PROS Kharisma YK, Hanna Arini P, Bambang S Analisa Saham Full text
Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains VIII, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW
Salatiga, 15 Juni 2013, Vol 4, No.1, ISSN:2087‐0922
ANALISA SAHAM MENGGUNAKAN TRANSFORMASI
FOURIER STOKASTIK
Kharisma Yusea Kristaksa 1) Hanna Arini Parhusip 2), dan Bambang Susanto 3)
1)
Mahasiswa Program Studi Matematika 2) 3)Dosen Program Studi Matematika
email:1) [email protected] 2) [email protected] 3)
[email protected]
Fakultas Sains dan Matematika
Universitas Kristen Satya Wacana Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711
ABSTRAK
Analisa fluktuasi saham untuk menentukan risiko pada salah satu perusahan dengan menggunakan deret
Fourier telah dibahas. Hasil yang diperoleh mempunyai frekuensi 0.4092 dengan resiko yang terbesar
yaitu return data pada periode (25/4/2012 – 8/5/2012). Semakin besar risiko maka semakin besar pula
nilai harapan return yang diperoleh. Oleh karena frekuensi yang dihasilkan dari deret Fourier juga
menunjukkan konsekuensi risiko yang sama yaitu frekuensi yang terbesar dari data juga menjelaskan
risiko yang terbesar. Dalam makalah ini, data volume saham dianalisa dengan cara yang sama yaitu data
volume sebagai deret Fourier. Akan tetapi pada penelitian ini data volume hasil Fuorier dimodelkan
secara stokastik sebagai kombinasi linear antara rata-rata dan standar deviasi. Bobot kombinasi linier
divariasi. Hasil penelitian menunjukkan bahwa data volume mempunyai frekuensi 0.4054 dengan resiko
terbesar yaitu data volume pada periode (25/4/2012 – 8/5/2012). Jadi dari kedua analisa, frekuensi yang
diperoleh terdapat pada periode yang sama.
Kata-kata kunci: Deret Fourier , Distribusi Normal , Return Saham, Risiko Saham, Stokastik Fourier
PENDAHULUAN
Analisa return saham Asuransi Bina Dana
Arta Tbk pada periode 1/02/2012 –
31/01/2013telah dilakukan [1] dengan
menggunakan
deret
Fourier
untuk
mendapatkan frekuensi terbesar. Dari
frekuensi terbesar yang diperoleh dapat
didefinisikan resiko yang terbesar dan dapat
ditentukan periodenya.
Berdasarkan penelitian tersebut frekuensi
yang
dihasilkan
dari
Fourier
juga
menunjukkan konsekuensi risiko yang sama
yaitu frekuensi yang terbesar dari data juga
menjelaskan risiko yang besar. Dari data
diperoleh bahwa pada posisi ke 61-70
(25/04/2012 – 08/05/2012) memberikan
ekspektasi return terbesar bagi perusahaan.
Untuk selanjutnya, tujuan dari makalah ini
adalah menganalisa data volume saham
dengan cara yang sama yaitu data volume
sebagai deret Fourier. Akan tetapi pada
penelitian ini data volume hasil Fuorier
dimodelkan
secara
stokastik
sebagai
kombinasi linear antara rata-rata dan standar
deviasi. Bobot kombinasi linier divariasi.
Data volume yang digunakan doperoleh dari
data indeks saham perusahaan sama yaitu
Asuransi Bina Dana Arta Tbk. yang di
www.yahoo.finance.com
DASAR TEORI
Distribusi Normal. Distribusi probabilitas
yang paling terkenal dan paling banyak
digunakan adalah distribusi Gaussian atau
normal. Distribusi normal memiliki fungsi
kepadatan probabilitas yang diberikan oleh[3]
√
, ∞
∞ (1)
dimana
dan
adalah parameter
distribusi, yaitu berturut - turutanan mean dan
deviasi standar dari X. Distribusi normal
sering diidentifikasi sebagai N ( , )
Distribusi Normal Standar. Sebuah
distribusi normal dengan parameter
= 0
dan
= 1, disebut distribusi normal standar,
dilambangkan sebagai N (0, 1). Dengan
demikian fungsi kepadatan dari variabel
standar normal (Z) diberikan oleh
√
⁄
, ∞
∞
(2)
Perhatikan bahwa setiap variabel terdistribusi
normal (X) dapat ditransformasi sebagai
variabel normal standar dengan menggunakan
transformasi
472
⁄
Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains VIII, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW
Salatiga, 15 Juni 2013, Vol 4, No.1, ISSN:2087‐0922
(3)
dengan probabilitas
√
⁄
/
(4)
dari Persamaan (4) dan
=
,
Persamaan (4) dapat ditulis kembali sebagai
√
/
/
(5)
Integral ini merupakan luas di bawah kurva
normal standar kepadatan antara
/
/ dan karena
dan
(6)
Penyusunan Fourier stokastik
Ma’ruf,(2010)
menjelaskan
proses
stokastik dan dimana bentuk Bayesian juga
dibahas. Analisa Fourier juga diperekanlakan
untuk fungsi “Step Function” dan estimasi
spectral juga dilakukan untuk sinyal sinus
Untuk mendekati data volume sebagai
gelombang maka kita perlu memilih tipe
gelombang
yang
diasumsikan
dapat
mempresentasikan data yang ada. Pada
makalah ini akan dicari bentuk gelombang
yang dianggap sesuai.
Dari persamaan (3) data volume saham
dinyatakan sebagai
/ , t = 1,2, . . .,T (7)
Setelah
data
ditransformasi
menurut
persamaan (7) maka data akan dinyatakan
dalam bentuk Fourier.
Pada makalah [1[ deret Fourier untuk
data return berbentuk
sin
– sin
sin
(8)
Pada penelitian ini digunakan cara yang
sama untuk data volume saham. Dengan
mengikuti pemodelan program linear
stokastik [3], maka Volume Fourier
persamaan (8) dapat dinyatakan sebagai:
(9a)
dimana :
:= rata-rata volume dan
:=deviasi volume. Parameter k1 dan k2
bilangan tak negatif yang menjelaskan
hubungan relatif pentingnya V dan standard
deviasi V untuk optimasi. Jadi untuk k 2 = 0
menandakan bahwa nilai harapan V
diminimalkan tanpa memperhatikan standard
k1 = 0 ,
deviasi V. Sebaliknya jika
menandakan bahwa kita tertarik dengan
peminimalan variabilitas V disekitar rataratanya tanpa terganggu dengan apa yang
terjadi dengan nilai rata-rata V. Secara sama
jika k1 = k2 =1, hal ini menjelaskan bahwa
kita memandang bahwa rata-rata dan standard
deviasi sama pentingnya. Pada pembahasan
maka nilai k1 dan k2
akan divariasi sebagai bahan kajian.
