Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma
B. Bentuk Akar
dalam perhitungan yang melibatkan
Pada bentuk akar berlaku:
pangkat, akar, dan m 1) a = a n
logaritma.
manb × =× mnab ×
ma m a
A. Bentuk Pangkat
= nb n b
Bentuk pangkat meliputi: pangkat bulat positif,
mn
pangkat bulat negatif, dan pangkat nol. m 4) × a = a × a
Secara umum perpangkatan bulat positif suatu
bilangan real didefinisikan:
= n mn m
a n = a × a × a × ... × a
C. Logaritma
sebanyak n faktor Logaritma merupakan invers (kebalikan) dari per- pangkatan, sehingga dapat didefinisikan sebagai
Sifat-sifat bilangan berpangkat bilangan bulat untuk
berikut.
a , b ∈ R; m, n ∈ B ; a ≠ 0, b ≠ 0 (R = himpunan bilangan real dan B = himpunan bilangan bulat) berikut.
=a x n ⇔ a log x = n
m 1) a × a n = a m +n a m
m − n untuk a > 0, a ≠ 1 dan x > 0.
a = bilangan pokok atau basis logaritma
4) (ab) ×b x = numerus, bilangan yang dicari logaritmanya,
=a n n
x >0 n = hasil logaritma, nilainya dapat positif, nol, atau
negatif
Sifat-sifat logaritma:
1) a log a = 1
2) a log 1 = 0
3) a log x + a log y = a log (x . y)
4) a log x – a log y = a log x y
5) a log x n = n. a log x
log x log x = c log a
6) a
7) a log x =
a a log
8) a log x = x
9) a . log x
log x =
10) a
log =− log x 1 x
11) a log a x =− log x
12) a log x . x log y = a log y
13) a log a n =n
14) log 2 x = log x . log x
15) log x =
-1
log x
Persamaan kuadrat
Pelaj aran
dan Fungsi
Kelas X Semester 1
B. Persamaan Kuadrat
Bentuk umum persamaan kuadrat: Memecahkan
Standar Kompetensi
Kompetensi Dasar
2 ax + bx + c = 0 ; a, b, c ∈ R, a ≠ 0 masalah yang
Memahami konsep
fungsi.
Akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan fungsi, persamaan
berkaitan dengan
Menggambar
grafik fungsi aljabar
dengan:
dan fungsi
sederhana dan
memfaktorkan;
kuadrat serta
melengkapkan bentuk kuadrat sempurna; pertidaksamaan menggunakan rumus abc: kuadrat.
fungsi kuadrat.
−± b b 2 − 4 ac x 1,2 =
A. Pengertian Relasi dan Fungsi
Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat: pemasangan ang gota-anggota himpunan A dengan
1) jumlah akar-akar persamaan kuadrat: anggota-anggota himpunan B. Sedangkan suatu
x +x = −
fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu
relasi yang memasangkan setiap anggota A dengan
2) hasil kali akar-akar persamaan kuadrat: tepat satu anggota B.
Fungsi f dari himpunan A ke B ditulis:
x 1 .x 2 =
:A f → B C. Fungsi Kuadrat
Bentuk umum fungsi kuadrat: (dibaca: fungsi f memetakan A ke B)
Pada fungsi f : A →
B berlaku:
(x) = ax + bx + c, a ≠ 0, a, b, c ∈ R
1) Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari Cara-cara menentukan fungsi kuadrat:
f , ditulis Df.
a. jika diketahui titik potong dengan sumbu x di
2) Himpunan B disebut daerah kawan (kodomain) dari f.
(x 1 , 0) dan (x 2 , 0)maka y = f(x) = a (x – x 1 ) (x – x 2 );
3) Himpunan dari semua peta f di B disebut daerah
b. jika diketahui koordinat titik puncak (titik balik) hasil
nya P (p,q), maka y = f(x) = a(x – p) 2 (range) dari fungsi tersebut, ditulis Rf. + q;
c. jika melalui tiga titik yang diketahui, digunakan
y = ax 2 + bx + c.
Pelaj aran
Sistem Persamaan
Kelas X Semester 1
2) Sistem persamaan linear dengan tiga variabel. Standar Kompetensi
Kompetensi Dasar
Bentuk umumnya:
++= kx ly mz n ;
masalah yang
sistem persamaan
berkaitan dengan
linear dan sistem
px qy rz + += s
sistem persamaan
persamaan
a, b, c, d, k, l, m, n, p, q, r, s = bilangan real. linear dan
campuran linear dan
pertidaksamaan satu
kuadrat dalam dua
variabel.
variabel.
Sistem persamaan linear dengan persamaan
Merancang model
kuadrat. Bentuk umumnya:
matematika dari
masalah yang
y = ax b +
berkaitan dengan
y = px + qx r +
2 ; a, b, p, q, r = bilangan real.
sistem persamaan linear.
