A. Irisan Kerucut - View of DIAGONALISASI BENTUK KUADRATIK IRISAN KERUCUT

  E-ISSN : 2549-7464 P-ISSN : 1411-3724

DIAGONALISASI BENTUK KUADRATIK IRISAN KERUCUT

Yusmet Rizal

  Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Padang e-mail :

  

DOI : 10.24036/eksakta/vol19-iss01/132

ABSTRACT

  In general, the conic section equation consists of three parts, namely quadratic,

cross-product, and linear terms. A conic sections will be easily determined by its shape

if it does not contain cross-product term, otherwise it is difficult to determine.

Analytically a cone slice is a quadratic form of equation. A concept in linear algebraic

discussion can be applied to facilitate the discovery of a shape of a conic section. The

process of diagonalization can transform a quadratic form into another form which

does not contain crosslinking tribes, ie by diagonalizing the quadrate portion. Hence

this paper presents the application of an algebraic concept to find a form of conic

sections .

  Keywords : conic section (conic), transformation, quadratic, diagonalization.

  PENDAHULUAN Suatu irisan kerucut adalah kurva

  perpotongan antara suatu bidang dengan Pada bagian ini disajikan dua konsep kerucut lingkaran tegak. Terdapat lima dasar, yaitu irisan kerucut dan proses jenis kurva yang terjadi dari irisan diagonalisasi matriks. Beberapa engertian tersebut, yaitu garis, lingkaran, parabol, dan sifat dasar akan disajikan di sini. ellips, dan hiperbol seperti terlihat pada

  Melalui kajian terhadap terhadap konsep Gambar 2 berikut: dasar ini dirancang suatu cara untuk menyelesaikan permasalahan yang

  sumbu diajukan.

A. Irisan Kerucut

  bagian atas

  Dalam geometri irisan kerucut, suatu kerucut dapat dipandang sebagai bangun geometri yang mempunyai dua bagian,

  V puncak

  yang meluas ketakberhingga dalam dua arah. Pembahasan pada tulisan ini dibatasi pada kerucut lingkaran tegak. Sebagian kerucut lingkaran tegak yang terdiri atas

  bagian bawah

  dua bagian dapat dilihat pada gambar berikut.

  pembangkit

  Suatu pembangkit disebut juga elemen dari kerucut, yaitu garis yang terletak

  Gambar 1

  pada kerucut, dan semua pembangkit suatu kerucut melalui titik V yang dinamakan puncak.

  EKSAKTA Vol. 19 No. 1/30 April 2018 DOI : 10.24036/eksakta/vol19-iss01/132 E-ISSN : 2549-7464, P-ISSN : 1411-3724

  Parabol terjadi jika bidang pemotong sejajar dengan tepat satu pembangkit. Ellips terjadi jika bidang pemotong tidak sejajar dengan pembangkit manapun, atau bidang pemotong memotong semua pembangkit. Hiperbol terjadi jika bidang pemotong sejajar dengan dua pembangkit, sehingga bidang pemotong akan memotong kedua bagian kerucut.

  Gambar 2 Garis terjadi jika bidang pemotong memuat tepat satu pembangkit. Dalam hal ini bidang pemotong juga melalui puncak

  Gambar 3 kerucut. Lingkaran terjadi jika bidang pemotong tegaklurus dengan sumbu Suatu titik juga dapat dinyatakan sebagai kerucut. suatu irisan kerucut, yaitu jika bidang

  EKSAKTA Vol. 19 No. 1/30 April 2018 E-ISSN : 2549-7464, P-ISSN : 1411-3724 DOI : 10.24036/eksakta/vol19-iss01/132

  

  , maka

  n

  dibatasi ∥x∥ = 1 relatif terhadap perkalian dalam Euclid di R

  n dalam urutan menurun dengan x

  ,…, 

  2

  1 ,

  1

   n dengan nilai-nilai eigennya 

  n

  Jika A adalah matriks simetris berukuran

  Teorema 1

  sehingga persamaan (3) adalah sebuah bentuk kuadratik baru dalam variabel- variabel y. Pemilihan matriks P pada proses ini sangat menentukan agar bentuk kuadratik yang baru tidak memiliki hasilkali silang. Sifat-sifat berikut menyajikan suatu cara pemilihan matriks P .

  T AP juga simetris,

  Karena kita memilih A matriks simetris maka matriks P

  a. 

   x

  T AP

  A simetris.

  Melalui sifat-sifat ini kita dapat menyusun langkah-langkah untuk

  b. vektor-vektor eigen dari ruang eigen yang berbeda adalah ortogonal.

  semua nilai eigen dari A adalah bilangan riil.

  n x n, maka : a.

  Jika A adalah matriks simetris berukuran

  Teorema 3

  c.

  T Ax   n

  A terdiagonalkan secara ortogonal, b. A mempunyai suatu himpunan ortonormal dari n vektor eigen.

