BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Teori Antrian - Pendekatan Teori Antrian Pada Bank Mandiri Cabang Iskandar Muda Medan

BAB 2 LANDASAN TEORI

  2.1 Teori Antrian

  Sistim ekonomi dan dunia usaha (bisnis) sebagian besar beroperasi dengan sumber daya yang relatif terbatas.Sering terjadi pada orang, barang, dan komponen harus menunggu untuk mendapatkan jasa pelayanan.Garis-garis tunggu sering disebut antrian (queuning atau waiting line).Mengantri kadang memang harus dilakukan bilamana sedang menunggu giliran, misalnya untuk membeli karcis bioskop, mengambil atau menyetor uang pada bank, dan lainnya. Antrian juga dapat terjadi pada barang, misalnya antrian bahan mentah yang akan diproses untuk dijadikan suatu produk tertentu, atau data yang akan diolah dipusat komputer dan sebagainya.

  Disiplin antrian tampak pada pelanggan (barang ataupun orang) akan dilayani berdasarkan yang lebih dahulu datang, prioritas, dan lainnya. Pelanggan dapat datang dalam jarak waktu yang sama atau dapat pula secara random, dengan jarak waktu kedatangan yang tidak lama atau cukup lama. Rata-rata waktu menunggu (waiting time) sangat bergantung pada rata-rata kecepatan pelayanan (rate of service).Antrian terjadi karena kecepatan kedatangan pelanggan pada fasilitas pelayanan lebih cepat dari kecepatan pelayanan yang diberikan oleh stasiun pelayanan, sehingga fasilitas pelayanan tidak mampu melayani arus kedatangan pelanggan.

  2.2 Elemen Pokok Sistim Antrian

  Elemen-elemen dasar model antrian bergantung kepada faktor-faktor berikut: 1.

  Distribusi Kedatangan Individu-individu dari populasi memasuki sistim disebut pola kedatangan

  

rate ) yang konstan ataupun acak, bersifat bebas dan tidak terpengaruh oleh

  kedatangan sebelum atau sesudahnya.Tingkat kedatangan sangat sering mengikuti suatu Distribusi Poisson karena menggambarkan jumlah kedatangan per unit waktu.

  2. Barisan Antri Suatu antrian selalu ditandai dari besarnya jumlah langganan yang ada di dalam sistim untuk mendapatkan pelayanan.Antrian disebut terbatas apabila jumlah langganan yang dibolehkan masuk ke dalam sistim dibatasi sampai jumlah tertentu, bila pembatasan yang demikian tidak diadakan, maka antrian dikatakan tidak terbatas.

  3. Displin Pelayanan Disiplin pelayanan adalah suatu urutan yang dikenakan di dalam memilih langganan dari barisan antri untuk segera dilayani. Aturan yang digunakan antara lain: a.

  FIFO (First In First Out), adalah pelanggan yang pertama datang yang dilayani lebih dahulu.FIFO sering disebut juga FCFS (First Come First

  Served ) contohnya, loket-loket penjualan karcis kereta api.

  b.

  LIFO (Last In First Out), adalah pelanggan yang terakhir datangadalah yang dilayani terlebih dahulu yang dikenal juga LCFS (Last Come First

  Served ) contohnya, sistim muat bongkar di dalam truk.

  c.

  SIRO (Service In Random Order),adalah pelayanan dilakukan secaraacak,sering dikenal RSS (Random Selection For Service) contohnya, pelayanan dilakukan berdasarkan undian.

  d.

  PRI (Pelayanan Berdasarkan Prioritas), adalah pelayanan dilakukan secara prioritascontohnya. pesta tamu VIP dilayani terlebih dahulu.

  4. Mekanisme Pelayanan Mekanisme pelayanan adalah jumlah susunan stasiun yang terdiri dari satu atau lebih stasiun pelayanan disusun secara seri atau paralel.Suatu model pelayanan tunggal jika stasiun memiliki satu stasiun pelayanan dan model pelayanan ganda bila stasiun pelayanan lebih dari satu stasiun pelayanan.

