Comments on the Paper

Part B

1. Solution

Partie B

(a) The lines x = 2 and

1. Solution

y= 1 intersect at 2 1 ( , ) .

x =2

a) Les droites définies

The lines x = 2 and

coupent au point 2 1 ( , ) .

at 2 5 (2, 5) ( , ) , since

Les droites définies

+ =1 (2, 1) The lines y = 1 and x y 2 y = 12 intersect at 10 1 ( , ) , x

se coupent au point

( 25 , ) , car en reportant

since y =⇒ 1 x + 2 = 12 ⇒ x = 10 .

x= 2 dans x + 2 y

12 , on obtient 2 + 2y = 12, d’où y = 5. Les droites définies par y = 1 et x + 2 y =

(b) x + y = 8 intersects

12 se x=

2 at 2 6 ( , ) , which

x =2

coupent au point 10 1 ( , ) , car en reportant y = 1 dans

is above the point of

intersection of x = 2

x 2 y = 12 , on obtient x + 2 = 12, d’où x = 10.

x + 2y = 12

b) Les droites d’équations y

and x + 2 y = 12 .

x x =2 + y = 8 intersects (2, 1) (7, 1)

y =1

x + y = 8 et se coupent

au point 2 6 ( , ) . Ce

y= 1 at 7 1 ( , ) .

point est au-dessus du (2, 5) (4, 4) x To find the intersection point of x + 2y = 12 + y = 8 and point d’intersection des Q

x (10, 1) + 2 y = 12 , subtract the first equation from the sec- droites d’équations

(2, 1) (7, 1) y =1

ond to obtain y = 4 , so x = 4 .

x= 2 et x + 2 y = 12 .

Commentaires sur l'épreuve

Therefore, the vertices of Q are 2 1 ( , ) , 25 ( , ) , 44 ( , ) ,

Les droites d’équations x + y = 8 ett y = 1 se coupent au

point 7 1 ( , ) .

(c) Area of Q = Area of T − Area of R Pour déterminer le point d’intersection des droites

définies par x + y = 8 et x + 2 y =

12 , on soustrait la

= 1 2 ( )( ) 84 − 1 2 ( )( ) 33 première équation de la deuxième, membre par membre,

= 16 − 9 2 pour obtenir y = 4 , d’où x = 4 .

23 Les coordonnées du quadrilatère Q sont 2 1 ( , ) ,25 ( , ) = ,

( 44 , ) et 7 1 ( , ) .

c) Aire de Q = Aire de T – Aire de R This question was exceptionally well done. Students

Comments

either approached this strictly graphically or with a com- bination of graphical and analytic approaches. In either

case, they tended to do very well. Part (c) was quite well

done. Students managed to determine one of the many

Commentaires

ways to calculate the area of Q, either by subtracting the Les élèves ont exceptionnellement bien réussi cette question area of R from the area of T, by breaking Q up into two

peu importe la méthode de résolution utilisée. Des élèves ont triangles, or by breaking Q up into one rectangle and two

ainsi choisi la méthode de résolution graphique tandis que triangles.

d’autres ont opté pour un agencement des méthodes graphique Average : 8.4

et analytique. Ils ont tout particulièrement bien réussi la partie (c). Ils ont trouvé l’une des nombreuses façons de déterminer

2. (a) Solution 1 l’aire de Q, soit en soustrayant l’aire de R de celle de T, ou en We define a “losing position” to be a number of

divisant Q en deux triangles ou encore en un rectangle et deux cards, such that if a player receives this number of

triangles. Moyenne : 8,4

cards at the beginning of his or her turn, he or she is guaranteed to lose assuming best play by both play-

2. a) Solution 1

ers. A “winning position” is defined similarly. On définit une « position perdante » comme étant un nombre de cartes qu’un joueur ou une joueuse reçoit au

Clearly, by the rules of the game, 1 is a losing début de son tour et qui lui assure une défaite si les deux position.

adversaires jouent à leur meilleur. On définit une « position For a player to receive 1 card at the beginning of a

gagnante » de façon semblable.

turn, the previous player must start with 2 cards. Selon les règles du jeu, 1 est une position perdante. (This is true since a player can never remove more

Pour qu’un joueur reçoive 1 carte au début de son tour, le than half of the deck, so the number of cards at the

joueur précédent doit commencer avec 2 cartes. (Un joueur beginning of the previous turn can never be more

ne peut retirer plus de la moitié des cartes, donc le nombre than double that of the current turn.) Therefore, 2 is

de cartes qu’il reçoit ne peut être supérieur au double du nombre de cartes remises au joueur suivant.)

a winning position, since a player starting with 2 Donc 2 est une position gagnante, puisqu’un joueur qui cards can only remove 1, and so passes 1 card to the

reçoit 2 cartes peut seulement en enlever une et il remet 1 other player, who loses.

carte à l’adversaire qui perd.

