Aturan Rantai Turunan Berarah dan Fungsi

FUNGSI SKALAR TERDIFERENSIALKAN,
DIFERENSIAL TOTAL,
ATURAN RANTAI, TURUNAN BERARAH, DAN
FUNGSI IMPLISIT
MAKALAH

Dosen Pengampu: Dra. Emi Pujiastuti, M.Pd

KELOMPOK 6
1. Eli Primahanani

4101409101

2. M. Gani Rohman

4101409106

3. Wilda Yulia Rusyida 4101409109
4. Intan Hidayati

4101409092

JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2010
1

BAB I
PENDAHULUAN
A. Deskripsi
Makalah ini akan menyajikan materi tentang keterdiferensialan dan diferensial total
fungsi skalar, aturan rantai, turunan berarah, serta turunan fungsi implisit. Dalam
keterdiferensialkan akan dibahas 6 masalah beserta penyelesaiannya.
Makalah ini akan membahas secara detail materi- materi yang disebutkan diatas. Tidak
hanya definisi atau penjelasannya saja yang akan dibahas, tetapi makalah ini juga akan
memberikan beberapa contoh dan penyelesaiannya serta beberapa latihan sehingga pembaca
dapat paham betul tentang materi tersebut.

B. Prasyarat
Materi prasyarat yang dibutuhkan agar dapat memahami makalah ini adalah sebagai

berikut :
1. Kalkulus 1
2. Kalkulus 2
3. Aljabar Linear Elementer
4. Geometi Dasar

C. Kompetensi dan Indikator
Kompetensi :
1. Memahami konsep dan penyelesaian masalah pada keterdiferensialan serta diferensial
total fungsi skalar.
2. Memahami konsep aturan rantai, turunan berarah, serta turunan fungsi implisit.
3. Mengidentifikasi matriks jacobi.
Indikator :
1. Dapat menjelaskan kembali tentang konsep keterdiferensialan dan diferensial total fungsi
skalar.
2. Dapat menjelaskan kembali konsep aturan rantai,turunan berarah, dan turunan fungsi
implisit.
3. Dapat menyelesaikan soal yang berkaitan dengan keterdiferensialan, diferensial total,
aturan rantai, matriks jacobi, turunan berarah, dan turunan fungsi implisit.
2

D. Tujuan Pembelajaran
1. Mahasiswa dapat menjelaskan kembali definisi serta konsep keterdiferensialan dan
diferensial total fungsi skalar.
2. Mahasiswa dapat menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan keterdiferensialan
dan diferensial total fungsi skalar.
3. Mahasiswa mampu menjelaskan dan mendefinisikan konsep aturan rantai, turunan
berarah, serta turunan fungsi implisit.

3

BAB II
PEMBAHASAN

FUNGSI SKALAR TERDIFERENSIALKAN DAN DIFERENSIAL TOTAL

A. PENGANTAR
Dalam kalkulus, kita ingat kembali bahwa fungsi real
buka yang memuat

disebut terdeferensialkan di

yang terdefinisi pada selang

jika

ada.

Bentuk limit ini dapat dituliskan sebagai
menyamakan

Kita

penyebut

akan

dari

bentuk

menyajikan

konsep

fungsi

Dengan
yang

turunan

secara

diambil

lain,

limitnya

untuk

maka diperoleh

diperoleh,

itu

tulislah
dengan

.
Situasi fungsi satu peubah yang terdeferensialkan di satu titik diperlihatkan pada gambar 1.
Y

f

f(x)= f(a + x )

y  f ( x)  f (a)

f (a)

x

g
s

x  a + x

a

X

x- a

Fungsi Skalar Terdiferensialkan

Kelompok 6

4

Dengan cara mengganti
,

diperoleh

bahwa

oleh
fungsi

, yang mengakibatkan
real

dapat diganti oleh

terdeferensialkan

di

jika

.

Bentuk limit ini dapat dituliskan sebagai

.

Dengan menyamakan penyebut dari bentuk fungsi yang diambil limitnya, diperoleh
.

maka diperoleh

Kemudian dengan menuliskan

. Dari analisis di atas, kita sampai pada suatu kesimpulan berikut yang

dengan

dapat juga digunakan sebagai definisi keterdeferensialan dari satu peubah.

 Definisi 3.2.1
terdefinisi pada selang terbuka yang memuat .

Misalkan fungsi satu peubah real
1. Fungsi

dikatakan terdeferensialkan di

sehingga

jika

ada dan terdapat
dengan

memenuhi

. Di sini, diferensial fungsi f di a didefinisikan sebagai
.
2. Fungsi

dikatakan terdeferensialkan di

jika

memenuhi
sini diferensial fungsi

ada dan terdapat

yang

dengan
di

. Di

didefinisikan sebagai

.

Pada konsep diferensial fungsi satu peubah, kita telah mempelajari bahwa untuk
yang cukup kecil, diferensial
cukup baik untuk

, hal ini disebabkan karena

merupakan suatu hampiran yang
.

B. FUNGSI SKALAR TERDIFERENSIALKAN
Pada pasal ini akan diperkenalkan konsep fungsi dua peubah real yang terdiferensialkan di
satu titik pada suatu daerah. Kemudian, konsep keterdiferensialkan fungsi skalar dengan dengan
m
peubah di  dibahas sebagai perumuman dari hasil yang diperoleh. Kita mempunyai fungsi dua

Fungsi Skalar Terdiferensialkan

Kelompok 6

5

peubah real u  f ( x, y) yang terdefinisi pada daerah D   2

dengan fungsi turunan parsial

pertama f x dan f y kontinu di titik (a , b)  D. . Dengan menggunakan Teorema Nilai Rata-Rata

(TNR) untuk turunan fungsi real, pertambahan u dari peubah tak bebasnya dapat dituliskan dalam
bentuk

u  f (a  x, b  y)  f (a , b)
 ( f (a  x, b  y)  f (a , b  y)  [ f (a , b  y)  f (a , b)]
 f x (a  1x, b  y)x  f y (a , b   2 y)

Selanjutnya,

bergantung pada x dan y.

dan besarnya

Dimana
kekontinuan

di

(a,b)

mengakibatkan

y  b  y ,

maka

 1   1 (x, y)  f x (a  1x, b  y)  f x (a , b) ,

maka

lim ( x, y)( a ,b ) f x ( x, y)  f x (a , b). Misalkan

(x, y)  (0,0)  ( x, y)  (a , b) ,

fungsi

dan

sehingga lim ( x,y)( 0,0) f x (a  1x1 , b  y)  f x (a , b)

Atau lim ( x,y)( 0,0) f x (a  1x, b  y)  f x( a ,b )  0.
Kemudian

sebutlah

f x (a  1x, b  y)  f x (a , b)   1 dengan lim ( x,y)(0,0)  1 (x, y)  0 . Dengan cara yang

sama kekontinuan fungsi f y di (a , b) mengakibatkan adanya  2   2 (x, y) yang memenuhi

f y (a , b   2y)  f y (a , b)   2 dengan lim ( x,y)( 0,0)  2 (x, y)  0 .