5. WaktuPelayanan

  Waktu yang digunakan untuk melayani pelanggan dalam suatu sistim disebut waktu pelayanan.Waktu ini mungkin konstan atau acak. Waktu pelayanan mengikuti Distribusi Eksponensial atau distribusinya acak

2.3 Struktur Antrian

  Sifat proses pelayanannya dapat diklasifikasikan berdasarkan fasilitas-fasilitas pelayanan dalam susunan saluran dan fase yang membentuk satu struktur antrian yang berbeda-beda. Istilah saluran menunjukan jumlah tempat untuk memasuki sistim pelayanan, dan menunjukkan jumlah fasilitas pelayananan.Fase berarti jumlah stasiun-stasiun pelayanan dan para pelanggan harus melaluinya sebelum pelayanan dinyatakan lengkap. Ada 4 model struktur antrian dasar yang umum terjadi dalam seluruh sistim antrian: 1.

   Single Channel-Single Phase Single Channel berarti hanya satu jalur untuk memasuki sistim

  pelayanan.Single Phase berarti hanya satu stasiun pelayanan atau sekumpulan tunggal operasi yang dilaksanakan.Gambar Single Channel-Single Phase ditampilkan pada Gambar 2.1.Contoh Single Channel-Single Phase adalah seorang pelayan toko, seorang supir bus, dan sebagainya.

Gambar 2.1 Single Channel-Single Phase

  2. Single Channel-Multi Phase Multi Phase

  berarti ada dua atau lebih pelayanan yang dilaksanakan secara berurutan dalam fase-fase.Gambar Single Channel-Multi Phase ditampilkan pada Gambar 2.2. Contoh Single Channel-Multi Phase adalah proses pencucian mobil, tukang cat mobil, dan lain-lain.

Gambar 2.2 Single Channel-Multi Phase 3.

   Multi Channel-Single Phase Multi Channel-Single Phase terjadi jika ada dua atau lebih fasilitas pelayanann

  oleh antrian tunggal.Gambar Multi Channel-Single Phase dapat diperhatikan pada Gambar 2.3.Contoh dari Multi Channel-Single Phase adalah pembelian tiket yang dilayani oleh lebih dari satu loket, pelayanan potong rambut oleh beberapa tukang cukur, dan sebagainya.

Gambar 2.3 Multi Channel-Single Phase 4.

   Multi Channel-Multi Phase Multi Channel-Multi Phase terjadi ketika beberapa antrian dengan beberapa

  pelayanan paralel gambar Multi Channel-Multi Phase dapat diperhatikan pada

Gambar 2.4. Contoh dari Multi Channel-Multi Phase adalah herregistrasi mahasiswa di universitas, pelayanan pasien dari pendafaran, diagnosa, penyembuhan sampai pembayaran di rumah sakit, dan sebagainya.

Gambar 2.4 Multi Channel-Multi Phase

2.4 Uji Kecukupan Data

  Menurut Ralph M. Barnesdalam melakukanobservasi dan pengumpulan data hendaknya melakukan evaluasi terhadaperror dari data yang dikumpulkan.Untuk

  − ₁

  itu perlu untuk diketahui nilai N yaitu jumlah observasi yang dibutuhkan untuk memprediksikan kebenarandata pada tingkat ketelitian dan tingkat kepercayaan

  =

  yang sudah ditentukan.Pada pengujian data ini dipakai tingkat ketelitian ( s ,

  1 ) k yang berarti tingkat kepercayaan ( = 2). _{2 2}

   N N 

  k   ₂

   

  N . ( x ) −  x  _{i i} ∑ ∑

   

  s i i = ^{1 = 1}

   

  − ¹

   

  N = _N

   

  x _i ∑ _{i = 1}

      dengan:

  − ₁ N

  = banyak data yang dibutuhkan

  N

  = jumlah data yang telah diambil _i = data ke- i

  x −1

  Ketika N < N maka data yang telah diambil tercukupi untuk perhitungan selanjutnya.

