Bab 1 pangkat akar dan logaritma (3)

1. PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA
A.

Pangkat Rasional
1)

Pangkat negatif dan nol
Misalkan a  R dan a  0, maka:

2)

a)

a-n =

b)

a0 = 1

1
a

atau an =

n

1
a n

Sifat-Sifat Pangkat
Jika a dan b bilangan real serta n, p, q bilangan bulat positif, maka berlaku:
a)

ap × aq = ap+q

b)

ap : aq = ap-q

c)

a p q = a

pq

SOAL
1.

a.

b.

c.

 ba n  ba

x10 z 10

d.

12 y 3

z

=…

84 x  7 y  1 z  4

y3z 2
12x 4

2
e.

12 x 4 y 3

x10 y 5

x10
12 y 3 z 2

Jawab : e

12z 2

UN 2011 PAKET 46

a.

b.

c.

24a  7 b  2 c

=…

6a  2 b  3 c  6

4c 5

d.

a 3b 5
4b

e.

a 5c 5
4b

4bc 7
a5
4c 7
a 3b

Jawab : d

a 3c

SOAL

PENYELESAIAN

UN 2010 PAKET A

 27 a  5 b  3
 35 a  7 b  5


Bentuk sederhana dari 

a. (3 ab)2

d.

b. 3 (ab)2

e.

c. 9 (ab)
4.

e)

n

PENYELESAIAN

7x3 y  4 z  6

Bentuk sederhana dari

3.

 a b  n = a ×b

UN 2011 PAKET 12
Bentuk sederhana dari

2.

d)

2






1

adalah …

3
( ab) 2
9
( ab ) 2

Jawab : e

UN 2010 PAKET B
Bentuk sederhana dari
adalah …
a. 56 a4 b–18
b. 56 a4 b2
c. 52 a4 b2

(5a 3 b  2 ) 4
(5a  4 b  5 )  2
d. 56 ab–1
e. 56 a9 b–1
Jawab : a

3

n
n

n

5.

EBTANAS 2002
Diketahui a = 2 + 5 dan b = 2 –
Nilai dari a2 – b2 = …
a.
–3
b.
–1

c.
d.
e.

2

5

4

5

8

5

5.

Jawab : e

B.

Bentuk Akar
1)

Definisi bentuk Akar
Jika a bilangan real serta m, n bilangan bulat positif, maka berlaku:

2)

1

a)

a n n a

b)

a n  am

m

n

Operasi Aljabar Bentuk Akar
Untuk setiap a, b, dan c bilangan positif, maka berlaku hubungan:

a)

a

c +b

c = (a + b)

c

d)

a

b

=

( a  b)  2 ab

b)

a

c –b

c = (a – b)

c

e)

a

b

=

( a  b)  2

c)
3)

a b

ab

a b

=

Merasionalkan penyebut
Untuk setiap pecahan yang penyebutnya mengandung bilangan irrasional (bilangan yang tidak dapat di akar), dapat dirasionalkan penyebutnya dengan
kaidah-kaidah sebagai berikut:
a)
b)
c)

a
b

 a  b a b

c
a b

b

b



c
a b

c
a b



b

c(a  b )
a  b  2

c
a b

a

b

a b

c( a  b )
 a b 
a

b

a b

SOAL
1.

Bentuk sederhana dari

a.

b.

c.

2.

PENYELESAIAN

UN 2011 PAKET 12

5 2 3
5 3 3

20  5 15
22
23  5 15
22
20  5 15
 22

d.

e.

=…

20  5 15
 22
23  5 15
 22

Jawab : e

UN 2011 PAKET 46
Bentuk sederhana dari

a.



3 3 2
3 6 2

=…

1
(13  3 6 )
23

4

b.
c.
d.
e.

1
(13  3 6 )
23
1

(  11  6 )
23
1
(11  3 6 )
23
1
(13  3 6 )
23


Jawab : a
3.

UN 2010 PAKET A
Bentuk sederhana dari

4( 2 

3 )(2 

(3 

3)

5)

=…

5)

a. –(3 –

1
(3 –
5)
4
1
(3 –
5)
4

b. –
c.

d. (3 –

5)

e. (3 +

5)

Jawab : d
SOAL
4.

PENYELESAIAN

UN 2010 PAKET B
Bentuk sederhana dari

6(3 

5 )(3 
2

a. 24 + 12

5)

6

=…

6
6

b. –24 + 12

6

c. 24 – 12

6

d. –24 –
e. –24 – 12

6

Jawab : b
5.

UN 2008 PAKET A/B
Hasil dari 12  27 
a. 6
b. 4 3
c. 5

3

d. 6

3

e. 12
6.