Untuk menyusun frekuensi maka
digunakan formula (Kristaksa,dkk,2013)
⁄
(9b)
dimana
menyatakan banyaknya data
yang memenuhi syarat untuk menyusun
Fourier. Sedangkan T menyatakan subinterval
waktu yang digunakan. Jadi
Untuk mendapatkan nilai frekuensi
(f),dapat dituliskan
dan
maka
. (10)
untuk lebih jelasnya, berikut ini diberikan
contoh penggunaan model tersebut pada
sebagian data.
Menentukan
dan
yang optimal
Parameter k dan k pada persamaan
(9a)dapat divariasi dengan menetapkan
dahulu, dan dapat pula ditentukan dengan
cara optimasi dengan metode kuadrat terkcil.
Unutk mendapatkan parameter k dan k
yang optimal akan digunakan metode kuadrat
terkecil [2] yaitu:
∑
min
,
,
∑
Syarat
kritis
komponennya adalah
o
dimana
(11)
tiap
o.
(12)
dalam notasi vektor
persamaan
(11)
ditulis dalam bentuk
·
·
dengan komponen pertama dari persamaan
(11) adalah
dimana
·
…
Tiap komponen
adalah
(13)
.
Jadi diperoleh
…
,
,
,
dan untuk
seperti
473
,
·
dapat disusun secara sama
yaitu
Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains VIII, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW
Salatiga, 15 Juni 2013, Vol 4, No.1, ISSN:2087‐0922
·
Jadi dengan menyelesaikan
atau
diperoleh
. Untuk
meminimumkan R maka
menguji
perlu ditunjukkan
yaitu Hessian R positive
definite yang artinya, nilai eigen matriks
Hessian R pada
semua positif [2].
Bentuk Hessian R adalah
A = 0.5096 dan = 2.3268
Hasil pendekatan ini diilustrasikan pada
Gambar 1 dimana data dinyatakan dengan
interpolasi. Intropalasi dilakukan karena data
harus dalambentuk
agar dapat
menggunakan Fourier.
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
.
-0.4
-0.6
Untuk mendapatkan
Karena
maka
sebagai berikut :
·
·
-0.8
0
·
dan
·
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Gambar 1 Hasi deret Fourier untuk 10 data dari
data ke 51-60 dibandingkan dengan data yang
diinterpolasi
·∆
dimana ∆
adalah vektor dengan
komponen sebagai berikut :
0.4
0.35
0.3
Diketahui
vektor
…
maka
∆
0.25
0.2
0.15
0.1
…
0.05
.
0
1
Komponen baris ke-1 kolom ke-2 dari
Hessian R adalah :
dimana,
·
·
·
sehingga
…
.
Komponen pertama dapat diperoleh dengan
mengetahui
sehingga
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
Gambar 2 Periode(Horizontal) dan Frekuensi
(Vertikal) dari deret Fourier Gambar 1
Sebagaimana pada penelitian awal
(Kristaksa,dkk,2013), amplitudo gelombang
tidak diperlukan. Informasi yang digunakan
adalah frekuensi dari deret Fourier menurut
persamaan (9)-(10). Deret sudah menjelaskan
frekuensi data yang diperlukan diperoleh T =
2.7121 dan frekuensi f = 0.3687yang
ditunjukkan pada Gambar 2.
maka
dan secara sama dapat disusun
untuk
komponen-komponen yang lain dari matriks
Hessian R. Selanjutnya nilai
disubstitusikan pada Hessian R dan dicari
nilai eigennya. Jika semua positif maka jelas
bahwa
meminimumkan R.
Contoh 1. Data volume saham
Dengan menggunakan 10 data volume saham,
persamaan (8) digunakan untuk menyatakan
data
volume
secara
Fourier.
Hasil
ditunjukkan pada Gambar 1, dimana A dan
pada persamaan (8) berturut-turut adalah :
METODO PENELITIAN
Tahap 1. Menyusun data volume saham
sebagai deret Fourier sesuai dengan
persamaan (8)
Tahap 2. Menyusun hasil deret Fourier
Volume
menggunakan stokastik Fourier
menurut persamaan (9a), dengan rata-rata
dan
untuk setiap 10 data berturutan
Tahap 3. Menentukan probabilitas distribusi
normalnya dari hasil stokastik Fourier
menggunkan
persamaan
(6)
dengan
Parameter k1 dan k2 bilangan tak negatif
474
Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains VIII, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW
Salatiga, 15 Juni 2013, Vol 4, No.1, ISSN:2087‐0922
Tahap 4. Dengan menggunakan cara yang
sama seperti persamaan (6) menentukan
probabilitas frekuensi return saham.
Tahap 5. Didapatkan informasi probabilitas
dari hasil stokastik Fourier Volume dan
Frekuensi return saham.
Tahap
6.
Hasil
probabilitas
akan
dibandingkan antara volume saham dan
return saham terhadap risiko
Tahap 7. Studi Frekuensi yang dihasilkan
ditulis
untuk setiap 10 data berturutan
yang ditunjukkan pada Tabel 1.
Tabel 1. Nilai
M
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
ANALISA DAN PEMBAHASAN
Dalam menganalisa berikut ini data
yang digunakan adalah semua data
volume dengan banyak data 260 data.
Proses ini dilakukan secara sama untuk
setiap 10 data dari seluruh data volume .
5
4
3
2
1
0
-1
-2
0
50
100
150
200
250
300
Gambar 3 Deret Fourier untuk 260 data
volume
Untuk 260 data volume dengan cara yang
sama seperti sebelumnya dapat dilihat pada
gambar 3 dimana data dinyatakan dengan
interpolasi.