Kita tuliskan kesimpulan dari proses ini dalam rumus berikut, yang dikenal sebagai rumus
dasar pertambahan.
 Teorema (3.2.2) Rumus Dasar Pertambahan

Jika fungsi u  f ( x, y) mempunyai turunan parsial pertamayang kontinu di titik

pada

daerah D   2 , maka pertambahan u  f (a  x, b  y)  f (a , b) . Dapat ditulis dalam bentuk

u  f x (a , b)x  f y (a , b)y   1 (x, y)   2 (x, y)
Dengan lim ( x,y)( 0,0)  1 (x, y)  0 dan lim ( x,y)( 0,0)  2 (x, y)  0 .
Hasil ini memberikan gagasan pada rancangan keterdeferensialan fungsi dua peubah di satu
titik dan pada suatu daerah yang lengkapnya sebagai berikut.
Fungsi Skalar Terdiferensialkan

Kelompok 6

6

 Definisi
Misalkan fungsi dua peubah u  f ( x, y) mempunyai turunan parsial pertama di titik (a , b)

yang terletak pada daerah D   2 .
Fungsi

dikatakan keterdeferensialan di (a , b)  D jika terdapat fungsi  1   1 (x, y) dan

 2   2 (x, y) sehingga pertambahan u  f (a  x, b  y)  f (a , b) dapat ditulis sebagai
u  f x (a , b)x  f y (a , b)y   1 (x, y)   2 (x, y) dengan

lim ( x,y)(0,0)  1 (x, y)  0 dan lim ( x,y)(0,0)  2 (x, y)  0 .

1. Fungsi f dikatakan terdiferensialkan pada daerah D   2 jika fungsi f terdeferensialkan
di setiap titik pada daerah .
2. Fungsi f dikatakan terdiferensialkan secara kontinu di (a , b) fungsi f terdeferensialkan di

(a , b) dengan fungsi turunan parsial f x dan f y kontinu di titik itu.
3. Fungsi

dikatakan terdiferensialkan secara kontinu pada daerah D   2 jika fungsi f

terdeferensialkan secara kontinu di setiap titik pada daerah .
Dari proses diperolehnya rumus dasar pertambahan dan definisi keterdiferensialan fungsi dua
peubah di (a , b) kita mempunyai rumus penting berikut.
 Teorema 3.2.4

Jika fungsi u  f ( x, y) mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu di titik (a , b)

pada daerah D   2 , maka fungsi f terdiferensialkan secara kontinu di titik (a , b) .

Selanjutnya kita dapat menuliskan definisi fungsi dua peubah yang terdiferensialkan tanpa

notasi x dan y , untuk itu tulislah

x  x  a dan y  y - b

terdiferensialkan di (a , b) jika pertambahan u  f (x, y)  f (a , b)

u  f x (a , b)( x  a )  f y (a , b)( y  b)   1 ( x  a )   2 ( y  b)

x, y, a dan b dengan lim ( x, y)( a ,b )  1  0 dan lim ( x, y)( a ,b )  2  0 .
Syarat

terakhir

dapat

ditulis

di

maka fungsi u  f ( x, y)

dapat dituliskan sebagai

mana

1

dalam

dan

2

dari

bentuk

f ( x, y)  f (a , b)  f x (a , b)( x  a )  f y (a , b)( y  b)   1 ( x  a )   2 ( y  b) dengan  1 dan  2

mendekati nol untuk ( x, y)  (a , b) .
Fungsi Skalar Terdiferensialkan

Kelompok 6

7

Perhatikan bahwa pada bentuk ini f ( x, y)  f (a , b)  f x (a , b)( x  a )  f y (a , b)( y  b)

adalah persamaan bidang singgung di titik P (a , b, f (a , b)) pada permukaan u  f ( x, y) . Hasil ini
merupakan perumuman dari situasi serupa untuk fungsi satu peubah yang terdiferensialkan di , yaitu

f ( x)  f (a )  f ' (a )( x  a )   ( x  a ) dengan

mendekati nol untuk x mendekati a. Di sini

f ( x)  f (a )  f ' (a )( x  a ) adalah persamaan garis singgung pada kurva y  f ( x) di titik (a,f(a)).

Seperti pada fungsi real, setiap fungsi dua peubah yang terdiferensialkan di suatu titik itu.
Berikut ini adalah rumus penting tersebut beserta pembuktiannya.
 Teorema 3.2.5
Jika fungsi dua peubah

u  f ( x, y) terdiferensialkan di f (a , b) pada daerah

,

kontinu di (a , b) .

maka fungsi
Bukti:
Karena

fungsi

f

terdiferensialkan

di

u  f x (a , b)x  f y (a , b)y   1 (x, y)x   2 (x, y)y

lim ( x,y)(0,0)  1 (x, y)  0

lim ( x, y)(0,0) u  0 .
Karena

lim ( x,y)(0,0)  2 (x, y)  0 .

dan

u  f (a  x, b  y)  f (a , b),

x, y  (0,0)  ( x, y)  (a , b)

lim ( x, y)( a ,b ) f ( x, y)  f (a , b). .

Ini berarti bahwa fungsi

titik

yang

f

langsung

(a , b ) ,

maka
dengan

Ini

mengakibatkan

maka dari bentuk limit ini diperoleh
membawa

kita

sampai

pada

hasil

kontinu di (a , b) , dengan demikian terbuktilah yang

diinginkan.■
Catatan Kebalikan Teorema 3.2.5 tidak benar lagi, sebagai contoh pengangkal, fungsi

f ( x, y) =
f

y

x 2  y 2 kontinu di (0,0) tetapi tidak terdiferensialkan di titik itu karena f

x

(0,0) dan

(0,0) tidak ada.
Ikhtisar keterdiferensialan fungsi dua peubah yang didasarkan pada Rumus Dasar

Pertambahan diberikan dalam diagram berikut.
Fungsi u = f(x,y) mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu di (a,b) yang terletak

pada daerah D   2 .

Fungsi Skalar Terdiferensialkan

Kelompok 6

8

u  f ( x, y)

f kontinu
pada D

f kontinu
di (a,b)

f x ada

dan

di (a,b)

f y ada
di (a,b)

f
terdiferensialkan
di D

f
terdiferensialkan
di (a,b)

RDP

fx
kontinu
di (a,b)

Dan

fy
kontinu
di (a,b)

f
terdiferensialkan
secara kontinu di (a,b)

f
terdiferensialkan
secara kontinu di D

RDP: Rumus Dasar Pertambahan

C. KETERDIFERENSIALAN FUNGSI VEKTOR DI RM
Konsep keterdiferensialan fungsi dua peubah yang telah dibahas dapat diperumum untuk
fungsi skalar u = f (X), X suatu titik pada daerah D ≤ Rm. Keterdiferensialan fungsi tiga peubah u = f
(x,y,z) yang mempunyai turunan parsial di titik (a,b,c) pada daerah D ≤ R3 didefinisikan sebagai

 1   1 (x, y, z),  2   2

berikut. Fungsi f dikatakan terdiferensialkan di (a,b,c) jika terdapat fungsi skalar

sehingga pertambahan

Dapat ditulis sebagai

dengan

Fungsi Skalar Terdiferensialkan

Kelompok 6

9

Keterdiferensialan fungsi skalar u = f (X), X = (x1,x2,…,xm) yang mempunyai turunan parsial
di A =

(a1,a2,…,am) pada daerah D ≤ Rm didefinisikan sebagai berikut. fungsi f dikatakan

terdiferensialkan di A є D jika terdapat fungsi skalar
sehingga perubahan
)
dapat ditulis sebagai

memenuhi

dengan

Sifat keterdiferensialan fungsi dua peubah berlaku juga untuk fungsi skalar yang umum. pada
fungsi skalar u = f(X), X ≤ D ≤ Rm, D suatu daerah di Rm kita juga mempunyai sifat bahwa setiap
fungsi skalar yang terdiferensialkan secara kontinu di suatu titik akan terdiferensialkan di titik itu dan
setiap fungsi skalar yang terdiferensialkan di suatu titik akan kontinu di titik itu.