  Jika A adalah matriks berukuran n x n, maka pernyataan berikut ekivalen : a.

  Teorema 2

  n .

  eigen dari A yang sesuai dengan nilai eigen 

  T Ax =  n jika x adalah vektor

  b. x

  )y ⋯⋯⋯(3)

  (P

  melalui titik puncak memotong kerucut secara horizontal.

       

     

  0, ⋯⋯⋯⋯⋯(2) dimana x =

  Ax + Bx + f =

  x T

  atau dapat dinyatakan sebagai

       f y x e d y x c b b a y x

     

  , A =

           

  1) Persamaan di atas secara aljabar dapat dimanipulasi menjadi persamaan bentuk matriks berikut:

        f ey dx cy bxy ax ⋯(

  2

  2

  2

  Secara analitik suatu irisan kerucut dapat disajikan dengan bentuk persamaan berikut, yang disebut juga bentuk umum persamaan irisan kerucut.

    y x

     

  T

  T A

  , B =

    e d .

  Suku x

  T Ax disebut juga bentuk kuadratik

  yang diasosiasikan. Dalam bentuk ini kita selalu dapat memilih matriks A sebagai matriks simetris, meskipun terdapat kemungkinan lain.

  Pembahasan berikutnya akan disajikan suatu sifat yang dapat mentransformasikan suatu bentuk kuadratik yang memuat suku hasilkali silang menjadi bentuk yang tidak memuat suku hasilkali silang.

  (Py) = y

    c b b a

B. Diagonalisasi Bentuk Kuadratik

  x = Py

  akan mengkonversikan bentuk kuadratik

  x T

  Ax menjadi (Py)

  yang diasosiasikan dari suatu persamaan irisan kerucut dengan memilih A sebagai matriks simetris. Bagian ini akan diperlihatkan bahwa, jika P suatu matriks ortogonal, maka perubahan variabel

  Misalkan x

  T Ax suatu bentuk kuadratik

  EKSAKTA Vol. 19 No. 1/30 April 2018 DOI : 10.24036/eksakta/vol19-iss01/132 E-ISSN : 2549-7464, P-ISSN : 1411-3724 y

  mendiagonalkan matriks simetris A, yaitu :

  (0, b) 1.

  Temukan basis untuk setiap ruang eigen dari A

  (-a, 0) x 2.

  Terapkan proses Gram-Schmidt

  (a, 0)

  terhadap vektor-vektor basis pada ruang hasilkali dalam Euclid, (0, -b) sehingga diperoleh suatu basis ortonormal.

3. Bentuk matriks P dengan kolom-

  a > b

  kolomnya adalah vektor-vektor

  y

  pada basis yang diperoleh pada langkah 2. Matriks ini akan

  (0, b)

  mendiagonalkan A secara ortogonal.

  (-a, 0) x

  (a, 0) Teorema 4

  T

  Misalkan x Ax adalah bentuk kuadratik

  (0, -b)

  dalam variabel-variabel di x, dimana A adalah matriks simetris. Jika P mendiagonalisasi A secara ortogonal, dan

  a < b x = Py, maka diperoleh bentuk kuadratik y

  T y Dy,

  ⋯⋯⋯⋯⋯⋯(4)

  (0, b)

  dengan D adalah matriks diagonal dengan entri-entri diagonal utamanya adalah nilai

  (-a, 0) x eigen yang sesuai.

  (a, 0)

  Bentuk pada persamaan (4) diatas tidak memiliki suku-suku hasilkali silang.

  (0, -b)

  Dengan demikian, jika diterapkan pada bentuk kuadratik yang diasosiasikan pada suatu persamaan irisan kerucut maka

  a = b

  persamaan (4) merupakan bentuk kuadratik yang diasosiasikan pada suatu

  2. ₂ Hiperbola _{2 2 2} bentuk kanonik (standar) irisan kerucut.

  x y y x

  1, atau

  1 ₂     ; a, b  _{2 2 2} Berikut bentuk-bentuk kanonik

  a b a b

  masing-masing irisan kerucut: 1.

  Ellips atau lingkaran _{2 2}

  y x y ₂   ₂ 1 ; a, b  0 a b

  (a, 0) x (-a, 0)

  EKSAKTA Vol. 19 No. 1/30 April 2018 DOI : 10.24036/eksakta/vol19-iss01/132 E-ISSN : 2549-7464, P-ISSN : 1411-3724

  atas. Dengan demikian kita dapat menggambarkan dengan mudah irisan

  y kerucut tersebut.

