6.1. Peubah Bebas Bersatuan Derajat - 6 Fungsi Trigonometri

  Nopember 2013 www.darpublic.com Darpublic

6. Fungsi Trigonometri

  

Sudaryatno Sudirham

6.1. Peubah Bebas Bersatuan Derajat Berikut ini adalah fungsi-fungsi trigonometri dengan sudut sebagai peubah-bebas.

  θ y sin ; y cos

  = θ = θ

  1

  2 sin cos

  θ θ

  (6.1)

  y = tan θ = ; y = cot θ =

  3

  4 cos sin

  θ θ

  1

  1

y sec ; y csc .

  = θ = = θ =

  5

  6 cos sin

  θ θ

  Untuk menjelaskan fungsi trigonometri, kita gambarkan lingkaran-satuan, yaitu lingkaran berjari-jari satu. Bentuk lingkaran ini diperlihatkan pada Gb.6.1. Kita menggunakan referensi arah positif berlawanan dengan arah jarum jam; artinya sudut makin besar jika

  θ jari-jari r berputar berlawanan dengan arah perputaran jarum jam. y

1 P

  r θ

  

O

Q

• 1

  1 [0,0] θ - x P’

• -1

  Gb.6.1. Lingkaran berjari-jari 1.

  Fungsi sinus. Dengan membuat jari-jari r = OP = 1, maka PQ sin PQ (6.2)

  θ = = r o

  PQ = 0 pada waktu = 0 , dan membesar jika membesar sampai mencapai maksimum PQ

  θ θ o

  = 1 pada waktu = 90 . Kemudian PQ menurun lagi dan mencapai PQ = 0 pada waktu =

  θ θ o

  180 . Sesudah itu PQ menjadi negatif (arah ke bawah) dan mencapai minimum PQ = 1 pada

  − o o

  waktu = 270 , kemudian meningkat lagi mencapai PQ = 0 pada waktu = 360 . Setelah itu

  θ θ o

  keadaan akan berulang, dan satu siklus berikutnya terjadi pada waktu = 720 . Kejadian

  θ

  berulang lagi dan demikian seterusnya. Kejadian satu siklus kita sebut satu perioda. Secara singkat kita memperoleh

  o o o sin ; sin

  90 1 ; sin 180 ;

= = =

o o sin 270 1 ; sin 360

  = − = Nopember 2013 www.darpublic.com Darpublic

  Fungsi Cosinus. Karena telah ditetapkan r = 1, maka OQ cos OQ (6.3)

  θ = = r

  OQ = 1 pada waktu = 0, dan mengecil jika membesar sampai mencapai minimum OQ = 0

  θ θ

  pada waktu = /2. Kemudian OQ meningkat lagi tetapi negatif dan mencapai OQ =

  1

  θ π −

  pada waktu = . Sesudah itu OQ mengecil dan tetap negatif dan mencapai minimum OQ =

  θ π 0 pada waktu = 1,5 , kemudian meningkat lagi mencapai OQ = 1 pada waktu = 2 .

  θ π θ π Setelah itu keadaan akan berulang, dan satu siklus berikutnya terjadi pada waktu = 4 .

  θ π

  Kejadian berulang lagi dan demikian seterusnya. Secara singkat

  o o o cos = 1 ; cos 90 = ; cos 180 = − 1 ; o o cos 270 = ; cos 360 =

  1

  2 Pada Gb.6.1, jika sin( ) = PQ dan cos( ) = OQ, sedangkan dalil Pitagoras memberikan PQ θ θ

• 2

2 OQ = OP =1, maka

  2 sin ( θ ) cos ( θ ) = 1 (6.4.a)

• 2

  Dari Gb.6.1. dapat kita peroleh juga

  

P ′ Q PQ

−

sin( ) sin

  − θ = = = − θ (6.4.b)

r r

  OQ cos( ) cos − θ = = θ (6.4.c) r

  Pada segitiga siku-siku OPQ maupun OP’Q sisi tegak selalu lebih kecil dari sisi miring. Oleh karena itulah sin maupun cos akan bernilai antara 1 dan +1.

  θ θ − Fungsi Tangent.

