simulasi parameter perlu dicek
kekonvergenannya. Saran untuk penelitian
selanjutnya hasil simulasi parameter sampai
konvergen maka perlu melakukan HeidelbergWelch test / Geweke test.
UCAPAN TERIMA KASIH
Terima kasih ditujukan kepada :
Didit Budi Nugroho untuk informasi
literatur, bimbingan tentan makalah ini.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Kumar.J, Polson.1999. State Dependent
Jump Models. GSB, University of Chicago
[2]Malik dan Pitt. 2008. Modeling Stochastic
Volatility with Leverage and Jumps.
Department of Economics, University of
Warwick, Coventry CV4 7AL
[3] Nugroho, D. B, Morimoto, T. 2008.
Comparison of Griddy Gibbs and MetropolisHastings Sampler for Estimation of the
Standard LNSV. Department of Mathematical
Sciences, Kwansei Gakuin University
[4] Tsay, R.S., 2010, Analysis of Financial
Time Series, John Wiley & Sons.
[5] Witzany, J. 2011. Estimating Correlated
Jumps and Stochastic Volatilities IES
Working Paper IES FSV. Charles University.
300