Is 3 a winning position or a losing position? Est-ce que 3 est une position gagnante ou perdante? Given a pack of 3 cards, the rules of the game say that

Si on reçoit 3 cartes, on peut seulement retirer une carte du

a player can only remove 1 card, and so pass a pack jeu et on remet 2 cartes à l’adversaire qui reçoit une position gagnante. Donc 3 est une position perdante.

of 2 cards (a winning position) to the other player. Therefore, 3 is a losing position.

On peut constater que 4, 5 et 6 sont des positions gagnantes, car on peut retirer respectivement 1, 2 ou 3 cartes et

We can then see that 4, 5 and 6 are all winning remettre 3 cartes à l’adversaire qui reçoit alors une position positions, as given 4, 5 or 6 cards, a player can

perdante. On constate que 7 est une position perdante, car remove 1, 2 or 3 cards respectively to pass the other

on doit retirer 1, 2 ou 3 cartes et on remet respectivement player 3 cards, a losing position.

6, 5 ou 4 cartes à l’adversaire qui reçoit à chaque fois une

11 position gagnante.

Therefore, 7 is a losing position, since a player remov- Si Alain reçoit 7 cartes, Brigitte peut donc toujours gagner.

ing 7 cards must remove 1, 2 or 3 cards, thus giving the other player 6, 5 or 4 cards respectively, any of which

Résumé de la stratégie de Brigitte

is a winning position. So if Alphonse starts with 7 • Elle recevra 4, 5 ou 6 cartes d’Alain. cards, Beryl can always win.

• Elle retirera 1, 2 ou 3 cartes de manière à remettre 3

cartes à Alain.

Summary of Beryl’s Strategy • Alain est forcé à retirer 1 carte et à remettre 2 cartes à • She will receive 4, 5 or 6 cards from Alphonse.

Brigitte.

• Remove 1, 2 or 3 cards in order to pass 3 cards back • Brigitte retire 1 carte et remet 1 carte à Alain qui perd. to Alphonse. • Alphonse is forced to remove 1 only, and pass back

Solution 2 (suffisante pour recevoir le maximum de points) Alain reçoit 7 cartes et il peut retirer 1, 2 ou 3 cartes pour

2 to Beryl. remettre 6, 5 ou 4 cartes à Brigitte. • Beryl removes 1 and passes 1 back, so Alphonse

Brigitte doit retirer 3, 2 ou 1 carte de manière à remettre 3 loses.

cartes à Alain.

Solution 2 (Sufficient for full marks) Alain est forcé à retirer 1 carte et à remettre 2 cartes à Alphonse starts with 7 cards, and so can remove 1, 2 or

Brigitte.

3 cards, passing 6, 5 or 4 cards to Beryl. Brigitte retire 1 carte, (elle n’a pas d’autre choix) et elle remet 1 carte à Alain qui perd.

Beryl should remove 3, 2 or 1 cards respectively, Brigitte a donc une stratégie gagnante. leaving 3 cards only, and pass these 3 cards back to

Alphonse.

b) Solution 1

Alphonse now is forced to remove 1 card only, and On doit déterminer si 52 est une position gagnante ou pass 2 back to Beryl.

perdante.

Beryl removes 1 card (her only option) and passes 1 Comme dans la partie précédente, on peut démontrer que 8, back to Alphonse, who thus loses.