1
0.9
0.8
0.0004
0.0005
0.0027
-0.4744
0.0178
0.0738
-0.0016
0.0055
0.1619
0.0007
0.0000
-0.0027
0.0007
dan
0.0308
0.441
0.1048
0.2302
0.2944
0.5995
0.2514
0.2557
0.8877
0.0488
0.0623
0.0914
0.1089
M
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
Berdasarkan hasil Tabel 1,
jelas sangat
kecil karena berosilasi sekitar 0 sehingga k
tentunya cukup kecil dan k cukup besar
yang menunjukan stadar deviasi lebih peting
dari rata-rata. Setelah mendapatkan nilai
dan
maka akan dicari stokastik dari
dimana nilai k
dan
frekuensi
k
. Maka diperoleh hasil pada Tabel 2
untuk setiap 10 data berturutan untuk seluruh
data.
Contoh 2. Menentukan volume menurut
persamaan (9a)
Kasus 1. Untuk k
dan k
pada data
ke-1 Tabel 1 diperoleh dengan car sebagai
berikut:
.
.
.
M
0.6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
5
10
15
20
25
0.0609
0.0485
0.1817
0.0149
0.1413
0.0665
0.0629
0.3339
0.3165
0.1865
0.4205
0.0168
0.1584
Tabel 2. untuk k
0.7
0.0058
0.0021
-0.0002
0.0013
0.0005
0.0025
0.0056
0.0027
-0.0001
0.0001
0.0001
-0.0002
-0.0155
30
Gambar 4 Periode(Horizontal) dan Frekuensi
(Vertikal) dari hasil deret Fourier untuk 10 data
beruntun dari 260 data
0.0004
0.0005
0.0027
‐0.4744
0.0178
0.0738
‐0.0016
0.0055
0.1619
0.0007
0.00003
‐0.0027
0.0007
M
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
dan k
0.0058
0.0021
‐0.0002
0.0013
0.0005
0.0025
0.0056
0.0027
‐0.0001
0.0001
0.0001
‐0.0002
‐0.0155
Pada Gambar 4 menunjukan setiap 10 data
yang mempunyai frekuensi berada pada
sekitar 0.3 sampai 0.49,selain itu ada 2
frekuensi yang berbeda yaitu f = 0.9053 dan f
= 0.1670 pada T = 1.1046 dan T = 5.9888.
Dengan menggunakan persamaan (9a),
rata-rata V(t) ditulis
dan variansi V(t)
Kasus 2. Menggunakan data dan cara yang
sama dengan nilai k
. dan k
.
diperoleh
.
.
.
.
475
Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains VIII, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW
Salatiga, 15 Juni 2013, Vol 4, No.1, ISSN:2087‐0922
.
Kasus 3. Untuk nilai k
dan k
diperoleh
.
.
.
.
Kasus 4. Untuk menguji parameter k dan k
yang diperoleh optimal maka akan diselidiki
persamaan (11-13) untuk parameter Volume
Stokastik Fourier, sehingga
Untuk parameter k
.
.
Untuk parameter k
.
Hasil dari semua data volume stokasitik
Fourier ditunjukkan pada Gambar 5. Dengan
cara yang sama dilakukan untuk data return
stokastik Fourier ditunjukan pada Gambar 6.
Contoh 3. Dengan cara yang sama pada
Contoh 2 untuk return:
Kasus 5. Untuk k
dan k
pada
data ke-1 Tabel 1 diperoleh
.
Kasus 6. Untuk nilai k
. dan
k
. diperoleh
.
.
.
.
Kasus 7. Untuk nilai k
dan k
diperoleh
.
.
.
Kasus 8. Untuk nilai k
.
dan
k
.
yang dihasilkan dari metode
kuadrat terkecil sama seperti Kasus 4
.
.
.
Hasil yang diperoleh menunjukan matrik
Hessian untuk k dan k
.
.
Sehingga matrik Hessian definit positif, jadi
diperoleh k dan k 0ptimal tetapi error yang
dihasilkan 32%. Untuk hasil yang optimal
diperoleh parameter k
.
dan
k
.
, sehingga
.
.
1
.
.
diperoleh
.
.
.
.
.
k1=1, k2=0
k1=0.5, k2=0.5
k1=0.5, k2=0.5
k1=0.5, k2=0.5
k1=0, k2=1
StokastikFourier
.
0.5
k1=0.5, k2=0.5
k1=0.78, k2=0.6
0
k1=1, k2=0
-0.5
0
5
10
15
20
25
30
Data ke-M
Gambar 5. Hasil Volume Stokastik Fourier dengan k
k
dan k
.
,k
, k
0.2
dan k
.
. ,k
. dan k
,
k1=0.5, k2=0.5
0.1
k1=0, k2=1
StokastikFourier
0
k1=0.8, k2=0.6
-0.1
k1=1, k2=0
-0.2
-0.3
k1=1, k2=0
k1=0.5, k2=0.5
k1=0, k2=1
k1=0.8, k2=0.6
-0.4
-0.5
0
5
10
15
20
25
30
Data ke-M
Gambar 6. Hasil Return Stokastik Fourier dengan k
dan k
.
k
Probabilitas distribusi untuk Volume
stokastik Fourier yang diperoleh dicari
dan
dari Tabel 2. Untuk k =1 dan k =
0 didapat
.
.
,k
, k
.
dan k
. ,k
. dan k
,
dengan menggunakan persamaan (6) akan
dicari probabilitas menurut persamaan (6)
yaitu
.
.
476
Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains VIII, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW
Salatiga, 15 Juni 2013, Vol 4, No.1, ISSN:2087‐0922
Dalam bentuk variabel yang sudah
distandarisasi maka penyataan tersebut
menjadi
.
.
.
.
.
.
.
.
%.
.
.
.
.
.
.
Dengan cara yang sama untuk k
k
. didapat
.
.
sehingga
.
.
.
.
Untuk k
.
%.
.
.
.
.
.
.
dan k
.
.
.
.
.
.
.
. dan
.
.
didapat
diperoleh
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. %.
Selanjutnya, dengan cara yang sama pada
data berikutnya diperoleh probabilitas untuk
Volume stokastik Fourier pada Tabel 5.
Tabel 5. Prosentase distribusi normal (M :=
periode ke-M)
.