Masalah I
Keterdeferensialan fungsi langsung dari definisinya.
Contoh 3.10. Selidiki keterdeferensialan fungsi f(x,y) = x 2 + y 2 pada D f =  2 langsung
dengan menggunakan definisinya.
JAWAB
Di sini D f =  2 dan fungsi f kontinu pada D f (jelaskan mengapa!). misalkan (a,b)
titik sebarang pada D

f

, akan diselidiki apakan fungsi f terdeferensialkan di (a,b). Untuk

fungsi ini, turunan parsial pertama dan nilainya di (a,b) adalah
f x (x,y) = 2x, f x (a,b) = 2a dan f y (x,y) = -2y , f y (a,b) = -2b

sehinggan pertambahannya adalah
u

= f (a+  x,b+  y) – f(a,b) = ((a+  x) 2 -(b+  y) 2 ) – (a 2 -b 2 )
= 2a  x – 2b  y +  x 2 -  y 2

Selanjutnya akan dicari ε 1 = ε 1 (  x,  y) dan ε 2 = ε 2 (  x,  y) yang memenuhi

10

 u = f x (a,b)  x + f y (a,b)  y + ε 1 (  x,  y)  x + ε 2 (  x,  y)  y

dengan

lim

( x, y ) ( 0, 0 )

ε 1 (  x,  y) = 0 dan

lim

( x, y ) ( 0, 0 )

ε 2 (  x,  y) = 0

Gantikan hasil yang diperoleh sebelumnya pada bentuk pertambahan  u, diperoleh
2a  x – 2b  y +  x 2 -  y 2 = 2a  x – 2b  y + ε 1 (  x,  y)  x + ε 2 (  x,  y)  y

sehingga
ε 1 (  x,  y)  x + ε 2 (  x,  y)  y = (  x)  x + (-  y)  y
Ambillah
ε 1 (  x,  y) =  x dan ε 2 (  x,  y) = -  y
maka ε 1 dan ε 2 memenuhi rumus dasar pertambahan dengan

lim

ε 1 (  x,  y) =

lim

ε 2 (  x,  y) =

( x, y ) ( 0, 0 )

lim

x= 0

lim

(-  y) = 0

( x, y ) ( 0, 0 )

dan
( x, y ) ( 0, 0 )

( x, y ) ( 0, 0 )

Jadi fungsi f terdiferensialkan di (a,b)  D f =  2 ; dan karena (a,b) sebarang pada
D f , maka fungsi f terdiferensialkan pada D f .

Masalah 2
Keterdeferensialan fungsi dari kekontinuan
turunan parsial pertamanya
Contoh 3.11. Selidiki apakah fungsi
(a) f (,x,y) = tan 1 xy

(b) g(x,y) = e x y

2

terdeferensialkan pada daerah definisinya.
11

JAWAB
(a) Fungsi f kontinu pada D f =  2 (jelaskan mengapa). Untuk fungsi ini, turunan parsial
pertamanya terhadap x dan y adalah
f x (x,y) =

1
1
dan f x (x,y) =
2 2
1 x y
1  x2 y2

Karena fungsi f x dan f y kontinu pada  2 (jelaskan mengapa), maka fungsi f
terdiferensialkan pada  2 .

(b) Fungsi g kontinu pada D g =  2 (jelaskan mengapa). Untuk fungsi ini, turunan parsial
pertamanya terhadap x dan y adalah
g x (x,y) = e x y

2

dan g x (x,y) = 2ye x y

2

Karena fungsi g x dan g y kontinu pada  2 (jelaskan mengapa), maka fungsi g

terdiferensialkan pada  2 .

Masalah 3
Ketak-terdeferensilan fungsi di suatu titik dari
ketak-kontinuan fungsinya di titik itu
Contoh 3.12. Tunjukkan fungsi

 xy 2
, ( x, y)  (0,0)

f(x,y) =  x 2  y 4
0, ( x. y)  (0,0)

tidak terdeferensialkan di (0,0).
JAWAB
Fungsi f terdefinisi pada D f =  2 dengan (0,0) suatu titik-titik dari D f . Kita akan
menyelidiki kekontinuan fungsi f di titik itu.
Misalkan (x,y)  (0,0) sepanjang sumbu Y (garis x = 0), maka
12

f(0,y) =

0. y 2
=0
02  y4

sehingga di sepanjang garis ini

lim

( x , y ) ( 0 , 0 )

f(x,y) =

lim

( x , y ) ( 0 , 0 )

xy 2
= lim 0 = 0
x 2  y 4 y0

Misalkan (x,y)  (0,0) sepanjang kurva x = y 2 , maka
f(y 2 ,y) =

y2 .y2
y2
1
=
=
4
4
4
2
y y
2y

sehingga di sepanjang garis ini

lim

( x , y ) ( 0 , 0 )

f(x,y) =

lim

( x , y ) ( 0 , 0 )

xy 2
1 1
= lim =
2
4
y0 2
2
x y

Karena sepanjang garis x = 0 dan sepenjang kurva x = y 2 limit fungsi f untuk (x,y)  (0,0)
berbeda, maka

lim

( x , y ) ( 0 , 0 )

f(x,y) tidak ada

Jadi fungsi f tidak kontinu di (0,0), karena itu berdasarkan kontra posisi teorema 3.2.5,
fungsi f tidak terdiferensialkan di (0,0).
Masalah 4
Ketak-tederferensialkan fungsi di suatu titik dari
titik terdapatnya turunan parsial di titik itu
Contoh 3.13. Tunjukkan fungsi f(x,y) = x (y-1) tidak terdeferensialkan di (0,0).
JAWAB
Fungsi f pada D f =  2 karena merupakan perkalian dari dua fungsi kontinu, yaitu
g(x,y) = x dan h(x,y) = y-1 . Pada situasi ini, f x (0,0) harus ditentukan dari definisi turunan

parsial karena aturan

13

f x x, y = (y-1)

x
d
( x ) = (y-1)
x
dx

tidak menjangkau (0,0). Turunan parsial fungsi f terhadap y adalah f y (x,y)  x , sehingga
f y (0,0)  0.

Karena

f x (0,0) = lim
x 0

x
f ( x,0)  f (0,0)
= lim
x 0
x0
x

dengan limit terakhir tidak ada (jelaskan mengapa), maka fungsi f tidak terdeferensialkan di
(0,0).
Masalah 5
Ketak-terdeferensialkan fungsi kontinu di suatu titik
langsung dari definisinya
Contoh 3.14. Tunjukkan fungsi
xy

, ( x, y)  (0,0)
 2
f(x,y) =  x  y 2
0, ( x, y)  (0,0)


kontinu dan mempunyai turunan parsial di (0,0) tetapi tidak terdeferensialkan di titik itu.
JAWAB
Fungsi f terdefinisi pada D f =  2 dengan (0,0) suatu titik-limit dari D f , akan
ditunjukkan

lim

( x , y ) ( 0 , 0 )

f(x,y) = f(0,0).