9, 10, …, 14 sont des positions gagnantes, puisqu’on peut retirer suffisamment de cartes pour remettre 7 cartes à

Therefore, Beryl is guaranteed to win. l’adversaire qui reçoit alors une position perdante. (b) Solution 1

Donc 15 est une position perdante, puisqu’en recevant 15 We must determine if 52 is a winning position or a

cartes, on doit remettre de 8 à 14 cartes à l’adversaire qui reçoit alors des positions gagnantes.

losing position. By a similar argument to above, since

7 is a losing position, 8 through 14 are all winning De la même manière, les nombres de 16 à 30 sont des positions, since they can all be reduced to 7 in one turn.

positions gagnantes, 31 est une position perdante et les nombres de 32 à 62 sont des positions gagnantes.

Therefore, 15 is a losing position, since given 15 cards,

a player is forced to reduce to some number between Donc 52 est une position gagnante. Alain peut donc utiliser

8 and 14, since no more than 7 cards can be removed.

une stratégie gagnante.

Similarly, 16 through 30 are winning positions, 31 is

Résumé de la stratégie d’Alain

a losing position, and 32 through 62 are winning • Alain retire 21 cartes du jeu de 52 cartes et remet 31 positions.

cartes à Brigitte.

Therefore, 52 is a winning position, so Alphonse has • Si Brigitte retire b 1 cartes, 1 ≤ b 1 ≤ 15 , Alain retire alors

a winning strategy.

16 − b cartes et remet 15 cartes à Brigitte. [On remarque 1 que c’est toujours permis, car

Summary of Alphonse’s strategy

( 2 16 − b 1 ) = 32 − 2 b 1 ≤ 31 − b 1 et 16 − b n’est jamais 1

• Alphonse removes 21 cards from original 52, and supérieur à la moitié du nombre de cartes reçues.] pass 31 cards to Beryl.

• Si Brigitte retire b 2 cartes, 1 ≤ b 2 ≤ 7 , retire alors 8 −b 2

• If Beryl removes b 1 cards with 1 ≤ b 1 ≤ 15 ,

cartes et remet 7 cartes à Brigitte. [Ce nombre est Alphonse removes 16 − b cards to reduce the 1 toujours permis selon un argument semblable.]

pack to 15 cards. [Notice that this is always a • Alain adopte maintenant la même stratégie que Brigitte

legal move, since 2 16 ( − b 1 ) = 32 − 2 b 1 ≤ 31 − b 1 ,

dans la partie a).

so 16 − b is never more than half of the pack.] 1

Commentaires sur l'épreuve

• If Beryl removes b 2 cards with 1 ≤ b 2 ≤ 7 , Solution 2

Alphonse removes 8 − b to reduce the pack to 7 2 Alain retire 21 cartes du jeu de 52 cartes et remet 31 cartes à

cards. [This move is always legal by a similar

Brigitte.

argument.] Si Brigitte retire b cartes, 1 ≤ b 1 ≤ 15 , Alain retire alors

• Beryl now has 7 cards, so Alphonse should adopt

Beryl’s strategy from (a).

16 − b cartes et remet 15 cartes à Brigitte. [On remarque que 1

c’est toujours permis, car 2 16 ( − b 1 ) = 32 − 2 b 1 ≤ 31 − b 1 et

Solution 2

16 − b n’est jamais supérieur à la moitié du nombre de cartes Alphonse removes 21 cards from original 52, and

1 reçues.]

passes 31 cards to Beryl. Si Brigitte retire b cartes, 1 ≤ b ≤ 7 , retire alors 8 −b

If Beryl removes b 1 cards with 1 ≤ b 1 ≤ 15 , Alphonse

cartes et remet 7 cartes à Brigitte. [Ce nombre est toujours removes 16 − b cards to reduce the pack to 15 cards. 1 permis selon un argument semblable.]

[This is always a legal move, since Alain adopte maintenant la même stratégie que Brigitte dans ( 2 16 − b 1 ) = 32 − 2 b 1 ≤ 31 − b 1 , so 16 − b is never 1 la partie a). Il a donc une stratégie gagnante.

more than half of the pack.]