  2.5 Uji Keacakan

  Pengujian ini dimaksudkan untuk membuktikan bahwa sampel kedatangan adalah acak. Alat bantu untuk pengujian ini menggunakan Uji Runtun dengan tingkat signifikasi ( α = 0,05 ). Tahapannya perhitungan uji keacakan antara lain: 1.

  Hitung nilai median.

  Data yang lebih kecil dari median diberi tanda minus ( n ) dan data yang lebih ₁ besar atau sama dengan median diberi tanda tambah ( n ). ₂

  u

  2. ). Misalkan, data dengan pola (+) (-) mempunyai Hitung banyak runtun ( nilai runtun adalah 2.

  3. µ ) dan simpangan baku ( σ ) dengan rumus: Hitung nilai rata-rata ( 2 ⋅ n ⋅ n

  2 ⋅ n n ⋅ ( 2 n n − n − n )

  µ = + 1 dan σ = ^{1 2 1 2 1 2 1 2}

• n n
² _{1 2} ( n n ) ⋅ ( n n − ₁ + +

₂

_{1 2} 1 ) u − µ

  4. Z = Hitung nilai normal baku atau hitung

  σ

  Z Z Z

  Dengan ketentuan: Keacakan data dapat diterima jika − < < _{tabel hitung tabel}

  2.6 Uji Kolmogorov Smirnov ( QS-KS )

  Pengujian QS-KS digunakan sebagai alat bantu untuk menguji pola kedatangan yang diasumsikan Distribusi Poisson dan pola pelayanan yang juga diasumsikan DistribusiEksponensial. Tingkat signifikasi yang digunakan pada Uji Kolmogorov

  Smirnov adalah α = 0,05. Langkah-langkah dalam Pengujian QS-KS antara lain: 1.

  Menyusun data hasil pengamatan dari nilai terkecil sampai terbesar

  2. F (x )

  Hitung frekuensi kumulatif relatif atau a

  x − µ x _{i i}   Z

  3. = dengan µ =   dan Hitung nilai normal baku

  ∑

  σ n _{2 2}  

  − n ( x ) ( x ) _{i i}

  ∑ ∑ σ =

  − n ( n 1 )

  dengan:

  Z

  = nilai normal baku

  i x = nilai pengamtan ke-

  µ = nilai rata-rata σ = nilai standar deviasi n = jumlah pengamatan.

4. Hitung distribusi frekuensi kumulatif teoritis (area kurva normal atau F (x ) ). Luas area kurva normal dapat dilihat pada lampiran 1.

  _e 5. F (x ) dengan F (x ) . _{a e}

  Menghitung selisih antara

  6. D = | F ( x ) − F ( x ) | Menghitung D maksimum yaitu maks a e

  7. D dengan D dengan ketentuan asumsi tidak benar Bandingkan nilai maks

  

α

D D jika lebih besar dari . _maks

  α

  1 ,

  36

  n α D

  Jika lebih besar dari 35 dengan = 0,05 maka =

  α n

  2.7 Pola Kedatangan

  Distribusi Poisson adalah salah satu dari pola kedatangan yang paling sering digunakan jika penyebarannya dilakukan secara acak, hal ini terjadi karena Distribusi Poisson menggambarkan jumlah kedatangan per unit waktu sehingga waktu antar kedatangan adalah acak. Pola pertibaan dari banyak individu secara acak dalam antrian pada satu waktu, yaitu: _{x − λ}

  ( λ ) . e

  x P ( x ) = ; ≥ x !

  dengan:

  x

  = jumlah individu dalam antrian

  P (x ) = peluang bahwa n individu dalam antrian

  λ = kecepatan kedatangan rata-rata pada satu satuan waktu

  e ( = e 2,718)