.
k
k
k
M k
.
k
.
k
k
k
1 94.05% 23.23% 19.87%
4.06%
2 94.05% 58.28% 22.83% 77.15%
3 92.05% 11.45%
6.80%
17.95%
4
0.00%
48.14%
5.91%
0.17%
5 80.38% 15.66%
9.28%
54.86%
6 42.49% 44.07% 40.16% 48.87%
7 92.05% 12.62%
6.80%
39.73%
8 88.15% 12.18%
6.80%
43.25%
9
8.99%
10.60% 29.14%
3.64%
10 94.05% 17.86% 14.88% 12.62%
11 94.05% 15.95% 10.89% 13.17%
12 92.05% 12.62%
7.92%
15.77%
13 94.05% 11.45%
5.91%
18.74%
14 80.28% 15.95% 10.81% 13.17%
15 84.19% 17.86% 14.88% 12.62%
16 94.05% 10.11%
4.60%
28.77%
17 84.19% 29.36%
0.14%
8.97%
18 94.05% 10.11%
4.82%
22.10%
19 84.19% 15.95% 10.89% 13.17%
20 80.28% 15.95% 10.89% 13.17%
21 84.19% 17.86% 12.76% 57.28%
22 94.05% 18.08% 10.89% 54.86%
23 94.05% 10.11%
4.82%
28.77%
24 94.05% 26.22% 19.93% 73.82%
25 94.05% 29.44% 25.95%
8.97%
26 56.08% 10.11%
4.60%
22.10%
Menggunakan cara yang sama akan dicari
probabilitas untuk data return stokastik
Fourier yang ditunjukkan pada Gambar 6.
100
k1=1, k2=0
k1=0.5, k2=0.5
k1=0, k2=1
k1=0.7, k2=0.6
90
80
k1=1, k2=0
Prosentase
70
60
50
k1=0.7, k2=0.6
40
30
k1=0.5, k2=0.5
20
10
k1=0, k2=1
0
0
5
10
15
20
25
30
Data ke-M
Gambar 7. Prosentase distribusi normal untuk hasil volume stokastik Fourier
100
k1=1, k2=0
k1=0.5, k2=0.5
k1=0, k2=1
k1=0.8, k2=0.6
90
80
70
Prosentase
k1=1, k2=0
60
50
40
30
k1=0.8, k2=0.6
20
k1=0, k2=1
10
k1=0.5, k2=0.5
0
0
5
10
15
20
25
Data ke-M
Gambar 8. Prosentasai distribusi normal untuk hasil Return stokastik Fourier
477
30
Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains VIII, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW
Salatiga, 15 Juni 2013, Vol 4, No.1, ISSN:2087‐0922
Berdasarkan
Gambar 7 dan Gambar 8
ditunjukan Prosentase distribusi normal untuk
hasil volume stokastik Fourier dengan 4
parameter yang berbeda. Pada parameter
k
dan k
menunjukan beberapa
prosentase yang terbesar karena pada k
dan k
hasil stokastik Fourier dari
volume dan return berosilasi di sekitar nol
dan pada saat itu nilai probabilitas mendekati
satu. Jadi penulis memilih frekuensi yang
dihasilkan dengan stokastik Fourier untuk
k
dan k
KESIMPULAN
Pada makalah telah dibahas tetang data
volume yang dinyatakan oleh bentuk
stokastik Fourier sehinggadapat dihasilkan
frekuensi. Hasil menunjukan interval
frekuensi yang hampir sama yaitu diantara
0.3 sampai 0.49. Dari hasil makalah
sebelumnya menggunakan data return saham
didapat pada indeks ke 7 untuk frekuensi
tertinggi yaitu f = 0.4092 dan T = 2.4437
sedangkan untuk makalah ini menggunakan
data volume saham pada indeks ke 7
diperoleh f = 0.4054 dan T = 2.4669. Dilihat
dari kedua hasil yang diperoleh tidak
menunjukan perbedaan yang signifikan. Jadi
pada interval yang sama frekuensi yang
dihasilkan bisa dibilang sama.
Berdasarkan analisa data dan hasil
pembahasan untuk volume dan return
stokastik Fourier diperoleh frekuensi yang
terbesar pada data ke-7 dengan menggunakan
parameter k
dan k
diperoleh
probabilitas untuk volume 0.9205 dengan
prosentase 92.05% sedangkan probabilitas
untuk return 0.8419 dengan prosentase
84.19%. Kedua hasil ini tidak menunjukan
perebedaan yang signifikan. Jadi risiko
tertinggi terdapat pada data ke-7 untuk
periode (25/4/2012 – 8/5/2012)
Logistic Function, proceeding of The
Fifth International Symposium on
Computational Science, ISSN:22527761,Vol1, pp91-101, GMU.
[3] Rao,
S.S.
2009. Engineering
Optimization, John Wiley & Sons,
Inc, BAB 11
[4] Salivahan,
S.,Vallavaraj,
A.,
Gnanapriya C., 2000. Digital Signal
Processing. Singapore: McGraw-Hill
Companies.Inc
[5] Ma’ruf, A. 2010. Introduction to
Stochastic Process Analysis: Spectral
and
Bayesian
Techniques
for
Estimation and Prediction. American
University Honors Capstone.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Kristaksa. K.Y, Perhusip. H.A dan
Susanto, B. 2013.Analisa Fluktuasi
Saham menggunakan Fast Fourier
Transform.
FMIPA
Universitas
Negeri Yogyakarta. Yogyakarta.