Commentaires

If Beryl removes b 2 cards with 1 ≤ b 2 ≤ 7 , Alphonse

Les questions pertinentes à « Alphonse et Beryl » demeurent removes 8 − b to reduce the pack to 7 cards. [This 2 sans contredit un des points marquants du concours du Défi

move is always legal by a similar argument.] ouvert canadien de mathématiques (DOCM). Les élèves ont Beryl now has 7 cards, so Alphonse should adopt

bien réussi la partie (a). La plupart ont rapidement compris que la position des trois cartes constituait l’aspect essentiel

Beryl’s strategy from (a), so Alphonse has a winning du problème. Les élèves ont cependant éprouvé des difficultés

strategy. à la partie (b) où bon nombre ont supposé que la méthode de Comments

résolution était liée au nombre égal de cartes paires et impaires ou à la correspondance du nombre de cartes (si

The "Alphonse and Beryl" questions continue to be a Beryl prend cinq cartes Alphonse devrait faire de même). Les

highlight of the COMC. Part (a) met with a good degree concurrents devraient lire la solution puis inviter un camarade of success. Most students quickly realized that the posi-

à se laisser prendre au jeu!

tion of 3 cards was the important one on which to focus.

Moyenne : 4,0

Part (b) did not meet with as much success – many students thought that the strategy had something to do with parity

3. a) Solution

(ie. even or odd numbers of cards) or with a "matching"

f () 0 + f ( − 1 ) =+ c ( 16 −+ c )

strategy (if Beryl takes 5 cards, Alphonse should take 5

cards). Competitors should have a look at the solution and Puisque c est un entier, 2c est toujours pair et 2 c− 5 est then try playing the game with an unsuspecting friend!

donc toujours impair.

Average : 4.0

b) Solution 1

3. (a) Solution Supposons que l’équation g x ( ) = 0 admet trois racines Calculating,

entières, a, b et c.

3 f 2 () 0 + f ( − 1 ) =+ c ( 16 −+ c ) Donc g x ()= ( x − ax ) ( − bx ) ( − c ) = x + px + qx + r .

= 2 c − 5 Donc g () 0=− abc et puisque g(0) est impair, alors Now 2c is always even for c an integer, so 2 c− 5 chacune des racines doit être impaire pour que leur

is always odd.

produit soit impair.

On a g () − 1 =−− ( 1 a ) ( −− 1 b ) ( −− 1 c ) .

(b) Solution 1 Puisque a, b et c sont impairs, alors − − 1 a, –1 – b et Assume that g x ( ) = 0 has three integer roots a, b, c,

–1 – c sont pairs et g − () 1 est donc pair, ce qui est une

ie.

contradiction.

Donc l’équation g x ( ) = 0 ne peut admettre trois racines Now g () 0=− abc from the above and is odd, so

gx ()= ( x − ax ) ( − bx ) ( − c ) = x 3 + px 2 + qx + r .

entières.

each of a, b and c must be odd for their product to be odd.

Therefore, g () − 1 =−− ( 1 a ) ( −− 1 b ) ( −− 1 c ) .

Solution 2

Since a is odd, − − 1 a is even, and so g − () 1 is even, a

Supposons que l’équation g x ( ) = 0 admet trois racines entières, a, b et c.

contradiction. (In fact, g − () 1 is divisible by 8.)

Donc

Thus, g x ( ) = 0 cannot have three integer roots.

gx ()= ( x − ax ) ( − bx ) ( − c ) = 3 x + 2 px + qx + r .

Solution 2 On développe pour obtenir : Assume that g x ( ) = 0 has three integer roots a, b, c,

x 2 ( a ++ b cx ) + ( ab + ac + ) bc x − abc ie. g x ()= ( x − ax ) ( − bx ( −

x ) 3 c ) = + px 2 + qx + r

3 2 = x + px + qx + r

or, expanding,

Puisque g(0) et g(–1) sont impairs, et que g () 0= r

x − ( a ++ b cx ) + ( ab + ac + ) bc x − abc

et g () − 1 =−+ 1 p − q + r alors r et –1 + p – q + r

= 3 x + 2 px + qx + r

sont impairs. Donc p − est impair. q

Now g () 0 = so r is odd, and r Donc p ou q doit être pair (ils ne peuvent être

impairs tous les deux, car leur différence serait Combining these, since r is odd, then p − is odd too. q

g () − 1 =−+ 1 p − q + r , which is odd.

paire).