Sistem persamaan kuadrat dengan dua variabel.
Menyelesaikan
Bentuk umumnya:
model matematika dari masalah yang
= 2 y ax + bx c +
berkaitan dengan
2 y ; a, b, c, p, q, r = bilangan real. = px + qx r +
sistem persamaan
linear dan penafsirannya.
B. Himpunan Penyelesaian Sistem Persamaan
Untuk mencari himpunan penyelesaian sistem
persamaan linear dengan dua variabel dan Sistem persamaan linear terdiri atas dua atau
A. Sistem Persamaan Linear
persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan lebih persamaan linear. Sistem persamaan linear
beberapa cara, yaitu:
terbagi atas:
1) substitusi,
1) Sistem persamaan linear dengan dua variabel.
2) eliminasi, dan
Bentuk umumnya:
3) gabungan substitusi dan eliminasi.
ax + by = c ; a, b, c, p, q, r = bilangan real. px + qy = r
Pelaj aran
Pertidaksamaan
Kelas X Semester 1
1) Pertidaksamaan linear, yaitu suatu pertidak- Standar Kompetensi
samaan yang mempunyai variabel pangkat Memecahkan
Kompetensi Dasar
Menyelesaikan
satu.
masalah yang
Contoh : x + 4 < 2x + 7 berkaitan dengan
pertidaksamaan
2) Pertidaksamaan kuadrat, yaitu suatu pertidak- fungsi, persamaan
satu variabel yang
melibatkan bentuk
samaan yang mempunyai variabel pangkat dan fungsi
pecahan aljabar.
kuadrat serta
Merancang model dua.
pertidaksamaan
Contoh :x 2 – 2x + 4 < 7 kuadrat.
matematika dari
masalah yang
3) Pertidaksamaan pecahan, yaitu suatu pertidak-
berkaitan dengan
samaan yang mempunyai bentuk pecahan dan
pertidaksamaan satu
mengandung variabel x pada penyebutnya.
variabel.
2 x + Menyelesaikan 3
Contoh :
12 − x
model matematika
dari masalah yang
4) Pertidaksamaan nilai mutlak (harga mutlak),
berkaitan dengan
yaitu suatu pertidaksamaan yang mempunyai
pertidaksamaan
tanda mutlak. Pada pertidaksamaan nilai mutlak
satu variabel dan berlaku:
penafsirannya.
x >0 sama artinya –a < x < a.
x <0 sama artinya x < –a atau x > a.
A. Pengertian Pertidaksamaan
5) Pertidaksamaan bentuk akar, yaitu pertidak- Pertidaksamaan adalah suatu kalimat terbuka yang
samaan yang variabelnya terletak di bawah memuat satu variabel (peubah) atau lebih dan tanda-
tanda akar. Cara penyelesaiannya diawali tanda ketidaksamaan (<, >, ≤, atau ≥).
dengan menguadratkan kedua ruas.
Contoh: x −< 10
B. Jenis-Jenis Pertidaksamaan dan Penyelesai-
annya
Berdasarkan pangkat dari variabelnya (bentuk pertidaksamaan), pertidaksamaan dapat dibagi atas:
Pelaj aran
Logika Matematika
Kelas X Semester 2
A. Kalimat Terbuka, Pernyataan, dan Negasinya
Kalimat terbuka adalah suatu kalimat yang memuat Standar Kompetensi
Kompetensi Dasar
variabel, nilai kebenarannya belum dapat ditentukan, Menggunakan
Memahami
apakah bernilai benar atau salah. logika matematika
pernyataan dalam
dalam pemecahan
Pernyataan adalah suatu kalimat yang dapat masalah yang
matematika dan
ditentukan nilai kebenarannya, yaitu benar atau berkaitan dengan
ingkaran atau
salah, tetapi tidak dapat terjadi benar dan salah pernyataan
majemuk dan
nilai kebenaran
Ingkaran pernyataan (negasi penyataan) adalah pernyataan
dari suatu per-
berkuantor.
nyataan majemuk
kebalikan dari penyataan. Jika pernyataan benar,
dan pernyataan
ingkarannya salah, dan sebaliknya.
berkuantor. Merumuskan
Ingkaran dari p dinotasikan dengan ~p, dibaca:
pernyataan yang setara dengan tidak p atau bukan p atau tidak benar bahwa p
pernyataan majemuk
atau non-p.
atau pernyataan berkuantor yang
Contoh :
diberikan.
= Bandung adalah ibu kota Provinsi Jawa Barat.
Menggunakan (benar/B) prinsip logika
matematika yang
Ingkarannya:
berkaitan dengan
~ p = Bandung bukan ibu kota Provinsi Jawa Barat.
pernyataan majemuk
(salah/S)
dan pernyataan
~ p = Tidak benar bahwa Bandung adalah ibu kota
berkuantor
Provinsi Jawa Barat. (salah/S)
dalam penarikan kesimpulan dan
pemecahan masalah
Penyataan Majemuk
Pernyataan majemuk adalah penyataan yang terdiri dari dua pernyataan atau lebih dapat Pernyataan majemuk adalah penyataan yang terdiri dari dua pernyataan atau lebih dapat
p ⇒q Contoh: Hari ini mendung atau langit berwarna
B B B biru.