  PQ tan

  (6.4.d)

  θ = OQ P ′ Q − PQ tan( ) tan (6.4.e)

  − θ = = = − θ

OQ OQ

  o o

  Nilai tan akan menjadi 0 jika = 0 , dan akan menuju + jika menuju 90 karena pada

  θ θ ∞ θ o

  waktu itu PQ juga dan tan( ) akan menuju pada waktu menuju 90 . Jadi tan

  ∞ −θ −∞ θ − θ bernilai antara sampai + . −∞ ∞ o o

  Nilai tan = 1 bila = 45 karena pada waktu itu PQ = OQ; tan( ) = 1 jika = 45 . Lihat

  θ θ −θ − θ − pula kurva pada Gb.6.5.

  Fungsi Cotangent.

  

OQ

cot θ = (6.4.f)

  

PQ

OQ OQ

cot( ) cot

  − θ = = = − θ (6.4.g)

P Q PQ

  

′ −

o

  Nilai cot akan menuju + jika menuju 0 karena PQ akan menuju 0 walau OQ menuju 0;

  θ ∞ θ o cot = 0 jika = 90 karena OQ = 0.

  θ θ 2/11 Sudaryatno Sudirham, “Fungsi Trigonometri”

  Nopember 2013 www.darpublic.com Darpublic

  Sebaliknya cot akan menuju jika menuju 0 karena P’Q akan menuju 0; cot = 0 jika

  θ −∞ θ − − θ o

  = 90 karena P’Q menuju . Lihat pula kurva Gb.6.6.

  θ − −∞ Fungsi Secan dan Cosecan

  

1 r

sec θ = = (6.4.h)

cos OQ

  θ

1 r

csc

  θ = = .4.i)

sin PQ

  θ o o

  Nilai sec menuju jika menuju 90 karena OQ menuju 0 dan sec = 1 pada waktu = 0

  θ ∞ θ θ θ

  karena pada waktu itu OQ = r atau cos = 1. Sementara itu csc akan menuju jika

  θ θ ∞ θ menuju 0 karena sin menuju 0. Lihat pula Gb.6.7. θ

  Relasi-Relasi. Relasi-relasi yang lain dapat kita turunkan dengan mengunakan Gb.6.2.,

  yaitu

  y sin cos

  α β sin

  1 α sin sin

  α β cos

  α β α cos sin α β

  β

• 1 1 x [0,0]

  cos cos α β

• 1

  Gb.6.2. Relasi-relasi

• sin( α β ) = sin α cos β cos α sin β

  (6.5)

• cos( α β ) = cos α cos β − sin α sin β

  Karena sin( − β ) = − sin β dan cos( − β ) = cos β maka kita peroleh pula

  sin( ) sin cos cos sin α − β = α β − α β

  (6.6)

  α − β = α β α β

• cos( ) cos cos sin sin

6.2. Kurva Fungsi Trigonometri Dalam Koordinat x-y

  Bilangan-nyata dengan desimal yang tidak terbatas, , digunakan untuk

  π

  menyatakan besar sudut dengan satuan radian. Jumlah radian dalam sudut

  r s θ didefinisikan dengan persamaan

  θ

s

  , s r (6.7) θ = = θ

r

o

  Jika = 360 maka s menjadi penuh satu keliling lingkaran, atau s = 2 r . Jadi jumlah radian

  θ π o

  dalam sudut 360 adalah 2 . Dengan demikian maka ukuran sudut

  π o θ = 180 adalah π rad.

  1 Nopember 2013 www.darpublic.com Darpublic o 90 adalah 0,5 rad.

  θ = π

  2 o 1 adalah ( / 180 ) rad. dst.

  θ = π

3 Fungsi Sinus. Dengan menggunakan satuan radian, fungsi trigonometri akan kita

  gambarkan pada sistem koordinat x-y, yang kita ketahui bahwa sumbu-x adalah sumbu bilangan-nyata, termasuk . Bentuk kurva fungsi sinus

  π y sin(x ) (6.8)

  =

  terlihat pada Gb.6.3. yang dibuat untuk nilai x dari 2 sampai +2 .

  − π π o

  Fungsi ini mencapai nilai maksimum +1 pada x = /2 atau = 90 , mencapai nilai nol pada x

  π θ o o

  = atau = 180 , mencapai minimum 1 (arah negatif) pada x = 1,5 atau = 270 , kembali

  π θ − π θ o nol pada x = 2 atau = 360 ; inilah satu perioda.

  π θ 1,5 y

  1 0,5

  2 − 2 π −π π π x

• 0,5
<
• 1,5 Gb.6.3. Kurva fungsi sinus dalam dua perioda.