METODE PENELITIAN

  (0, a) x Penelitian ini dimulai dari hasil studi

  pustaka dengan mempelajari beberapa

  (0, -a)

  karya ilmiah yang disajikan dalam bentuk jurnal, bulletin ataupun buku. Dari data- data atau konsep yang telah dikumpulkan, dilakukan proses analisis dengan cara menghubungkan satu atau beberapa konsep dengan kaidah matematika yang

  3. Parabola benar. Kemudian merumuskan suatu

  2 y = px, p  0

  konsep yang diperoleh dari hasil

  p < 0 p > 0 y hubungan tersebut. Sehingga diperoleh

  hasil berupa langkah-langkah untuk mendiagonalisasi bagian kuadratik dari suatu persamaan irisan kerucut, sehingga

  x

  diperoleh persamaan irisan kerucut yang bebas dari suku hasilkali silang. Akibatnya bentuk irisan kerucut dengan mudah dapat digambarkan.

HASIL DAN PEMBAHASAN

  2 x = py, p

   0 Misalkan persamaan bentuk matriks irisan

  y p < 0

  kerucut berikut

  y T p > 0 x Ax + Bx + f = 0,

  ⋯⋯⋯⋯⋯ (5) dimana

  x a b     x = , A = , B = d e .

        y b c

      x

  Persamaan di atas menunjukkan bahwa

  p < 0

  irisan kerucut tersebut berada dalam bidang koordinat xy . Kita akan mentransformasikan sumbu xy, sehingga masing-masing sumbu dari irisan kerucut sejajar dengan sumbu-sumbu koordinat yang baru. Ini dapat diperoleh dengan

  Gambar 4

  merotasikan sumbu koordinat xy menjadi

  x

  sumbu koordinar x y, sehingga Jadi, dengan menerapkan proses persamaan irisan kerucut yang berada diagonalisasi pada bentuk kuadratik suatu pada sistem koordinat x y tidak irisan kerucut tertentu, maka akan mengandung suku hasilkali silang. diperoleh salah satu dari bentuk standar di

  EKSAKTA Vol. 19 No. 1/30 April 2018 DOI : 10.24036/eksakta/vol19-iss01/132 ₂ E-ISSN : 2549-7464, P-ISSN : 1411-3724 ₂ Berikut uraian dari langkah-langkah yang

          ( ₁ x  y  d x  e y  f  _{2 ⋯⋯} dilakukan.

  (8) dimana d  = dp

  11 + ep + 21 dan e  = dp

  12 Langkah 1: ep 22 . Persamaan (8) tidak memiliki suku

  Cari sebuah matriks hasilkali silang.

  p p

   ^{11 12 }

  P =

   

  Contoh : p p _{21 22}

    Gambarkan irisan kerucut dengan yang secara ortogonal mendiagonalisasi

  2

  2

  persamaan 5x – 4xy + 8y – 36 = 0.

  A .

  Penyelesaian : Langkah 2:

  Bentuk matriks dari Pertukarkan kolom-kolom dari P, jika

  2

  2

  5x

• – 4xy + 8y – 36 = 0 diperlukan untuk menjadikan det(P) =1 adalah untuk menjamin bahwa transformasi

  T x Ax

• – 36 = 0 koordinat ortogonal dengan

  x = Px , x 5 

  2    

  yaitu x = , A = .

      y

  2

       P

  8   x x    

  ⋯⋯⋯⋯⋯⋯

     

  Misalkan  adalah nilai eigen dari matriks

   y y

     

  simetris A. Maka (6)

   

  5

  2  

  det( I = 

• – A) = det
• – 2 adalah suatu rotasi.

   

  

  Langkah 3: 2 

  8  

  Untuk mendapatkan persamaan irisan 13  + 36 = (

• – 9) ( – 4 ) = 0 kerucut di dalam sistem x y substitusikan sehingga diperoleh nilai eigen dari A (6) ke dalam (5). Hal ini menghasilkan adalah  = 9 dan  = 4.

  T (Px ) A(Px ) + B(Px) + f = 0

  Jika x vektor eigen yang sesuai nilai atau eigen  = 9, maka Ax = 9x atau

  T T (x ) (P AP )x

   + (BP)x + f = 0. ⋯

  4

  2  

  (9I – A)x = 0  x = 0 (7)

   

  2

  1  

  Karena P secara ortogonal ₁ mendiagonalisasi A, maka 1 x

      ₂  = 0,

         ₁

  y T

     

  P AP = ,

     ₂

     x + ½ y = 0

  x

  dimana 

  1 dan  2 adalah nilai eigen dari   x =

  

    A . Sehingga (7) dapat dituliskan kembali y

   

  sebagai ₁   ₂

    x

   ^{1    = t , dengan t parameter.}

     

   x y 

  1    

• 

   

   y ₂    

  Jika x vektor eigen yang sesuai nilai 

  p p x

   ^{11 12   } eigen  = 4, maka Ax = 4x atau

  d e + f = 0  

     

  

  p p y _{21 22}

  1

        (4I x = 0

  2 

• – A)x = 0 

   

  atau

  2

  4   

    

  5

  Susunan kolom dari P disesuaikan agar det(P) = 1. Karena itu transformasi koordinat ortogonal

       _{5 2 5 1 5} ¹ ₅ ² .