Therefore, one of p and q is even (they cannot both be Puisque r est impair et que r =− abc , alors a, b et c odd, since odd – odd = even).

sont tous impairs. Donc les nombres Since r is odd and r =− abc , then each of a, b and c

p =− ( a ++ b c )

is odd. This implies that

q = ab + ac + bc

p =− ( a ++ b c )

sont impairs tous les deux, ce qui est une

q = ab + ac + bc

contradiction car on vient de conclure que p ou q doit être pair.

are both odd, a contradiction (since we have shown Donc l’équation g x ( ) = 0 ne peut admettre trois

above that one of p and q must be even.)

racines entières.

Therefore, g x ( ) = 0 cannot have three integer roots. Comments

Commentaires

The purpose of part (a) was to have a relatively straightfor- Les élèves ont généralement très bien réussi la partie (a) ward "proof" question, which required students to write a

où il fallait résoudre une question au moyen d’un raisonnement logique, mais ont éprouvé davantage de

logical argument. In general, students did exceptionally difficultés avec la partie (b). De nombreux élèves ont

well on (a). Part (b) was a fair bit more difficult. Many compris que r était impair et que de p et q l’un devait students recognized that r had to be odd and then that one

être pair et l’autre impair sans toutefois aller plus loin of p and q is even and the other odd, but were then stuck. A

dans la résolution du problème. Quelques élèves few students ingeniously pointed out that not only can this

ingénieux ont indiqué que l’équation cubique ne pouvait cubic equation not have 3 integer roots, it cannot even have

avoir trois racines entières ni même une comme le

1 integer root, as they showed with the following proof: démontre le raisonnement suivant : Suppose that q and r are both odd and p even.

3 2 Supposons que q et r sont tous deux pairs et que p est

Let a be an integer root of x + px + qx += r 0 , ie.

impair.

3 a 2 + pa + qa += r 0 . Soit a est une racine entière de l’équation

px + qx r 0 , c’est-à-dire

If a is even, then a , pa , and qa are all even, and r is odd,

so a + 2 pa + qa + r is odd and so cannot be 0.

a + pa + qa += r 0 .

If a is odd, then a , qa, and r are all odd, and is even (since Si a est impair, alors a , pa et qa sont tous pairs, et

p is even), so a + pa + qa + r is odd and so cannot be 0. r est impair, a + pa + qa + r a pour solution un Therefore, there cannot be any integer roots.

nombre impair autre que 0.

3 (A similar argument works for p odd and q even.) 2 Si a est impair, alors a , qa et r sont tous impairs et pa Congratulations to those students who had this brilliant

3 est impair (puisque p est impair, alors 2 a + pa + qa + r insight!

a pour solution un nombre pair autre que 0). Average : 4.0

4. Solution 1 (Trigonometry)

A Par conséquent, il n’existe pas de racine entière. Let ∠ BCP =∠ ABP = α

(Le raisonnement semblable voulant que p soit impair et q and ∠ ACP = θ .

pair est également valable.)

D Félicitations aux élèves qui sont arrivés à cette brillante Then ∠ PBC = θ since

déduction!

∆ABC is isosceles. Also,

Moyenne : 4,0

∠ PAC = 90 o − θ (from

∆APC), ∠ ADP = 2 θ + α

4. Solution 1 (par trigonométrie et géométrie analytique)

(exterior angle), and ∠ APB = o 90 + θ + α

Soit ∠ BCP =∠ ABP = α et ∠ ACP = θ .

(exterior angle). Donc ∠ PBC = θ , puisque le triangle

Let AP = . Then from ∆ APC , x

ABC est isocèle.

Dans le triangle APC,

sin θ =

= ⇒ x = 5 sin θ

o PAC = 90 − θ

AC 5

. ∠ ADP = 2θ + α

(angle extérieur du triangle BCD) B By the sine law in ∆ABP, C

x o 5 APB = 90 + θ + α (angle extérieur du triangle ADP) =

sin α sin 90 o ++ θα x

Soit AP = . Dans le triangle APC, on a x sin θ = = , AC 5

d’où x= 5 sin θ (*).

cos ( θα + )

D’après la loi des sinus dans le triangle ABP :

cos ( ∠ ABC )

sin α sin 90 ( o ++ θα

cos ( θα + )

(**) sin α

[Note that cos ∠ ( ABC ) = 3 since drawing a perpen-

cos ( ∠ ABC )

dicular from A bisects BC. Also, sin ∠ ( ABC ) = 4 5 5 .] = 3

Therefore combining (*) and (**)

5 sin θ 25

sin α

= sin α

5 sin α [On remarque que cos ∠ ( ABC ) 5 , car la hauteur au point A

3 sin θ =

3 sin θ = 5 sin ( ∠ ABC − θ ) est aussi la médiatrice de BC. On a aussi sin ∠ ( ABC ) = 5 .]