  Fungsi Cosinus. Kurva fungsi cosinus y cos(x ) (6.9)

  = o

  terlihat pada Gb.6.4. Fungsi ini mencapai nilai maksimum +1 pada x = 0 atau = 0 ,

  θ o

  mencapai nilai nol pada x = /2 atau = 90 , mencapai minimum 1 (arah negatif) pada x =

  π θ − o o

  atau = 180 , kembali nol pada x = 1,5 atau = 270 , dan ke nilai maksimum +1 lagi

  π θ π θ setelah satu perioda, 2 .

  π 1,5 y

  1 perioda

  0,5 −π π

  2 π x

• 0,5
<
• 1,5 Gb.6.4. Kurva fungsi cosinus.

  Fungsi sinus maupun fungsi cosinus adalah fungsi periodik dengan perioda sama sebesar 2 ,

  π

  dengan nilai maksimum dan minimum yang sama yaitu +1 dan

  1. Perbedaan antara

  −

  keduanya terlihat, yaitu

  sin( x ) sin( x ) sedangkan cos( x ) cos( x ) (6.10) = − − = − Fungsi sinus simetris terhadap titik-asal [0,0], dan disebut memiliki simetri ganjil.

  Fungsi cosinus simetris terhadap sumbu-y dan disebut memiliki simetri genap.

  4/11 Sudaryatno Sudirham, “Fungsi Trigonometri”

  3

  (6.14.a) Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.6.7.a. Perhatikan bahwa sec(x) bernilai 1 pada x = 0 karena pada nilai x itu cos(x) juga bernilai 1.

  1 ) sin( ) cos( ) cot( x x x x y

  = = =

  (6.13) Karena sin(x) = 0 pada x = 0, maka cot(x) bernilai tak hingga pada x = 0. Lihat Gb.6.6.

  Gb.6.6. Kurva y = cot (x) Fungsi Secan. Fungsi ini adalah kebalikan fungsi cosinus.

  ) cos(

  1

) sec(

x = x y =

  1

  Fungsi Cotangent. Fungsi ini adalah kebalikan dari fungsi tangent.

  2

  3

  y Gb.6.5. Kurva ) tan(x y

  ====

  1

  2

  ) tan(

  −π /2.

  Darpublic Nopember 2013 www.darpublic.com

  ) tan( x x x y

  Dengan memperbandingkan Gb.6.3. dan Gb.6.4 kita lihat bahwa fungsi sinus dapat dipandang sebagai fungsi cosinus yang tergeser sejajar sumbu-x sebesar

  π

  /2. Oleh karena itu fungsi sinus dapat kita nyatakan dalam cosinus

  )

) 2 / cos( sin(

π − = = x x y

  (6.11)

  Fungsi Tangent. Selanjutnya kita lihat fungsi ) cos( ) sin(

  = =

  /2 dan

  (6.12) Karena cos(x) = 0 pada x = +

  π

  /2 dan

  −π

  /2, maka tan(x) bernilai tak hingga pada x = +

  π

• -1,5 π - π -0,5 π 0,5 π π 1,5 π

• 3
• 2
• 1

• -1,5 π - π -0,5 π 0,5 π π 1,5 π

• 3
• 2
• 1

Nopember 2013 www.darpublic.com Darpublic Fungsi Cosecan. Fungsi ini adalah kebalikan fungsi sinus.

  1 y csc( x ) (6.14.b)

  = = sin( x )

  Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.6.7.b. csc(x) bernilai pada x = 0 kara pada nilai x ini sin(x)

  ∞ bernilai 0.

  3

  2

  1

• 1,5 π π -0,5 π 0,5 π π 1,5 π
• 1
• 2
• 3

  (a) y = sec(x)

  3

  2

  1

• 1,5 π π -0,5 π 0,5 π π 1,5 π -
• 1
• 2
• 3

  (b) y = csc(x) Gb.6.7. Kurva y = sec(x) dan y = csc(x)

6.3. Fungsi Trigonometri Inversi

  Sinus Inversi. Jika fungsi sinus kita tuliskan , maka fungsi sinus inversi y sin(x )

  =

  dituliskan sebagai

  1 −

  (6.15)

  y arcsin x atau y sin x = =

  1 −

  Perhatikan bahwa sin x bukan berarti 1/sinx, melainkan inversi sinus x yang bisa kita baca sebagai: y adalah sudut yang sinusnya sama dengan x.

  −

  1 Karena fungsi sinus adalah periodik dari sampai + maka fungsi y sin x tidaklah =

  −∞ ∞ bernilai tunggal. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.6.8.a.

