2.1. Integral Fungsi Tetapan: ∫ - II-5 Integral Tak Tentu

  Nopember 2013 www.darpublic.com Darpublic

2. Integral (2)

  

(Integral Tak Tentu)

Sudaryatno Sudirham

  Dalam bab sebelumnya kita telah mengenal macam-macam perhitungan integral. Salah satu cara mudah untuk menghitung integral adalah dengan pendekatan numerik, walaupun cara ini memberikan hasil yang mengandung error. Namun error dalam pendekatan numerik bisa ditekan sampai pada batas-batas toleransi. Dalam bab ini kita akan melihat perhitungan integral tak tentu secara analitis dari macam-macam fungsi.

  2.1. Integral Fungsi Tetapan: adx ∫

  

= =

∫

• adx ax K karena dax adx

  2 dx 2 x K

  = =

• Contoh: y

  ∫ n

  2.2. Integral Fungsi Mononom: x dx ∫

  1

• n

  x

  n n − 1 n

  = =

• Karena dx x dx dengan syarat n ≠ − 1, maka x dx K

  ∫

  1

• n

  2

  2

  2

3 Contoh: y

  2 x dx 2 x dx x K = = =

• 3

  ∫ ∫

  n m ∫

• 2.3. Integral Fungsi Polinom ( x x ) dx

  Polinom merupakan jumlah terbatas dari mononom. Integral suatu polinom sama dengan jumlah integral mononom yang menyusunnya.

  n m n m

  Karena d ( x x ) x dx x dx maka = + +

  1

  1 m + + n

  x x

  n m

  ( x x ) dx K , dengan syarat n 1 , m

  1 = ≠ − ≠ − + +

• n

  ∫

  1 m

  1

  n

2.4. Integral Fungsi Pangkat Dari Fungsi: v dx

  ∫ 1 n + + n

  1

  v v

  Jika v adalah polinom, maka v dv dv K karena d v dv dengan syarat n 1.

  = = ≠ −

• n n

  ∫

  n 1 n

  1

  n Formulasi ini digunakan untuk mencari v dx .

  ∫

  Contoh: Hitunglah y (

  2 x 1 ) dx =

• 2

  ∫

  dv

  2 x 1 dv 2 dx dx Misalkan = → = → =

• v

  2

  2

  3

  3

  2

  v v 8 x 12 x 6 x

  1

  2

  y = ( 2 x 1 ) dx = dv = K = K + + +

  ∫ ∫

  2

  6

  6 Kita coba untuk meyakinkan hasil

  4

  1

  3

  2

  x 2 x x K = + + + +

  3

  6 ini dengan hasil yang akan diperoleh jika polinom kita kuadratkan lebih dulu.

  3

  2

  x x

  4

  4

  2

  2

  y ( 2 x 1 ) dx ( 4 x 4 x 1 ) dx x K ′ = = = + + + + + +

  ∫ ∫

  3

  2

• = ′ K K .

3 Misalkan

  =

  2

  3

  2

  3

  1

  3 y x v dv v x dv v x dx x x

  − − = − = − = −

  = −

  ∫ ∫ −

  2

  ∫ v dv

  Karena v dv v d

  = ) (ln

  , maka K v v dv

  ∫

  ln . Integrasi ini memecahkan masalah persyaratan n ≠ −

  1 pada integrasi

  ∫ dx v n .

  3

  3 2 /

  1

  2

  Hasil perhitungan sama dengan hasil sebelumnya, 6 /

  1

  Contoh: Hitunglah ∫

  − = dx x x y

  2

  1

  x dv dx x dx dv v x

  2

  2

  1

  2

  − = → − = → = −

  2 2 / 1 2 /

  1 2 /

  1

  2

  1

2.5. Integral Fungsi Berpangkat -1:

• =

  Contoh: Carilah integral ∫

2 Misalkan

  1

• = dx
• = + = =
• = K x K v
• =
• =

  2

  ∫ sin cos

  = maka K v dx v

  Karena vdv v d cos sin

  2.8. Integral Fungsi Trigonometri

  2

  3

  3

  − = maka K v dx v

  2

  1

  2

  3

  x v x 3 ln

  Karena vdx v d sin cos

  Contoh: Carilah integral tak tentu ∫

  ∫ cos sin Relasi diferensial dan integral fungsi trigonometri yang lain termuat dalam Tabel-2.1.