Karena
0

xy

x y
2

2



xy

x y
2

y



x2  y2 . x2  y2
x y
2

2

 x2  y 2

dengan
14

lim

( x , y ) ( 0 , 0 )

0= 0=

lim

( x , y ) ( 0 , 0 )

x2  y 2

maka berdasarkan prinsip apit,

lim

( x , y ) ( 0 , 0 )

xy

x2  y2

=0

Dari sini diperoleh

lim

( x , y ) ( 0 , 0 )

f(x,y) =

lim

( x , y ) ( 0 , 0 )

xy

x  y2
2

= 0 = f(0,0)

Ini mengakibatkan fungsi f kontinu di (0,0).
Turunan parsial pertama dari fungsi f di (0,0) adalah
f x (0,0) = lim
x 0

f y (0,0) = lim

y0

f ( x,0)  f (0,0)
0
= lim = lim 0 = 0
x 0 x
x 0
x0

f (0, y)  f (0,0)
0
= lim = lim 0 = 0
y0 y
y0
y0

Ini berarti bahwa fungsi f mempunyai turunan parsial di (0,0).
Kita tinggal menunjukkan bahwa fungsi f tidak terdiferensialkan di (0,0) dengan cara
kontradiksi. Andaikan fungsi f terdiferensialkan di (0,0), maka terdapat fungsi

 1 =  1 ( x, y ) dan  2 =  2 ( x, y )
yang memenuhi
f  f (x, y)  f (0,0)  f x (0,0)x  f y (0,0)y   1x   2 y

dengan

lim

( x, y )( 0, 0 )

 1 (x, y)  0 dan

lim

( x, y )( 0, 0 )

 2 (x, y)  0

Jika kita mempunyai fungsi

15

f (x, y)   1x   2 y

Khususnya untuk y  x diperoleh fungsi

f (x, y)  ( 1   2 )(x).x

Tetapi menurut definisi fungsi f yang diketahui,
f (x, y) 

x 2

x 2  x 2



x 2

2 x



1
1
2.x
2 x  
2
2

Dari kedua hasil terakhir kita sampai pada kesamaan

( 1   2 )(x).x   1

2.x

2

 1   2 x   1

2

2

Karena lim  1 x  0 dan lim  2 x  0 , maka
x0

x0

0  lim  1   2 x  lim 
x0

x0

1
1
2
2
2
2

yang merupakan suatu kontradiksi. Kontradiksi ini disebabkan oleh pengandaian bahwa suatu
fungsi f terdeferensialkan di (0,0). Dengan demikian kesimpulannya haruslah fungsi f tidak
terdiferensialkan di (0,0).
Masalah 6
Keterdiferensialan fungsi di suatu titik tetapi tidak
terdiferensialkan secara kontinu di titik itu
Contoh 3.15. Tunjukkan fungsi
1
 2
, ( x, y)  (0,0)
 x sin
2
f x, y   
x  y2
0, ( x, y)  0


16

terdiferensialkan di titik (0,0), tetapi tidak terdiferensialkan secara kontinu di titik itu. (Fungsi
turunan parsial pertama f x dan f y tidak kontinu di titik (0,0)).
JAWAB
Fungsi f terdefinisi pada D f   2 yang memuat (0,0). Turunan parsial pertama dari
fungsi f terhadap x dan y di (0,0) adalah

f x (0,0)  lim
x 0

f ( x,0)  f (0,0)
 lim
x0
x0

 lim x sin
x0

x 2 sin

1
x

x

1
0
x

dan
f y (0,0)  lim
y0

f (0, y)  f (0,0)
00
 lim
 lim 0  0
y 0
y0
y0
y

 1   1 x, ydan  2   2 x, y sehingga memenuhi rumus dasar pertambahan

Kita akan menunjukkan fungsi f terdiferensialkan di (0,0) dengan cara mencari
f  f (x, y)  f (0,0)  f x (0,0)x  f y (0,0)y   1x   2 y

dengan

lim

( x, y )( 0, 0 )

 1 (x, y)  0 dan

lim

( x, y )( 0, 0 )

 2 (x, y)  0

Gantikan semua informasi yang diketahui pada rumus dasar pertambahan, diperoleh
f  f (x, y)  x 2 sin

1

x  y 2
2

 0.x  0.y   1 x   2 y

Ini mengakibatkan

17

Ambillah

kemudian tunjukkan

Dari ketaksamaan

dengan

Maka berdasarkan prinsip apit diperoleh

Akibatnya,

Secara otomatis, karena

, maka

Jadi rumus dasar pertambahan untuk fungsi f di (0,0) dipenuhi; dengan demikian kita
telah menunjukkan bahwa fungzi f terdiferensialkan di (0,0).
Sekarang kita tunjukkan bahwa fungsi turunan parsial pertama fx dan fy tidak kontinu
di titik (0,0), tentukan dahulu persamaan fungsinya kemudian tunjukkan bahwa limitnya di
(0,0) tidak ada. Setelah bentuk fungsi turunan parsial pertamanya disederhanakan diperoleh

dan

Kita tunjukkan bahwa fungsi fx dan fy keduanya tidak mempunyai limit di (0,0).
18

Sepanjang garis x = 0:

Sepanjang garis y = 0:

Limit di sepanjang garis y = 0 ini tidak (jelaskan mengapa). Karena itu fungsi fx tidak kontinu
di (0,0).
Sepanjang garis x = 0

Sepanjang garis y = x:

Limit di sepanjanggaris y = 0 ini tidak ada (jelaskan mengapa). Karena itu fungsi fx tidak
kontinu di (0,0).

D. DIFERENSIAL TOTAL FUNGSI SKALAR
diferensial total. Untuk ini perhatikan kembali konsep garis singgung pada fungsi real u  f x yang
Kita akan mempelajari konsep diferensial dari fungsi dua peubah, yang dikenal sebagai

terdiferensialkan secara kontinu di titik x  a pada selang terbuka D. konsep ini menyatakan bahwa
persamaan garis singgung di titik a , b , b  f a  pada kurva adalah

y  b  f ' a x  a 

Pada situasi ini diferensial dari fungsi f di x  a didefinisikan sebagai

dx  x  a dan dy  f ' a x  a  Atau dx  x dan dy  f ' a dx

y  f x  f a   f a  x  f a   f ' a x   .x

Berdasarkan definisi kita menuliskan

Dengan    x  0 untuk x  0 . Karena dy  f ' a x maka dy

merupakan

suatu hampiran yang cukup baik untuk pertambahan y bila x cukup kecil. Gagasan konsep
diferensial fungsi real adalah penghampiran nilai fungsi

f x atau f a  x oleh nilai fungsinya

19
Diferensial Total

Kelompok 6

a , b , b  f a  .

x  a dihampiri oleh garis lurus yang menyinggung kurvanya di titik a , b  .

pada garis singgung di titik

Dengan perkataan lain, kurva f

di sekitar

Konsep diferensial fungsi dua peubah real dirancang dengan cara yang sama dan hasilnya
permukaan S : u  f x, y di titik a , b, c   S , fungsi f terdiferensialkan secara kontinu di titik

dapat diperumum untuk fungsi skalar lainnya. Kita ingat kembali persamaan bidang singgung pada

a , b  adalah

z  c  f a , b 
. X  A, X  x, y dan a , b 

atau dalam bentuk komponennya z  c  f a , b x  a   f y a , b  y  b 
Tulislah x  x  a dan y  y  b , maka persamaan bidang singgung pada permukaan S

di titik a , b, c , c  f a , b  adalah z  f a , b   f x a , b x  f y a , b y

z  f x, y di titik a , b  pada daerah D  R 2 ,

Bandingkan hasil ini dengan syarat keterdiferensialan secara kontinu dari fungsi

f  f x, y  f a , b   f x a , b x  f y a , b y   1x   2 y

fx dan fy kontinu di a , b ,  1   1 x, y dan  2   2 x, y dengan
dan

titik a , b, c  . Di sini kita melihat bahwa ruas kanan persamaan bidang singgung merupakan suatu
Keterdiferensialan secara kontinu menjamin adanya bidang singgung pada permukaan S di

hampiran yang cukup baik untuk ∆f karena pada rumus dasar pertambahan berlaku  1  0 untuk

x, y  0,0. Berdasarkan kenyataan ini kita mendefinisikan konsep diferensial total fungsi dua

peubah sebagai berikut:
 Definisi

Misalkan fungsi dua peubah u  f x, y terdiferensialkan secara kontinu di titik a , b  pada

daerah D f  R 2 .