  Ia akan terlihat bernilai tunggal jika kita membatasi nilai y; kita hanya meninjau fungsi sinus

  π π

  inversi pada . Dengan pembatasan ini maka kita hanya terlibat dengan nilai-nilai

  − ≤ y ≤

  2

  2 −

  1 −

  1 π π

  −

  1

utama dari sin x. Jadi nilai utama y sin x terletak pada . Kurva fungsi

  = − ≤ sin x ≤

  2

  2 −

  1 y sin x yang dibatasi ini terlihat pada Gb.6.8.b.

  = 6/11 Sudaryatno Sudirham, “Fungsi Trigonometri”

  Nopember 2013 www.darpublic.com Darpublic

  −

1 Perhatikanlah bahwa pada x = 0, y = sin x = 0 karena pada y = 0 sin(y) = 0 = x. Pada x = 1, y =

  1 − x = sin /2 karena sin(y) = sin( /2) = 1 = x.

  π π −

1 Contoh:

  y = sin ( 1 ) = , 5 π ; −

  1 y = sin ( − 1 ) = − , 5 π

  π −

  1 y = sin ( , 5 ) = ;

  6 π

  −

  1 y sin ( , 5 )

  = − = −

  6 y

  2 π π

  0,5 π y x

• 1

  1 0,25 π −π

• 1 -0,5 0,5

  1 x

  π

• 0,25

  − 2 π

• 0,5 π

  a) b)

  1 − x

  Gb.6.8. Kurva y = sin Jika kita bandingkan Gb.6.8. (fungsi sinus inversi) dengan Gb.6.3. (fungsi sinus) terlihat bahwa jika sumbu-y pada Gb.6.8. kita gambarkan horizontal sedangkan sumbu-x kita gambarkan vertikal, maka kita akan memperoleh bentuk kurva fungsi sinus pada Gb.6.3.

  π π

  pada rentang , yaitu rentang di mana kita membatasi nilai y pada fungsi sinus

  y − ≤ ≤

  2

  2 inversi, atau rentang nilai utama fungsi sinus inversi.

  Cosinus Inversi. Fungsi cosinus inversi kita peroleh melalui hubungan 1 π

  1

− −

  (6.16)

  

y = cos x = − sin x

  

2

Hubungan ini berasal dari relasi segitiga siku-siku. Jika sudut lancip segitiga siku-siku adalah

  dan , maka β = π /

  2 − α dan sin α = cos β . Oleh karena itu jika sin α = x maka cos β = x α β

  sehingga

  1

  1

− −

cos x / 2 / 2 sin x

  

= β = π − α = π −

π π

  Karena dengan pembatasan pada fungsi sinus inversi memberikan

  y − ≤ ≤

  2

  2

  

1

π π −

  −

  1 −

  1

cos x

maka nilai-nilai utama dari akan terletak pada . Gb.6.9.b. sin x cos x

  − ≤ ≤ ≤ ≤ π

  2

  2 memperlihatkan kurva fungsi cosinus inversi pada nilai utama.

  Nopember 2013 www.darpublic.com Darpublic

  Perhatikan bahwa jika sumbu-x digambar vertikal sedang sumbu-y digambar horizontal, kita dapatkan fungsi cosinus seperti pada Gb.6.4. dalam rentang .

  x ≤ ≤ π y

  π 1 π y

  0,75 π x

• 1

  1 0,5 π 0,25 π

  −π

• 1 -0,5 0,5

  1 x

  a) b)

  1 − y cos x

  Gb.6.9. Kurva =

  Tangent Inversi. Fungsi tangent inversi adalah −

  1

  (6.17)

  

y = tan x

π π

  −

  1

  dengan nilai utama

  − &lt; tan x &lt;

  2

  2 Untuk fungsi ini, nilai y = ± ( π / 2 ) tidak kita masukkan pada pembatasan untuk y karena nilai

  tangent akan menjadi tak hingga pada nilai y tersebut. Gb.6.10.a. memperlihatkan kurva

  −

  1

  lengkap sedangkan Gb.6.10.b. dibatasi pada nilai , 5 y .

  5 .