  = → = → =

  ∫ ∫

  = = =

  − = −

  x v dv v xdx y

  2 sin 2 sin

  2 2 cos 2 cos

  dv dx dx dv x v

  ∫ ∫

  2

  2

  2

  Misalkan

  2 sin

  = xdx y

  K dv dx y

  dv dx dx dv

  x x y

  1 ln( ln

  2

  2

  2/5 Sudaryatno Sudirham, Integral (2)

  1

  2

  2

  x dv v x dx x x y )

  Karena dv e de

  ∫ ∫

  2 = → = → + =

  1

  2

  2

  x dv dx x dx dv x v

  2.6. Integral Fungsi Eksponensial: ∫ dv e v

  v v

  2

  ln

  2

  3

  2

  x

  = dx y

  Contoh: Carilah ∫

  ∫

  = maka K e dv e

  v v

  = ln maka K a a dv a

  v v

  Karena adv a da

  2.7. Integral Tetapan Berpangkat Fungsi : ∫ dv a v

  ∫

  v v

  2

• = = =
• =
• − =

Nopember 2013 www.darpublic.com Darpublic

  2.9. Integral Fungsi Hiperbolik

  = =

• Karena d (sinh v ) cosh v maka cosh vdv sinh v K

  ∫

  = =

• Karena d (cosh v ) sinh vdv maka sinh vdv cosh v K

  ∫ Relasi diferensial dan integral fungsi hiperbolik yang lain termuat dalam Tabel-2.1.

  Contoh: Carilah y = cosh(

  2 x 1 ) dx

• dv dv

  ∫

  Misalkan v = 2 x + 1 → = 2 → dx = dx

  2

  1

  1 2 x 1 ) dx cosh( v ) dv = sinh v K = + + y = cosh(

  ∫ ∫

  2

  2

  1 sinh( 2 x 1 ) K

  = + +

  2

  2.10. Integral Menghasilkan Fungsi Trigonometri Inversi dv dv

  dv Integral fungsi-fungsi yang berbentuk , , dan setrusnya mulai nomer

  

∫ ∫

  2

  

2

1 v v v

• 2 ∫

  1

  1 v − − 20 sampai 31, menghasilkan fungsi-fungsi trigonometri inversi. dx

  Contoh: Carilah

  y =

  ∫

  2

  1 4 x − dv dv

2 Jika kita membuat pemisalan v =

  1 − 4 x maka = − 8 x atau dx = . Kalau pemisalan ini kita dx − 8 x dv

  1 /

  2 −

  masukkan dalam persoalan integral yang diberikan, kita akan mendapatkan bentuk v

  ∫

  8 x − yang tidak dapat diproses lebih lanjut; persoalan integral tidak dapat ter-transformasi menjadi integral dalam peubah v. dx

  Namun bentuk ini dapat kita transformasi menjadi bentuk yang termuat dalam Tabel-

  ∫

  2

  1 4 x − dv dv

  2.1, yaitu nomer 20. Kita misalkan v = 2x yang akan memberikan 2 atau dx . Persoalan = = dx

  2 integral kita menjadi dx dv 1 dv y = = =

  

∫ ∫ ∫

  2

  2

  2

  1 − 4 x

  2 1 − v 1 − v

  1

  1

  − 1 −

  1

  yang menghasilkan y sin v K sin ( 2 x ) K = = + +

  2

  2

2.9. Relasi Diferensial dan Integral

  Berikut ini daftar formula untuk deferensial beserta pasangan integralnya. Beberapa di antaranya perlu untuk diingat, misalnya formula 1 sampai 9 dan 16, 17 yang sering kita temui.

  Tabel-2.1.

  1. dv = v K 1. dv = dx

• dv

  ∫

  dx d ( kv ) kdv 2. =

  2. kdv k dv =

  ∫ ∫

  3. ( dv dw ) dv dw 3. d ( v w ) dv dw = + +

• =

  ∫ ∫ ∫

• ∫
• =
• =
• =
• =
• − =
• = K v vdv tan sec
• − =
• − =
• =
• =
• =
• − =

• − =
• = −
• =
• =
• −
• − =
• − =
• −
• = −
• − = −
• =
• −
• =
• = −
• = −

  1

  1 cot v dv v d

  − 23.

  

∫

  K v v dv

  1

  2 cot

  1 24.

  2

  1 sec

  1 − =

  − v v dv v d 24.

  

∫

  − K v v v dv

  1

  2 sec

  1

  , v >0 25.

  2

  1 23.

  2 tan

  

∫

′ + − = −

  sin

  1 21.

  2

  1

  1 ) (cos v dv v d

  − − =

  − 21.

  − K v v dv

  1

  1

  2 cos

  1 22.

  2

  1 tan dv v d

  − 22.

  

∫

  K v v dv

  1 csc

  2

  1 − −

  2

  

∫

  −

  K v v dv

  1

  2

  cosh

  1 28.

  1

  1 − =

  1 ) (tanh v dv v d

  − = − 28.

  

∫

  −

  K v v dv

  1

  2

  tanh

  − v dv v d 27.

  2

  = − v v dv v d 25.

  , v >0 26.