3 adalah …

3

Jawab : b
UN 2007 PAKET A
Bentuk sederhana dari

8  75 
a. 2
b. –2
c. –2
d. –2
e. 2

2
2–4
2 +4
2 +4
2 –4
+ 14



32  243

 adalah …

3
3
3
3
3

Jawab : b
Bentuk sederhana dari

3

2 4 3



2 3

=
5

…

a.
b.
c.
d.
e.

6

–6–

6

6–

6

–6+
24 –

6

18 +

6

Jawab : a
SOAL
8.

24

Bentuk sederhana dari

a.
b.
c.
d.
e.
9.

PENYELESAIAN

UN 2006

18 – 24

3

adalah …

7

18 – 6

7

12 + 4

7

18 + 6

7

36 + 12

7

7

Jawab : e
EBTANAS 2002
Diketahui a = 9; b = 16; dan c = 36.
Nilai dari
a.
b.
c.
d.
e.

 
a


1
3

b



1
2


c 


3

=…

1
3
9
12
18

Jawab : c

6

C. Logaritma
a)

Pengertian logaritma
Logaritma merupakan invers (kebalikan) dari perpangkatan. Misalkan a adalah bilangan positif (a > 0) dan g adalah bilangan positif yang tidak sama dengan
1 (g > 0, g ≠ 1), maka:
g

log a = x jika hanya jika gx = a

atau bisa di tulis :
(1)

untuk glog a = x  a = gx
 x = glog a

(2) untuk gx = a
b)

sifat-sifat logaritma sebagai berikut:
(1)
(2)
(3)
(4)

g

log (a × b) = glog a + glog b

 
a
b

g

log

log an = n × glog a
log a =



log a × log b = glog b

m g
log a m = n log a

(7)

gn

p

log g

(8)

g
g log a a

log

log 18



2

PENYELESAIAN

6





3

1
a. 8

d. 2

b. 1

e. 8

2

c. 1
UN 2010 PAKET B
27

Nilai dari

a.
b.
c.
d.
e.

log 2

log 2 



2 =…

Jawab : a

log 9  2 log 3 
3

3

3

log 4

log18

=…

14
3
 14
6
10
 6
14
6
14
3



Jawab : b

3.

SOAL
UN 2008 PAKET A/B
Jika 7log 2 = a dan 2log3 = b, maka 6log 14 = …
a.
b.

c.

a
a b
a 1
b 1
a 1
a (b  1)

d.
e.

PENYELESAIAN

b 1
a 1
b 1
b( a  1)

Jawab : c

Penyelesaian
4.

log g

log a

3
3

1

a

UN 2010 PAKET A
Nilai dari

2.

(6)

g

log a = a

p

SOAL
1.

g

= glog a – glog b

g

g

(5)

UN 2007 PAKET B
Jika diketahui 3log 5 = m dan 7log 5 = n,
maka 35log 15 = …

7

1 m
1 n
1 n
b.
1 m
m(1  n)
c.
1 m
a.

5.

d.

e.

n1  m 
m(1  n)
mn  1
m 1

Jawab : c

UN 2005
Nilai dari
a.
b.
c.
d.
e.

r

log

1 q
1
1
 log 3 p log
5
q
p
r

=…

15
5
–3

1
15
5

Jawab : a
6.

UN 2004
Diketahui 2log5 = x dan 2log3 = y.
3

Nilai 2 log 300 4 = …
a.
b.
c.

2x3
3
4
3x3
2
2
2x + y + 2

y  32

y2

d.

2 x  34 y  32

e.

2 x  32 y  2

Jawab : a

8

KUMPULAN SOAL SKL UN 2011. INDIKATOR 2
Menggunakan aturan pangkat dan akar untuk menyederhanakan bentuk aljabar.
1.

Bentuk sederhana dari

16 x 2 y  3
2x

4

y

1
2

a. 2x – 6 y – 10

c.

2x y

b. 23x 6 y4

d.

2x

3
7

Bentuk sederhana dari

a.

b.

c.

3.

b.

c.

12 y 3
z2

4

y

z

=…

1  4

z

y3z 2
x10
12 y 3 z 2

a 3b 5
4b

e.

a 5c 5
4b

=…

5

d.

a10 b
c
b

y 10
32x 5

4

2a 8 b
c

  23
a
Bentuk
  1
3
b
b

c.

b6 ab 4

d.

a6 b 5






Bentuk sederhana dari

adalah …
a.

9
( ab) 2

3
11.

( 5a 3 b  2 ) 4

a5

b. 6

a5

c.

ay
2x

d.

ab
2y

e.

a.

e. 56 a9 b–1

b.

e.

adalah …
12.

3b
2x

1



d.