[2] Parhusip, H.A dan Martono, Y.2012,
Optimization Of Colour Reduction
For Producing Stevioside Syrup
Using Ant Colony Algorithm Of
478
Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains VIII, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW
Salatiga, 15 Juni 2013, Vol 4, No.1, ISSN:2087‐0922
Nama Penanya
: Astuti Irma Suryani
Instansi
: UKSW
Pertanyaan
:
1. Volum dalam saham itu apa ?
2. Dengan FFT apa yang akan dipakai untuk data volum tersebut ?
Jawaban
:
1. Volum pada saham merupakan banyaknya saham yang terjual dengan satuan lembar.
2. Dari volume saham dengan menggunakan FFT akan mengetahui resiko yang terbesar.
Nama Penanya
: Trevi Meri Andriyani
Instansi
: UKSW
Pertanyaan
:
1. Mengapa menggunakan metode AHP dalam menentuak kinerja kerja?
Jawaban
:
1. AHP penentuannya jelas
479
Salatiga, 15 Juni 2013, Vol 4, No.1, ISSN:2087‐0922
ANALISA SAHAM MENGGUNAKAN TRANSFORMASI
FOURIER STOKASTIK
Kharisma Yusea Kristaksa 1) Hanna Arini Parhusip 2), dan Bambang Susanto 3)
1)
Mahasiswa Program Studi Matematika 2) 3)Dosen Program Studi Matematika
email:1) [email protected] 2) [email protected] 3)
[email protected]
Fakultas Sains dan Matematika
Universitas Kristen Satya Wacana Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711
ABSTRAK
Analisa fluktuasi saham untuk menentukan risiko pada salah satu perusahan dengan menggunakan deret
Fourier telah dibahas. Hasil yang diperoleh mempunyai frekuensi 0.4092 dengan resiko yang terbesar
yaitu return data pada periode (25/4/2012 – 8/5/2012). Semakin besar risiko maka semakin besar pula
nilai harapan return yang diperoleh. Oleh karena frekuensi yang dihasilkan dari deret Fourier juga
menunjukkan konsekuensi risiko yang sama yaitu frekuensi yang terbesar dari data juga menjelaskan
risiko yang terbesar. Dalam makalah ini, data volume saham dianalisa dengan cara yang sama yaitu data
volume sebagai deret Fourier. Akan tetapi pada penelitian ini data volume hasil Fuorier dimodelkan
secara stokastik sebagai kombinasi linear antara rata-rata dan standar deviasi. Bobot kombinasi linier
divariasi. Hasil penelitian menunjukkan bahwa data volume mempunyai frekuensi 0.4054 dengan resiko
terbesar yaitu data volume pada periode (25/4/2012 – 8/5/2012). Jadi dari kedua analisa, frekuensi yang
diperoleh terdapat pada periode yang sama.
Kata-kata kunci: Deret Fourier , Distribusi Normal , Return Saham, Risiko Saham, Stokastik Fourier
PENDAHULUAN
Analisa return saham Asuransi Bina Dana
Arta Tbk pada periode 1/02/2012 –
31/01/2013telah dilakukan [1] dengan
menggunakan
deret
Fourier
untuk
mendapatkan frekuensi terbesar. Dari
frekuensi terbesar yang diperoleh dapat
didefinisikan resiko yang terbesar dan dapat
ditentukan periodenya.
Berdasarkan penelitian tersebut frekuensi
yang
dihasilkan
dari
Fourier
juga
menunjukkan konsekuensi risiko yang sama
yaitu frekuensi yang terbesar dari data juga
menjelaskan risiko yang besar. Dari data
diperoleh bahwa pada posisi ke 61-70
(25/04/2012 – 08/05/2012) memberikan
ekspektasi return terbesar bagi perusahaan.
Untuk selanjutnya, tujuan dari makalah ini
adalah menganalisa data volume saham
dengan cara yang sama yaitu data volume
sebagai deret Fourier. Akan tetapi pada
penelitian ini data volume hasil Fuorier
dimodelkan
secara
stokastik
sebagai
kombinasi linear antara rata-rata dan standar
deviasi. Bobot kombinasi linier divariasi.
Data volume yang digunakan doperoleh dari
data indeks saham perusahaan sama yaitu
Asuransi Bina Dana Arta Tbk. yang di
www.yahoo.finance.com
DASAR TEORI
Distribusi Normal. Distribusi probabilitas
yang paling terkenal dan paling banyak
digunakan adalah distribusi Gaussian atau
normal. Distribusi normal memiliki fungsi
kepadatan probabilitas yang diberikan oleh[3]
√
, ∞
∞ (1)
dimana
dan
adalah parameter
distribusi, yaitu berturut - turutanan mean dan
deviasi standar dari X. Distribusi normal
sering diidentifikasi sebagai N ( , )
Distribusi Normal Standar. Sebuah
distribusi normal dengan parameter
= 0
dan
= 1, disebut distribusi normal standar,
dilambangkan sebagai N (0, 1). Dengan
demikian fungsi kepadatan dari variabel
standar normal (Z) diberikan oleh
√
⁄
, ∞
∞
(2)
Perhatikan bahwa setiap variabel terdistribusi
normal (X) dapat ditransformasi sebagai
variabel normal standar dengan menggunakan
transformasi
472
⁄
Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains VIII, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW
Salatiga, 15 Juni 2013, Vol 4, No.1, ISSN:2087‐0922
(3)
dengan probabilitas
√
⁄
/
(4)
dari Persamaan (4) dan
=
,
Persamaan (4) dapat ditulis kembali sebagai
√
/
/
(5)
Integral ini merupakan luas di bawah kurva
normal standar kepadatan antara
/
/ dan karena
dan
(6)
Penyusunan Fourier stokastik
Ma’ruf,(2010)
menjelaskan
proses
stokastik dan dimana bentuk Bayesian juga
dibahas. Analisa Fourier juga diperekanlakan
untuk fungsi “Step Function” dan estimasi
spectral juga dilakukan untuk sinyal sinus
Untuk mendekati data volume sebagai
gelombang maka kita perlu memilih tipe
gelombang
yang
diasumsikan
dapat
mempresentasikan data yang ada. Pada
makalah ini akan dicari bentuk gelombang
yang dianggap sesuai.
Dari persamaan (3) data volume saham
dinyatakan sebagai
/ , t = 1,2, . . .,T (7)
Setelah
data
ditransformasi
menurut
persamaan (7) maka data akan dinyatakan
dalam bentuk Fourier.
Pada makalah [1[ deret Fourier untuk
data return berbentuk
sin
– sin
sin
(8)
Pada penelitian ini digunakan cara yang
sama untuk data volume saham. Dengan
mengikuti pemodelan program linear
stokastik [3], maka Volume Fourier
persamaan (8) dapat dinyatakan sebagai:
(9a)
dimana :
:= rata-rata volume dan
:=deviasi volume. Parameter k1 dan k2
bilangan tak negatif yang menjelaskan
hubungan relatif pentingnya V dan standard
deviasi V untuk optimasi. Jadi untuk k 2 = 0
menandakan bahwa nilai harapan V
diminimalkan tanpa memperhatikan standard
k1 = 0 ,
deviasi V. Sebaliknya jika
menandakan bahwa kita tertarik dengan
peminimalan variabilitas V disekitar rataratanya tanpa terganggu dengan apa yang
terjadi dengan nilai rata-rata V. Secara sama
jika k1 = k2 =1, hal ini menjelaskan bahwa
kita memandang bahwa rata-rata dan standard
deviasi sama pentingnya. Pada pembahasan
maka nilai k1 dan k2
akan divariasi sebagai bahan kajian.