1. Diferensial dari peubah bebas x dan y , ditulis dx dan dy , didefinisikan sebagai dx  x dan

dy  y .

2. Diferensial (diferensial total) dari peubah tak bebas u, ditulis du a , b  atau df a , b  ,
didefinisikan sebagai df a , b   f x a , b dx  f y a , b dy

Diferensial Total

Kelompok 6

20

Pada definisi ini, diferensial total dari fungsi f di titik

x, y  D f

adalah

df x, y  f x x, ydx  f y x, ydy atau disingkat df  f x dx  f y dy

Dari konsep fungsi dua peubah real yang terdiferensialkan secara kontinu di titik (x,y) pada

daerah D, diperoleh f  df   1x   2 y dengan untuk (x, y)  (0,0) . Ini berarti bahwa df

merupakan suatu penaksir yang baik untuk f .

Konsep diferensial total dari fungsi dua peubah dapat diperumum untuk fungsi scalar

u  f ( X ), X  D  R m yang terdiferensialkan secara kontinu pada daerah D. diferensial total dari

fungsi tiga peubah u = f(x,y,z) yang terdiferensialkan secara kontinu di titik X  (a , b, c) pada daerah
D didefinisikan sebagai df  f x1dx1  f x2 dx2  ...  f xm dxm

Pada contoh berikut dibahas beberapa contoh tentang diferensial total dari fungsi dua peubah
dan diferensial total sebagai suatu hampiran.
Contoh : Diketahui fungsi f ( x, y)  xy 2  2 x
(a). Hitunglah Δf dan df.
(b). Hitunglah Δf dan df di (4,3) dengan Δx = 0,01 dan Δy = 0,02.
(c). Tanpa menghitungnya secara langsung, taksirlah f (5,12;6,85) dengan diferensial kemudian
bandingkan dengan nilai eksaknya.
JAWAB
(a). Fungsi f terdefinisi pada R2, fungsi turunan parsial pertama dari f terhadap peubah x dan y
adalah

f x ( x, y)  y 2  2 dan f y ( x, y)  2 xy
Karena fungsi turunan parsial pertama fx dan fy kontinu pada R2 maka fungsi f terdiferensialkan
secara kontinu pada R2.
Pertambahan dari fungsi fdi titik (x,y) є R2 adalah

f  f ( x  x, y  y)  f ( x, y)



 ( x  x)( y  y) 2  2( x  x)  ( xy 2  2 x)
Diferensial Total


Kelompok 6

21

 ( y2  2)x  (2 xy)y  (y2 )x  (2 yx  xy)y
Diferensial total dari fungsi f di titik (x,y) є R2 adalah

df  ( y 2  2)dx  (2 xy)dy
(b). Untuk

x=4,

y=3, x=-0,01

dan

f  (4  0,01;3  0,02)  f (4,3)  f (3,99;3,02)  f (4,3)

y=0,02

diperoleh

= (3,99)(3,02) 2  2(3,99)  (4,32  2,4)  0,410396 dan

df  (32  2)(0,01)  (2,4,3)(0.02)  0,41

Perhatikan bahwa di sini df merupakan suatu hampiran untuk f karena x dan y cukup
kecil.
(c). Kita akan menentukan nilai f ( x  x, y  y) untuk

x  x  5,12 dan y  y  6,85 .

Pilihlah x  5, x  0,12, y  7 dan y  0,15 maka nilai taksiran dari
dengan konsep diferensial adalah f (5,12;6,85)  f (5,7)  df (5,7)

f (5,12;6,85)

 235  (47)(0,12)  (70)(0,15)
 235  4,68  130,14

Nilai eksak di titik (5,12;6,85)  (230,0032)

E. MATRIKS JACOBI
Kita akan menyajikan konsep keterdiferensialan fungsi skalar dengan menggunakan
transformasi linear, hasil yang diperoleh akan diperumum untuk membahas konsep keterdiferensialan
fungsi vektor dengan peubah vektor. Untuk ini perhatikan kembali konsep keterdiferensialan fungsi
skalar di satu titik pada suatu daerah.

Fungsi skalar u  f  X , X  x1 , x2 ,, xm  yang mempunyai turunan parsial di

A  a 1 , a 2 ,, a m  pada daerah D   m dikatakan terdiferensialkan di A jika terdapat fungsi

 1  1h1 , h2 ,, hm  , t  1,2,, m sehingga pertambahan f dapat ditulis sebagai

f  f a1  h1 ,, a m  hm   f a1 , a 2 ,, a m   f xa  Ah1    f xm  Ahm   1h1     m hm

dengan  1  0 bila h1 , h2 ,, hm   0,0,,0, i  1,2,, m

Diferensial Total

Kelompok 6

22

Kita tuliskan syarat keterdiferensialan ini dengan notasi vektor. Misalkan H  h1, h2 ,  , hm  ,
maka A  H  a 1  h1 ,, a m  hm  , sehingga syaratnya dapat dituliskan dalam bentuk

f  A  H   f  A  f  A  H   1h1     m hm dengan

 1  0 bila h1 , h2 ,, hm   0,0,,0, i  1,2,, m

 1     m   ,    H  dan mengganti h1 oleh H , sehingga diperoleh

syarat keterdiferensialan terakhir dapat diganti dengan syarat yang lebih kuat, yaitu mengambil

f  A  H   f  A  f  A  H  H  H  dengan

lim  H   0
H 0

Perhatikan bahwa syarat yang terakhir selalu mengakibatkan syarat yang di atasnya juga berlaku. Jadi
sekarang kita sampai pada hasil berikut.
 Definisi

Fungsi skalar f : D  R, D daerah R m , u  f  X  dikatakan terdiferensialkan di A D

jika terdapat vektor V dan suatu fungsi skalar    H , H  h1 , h2 ,, hm  yang memenuhi

f  A  H   f  A  V  H  H  H  dengan



lim  H   0
H 0



Pada definisi ini vektor V adalah gradien dari fungsi f di A, yaitu

V  f  A  f x1  A, f x2  A,, f xm  A

transformasi linear L sehingga LH   V  H . Jadi konsep keterdiferensialan fungsi skalar di satu
Dengan menggunakan sifat aljabar linear, maka untuk vektor V yang diketahui terdapat suatu

titik pada suatu daerah dapat ditampilkan dalam bentuk berikut.
 Definisi

m
Fungsi skalar f : D  R, D daerah R , u  f  X  dikatakan terdiferensialkan di A D jika

terdapat transformasi linier L : R m  R dan suatu fungsi skalar

   H , H  h1 , h2 ,, hm 

yang memenuhi

Diferensial Total

Kelompok 6

23

lim  H   0

f  A  H   f  A  LH   H  H  dengan

H 0

Pada definisi ini matriks transformasi linear L yang mempunyai ukuran 1  m adalah vektor

 h1 
 
 h2 
gradiennya. Jadi L dapat ditulis dala bentuk LH   f  A  H  f x  A, f x2  A, , f x  A  

 
h 
 m



x



m

kurung, yaitu LH  ditulis LH . Dengan cara penulisan seperti ini, syarat keterdiferensialan dari
Transformasi linear L dari suatu ruang vektor ke ruang vektor lainnya seringkali ditulis tanpa

fungsi skalar menjadi

f  A  H   f  A  LH  H  H  dengan

lim  H   0
H 0

Bentuk terakhir dapat ditulis sebagai

f  A  H   f  A  Df  AH  H  H  dengan
f  A  H   f  A  f '  AH  H  H  dengan

lim  H   0
H 0

atau,

lim  H   0
H 0

Dalam penulisan seperti ini, Df  A atau f '  A dinamakan turunan fungsi skalar f di A.
Perumuman dari hasil yang sedang kita pelajari akan digunakan untuk memperkenalkan
konsep keterdiferensialan dari fungsi vektor dengan peubah vektor yang didefinisikan sebagai berikut.
 Definisi
n
Fungsi vektor dengan peubah vektor F : D  R , D daerah R m , U  f  X  

 f  X e
n

i 1

1

1

dikatakan terdiferensialkan di A D jika terdapat transformasi linear L : R m  R n dan suatu
fungsi vektor E  E H  