2

a. -2 a
b. -2a
7.

adalah …

a3 a

a5 a

e. 6

y

a

1
6

a

( a  b)  1 ( a  2  b  2 )
(a  1  b  1 )(ab  1  a  1b)

adalah …

2
3

1
(a  b)

2

b. (a + b)2
=…
2

c. -2a
e. 2 a
d. -2a2
(2 x 3 y  4 )  3
Bentuk
dapat disederhanakan menjadi …
4 2

4x

1

a  1  b  1 dapat dinyatakan dengan bentuk …
ab
1
a b
c.
e. a + b
2 2
ab
a b
a b
1
d.
2 2
a b
a b

Bentuk sederhana dari

a.

(  2 a ) 3 ( 2a )

c.

a4 3 a a

c.

d.

 ab

e. ab

(a  b) 2
ab
a b

(16a 4 ) 3
2

1

a 3b 2

Bentuk

adalah …

(5a  4 b  5 )  2

1
6

( ab) 2

36 x 2 y 2 5b(ab) 2

15ab
24 x 3 y 2

Bentuk sederhana dari

10.

1

e.

c. 52 a4 b2
d. 56 ab–1

5a
2x
ab 2
2x

senilai dengan …

a 3b

c. 9 (ab)

Bentuk sederhana dari






4c 7

2

a. 56 a4 b–18
b. 56 a4 b2

e. 2a10bc

1
2 

  23 12   a 2
  a b  :  1
 b3


3

Bentuk sederhana dari

2x 5

a5

a 3c

d.

y 14

e.

d. 2bc

a 2c

b. a

5


  b : 8a 6 c 3 = …
 a2

c.

a. ab

4bc 7

2



2 x 



 2a 2
 c1


b.

6a  2 b  3 c  6

y
c. 1 

Hasil dari 

12x 4

24a  7 b  2 c

d.






a.

9.

4c 5

 2y2
 x


b. 

8.

12z 2

b. 3 (ab)2

b.



6

 27 a  5 b  3
Bentuk sederhana dari 
 35 a  7 b  5


a.

2x y

3
7

x10 y 5

a. (3 ab)

6.

e.

12 x 4 y 3

2

5.

7

d.

Bentuk sederhana dari

a.

4.

x10 z 10

7x y
84 x

e.

5

y7

3

2.

1
2

3

1
2



7

 y2 

 2x 



a. 

adalah …

13.

Dalam bentuk pangkat positif dan bentuk akar

x 1  y 1
1

1

x2  y2
…
a.

x
y
xy

d. xy



x

y



=

14.

b.

y x
xy

c.

x y
xy







xy

xy

b. xy

Bentuk



x

y



18.

Diketahui p =
q=

 1  y1 

Bentuk  x

a.

15.

e. xy

c.

x y

d.

3x  1  y  2
x 2  2y1

1
2

dapat dinyatakan dalam bentuk …

xy

x

e.

x y

19.

y

x y
xy
jika ditulis dalam bentuk pangkat positif menjadi

1

(x 2  x

3

1

1

( x 2  x 2 )( x 3  x


1
2



1

)( x  x 3 ) , maka

a. 3

x

c. x

b. 3

x2

d.

1
3

) dan
p
=…
q
e.

x3 x 2

x3 x
a  1b  ab  1

Bentuk sederhana dari

adalah …

a  1  b 1

a. a + b

c. –a + b

b. a - b

d.

e.

1
a b

1
a b

…
a.

b.

x (3 y  x )

d.

y( y  2 x 2 )
x (3 y 2  x )

e.

2

y( x  2 x )

x (3 y 2  x)
y( y  2x 2 )
x (3 y 2  x)
2

20.

y( x  2x )

2

c.

16.

y( y  2 x )
1

1

x y
 x1  y1


b.

adalah …
a2  b2
a.
2
2

2

Dalam bentuk pangkat positif 

a.

17.

x (3 y  x )

yx
y x
x y
x y

c.
d.

y x
yx
x y
x y

1 

1

p 



Bentuk sederhana dari 

a. p
b. 1 – p2

2

c. p – 1
d. p2 + 2p + 1

e.

5

 1 


1 p 
2






a  b

1

=…

b. a2+ b2

1 1

x
y

7

 p  1


1 p 

e. p - 2p + 1

ab  1  a  1b

Bentuk sederhana dari

b1  a1

c. a2 – b2

d.



e.

ab  1  a  1b
a1  b1

1
2

a  b2

1
2

a  b2
1

 1  y1
21. Bentuk  x

xy


2
 senilai dengan ....



a.

xy

x y

b.

x

c. xy

6

=…

y

d.

x y
xy

e.

xy
x y