Untuk menyusun frekuensi maka
digunakan formula (Kristaksa,dkk,2013)
⁄
(9b)
dimana
menyatakan banyaknya data
yang memenuhi syarat untuk menyusun
Fourier. Sedangkan T menyatakan subinterval
waktu yang digunakan. Jadi
Untuk mendapatkan nilai frekuensi
(f),dapat dituliskan
dan
maka
. (10)
untuk lebih jelasnya, berikut ini diberikan
contoh penggunaan model tersebut pada
sebagian data.
Menentukan
dan
yang optimal
Parameter k dan k pada persamaan
(9a)dapat divariasi dengan menetapkan
dahulu, dan dapat pula ditentukan dengan
cara optimasi dengan metode kuadrat terkcil.
Unutk mendapatkan parameter k dan k
yang optimal akan digunakan metode kuadrat
terkecil [2] yaitu:
∑
min
,
,
∑
Syarat
kritis
komponennya adalah
o
dimana
(11)
tiap
o.
(12)
dalam notasi vektor
persamaan
(11)
ditulis dalam bentuk
·
·
dengan komponen pertama dari persamaan
(11) adalah
dimana
·
…
Tiap komponen
adalah
(13)
.
Jadi diperoleh
…
,
,
,
dan untuk
seperti
473
,
·
dapat disusun secara sama
yaitu
Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains VIII, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW
Salatiga, 15 Juni 2013, Vol 4, No.1, ISSN:2087‐0922
·
Jadi dengan menyelesaikan
atau
diperoleh
. Untuk
meminimumkan R maka
menguji
perlu ditunjukkan
yaitu Hessian R positive
definite yang artinya, nilai eigen matriks
Hessian R pada
semua positif [2].
Bentuk Hessian R adalah
A = 0.5096 dan = 2.3268
Hasil pendekatan ini diilustrasikan pada
Gambar 1 dimana data dinyatakan dengan
interpolasi. Intropalasi dilakukan karena data
harus dalambentuk
agar dapat
menggunakan Fourier.
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
.
-0.4
-0.6
Untuk mendapatkan
Karena
maka
sebagai berikut :
·
·
-0.8
0
·
dan
·
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Gambar 1 Hasi deret Fourier untuk 10 data dari
data ke 51-60 dibandingkan dengan data yang
diinterpolasi
·∆
dimana ∆
adalah vektor dengan
komponen sebagai berikut :
0.4
0.35
0.3
Diketahui
vektor
…
maka
∆
0.25
0.2
0.15
0.1
…
0.05
.
0
1
Komponen baris ke-1 kolom ke-2 dari
Hessian R adalah :
dimana,
·
·
·
sehingga
…
.
Komponen pertama dapat diperoleh dengan
mengetahui
sehingga
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
Gambar 2 Periode(Horizontal) dan Frekuensi
(Vertikal) dari deret Fourier Gambar 1
Sebagaimana pada penelitian awal
(Kristaksa,dkk,2013), amplitudo gelombang
tidak diperlukan. Informasi yang digunakan
adalah frekuensi dari deret Fourier menurut
persamaan (9)-(10). Deret sudah menjelaskan
frekuensi data yang diperlukan diperoleh T =
2.7121 dan frekuensi f = 0.3687yang
ditunjukkan pada Gambar 2.
maka
dan secara sama dapat disusun
untuk
komponen-komponen yang lain dari matriks
Hessian R. Selanjutnya nilai
disubstitusikan pada Hessian R dan dicari
nilai eigennya. Jika semua positif maka jelas
bahwa
meminimumkan R.
Contoh 1. Data volume saham
Dengan menggunakan 10 data volume saham,
persamaan (8) digunakan untuk menyatakan
data
volume
secara
Fourier.
Hasil
ditunjukkan pada Gambar 1, dimana A dan
pada persamaan (8) berturut-turut adalah :
METODO PENELITIAN
Tahap 1. Menyusun data volume saham
sebagai deret Fourier sesuai dengan
persamaan (8)
Tahap 2. Menyusun hasil deret Fourier
Volume
menggunakan stokastik Fourier
menurut persamaan (9a), dengan rata-rata
dan
untuk setiap 10 data berturutan
Tahap 3. Menentukan probabilitas distribusi
normalnya dari hasil stokastik Fourier
menggunkan
persamaan
(6)
dengan
Parameter k1 dan k2 bilangan tak negatif
474
Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains VIII, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW
Salatiga, 15 Juni 2013, Vol 4, No.1, ISSN:2087‐0922
Tahap 4. Dengan menggunakan cara yang
sama seperti persamaan (6) menentukan
probabilitas frekuensi return saham.
Tahap 5. Didapatkan informasi probabilitas
dari hasil stokastik Fourier Volume dan
Frekuensi return saham.
Tahap
6.
Hasil
probabilitas
akan
dibandingkan antara volume saham dan
return saham terhadap risiko
Tahap 7. Studi Frekuensi yang dihasilkan
ditulis
untuk setiap 10 data berturutan
yang ditunjukkan pada Tabel 1.
Tabel 1. Nilai
M
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
ANALISA DAN PEMBAHASAN
Dalam menganalisa berikut ini data
yang digunakan adalah semua data
volume dengan banyak data 260 data.
Proses ini dilakukan secara sama untuk
setiap 10 data dari seluruh data volume .
5
4
3
2
1
0
-1
-2
0
50
100
150
200
250
300
Gambar 3 Deret Fourier untuk 260 data
volume
Untuk 260 data volume dengan cara yang
sama seperti sebelumnya dapat dilihat pada
gambar 3 dimana data dinyatakan dengan
interpolasi.