On utilise (*) et (**) pour obtenir :

3 sin θ = 5 sin ( ∠ ABC ) cos θ − 5 cos ( ∠ ABC ) sin θ

5 sin θ 25

3 sin θ = 4 cos θ − 3 sin θ

sin α

6 sin θ = 4 cos θ

3 sin θ = 5 sin α

tan θ = 2 3

3 sin θ = 5 sin ( ∠ ABC − θ )

3 sin θ = 5 sin ( ∠ ABC ) cos θ − 5 cos ( ∠ ABC ) sin θ

To determine the ratio of AD to DC, we use coordinates.

Let B have coordinates 0 0 ( , ) and C have coordinates

3 sin θ = 4 cos θ − 3 sin θ

60 , ) . Thus, A has coordinates 3 4 ( , ) , since the altitude from A to BC has length 4. 2 tan θ =

6 sin θ = 4 cos ( θ

Since tan θ = 2 3 , the line from B to D has equation Pour déterminer le rapport de AD à DC, on utilise un repère y = 2 3 x . Also, the line from A to C has equation

cartésien.

y =− 4

3 ( x − ) 6 . To find D, we find the intersection of

Soit (0, 0) les coordonnées du point B et (6, 0) les coordonnées

du point C. Les coordonnées du point A sont (3, 4), puisque these two lines:

la hauteur de A à BC a une longueur de 4. Puisque tan θ = 2 3 ,

3 x =− 3 x + 8 plus, la droite qui passe par A et C a pour équation

y =− 4 3 ( x − ) 6 . Le point D est le point d’intersection de ces

deux droites. Donc :

Therefore, D has coordinates 4 , 8 () 3 . Since the x-coordi-

3 x =− 4 3 x + 8

nate of D is 1 3 of the way between those of A and C, then

AD DC : =12. :

Les coordonnées de D sont donc 4 8 () , 3 .

Solution 2 (Similar triangles)

Draw a perpendicular from A to

A On compare les déplacements horizontaux de A à D et de

D àC:

meet BC at M. Then since

5 – 4 AC 2

AB = , BM = MC = 3 and so

Donc AD DC : =12. :

AM = 4. P

Let ∠ BCP =∠ ABP = α and

3 C Solution 2 (par triangles semblables) ∠ ACP = θ

. Then ∠ A PBC =

On abaisse une perpendiculaire AM de since ∆ABC is isosceles.

A α à BC. Puisque AB = AC , alors D

Draw circle with AC has diameter. This circle passes

BM = MC = 3, d’où AM = 4.

through both P and M, since ∠ α APC =∠ AMC = 90 . Soit ∠ BCP =∠ ABP = α et P

Join P to M. Then ∠ PAM = α since ∠ PAM =∠ PCM

∠ ACP = θ . Donc ∠ PBC = θ ,

puisque le triangle ABC est isocèle. (subtended by the same chord). Also, ∠ AMP = θ for On trace un cercle ayant AC pour diamètre. Ce cercle

similar reasons. Therefore, ∆MPA is similar to ∆BPC. =∠

passe aux points P et M, puisque ∠ o APC AMC = 90 . Thus,

On joint P et M. Donc ∠ PAM = α , puisque

PA MA 4 θ PA 2

= = ⇒ tan =

∠ PAM =∠ PCM (ces angles interceptent le même arc). PC BC 6 PC 3 De même, ∠ AMP = θ . Les triangles MPA et BPC sont

So now we must compute the length of DC. Consider

donc semblables.