  = bilangan natural

  2.8 Perhitungan Teori Antrian

  Bentuk kombinasi proses kedatangan dengan pelayanan pada umumnya di kenal sebagai standar universal atau disebut juga Notasi Kendalls (Kendall’s Notation), yaitu:

  2. Huruf c, dipergunakan bilangan bulat positif yang menyatakan jumlah pelayanan parallel.

  4. Simbol e dan f digunakan kode N atau menyatakan jumlah terbatas atau tak berhingga satuan-satuan dalam sistim antrian dan populasi masukan.

  d. PS

  c. SIRO

  b. LIFO atau LCFS

  a. FIFO atau FCFS

  3. Simbol d, dapat diganti dengan kode-kode sebagai berikut:

  c. EK = Menunjukkan Erlang

  (a/b/c) : (d/e/f) dengan:

  D = Waktu pelayanan tetap

  M = Distribusi kedatangan Poisson / pelayanan Eksponensial b.

  Simbol a dan b dapat diganti dengan kode-kode sebagai berikut: a.

  Notasi ini dapat diganti dengan kode-kode dari distribusi yang terjadi, yaitu: 1.

  e = jumlah maksimum yang diizinkan dalam sistim f = jumlah pelanggan yang masuk sistim sebagai sumber

  = disiplin pelayanan

  a = distribusi kedatangan b = distribusi waktu pelayanan atau keberangkatan c = jumlah pelayan dalam paralel d

2.8.1 Sistim Saluran Tunggal – Model (M/M/1) : (FIFO/ ∞/∞)

  Model ini mempunyai arti pola kedatangan yang mengikuti Distribusi Poisson dengan pola pelayanan yang mengikuti Distribusi Eksponensial dengan jumlah stasiun pelayanan dalam sistim adalah satu pelayan dan disiplin pelayanannya adalah First In First Out dengan jumlah maksimum yang diperkenankan berada dalam sistim dan besarnya populasi masukan adalah tak terbatas. Beberapa karakteristik perhitungan dasar teori antrian dalam bentuk

  = jumlah individu dalam sistim pada suatu waktu

  λ

  dengan:

  L

  λ = _q

  adalah ekspektasi jumlah rata-rata individu dalam antrian, maka: ) .( ² λ − µ µ

  L

  Misalkan _q

  2. Ekspektasi Jumlah Rata-rata Individu dalam Antrian

  Untuk meningkatkan kegunaan fasilitas yang harus diperhatikan adalah tingkat kedatangan rata-rata ( λ ) harus lebih kecil dari tingkat pelayanan rata- rata ( µ ).

  l = lama penelitian per satuan satuan s = waktu layanan rata-rata

  λ = tingkat kedatangan rata-rata µ = tingkat pelayanan rata-rata n

  µ

  = tingkat kegunaan fasilitas

  ρ

  dengan:

  1 = µ

  s

  dan

  l n = λ

  = ρ dengan

  Dalam sistim pelayanan tunggal tingkat kegunaan fasilitas dapat juga dikatakan sebagai tingkat kegunaan fasilitas yang dirumuskan dengan: µ λ

  1. Tingkat Kegunaan Fasilitas

  dan λ adalah sebagai berikut:

  = tingkat kedatangan rata-rata

  3. Ekspektasi Jumlah Individu dalam Sistim

  λ = tingkat kedatangan rata-rata µ = tingkat pelayanan rata-rata

  Perbedaan dari sistim saluran tunggal hanya pada jumlah stasiun yang beroperasi, pada sistim ini jumlah stasiun yang beroperasi lebih dari satu dengan jumlah maksimum yang diperkenankan dalam sistim adalah tidak terbatas dan populasi

  = tingkat pelayanan rata-rata

  λ = tingkat kedatangan rata-rata µ

  dengan:

  W

  1 _q

  =

  λ − µ µ λ

    

    

  

W adalah ekspektasi waktu individu dalam antrian, maka:

  Misalkan _q

  5. Waktu Rata-rata dalam Antrian

  dengan:

  Misalkan _s

  W

  1 _s

  λ =

  λ λ − µ

  λ − µ =

  

W adalah ekspektasi waktu individu dalam sistim, maka:

  Misalkan _s

  4. Waktu Rata-rata dalam Sistim

  λ = tingkat kedatangan rata-rata µ = tingkat pelayanan rata-rata

  dengan:

  L

  2 λ − µ µ λ = _s

  

L adalah ekspektasi jumlah individu dalam sistim, maka:

) .(

2.8.2 Sistim Saluran Ganda – Model (M/M/C) : (FIFO/ ∞/∞)

1. Tingkat Kegunaan Fasilitas

  P b _o ^{o c}

  − ⋅    

    µ λ

  =

  1 1 !

!

  1 dan 1 ! ) ( c n c μ c c

  μ

n

n

μ

  P c c P

  dengan:

     

  ) (b P

  = peluang pada kondisi sibuk _o

  P = peluang tidak ada individu dalam sistim λ

  = tingkat kedatangan rata-rata

  c

  = banyak stasiun pelayanan

  µ

  = tingkat pelayanan rata-rata

    µ λ

  





   λ =

  masukan yang tidak terbatas.Parameter-parameter dari sistim ini adalah pelayan atau saluran ganda, pola kedatangan mengikuti Distribusi Poisson, waktu pelayanan mengikuti Distribusi Eksponensial dan antrian tak berhingga.

  c

  Sistim saluran dengan banyak stasiun pelayanan yang dioperasikan lebih dari satu atau c

  ≥ 2,

  Tingkat kegunaan fasilitas yaitu:

  c μ

  λ = ρ dengan:

  ρ = tingkat kegunaan fasilitas λ

  = tingkat kedatangan rata-rata

  = banyak stasiun pelayanan

          



  μ

  = tingkat pelayanan rata-rata 2.

   Peluang Masa Sibuk

  Misalkan ) (b P adalah peluang masa sibuk, maka:

  ∑ − = 

       λ −

     

    λ

•     

3. Ekspektasi Jumlah Individu Menunggu dalam Antrian

  L

  Dimisalkan adalah ekspektasi jumlah individu rata-rata dalam antrian, _q maka:

• c
¹

    λ

  ⋅ P _o  

  µ  

  L = _{q 2} c ⋅ c ! ⋅

  1 − ρ

  ( ) ( )

  dengan:

  L _{o q} = ekpektasi individu menunggu dalam antrian P = peluang tidak ada individu dalam sistim c

  = banyaknya stasiun pelayanan

  ρ

  = tingkat kegunaan fasilitas 4.

   Ekspektasi Jumlah Individu dalam Sistim

  Misalkan L adalah ekspektasi jumlah individu rata-rata yang berada dalam _s sistim total, maka: λ _{s q} = + L L µ dengan:

  L = jumlah individu rata-rata dalam sistim _s L _q = ekspektasi jumlah rata-rata yang menunggu dalam antrian

  λ

  = rata-rata kedatangan

  µ

  = rata-rata waktu pelayanan 5.

   Ekspektasi Waktu Rata-rata dalam Antrian

  Waktu rata-rata dalam antrian dapat dirumuskan sebagai:

  L _q W = _q λ

  dengan:

  W = ekspektasi waktu rata-rata dalam antrian _q L = ekspektasi jumlah rata-rata yang menunggu dalam antrian _q λ

  = tingkat kedatangan rata–rata

6. Ekspektasi Waktu Rata-rata dalam Sistim

  Waktu rata-rata dalam sistim adalah dirumuskan sebagai berikut: λ

  = ^s _s

  L W

  dengan: _s

  W = ekspektasi waktu rata-rata dalam sistim _s L = jumlah individu rata-rata dalam sistim λ = tingkat kedatangan rata–rata