  H e , H  h , h ,, h  yang memenuhi
n

i 1

1

1

F  A  H   F  A  LH  H E H  dengan

Diferensial Total

1

2

m

lim E H   0
H 0

Kelompok 6

24

Seperti halnya pada fungsi scalar, jika terdapat tranformasi linear yang berkaitan dengan
fungsi F di A, maka kita menyatakan tranformasi tersebut dengan DF(A) atau F’(A). dengan cara
penulisan ini syarat keterdiferensialan dari fungsi vector dengan peubah vector dapat ditampilkan
dalam bentuk

F ( A  H )  F ( A)  DF ( A) H  H E ( H ) dengan

atau,

F ( A  H )  F ( A)  F ' ( A) H  H E ( H ) dengan
Pada situasi ini, vektor F(A+H), F(A) dan E(H) dapat dipandang sebagai matriks berukuran n
X 1, matrika transformasi L berukuran n X m dan vector H sebagai matriks berukuran m X 1. baris
ke-i dari matriks tranformasi L adalah vektor gradien dari komponen fungsi

fi(x) di A,

yaitu f1 ( A), i  1,2,..., n . Dalam bentuk matriks, syarat keterdiferensialan untuk fungsi vektor

dengan peubah vektor dapat ditulis sebagai

 f1 ( A  H   f1 ( A)   f1x 1 ( A)
 
 

 f 2 ( A  H )   f 2 ( A)   f 2 x 1 ( A)
   


 
 

 f ( A  H )   f ( A)   f ( A)
  nx 1
  n
 n
↑
nX1

f1x2 ( A) 
f 2 x2 ( A) 


f nx2 ( A) 

↑

f1xm ( A)  h1 
 1 (H ) 
 


f 2 xm ( A)  h2 
  2 (H ) 
 H 
   
 
 


 (H ) 
f nxm ( A)  hn 

 n

↑

nX1

↑

nXm

mX1

↑
nX1

matriks tranformasi L

Matriks transformasi L dinamakan matriks Jacobi dari fungsi F dan ditulis dengan lambang JF(A).
Jadi matriks Jacobi dari fungsi F adalah

 f1x 1

 f2x
f i
( A)   1
J F ( A) 

x j

 f nx
 1

f1x2
f 2 x2





f nx2



 f1

f1x 
 x1

 f 2
f2 x 
 A   x1
 

 
f nx 
 f n
 x
 1
m

m

m

f1
x2
f 2
x2

f n
x2

f1 

xm 
f 2 

xm  A
 
f n 

xm 


Perhatikan beberapa contoh berikut tentang menentukan matriks Jacobi dari suatu fungsi
vektor dengan peubah vektor.
Diferensial Total

Kelompok 6 25

Contoh :

Tentukan matriks Jacobi dari fungsi vektor dengan peubah vector

 x2  2 xy 
 di titik (1,1).
F :    , F ( x, y)  
1 
y
x
tan


2

2

JAWAB : Komponen fungsi vektor dari F adalah f1 ( x, y)  x2  2 xy dan f2 ( x, y)  y tan1 x
Matriks Jacobi dari fungsi F di titik (x,y)  2 adalah

 f1

x
J F ( x, y)  
 f 2
 x


f1
y
f 2
y


 2 x  2 y  2 x 

 y
1

x
tan

2
x
1






0

Sehingga matriks Jacobi dari fungsi F di titik (1,1) adalah J F 1,1   1


2

2
1 

4 

SOAL LATIHAN 1

1. Selidiki apakah f ( x, y)  e x  y terdiferensialkan pada daerah definisinya!
2

2. Tunjukkan bahwa f ( x, y)  xe y  x 2 y dapat didiferensialkan dimanapun
3. Tentukan

, D y f ( x, y, z) dan

jika

dan temukan pula differensial totalnya.

Diferensial Total

Kelompok 6

26

ATURAN RANTAI, TURUNAN BERARAH DAN
FUNGSI IMPLISIT

A. PENGANTAR
Aturan rantai untuk fungsi-fungsi komposisi satu peubah sekarang sudah dikenal oleh semua
pembaca. Jika y  f ( x(t )) , dengan f dan x keduanya fungsi yang dapat dideferensialkan, maka

y' 

dy dy du
.


dx du dx

B. ATURAN RANTAI



Teorema Aturan Rantai I

Jika fungsi x= x(t) dan y= y(t) terdiferensialkan di t  D dan fungsi z= f(x,y) terdiferensialkan

di (x,y)= (x(t),y(t))  D f , maka fungsi z= g(t)= f(x(t), y(t)) juga terdiferensialkan di t dengan

dz z dx z dy
 .  .
dt x dt y dt

aturan :

dimana

z z
dihitung di (x,y)= (x(t),y(t)).
,
x y

Aturan rantai I dapat ditampilkan dalam bentuk diagram pohon berikut

z
x
z
y

dx
dt
x

t

z

t

dz z dx z dy
 .  .
dt x dt y dt

2 peubah

dy
dt

Bukti :

Karena fungsi z= f(x,y) terdiferensialkan di (x,y)  Df, maka :

z 

Aturan Rantai

z
z
.x  .y  1 x   2 y
y
x
Kelompok 627

Dimana  1   1 (x, y),  2   2 (x, y) , dengan

lim

( x, y ) ( 0, 0 )

 1 (x, y)  0 dan

lim

( x, y ) ( 0, 0 )

 2 (x, y)  0

x
z z x z y x
1   2 ,

 .
 .
t
t x t y t t

untuk t  0 berlaku

karena x  x(t  t )  x(t ) dan y  y(t  t )  y(t ) maka

t  0  (x, y)  (0,0)
Akibatnya  1 dan  2 adalah fungsi dari t dengan

lim  1 (t ) 

t 0

lim  2 (t ) 

t 0

lim

 1  0, dan

lim

 2  0.

( x,y )( 0, 0 )

( x,y )( 0, 0 )

Juga untuk t  0 , diperoleh

lim

t 0

x dx
y dy
dan lim
.