  − π &lt; &lt; π y = tan x

  1,5 π y

  π 0,5 π

  π 0,5 y 0,25 π x

• 3 -2 -1 0 1

  2

  3

• 0,5 π
• 10 -5 5 x

  10 π -0,25 π - π

• 1,5
• 0,5 π

  a) b)

  −

  1 Gb.6.10. Kurva y tan x

  =

  Jika kita mempertukarkan posisi sumbu-x dan sumbu-y pada Gb.6.10.b ini, kita akan memperoleh kurva pada Gb.6.5. yaitu kurva fungsi tangent, dalam rentang

  

π π

−

  1

tan x

  − &lt; &lt;

  2

  2 Inilah batas nilai-nilai utama fungsi tangent inversi.

  8/11 Sudaryatno Sudirham, “Fungsi Trigonometri”

  Nopember 2013 www.darpublic.com Darpublic

  Cotangent inversi. Fungsi ini diperoleh melalui hubungan

1 π

  1 − −

  (6.18)

  

y cot x tan x

= = −

  2

  1 −

  dengan nilai utama &lt; cot x &lt; π 0 dan tidak masuk dalam pembatasan y karena pada nilai tersebut y menjadi tak hingga.

  π

  Hubungan (6.18) diperoleh dari segitiga siku-siku. Jika sudut lancip segitiga siku-siku adalah dan , maka /

  2 dan tan cot . Oleh karena itu jika tan x maka cot x β = π − α α = β α = β =

  α β

  sehingga

  −

1 −

  1 cot x = β = π / 2 − α = π / 2 − tan x Kurva fungsi cotangent inversi terlihat pada Gb.6.11.

  1 π

y

  0,5 π x

• 10 -5

  5

  10 −

  1 Gb.6.11. Kurva y cot x =

  Pertukaran posisi sumbu-x dan sumbu-y Gb.6.11. ini akan memberikan bentuk kurva fungsi cotangent pada Gb.6.6.

  Fungsi Secan Inversi. Selanjutnya kita memperoleh fungsi secan inversi

  1

  1

  1

− −

  (6.19)

  y sec x cos = = x

  1 − dengan nilai utama .

  ≤ sec x ≤ π π

  0,75 π 0,5 π 0,25

• 4 -3 -2 -1

  1

  2

  3

  4 −

  1 Gb.6.12. Kurva y sec x = Fungsi Cosecan Inversi.

  1 − 1 −

  

1

  (6.20)

  csc x sin = x

  π − 1 π

  dengan nilai utama

  csc x − ≤ ≤

  2

  2 Pertukaran posisi sumbu-x dan sumbu-y pada gambar kurva kedua fungsi terakhir ini juga akan memberikan bentuk kurva fungsi non-konversinya. Nopember 2013 www.darpublic.com Darpublic

  0,5 π y

  0,25 π x

• 4 -3 -2 -1

  1

  2

  3

  4

• 0,25 π
• 0,5 π

  −

  1 Gb.6.12. Kurva y csc x = 6.4. Hubungan Fungsi-Fungsi Inversi.

  Hubungan antara fungsi inversi dengan fungsi-fungsi non-inversi dapat kita cari dengan menggunakan gambar segitiga siku-siku.

  −

  1

  1). Dari fungsi y sin x , yaitu sudut y yang sinus-nya adalah x dapat kita gambarkan

  = segitiga siku-siku dengan sisi miring sama dengan 1 seperti terlihat di bawah ini.

  

1

x y

  2

1 − x

  −

1 Dari gambar ini selain fungsi y = sin x dan sin y x , kita dapat peroleh

  = x

  2 cos y 1 x , tan y , dst.

  = − =

  2 1 x

  − −

  1

  2). Dari fungsi cosinus inversi y = cos x dapat kita gambarkan segitiga siku-siku seperti di bawah ini.

  1

  2 1 − x y x

  Selain cos y x dari gambar ini kita dapatkan

  =

  2 1 − x

  2 sin y 1 x , tan y , dst.

  = − = x

  1 − 3). Dari fungsi y tan x , kita gambarkan segitiga seperti di bawah ini.

  =

  2

• 1 x

  x y

  1 Selain tan y x , kita peroleh =

  10/11 Sudaryatno Sudirham, “Fungsi Trigonometri”

• =
• =

  − =

  2 − x y

  1

  2 − = , dst. x

  1

sin

  − = , x x y

  2 1 tan x y

  kita gambarkan Dari gambar ini kita peroleh

  1 sec

  Darpublic Nopember 2013 www.darpublic.com

  , dst 4). Dari fungsi x y

  1

cos

x y

  1

  2

  ,

  1 sin x x y

  2

  1