     

  P = [p 2 p 1 ] =

  , dimana

      _{5 1 5} ²

  =    

    

  2   

  1

  2 =

   adalah sebuah rotasi. Dengan menerapkan persamaan (7) diperoleh

  1

  2

  1

  2 ,

  1

  2

  1

  ,

  5 ^{2 5 1 5 2 5 1 5 2 5 1 5 2 5 1}

    

     

  x = Px

       

• – 36 = 0 atau

     

     

      y x y x

  9

  4

• – 2y = 0 

  9

  pada sumbu koordinat x y. Sehingga diperoleh gambar irisan kerucut pada Gambar 5. Jika irisan kerucut yang ditransformasikan tidak berpusat di titik asal (0, 0), kita cukup melakukan langkah rotasi di atas. Selanjutnya kita dapat menerapkan cara yang biasa ketika menggambarkan suatu irisan kerucut yang berpusat di titik (a, b), atau kita dapat melanjutkan dengan langkah berikutnya yaitu melakukan translasi terhadap sistem koordinat x

  (3, 0) (0, 2) (-3, 0) (0, -2)

  y y  x x  p ¹ p ²

  2. Suatu irisan kerucut bentuk kanonik (standar) tidak memiliki suku-suku perkalian silang.

  1. Setiap persamaan irisan kerucut memiliki suatu bentuk kuadratik yang dapat ditransformasikan menjadi bentuk kuadratik yang tidak memiliki suku-suku perkalian silang dengan melakukan proses diagonalisasi matriks.

  Berdasarkan pembahasan diatas dapat ditarik beberapa kesimpulan, yaitu:

  Gambar 5

  y .

  p 1 dan p2 berturut-turut adalah vektor

  4 ^{2 2}    

  , yang merupakan persamaan elips. Vektor

  y x

  36

  9 ^{2 2}  

  4

  1

   y x atau

  

     

    

  , dengan s parameter. Sehingga diperoleh vektor-vektor pada basis ruang eigen,yaitu

  1 dan p 2 adalah hasil

  Selanjutnya akan dilakukan proses Gram- Schmidt terhadap vektor-vektor tersebut untuk mendapatkan matriks P yang mendiagonalisasi A secara ortogonal. Misalkan vektor p

  2 .

  1

   

  2 =    

  1 ^{2 1} dan v

    

    

  v 1 =

  2

  p 1 = ₁ ¹ v v

  1

   

     

  = s

    y x

  x =    

   x

               x = 0,

  1 2 x y

  

  EKSAKTA Vol. 19 No. 1/30 April 2018 E-ISSN : 2549-7464, P-ISSN : 1411-3724 DOI : 10.24036/eksakta/vol19-iss01/132

  dari proses tersebut, maka

  = _{2 2 2 1} ( 1 )

     

   

     

     

    

     

    

    

     

     

     

  =    

  p p v v p p v v

  1  

  , ,

  p 2 = _{1 1 2 2} ^{1 1 2 2}

      _{5 2 5} ¹

     

  1 ^{2 1} =

    

  2   

  5

  1 ^{2 1} =

    

    

KESIMPULAN DAN SARAN

  EKSAKTA Vol. 19 No. 1/30 April 2018 DOI : 10.24036/eksakta/vol19-iss01/132 E-ISSN : 2549-7464, P-ISSN : 1411-3724 3.

  Suatu irisan kerucut yang memiliki suku perkalian silang mengindikasikan bahwa irisan kerucut tersebut diputar sehingga keluar dari posisi standarnya. Berdasarkan uraian di atas hingga kesimpulan dapat dipahami bahwa setiap bentuk kuadratik dapat ditransformasikan menjadi bentuk kuadratik yang lebih sederhana. Suatu irisan kerucut memuat bentuk kuadratik dengan dua variabel. Begitu juga dengan permukaan kuadrik memiliki bentuk kuadratik yang diasosiasikan dengan tiga variabel. Karena itu bagi peminat aljabar dan geometri dapat pula melanjutkannya pada permukaan kuadrik.

DAFTAR PUSTAKA

  Anton, Howard., 1994, Elementary Linear

  Algebra : Aplications Version, John Wiley & Sons, New York.

  Eves, Howard, 1972, A Survey of

  Geometry , Allyn and Bacon Wesley, London.

  Moise, Edwin E., 1990, Elementary

  Geometry , Addison - Wesley, New York.

  Morrill, W. K., 1964, Analytic Geometry, Second edition, International Textbook Company, Pennsylvania.

  Wallace, Edward C., 1992, Roads to

  Geometry , Prentice Hall, New Jersey.