0
t
t dt
t dt

Dengan menggunakan semua hasil ini pada bentuk

 z x z y x
y 
z
 lim  .  .   1 
2 
t 0 t
t 0 x t
t 
y t t

lim

diperoleh

dz z dx z dy


…..
dt t dt y dt

terbukti

Pada rumus di atas, z dipandang sebagai fungsi satu peubah terhadap t untuk
dipandang sebagai fungsi duua peubah terhadap x dan y untuk

z
z
dan
.
y
x

dz
dan
dt

Teorema aturan rantai I dapat ditulis dalam bentuk perkalian matriks

 dx 
 
dz  z z   dt 


dt  x y   dy 
 
 
 dt 
Aturan Rantai

Kelompok 6

28

Jika dimisalkan

z  g (t )  f ( X ), X (t )  ( x(t ), y(t )),

 z
f ' ( X )  
 x

z 

y 

Maka aturan rantai I dapat ditulis sebagai

z' 

Contoh :

dz
 f ' ( X ). X ' (t ) , sama dengan bentuk aturan rantai pada fungsi real.
dt
Andaikan z= x3y, dimana x= 2t dan y= t2 tentukan

dz
!
dt

Dengan menggunakan aturan rantai I diperoleh :

=(3x2y)(2)+ (x3)(2t)
= 3(2t)2(t2)2+ (2t)32t
= 24t4+ 16t4
= 40t4



Aturan rantai I untuk 3 peubah
Jika fungsi x= x(t), y= y(t), dan z= z(t) terdiferensialkan di t pada daerah D dan fungsi
u= f(x,y,z) terdiferensialkan di (x,y,z)= (x(t),y(t),z(t)) Df maka u sebagai fungsi dari t.

u= g(t)= f(x(t),y(t),z(t)) terdiferensialkan di t

D dengan aturan :

du u dx u dy u dz
 .
 
 

dt x dt y dt z dt

Contoh :

Andaikan w= x2y+ y+ xz dimana x= cos t, y= sin t dan z= t 2

Penyelesaian :

Aturan Rantai

Jelas

. Tentukan

!

dw w dx w dy w dz

 
 

dt
x dt y dt z dt

Kelompok 6

29

 (2 xy  z)( sin t )  ( x 2  1) cos t  x(2t )

 (2 cos t. sin t  t 2 )( sin t )  (cos 2 t  1) cos t  2t cos t
 2 cos t. sin 2 t  t 2 sin t  cos 3 t  cos t  2t cos t.

 Teorema Aturan Rantai 2

Jika fungsi u  u ( x, y) dan v  v( x, y) terdiferensialkan di titik x0 , y0 pada daerah Df 
dan fungsi z  t (u , v) terdiferensialkan di x0 , y0 pada daerah Df 

dengan

u 0  u ( x0 , y0 ) dan v0  v( x0 , y0 ) , maka fungsi z  g ( x, y)  f (u ( x, y), v( x, y))
terdiferensialkan di titik ( x0 , y0 )

dengan aturan :

Dalam bentuk diagram pohon dapat digambarkan, sebagai berikut:

u
x

z
u

u

x

u
y

y

z

dz
dv

v

dv
dx

x

dv
dy
Bukti :

Untuk z terhadap x.
Buatlah y tetap, tulis y= yo, maka u dan v hanyalah fungsi dari x, yaitu u= u(x,yo) dan v= v(x,yo).
Dipunyai fungsi u dan v terdiferensialkan di xo dengan aturan

u
du
 u x ( x0 , y0 ) 
x( x0 , y0 )
dx( x0 , y0 )

Aturan Rantai

Kelompok 6

30

v
dv
 vx ( x0 , y0 ) 
x( x0 , y0 )
dx( x0 , y0 )
Gantikan hasil ini pada fungsi z= g(x,y) yang diketahui kemudian gunakan aturan rantai 1 di
titik (u 0, v0 ) dan ( x0, y0 ) maka diperoleh :

z  g ( x, y0 )  f (u ( x0 ), ( y0 )) dan

fu
dz dg fu


( x0 , y0 ) 
( x0 , y0 )
ux
dx dx ux


fu fv

ux vx

( Terbukti )
Dalam bentuk perkalian matriks, aturan rantai 2 dapat ditulis

 z

 x

z   z

y   u

 u

z  x

y  v

 x

u 

y 

v 

y 

Misalkan

z  g ( x, y)  f (U ) , U  (u ( x, y), v( x, y)) ,maka :

 z
f ' (U )  
 u

 u

 x
z 
 , U '(X)  
v 
 v

 x

u 

y 
 dan
v 

y 

 z
z'  
 x

z 

y 

Sehingga

z'  f ' (U ).U ' ( x)
Bentuk ini persis sama dengan aturan rantai pada fungsi real.
Contoh :
2
2
2
Jika w  x  y  z  xy dimana x= st, y= s-t, dan z= s+ 2t, tentukan

Aturan Rantai

!
Kelompok 6

31

( purcel jilid 2, hal: 282 )

Penyelesaian :
Dipunyai

w  x 2  y 2  z 2  xy
x  st

y  s t

z  s  2t
Jelas

w w x w y w z

 
 

x t y t z t
t

 (2 x  y)  s  (2 y  x)  (1)  2 z  2

 2( st )  ( s  t )  ( s )  2( s  t )  ( st )  (1)  2  ( s  2t )  2

 2s 2 t  s 2  st  2s  2t  st  4s  8t

 2s 2 t  s 2  2st  2s  10t
Jelas

w w x w y w z

 
 

x s y s z s
s

 (2 x  y)  t  (2 y  x)  1  2 z  1

 2( st )  ( s  t )  t  2( s  t )  ( st )  1  2  ( s  2t )  1
 2st 2  st  t 2  2s  2t  st  2s  4t

 2st 2  2st  t 2  4s  4t

Jadi

w
w
 2st 2  2st  t 2  4s  4t
 2s 2 t  s 2  2st  2s  10t dan
s
t

( purcel jilid 2, hal: 282 )

Aturan Rantai

Kelompok 6

32



Teorema Aturan Rantai 3

, D daerah di

Misalkan

dan

, E daerah di

Jika fungsi F terdiferensialkan di
maka fungsi komposisi

dan fungsi G terdiferensialkan di

terdiferensialkan di X dengan aturan

)’

(

sehungga

dimana,

.
Dalam bentuk matriks Jacobi, rumus terakhir ditulis sebagai

Diagram panah dari komposisi

m

X

Aturan Rantai

F

n

F(X)

G

P

G(F(X))

Kelompok 6

33

Dengan cara seperti aturan rantai 1 dan 2 , kita dapat menyajikan aturan rantai ini dalam
diagram pohon, yang penggunaanya cukup praktis.
Bukti:
maka terdapat suatu transformasi linear

Karena fungsi F terdiferensialkan di
dari

ke

dari fungsi vektor

yang memenuhi

F(X+H)= F (X) + F (X)H+ H E1 ( H )dengan lim h 0 ! E1 ( H )  0
, maka terdapat suatu

Karena fungsi G terdiferensialkan di
transformasi linear

dari

ke

dan fungsi vektor E(H) yang

memenuhi

Kita akan menentukan suatu transformasi linear

dari

ke

dan suatu fungsi

vektor E(H) yang memenuhi

(G  F )( X  H )  (G  F )( X )  J G  F ( X ) H  H E ( H )dengan lim
Misalkan :

H 0

E (H )  0

K  K ( H )  F ( X  H ) _  F ( X )  F ' ( X ) H  H E1 ( H ) , maka

G ( F ( X  H ))  G ( F ( X )  K )  G ( F ( X ))  G ' ( F ( X )) K  K E 2 ( K )
Dengan menggunakan G’(F(X)) linear kita sampai pada kesimpulan

G ( F ( X  H )  (G  F )( F ( X ))  G ' ( F ( X ))( F ' ( X ) H  H G ' ( F ( X )) E1 ( H )  H

 (G  F )( X )  G ' ( F ( X ))( F ' ( X ) H  H G ' ( F ( X )) E1 ( H ) 

K
E2 (K )
H

K
E2 (K )
H

Ambillah

J G  F ( X )  G ' ( F ( X )) F ' ( X ) dan
,

Kemudian buktikan lim

h 0

E ( H )  G ' ( F ( X )) E1 ( H ) 