  

∫

  −

  K v v v dv

  1

  2

  csc

  1

  2

  1 ) (cosh

  1

  1 ) (sinh v dv v d

  − 26.

  

∫

  K v v dv

  1

  2 sinh

  1 27.

  2

  K v v dv

  1

  8. K v vdv + =

  ln

  =

  7. K a a dv a

  v v

  ∫

  ln 8. vdv v d cos ) (sin

  =

  ∫ sin cos 9.

  7. adv a da

  ) vdv v d sin (cos − =

  9. K v vdv

  ∫ cos sin

  10. vdv v d

  2 ) sec (tan = 10.

  

∫

  2

  11. vdv v d

  v v

  

∫

  − =

  1

  4/5 Sudaryatno Sudirham, Integral (2)

  4. dv nv dv

  n n 1 −

  =

  4. C

  n v dv v n n

  1

  ; n ≠

  v v

  1 5. v dv v d

  = ) (ln

  5. K v v dv

  ∫

  ln 6. dv e de

  v v

  =

  6. K e dv e

  2 ) csc (cot

  11. K v vdv

  −

  sech tanh h sec 19. vdv v v d coth h csc ) csch (

  K v vdv

  

∫

  coth h csc

  2

  18. vdv v v d tanh h sec ) sech ( − = 18.

  K v vdv v + − =

  

∫

  − = 19.

  2 ) h csc (coth

  K v vdv v

  

∫

  cosh coth csch 20.

  2

  1

  1 ) (sin v dv v d

  − = − 20.

  

∫

  − = 17.

  2 17. vdv v d

  

∫

cot csc

  =

  2

  12. vdv v v d tan sec ) (sec =

  12. K v vdv + =

  

∫

sec tan sec

  13. vdv v v d cot csc ) (csc − = 13.

  K v vdv

  

∫

csc cot csc

  14. v v d cosh ) (sinh

  14. K v vdv

  

∫

tanh h sec

  

∫

sinh cosh

  15. vdv v d sinh ) (cosh = 15.

  K v vdv

  

∫

cosh sinh

  16. vdv v d

  2 ) h sec (tanh

  =

  16. K v vdv

  1 ; jika |v|<1 Nopember 2013 www.darpublic.com Darpublic dv dv

  1

  1 − −

  29. = coth v K ; jika |v|>1

• 29. d (coth v ) =

  2 ∫

  2 1 v 1 v

  − −

  − dv dv

  − 1 −

  1

  30. sec h v K ; = = −

• 30. d (sec h v )

  ∫

  2

  2

  v 1 v v 1 v − − dv dv

  1 −

  1 − −

  31. = − csc h v K ;

• 31. d (csc h v ) =

  ∫

  2

• 2

  1 v v + v 1 v Catatan Tentang Isi Tabel-2.1.

  Dengan menggunakan relasi-relasi dalam Tabel-2.1 kita dapat melakukan proses integrasi fungsi-fungsi mencakup: Fungsi mononom dan polinom: vdv

  ∫

  dv

  n

  Fungsi polinom berpangkat: v dv ;

  ∫ ∫

  v

  v v

  Fungsi exponensial: e dv ; a dv

  ∫ ∫

  

2

  2 cos vdv sin vdv sec vdv csc vdv sec tan vdv csc cot vdv Fungsi trigonometri: ; ; ; ; ; .

  ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ tetapi tidak: tan vdv ; cot vdv ; sec vdv ; csc vdv . ∫ ∫ ∫ ∫

  2

  2 Fungsi hiperbolik: cosh vdv ; sinh vdv ; sec h vdv ; csc h vdv ; sec h v tanh vdv ; ∫ ∫ ∫

  ∫ ∫ tanh vdv coth vdv sec h vdv csc h vdv csch v coth vdv ; tetapi tidak: ; ; ; .

  

∫ ∫ ∫ ∫

∫

  Integrasi fungsi aljabar yang menghasilkan fungsi trigonometri inversi dan fungsi hiperbolik inversi, seperti

  dv dv dv dv

  dv dv dv dv ; ; ; ; ; ; ; .

  ∫ 2 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

  2

  2

  2

  

2

  2 1 v

  1 v −

• 2

  v

  1

  1 v v 1 v 1 v − v

  1 v

• 2

  − − tetapi tidak mengintegrasi fungsi inversi seperti

• 1 v v −

  − 1 −

  1 − 1 −

  1

  ; ; sinh vdv ; tanh vdv sin vdv tan xdx

  ∫ ∫ ∫ ∫

  Tabel-2.1 tidak memuat relasi integrasi fungsi-fungsi aljabar yang berbentuk dv

  2

  2

  2

  2

  ; a v dv ; v a dv ; dsb ± −

  ∫

  2 2 ∫ ∫

• a v