∆BDC . By the sine law, PA MA 4 PA 2

Donc

= , d’où tan θ = = . PC BC 6 PC 3

On cherche maintenant à déterminer DC. Selon la loi des DC BC

sinus dans le triangle BDC :

sin θ sin ( ∠ BDC )

DC BC

6 sin θ

DC =

sin θ sin ( ∠ BDC )

sin o ( 180 − θ −∠ DCB )

6 sin θ

6 o sin sin ( 180 − θ −∠ DCB

DC =

sin ( θ +∠ DCB )

6 sin θ

6 sin θ

sin ( θ +∠ DCB )

sin cos θ ( ∠ DCB ) + cos sin θ ( ∠ DCB )

6 sin θ

sin cos θ ( ∠ DCB ) + cos sin θ ( ∠ DCB ) cos ( ∠ DCB ) + cot sin θ ( ∠ DCB )

cos ( ∠ DCB ) + cot sin θ ( ∠ DCB )

which yields also that AD = 5 − 10 = 3 5 3 and so

Donc AD = 5 − 10 3 5 = 3 , d’où AD DC : =12. : AD DC : =12. :

Solution 3 (Geometry)

Solution 3 (par géométrie)

Draw a line from A perpen-

On abaisse une perpendiculaire AM de A

dicular to BC at M.

D à BC. Soit O le milieu de AC. On trace un

Let O be the midpoint of AC. X

cercle de centre O et de rayon OC. Ce

cercle passe au point A, puisque

Draw circle with centre O

AO = OC , et aux points P et M,

and radius OC.

C APC =∠ AMC = 90 puisque ∠ o .

Then this circle passes through A (since AO = OC ), P On joint M et O et on prolonge le segment obtenu jusqu’au

and M (since ∠ APC =∠ AMC = 90 o ).

cercle au point K.

Join M to O and extend this line segment to meet the Puisque CO = 1 2 1 CA et CM = 2 CB , alors MK est parallèle à circle at K.

BA . On prolonge BD jusqu’à MK au point K ′ .

Donc ∠ MK B ′=∠ ABK ′ à cause des segments parallèles. to BA.

Since CO = 1 2 CA and CM = 1 2 CB , then MK is parallel

Or ∠ ABK ′=∠ ABP =∠ BCP , d’où ∠ MK P ′=∠ MCP . Extend BD to meet MK at K ′ .

Donc K ′ est situé sur le cercle, ce qui indique que K ′ et K Then ∠ MK B ′=∠ ABK ′ because of parallel lines.

coïncident. On joint A et K, ainsi que K et C.

But ∠ ABK ′=∠ ABP =∠ BCP ⇒∠ MK P ′=∠ MCP . Puisque KM et AC sont des diamètres du cercle, le quadrilatère Therefore, ′ K lies on the circle; that is, K ′ coincides with

AKCM est un rectangle.

Donc AK = MC = BM .

Next, join A to K and K to C. Donc AKMB est un parallélogramme. Donc AM et BK se Then AKCM is a rectangle, since KM and AC are diameters

coupent en leur milieu au point X. On considère maintenant le triangle AKM. KX et AO sont des

of the circle, so the quadrilateral has four right angles. médianes de ce triangle. Elles se coupent donc dans le rapport Therefore, AK = MC = BM . 2:1. Donc AD DO : = 2 1. Puisque AO OC : : = 1 1, alors : Then AKMB is a parallelogram, which implies that AM and

AD DC : =12. :

BK bisect each other (meeting at X).

Commentaires

Consider now ∆AKM . Then KX and AO are medians, and Nous nous réjouissons des tentatives de bon nombre d’élèves so intersect in the ratio 2 1 : , ie. AD DO : = 2 1. Since :

à résoudre cette question d’un haut niveau de difficulté. Dans AO OC : = 1 1, then AD DC : : =12. :

un premier temps, il fallait déterminer la valeur de quelques angles du diagramme, une étape somme toute simple. Dans

Comments un deuxième temps, il fallait discerner la présence d’un This question was extremely difficult, but it was gratifying

cercle, puis trouver des triangles semblables par une approche déductive complexe. Parmi les trois solutions données par les

to see many students at least making an effort to start the élèves, la seconde comportait sans doute les éléments les plus

question. The first step was to determine some of the intéressants tandis que la première nécessitait un raisonnement angles in the diagram, which was relatively straightfor-

moins complexe mais davantage de calculs difficiles. ward. The second step of recognizing the presence of a

Moyenne : 0,3

circle and then finding similar triangles required a great deal of insight. Of the three solutions presented, the second is probably the nicest. The first solution requires less insight, but is more difficult computationally. Average : 0.3

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