K
E2 (K )
H

E (H )  0

Dengan menggunakan lemma 3-3-3 yang berbunyi:
Aturan Rantai

Kelompok 6

34

Jika L:  m   n suatu transsformasi Linear maka b    LX  b X Diperoleh

b    G ' ( F ( X )) E1 ( H )  b E1 ( H )
Karena lim

H 0

E1 ( H )  0 , maka lim

Dari kedua hasil diperoleh lim

H 0

K
 F ' ( X )  E1 ( H ) , akibatnya
H

H 0

E1 ( H )  0

G ' ( F ( X )) E1 ( H )  0 , Dari definisi K=K(H) diperoleh

K
H

terbatas. Ini berarti

c  0 

K
 c yang
H

mengakibatkan K  H .Dari sini diperoleh H  0  K  0 , sehingga kita sampai
ini memberikan lim h 0 E2 ( K )  0 .

pada

K
E 2 ( K )  c E 2 ( K ) dengan lim E 2 ( K )  0 , maka
H
H 0

Kemudian, karena

lim

H 0

K
E 2 ( K )  0. Karena itu,
H

lim E ( H )  lim G ' ( F ( X ))E ( H )  lim
H 0

H 0

1

H 0

K
E 2 ( K )  0  0  0.
H

Dengan demikian terdapat transformasi linear G ' ( F ( X )) F ' ( X ) dan fungsi skalar E(H)
sehingga memenuhi

(G  F )( X  H )  (G  F )( X )  (G ' ( F ( X )) F ' ( X )) H  H E ( H ) dengan

lim E ( H )  0
H 0

Ini membuktikan bahwa

(G  F )' ( X )  G ' ( F ( X )) F ' ( X )

Aturan Rantai

terdiferensialkan di X dan
( Terbukti ).

Kelompok 6

35

C. TURUNAN BERARAH

Definisi 3.3.5:
Misalkan fungsi z  f ( x, y) terdefinisi pada daerah D  R 2 dan u  (u , v) suatu vektor
satuan di R2. Turunan berarah dari fungsi f dalam arah vektor satuan u ditulis

f
( x, y),
u

z
( x, y) . Du( x, y) atau Du( x, y)
u

didefinisikan sebagai

f ( x  hu , y  hv)  f ( x, y)
f
( x, y)  lim
, bila limit ini ada.
h

0
h
u

Catatan :
1. Jika vektor satuan u  R 2 ditulis dalam bentuk

u  (cos  , sin  ),   (u, sb.x pos ) ,

maka turunan berarah dari z  f ( x, y) di X  ( x, y) dalam arah vektor satuan u dapat
didefinisikan sebagai :

f
f ( x  h cos  , y  h sin   f ( x, y)
.
( x, y)  lim
h 0
u
h

2. Jika X  ( x, y) , maka ( x  hu, y  hv)  X  hu, sehingga turunan berarah dari fungsi

z  f ( x, y) di X  ( x, y) dalam arah vektor satuan u dapat didefinisikan sebagai:

f
f ( x  hu )  f ( X )
.
 X   lim
h 0
u
h

3. Sesuai dengan definisi 3.3.5, turunan berarah dari fungsi z  f ( x, y) di A  (a , b) pada
daerah D  R 2 dalam arah vektor satuan u didefinisikan sebagai

f
f (a  hu , b  hv)  f (a , b)
, bila limit ada.
a , b   lim
h

0
u
h

4. Konsep turunan berarah didesain dengan menggunakan limit fungsi satu peubah.

Turunan Berarah

Kelompok 6

36

Cara menghitung turunan berarah
Turunan berarah dari fungsi z  f ( x, y) di titik ( x, y) pada suatu daerah D dalam arah

vektor satuan u  (u , v) dapat dihitung dengan salah satu cara berikut :
a. Misal, g(t)= (x+ tu,y+ tv), maka

g (h)  g (0)
f
 g ' (0) , bila limit ini ada.
( x, y)  lim
h 0
h0
u

b. Dalam kasus fungsi f terdefinisikan di titik ( x, y)  D  R 2 , aturan rantai dengan r = r(t )=
x + tu dan s = s(t) = y + tv memberikan

f dr f ds f
f
f


u
u
v
r dt s dt r
x
s .

karena untuk t = 0 berlaku r = x dan s = y, maka

f
f
f
v  f ( x, y)u
u
( x, y)  g ' (0) 
y
x
u
2.. Teorema 3.3.6 Menghitung Turunan Berarah dengan Vektor Gradien
Jika fungsi z  f ( x, y) terdiferensialkan di titik ( x, y) pada daerah D  R 2 maka turunan
berarah dari fungsi f dalam arah vektor satuan u di titik ( x, y) :

f
( x, y)  f ( x, y)u. dimana f ( x, y)  f x ( x, y)i  f y ( x, y) j
u
3. Turunan berarah dan bidang singgung permukaan
Syarat terdapatnya bidang singgung pada permukaan s : z  f ( x, y) di titik (a , b, c )
memuat (a , b) . Syarat ini memberikan terdapatnya turunan berarah di titik (a , b, c ) untuk
sebarang vektor satuan u.
4. Turunan berarah sepanjang suatu kurva
Definisi 3.3.7
Misal fungsi z= f(x,y) terdefinisi pada daerah D  R 2 yang memuat titik A. Turunan berarah

dari fungsi f sepanjang kurva C  R 2 yang melalui A didefinisikan sebagai turunan berarah di A
dalam arah vektor singgung satuannya.

Turunan Berarah

Kelompok 6 37

Berdasarkan definisi ini, turunan berarah dari fungsi f sepanjang kurva C yang melalui A
adalah

f
, dimana u vektor singgung satuan dari kurva C di titik A.
u ( A)

5. Turunan berarah dari fungsi scalar lainnya
Definisi 3.3.8
1. Misalkan fungsi tiga peubah u= f(x,y,z) terdefinisi pada daerah D  R3 dan u= (u,v,w) vektor
satuan di R3, turunan berarah dari fungsi f dalam arah vektor u, ditulis

f
didefinisikan sebagai
u ( x, y, z)
lim
f
( x, y, z) 
h0
u

f ( x  hu , y  hv, z  hw)  f ( x, y, z)
bila limit ini ada.
h

2. Misalkan fungsi skalar w= f(x), X= x1 , x2 ,..., xm  terdefinisi pada daerah D  R m dan

U  u1 , u 2 ,..., u m  vektor satuan di R3

Turunan berarah dari fungsi f dalam arah vektor u ditulis

f
( x) , didefinisikan
u

f
f ( X  hu )
x  lim
, bila limit ada.

0
h
u
h
3. Misalkan fungsi tiga peubah u= f(x,y,z) terdefinisi pada daerah D  R3 yang memuat A dan
kurva C di R3 melalui A.
Turunan berarah dari fungsi f sepanjang kurva C di titik A didefinisikan sebagai

f
 A ,
u

dimana u suatu garis singgung satuan pada kurva C di titik A.

4. Misalkan fungsi skalar w= f(x), X= x1 , x2 ,..., xm  terdefinisi pada daerah D  R m yang
memuat titik A  a1 , a 2 ,..., a m  dan kurva C di Rm melalui titik A.

Turunan berarah dari fungsi f sepanjang kurva C di titik A didefinisikan sebagai

f
 A ,
u

dimana u suatu garis singgung satuan pada kurva C di titik A.
Teorema 3.3.9 Menghitung turunan berarah dari fungsi skalar dengan vektor gradien.

Turunan Berarah

Kelompok 6

38

Jika fungsi skalar fungsi skalar w= f(x), X= x1 , x2 ,..., xm  terdiferensialkan di titik X pada

daerah D  R m