1
0.9
0.8
0.0004
0.0005
0.0027
-0.4744
0.0178
0.0738
-0.0016
0.0055
0.1619
0.0007
0.0000
-0.0027
0.0007
dan
0.0308
0.441
0.1048
0.2302
0.2944
0.5995
0.2514
0.2557
0.8877
0.0488
0.0623
0.0914
0.1089
M
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
Berdasarkan hasil Tabel 1,
jelas sangat
kecil karena berosilasi sekitar 0 sehingga k
tentunya cukup kecil dan k cukup besar
yang menunjukan stadar deviasi lebih peting
dari rata-rata. Setelah mendapatkan nilai
dan
maka akan dicari stokastik dari
dimana nilai k
dan
frekuensi
k
. Maka diperoleh hasil pada Tabel 2
untuk setiap 10 data berturutan untuk seluruh
data.
Contoh 2. Menentukan volume menurut
persamaan (9a)
Kasus 1. Untuk k
dan k
pada data
ke-1 Tabel 1 diperoleh dengan car sebagai
berikut:
.
.
.
M
0.6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
5
10
15
20
25
0.0609
0.0485
0.1817
0.0149
0.1413
0.0665
0.0629
0.3339
0.3165
0.1865
0.4205
0.0168
0.1584
Tabel 2. untuk k
0.7
0.0058
0.0021
-0.0002
0.0013
0.0005
0.0025
0.0056
0.0027
-0.0001
0.0001
0.0001
-0.0002
-0.0155
30
Gambar 4 Periode(Horizontal) dan Frekuensi
(Vertikal) dari hasil deret Fourier untuk 10 data
beruntun dari 260 data
0.0004
0.0005
0.0027
‐0.4744
0.0178
0.0738
‐0.0016
0.0055
0.1619
0.0007
0.00003
‐0.0027
0.0007
M
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
dan k
0.0058
0.0021
‐0.0002
0.0013
0.0005
0.0025
0.0056
0.0027
‐0.0001
0.0001
0.0001
‐0.0002
‐0.0155
Pada Gambar 4 menunjukan setiap 10 data
yang mempunyai frekuensi berada pada
sekitar 0.3 sampai 0.49,selain itu ada 2
frekuensi yang berbeda yaitu f = 0.9053 dan f
= 0.1670 pada T = 1.1046 dan T = 5.9888.
Dengan menggunakan persamaan (9a),
rata-rata V(t) ditulis
dan variansi V(t)
Kasus 2. Menggunakan data dan cara yang
sama dengan nilai k
. dan k
.
diperoleh
.
.
.
.
475
Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains VIII, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW
Salatiga, 15 Juni 2013, Vol 4, No.1, ISSN:2087‐0922
.
Kasus 3. Untuk nilai k
dan k
diperoleh
.
.
.
.
Kasus 4. Untuk menguji parameter k dan k
yang diperoleh optimal maka akan diselidiki
persamaan (11-13) untuk parameter Volume
Stokastik Fourier, sehingga
Untuk parameter k
.
.
Untuk parameter k
.
Hasil dari semua data volume stokasitik
Fourier ditunjukkan pada Gambar 5. Dengan
cara yang sama dilakukan untuk data return
stokastik Fourier ditunjukan pada Gambar 6.
Contoh 3. Dengan cara yang sama pada
Contoh 2 untuk return:
Kasus 5. Untuk k
dan k
pada
data ke-1 Tabel 1 diperoleh
.
Kasus 6. Untuk nilai k
. dan
k
. diperoleh
.
.
.
.
Kasus 7. Untuk nilai k
dan k
diperoleh
.
.
.
Kasus 8. Untuk nilai k
.
dan
k
.
yang dihasilkan dari metode
kuadrat terkecil sama seperti Kasus 4
.
.
.
Hasil yang diperoleh menunjukan matrik
Hessian untuk k dan k
.
.
Sehingga matrik Hessian definit positif, jadi
diperoleh k dan k 0ptimal tetapi error yang
dihasilkan 32%. Untuk hasil yang optimal
diperoleh parameter k
.
dan
k
.
, sehingga
.
.
1
.
.
diperoleh
.
.
.
.
.
k1=1, k2=0
k1=0.5, k2=0.5
k1=0.5, k2=0.5
k1=0.5, k2=0.5
k1=0, k2=1
StokastikFourier
.
0.5
k1=0.5, k2=0.5
k1=0.78, k2=0.6
0
k1=1, k2=0
-0.5
0
5
10
15
20
25
30
Data ke-M
Gambar 5. Hasil Volume Stokastik Fourier dengan k
k
dan k
.
,k
, k
0.2
dan k
.
. ,k
. dan k
,
k1=0.5, k2=0.5
0.1
k1=0, k2=1
StokastikFourier
0
k1=0.8, k2=0.6
-0.1
k1=1, k2=0
-0.2
-0.3
k1=1, k2=0
k1=0.5, k2=0.5
k1=0, k2=1
k1=0.8, k2=0.6
-0.4
-0.5
0
5
10
15
20
25
30
Data ke-M
Gambar 6. Hasil Return Stokastik Fourier dengan k
dan k
.
k
Probabilitas distribusi untuk Volume
stokastik Fourier yang diperoleh dicari
dan
dari Tabel 2. Untuk k =1 dan k =
0 didapat
.
.
,k
, k
.
dan k
. ,k
. dan k
,
dengan menggunakan persamaan (6) akan
dicari probabilitas menurut persamaan (6)
yaitu
.
.
476
Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains VIII, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW
Salatiga, 15 Juni 2013, Vol 4, No.1, ISSN:2087‐0922
Dalam bentuk variabel yang sudah
distandarisasi maka penyataan tersebut
menjadi
.
.
.
.
.
.
.
.
%.
.
.
.
.
.
.
Dengan cara yang sama untuk k
k
. didapat
.
.
sehingga
.
.
.
.
Untuk k
.
%.
.
.
.
.
.
.
dan k
.
.
.
.
.
.
.
. dan
.
.
didapat
diperoleh
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. %.
Selanjutnya, dengan cara yang sama pada
data berikutnya diperoleh probabilitas untuk
Volume stokastik Fourier pada Tabel 5.
Tabel 5. Prosentase distribusi normal (M :=
periode ke-M)
.
.
k
k
k
M k
.
k
.
k
k
k
1 94.05% 23.23% 19.87%
4.06%
2 94.05% 58.28% 22.83% 77.15%
3 92.05% 11.45%
6.80%
17.95%
4
0.00%
48.14%
5.91%
0.17%
5 80.38% 15.66%
9.28%
54.86%
6 42.49% 44.07% 40.16% 48.87%
7 92.05% 12.62%
6.80%
39.73%
8 88.15% 12.18%
6.80%
43.25%
9
8.99%
10.60% 29.14%
3.64%
10 94.05% 17.86% 14.88% 12.62%
11 94.05% 15.95% 10.89% 13.17%
12 92.05% 12.62%
7.92%
15.77%
13 94.05% 11.45%
5.91%
18.74%
14 80.28% 15.95% 10.81% 13.17%
15 84.19% 17.86% 14.88% 12.62%
16 94.05% 10.11%
4.60%
28.77%
17 84.19% 29.36%
0.14%
8.97%
18 94.05% 10.11%
4.82%
22.10%
19 84.19% 15.95% 10.89% 13.17%
20 80.28% 15.95% 10.89% 13.17%
21 84.19% 17.86% 12.76% 57.28%
22 94.05% 18.08% 10.89% 54.86%
23 94.05% 10.11%
4.82%
28.77%
24 94.05% 26.22% 19.93% 73.82%
25 94.05% 29.44% 25.95%
8.97%
26 56.08% 10.11%
4.60%
22.10%
Menggunakan cara yang sama akan dicari
probabilitas untuk data return stokastik
Fourier yang ditunjukkan pada Gambar 6.
100
k1=1, k2=0
k1=0.5, k2=0.5
k1=0, k2=1
k1=0.7, k2=0.6
90
80
k1=1, k2=0
Prosentase
70
60
50
k1=0.7, k2=0.6
40
30
k1=0.5, k2=0.5
20
10
k1=0, k2=1
0
0
5
10
15
20
25
30
Data ke-M
Gambar 7. Prosentase distribusi normal untuk hasil volume stokastik Fourier
100
k1=1, k2=0
k1=0.5, k2=0.5
k1=0, k2=1
k1=0.8, k2=0.6
90
80
70
Prosentase
k1=1, k2=0
60
50
40
30
k1=0.8, k2=0.6
20
k1=0, k2=1
10
k1=0.5, k2=0.5
0
0
5
10
15
20
25
Data ke-M
Gambar 8. Prosentasai distribusi normal untuk hasil Return stokastik Fourier
477
30
Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains VIII, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW
Salatiga, 15 Juni 2013, Vol 4, No.1, ISSN:2087‐0922
Berdasarkan
Gambar 7 dan Gambar 8
ditunjukan Prosentase distribusi normal untuk
hasil volume stokastik Fourier dengan 4
parameter yang berbeda. Pada parameter
k
dan k
menunjukan beberapa
prosentase yang terbesar karena pada k
dan k
hasil stokastik Fourier dari
volume dan return berosilasi di sekitar nol
dan pada saat itu nilai probabilitas mendekati
satu. Jadi penulis memilih frekuensi yang
dihasilkan dengan stokastik Fourier untuk
k
dan k
KESIMPULAN
Pada makalah telah dibahas tetang data
volume yang dinyatakan oleh bentuk
stokastik Fourier sehinggadapat dihasilkan
frekuensi. Hasil menunjukan interval
frekuensi yang hampir sama yaitu diantara
0.3 sampai 0.49. Dari hasil makalah
sebelumnya menggunakan data return saham
didapat pada indeks ke 7 untuk frekuensi
tertinggi yaitu f = 0.4092 dan T = 2.4437
sedangkan untuk makalah ini menggunakan
data volume saham pada indeks ke 7
diperoleh f = 0.4054 dan T = 2.4669. Dilihat
dari kedua hasil yang diperoleh tidak
menunjukan perbedaan yang signifikan. Jadi
pada interval yang sama frekuensi yang
dihasilkan bisa dibilang sama.
Berdasarkan analisa data dan hasil
pembahasan untuk volume dan return
stokastik Fourier diperoleh frekuensi yang
terbesar pada data ke-7 dengan menggunakan
parameter k
dan k
diperoleh
probabilitas untuk volume 0.9205 dengan
prosentase 92.05% sedangkan probabilitas
untuk return 0.8419 dengan prosentase
84.19%. Kedua hasil ini tidak menunjukan
perebedaan yang signifikan. Jadi risiko
tertinggi terdapat pada data ke-7 untuk
periode (25/4/2012 – 8/5/2012)
Logistic Function, proceeding of The
Fifth International Symposium on
Computational Science, ISSN:22527761,Vol1, pp91-101, GMU.
[3] Rao,
S.S.
2009. Engineering
Optimization, John Wiley & Sons,
Inc, BAB 11
[4] Salivahan,
S.,Vallavaraj,
A.,
Gnanapriya C., 2000. Digital Signal
Processing. Singapore: McGraw-Hill
Companies.Inc
[5] Ma’ruf, A. 2010. Introduction to
Stochastic Process Analysis: Spectral
and
Bayesian
Techniques
for
Estimation and Prediction. American
University Honors Capstone.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Kristaksa. K.Y, Perhusip. H.A dan
Susanto, B. 2013.Analisa Fluktuasi
Saham menggunakan Fast Fourier
Transform.
FMIPA
Universitas
Negeri Yogyakarta. Yogyakarta.
[2] Parhusip, H.A dan Martono, Y.2012,
Optimization Of Colour Reduction
For Producing Stevioside Syrup
Using Ant Colony Algorithm Of
478
Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains VIII, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW
Salatiga, 15 Juni 2013, Vol 4, No.1, ISSN:2087‐0922
Nama Penanya
: Astuti Irma Suryani
Instansi
: UKSW
Pertanyaan
:
1. Volum dalam saham itu apa ?
2. Dengan FFT apa yang akan dipakai untuk data volum tersebut ?
Jawaban
:
1. Volum pada saham merupakan banyaknya saham yang terjual dengan satuan lembar.
2. Dari volume saham dengan menggunakan FFT akan mengetahui resiko yang terbesar.
Nama Penanya
: Trevi Meri Andriyani
Instansi
: UKSW
Pertanyaan
:
1. Mengapa menggunakan metode AHP dalam menentuak kinerja kerja?
Jawaban
:
1. AHP penentuannya jelas
479