Jenis-Jenis Kalimat Majemuk
B Ada empat pernyataan majemuk, yaitu:
1) Konjungsi, yaitu gabungan antara dua
4) Biimplikasi, dibentuk dari (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p), pernyataan dengan memakai kata hubung
dinotasikan:
”dan”, dinotasikan:
p⇔q dibaca: p jika dan hanya jika q,
p ∧ q dibaca: p dan q p syarat cukup dan perlu untuk q,
Tabel kebenaran konjungsi: p ekuivalen dengan q
p ∧q
B B B Tabel kebenaran biimplikasi:
p ⇒q q ⇒p p ⇔q
2) Disjungsi, yaitu gabungan antara dua pernyataan dengan memakai kata hubung ”atau”, dinotasi-
B. Ingkaran Pernyataan Majemuk
kan: Ingkaran pernyataan majemuk terbagi atas.
1) Ingkaran dari konjungsi, berlaku: p ∨ q dibaca: p atau q.
~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q
Tabel kebenaran disjungsi:
2) Ingkaran dari disjungsi, berlaku:
p ∨q
~(p ∨ q) ≡ ~p ∨ ~q
B B B 3) Ingkaran dari implikasi, berlaku:
B ~(p → q) ≡ p ∧ ~q
B B 4) Ingkaran dari biimplikasi, berlaku: S
~(p ⇔ q) ≡ (p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~p)
3) Implikasi, yaitu gabungan antara dua pernyataan C. Konvers, Invers, dan Kontraposisi dengan memakai kata hubung ”jika …maka…”,
Dari implikasi p ⇒ q dapat dibentuk implikasi baru, dinotasikan:
yaitu: Konvers: q ⇒ p
p→ q dibaca: jika p maka q,
Invers: ~p ⇒ ~q dan
p hanya jika q,p syarat cukup untuk q,
Kontraposisi: ~q ⇒ ~p
q syarat perlu untuk p, atau q jika p q syarat perlu untuk p, atau q jika p
D. Pernyataan Berkuantor dan Ingkarannya
Jika p ⇒ q benar dan ~q benar maka
1) Pernyataan berkuantor universal, dinotasikan: pernyataan ~p bernilai benar. ∀p(x) (dibaca: “Untuk semua x, berlaku- p ⇒q lah p(x)”)
~p ∴ ~q
Ingkarannya:
c) Silogisme, berlaku:
~(“∀ p(x)) ≡ ∃x ~p(x) (dibaca: “ingkaran untuk semua x yang berlaku p(x) adalah
Jika p ⇒ q dan q ⇒ r keduanya ada x yang bukan p(x)”).
benar maka p ⇒ r juga benar.
p⇒q
2) Pernyataan berkuantor eksistensial, dinotasi-
∃(x) p(x)
2) Penarikan kesimpulan dari pernyataan ber- (dibaca: “Ada x sehingga berlaku p(x)”)
kuantor
Ingkarannya:
Contoh : p (x) : Jika suatu segitiga merupakan segitiga
~(∃x p(x)) ≡ ∀x ~p(x) (dibaca: “ingkaran sama kaki maka mempunyai dua sudut
beberapa x berlaku p(x) adalah semua x
sama besar.
bukan p(x)”). ≡ Setiap segitiga sama kaki mempunyai dua
sudut sama besar.
E. Penarikan Kesimpulan
Penarikan kesimpulan terbagi atas:
1) Penarikan kesimpulan dari pernyataan majemuk, dengan aturan:
a) Modus Ponens, berlaku: Jika p ⇒ q benar dan p benar maka pernyataan q bernilai benar. p ⇒q p ∴ q
Pelaj aran
Trigonometri
Kelas X Semester 2
A. Perbandingan Trigonometri
Rumus-rumus perbandingan trigonometri Menggunakan
Standar Kompetensi
Kompetensi Dasar
Melakukan
panjang sisi depan y = perbandingan,
manipulasi aljabar
1) sin α =
panjang sisi miring r fungsi, persamaan,
dalam perhitungan
dan identitas
teknis yang
cos α =
panjang sisi apit
trigonometri dalam
berkaitan dengan
panjang sisi miring r α
pemecahan masalah
perbandingan,
panjang sisi depan y tan α = =
fungsi, persamaan
panjang sisi apit x
dan identitas
2) sec α = 1 trigonometri. 1 ; cosec α = ;
cos α
sin α
Merancang model
matematika dari
cotan α = 1 ; cosec α = cos α ;
masalah yang
tan α
sin α
berkaitan dengan Perbandingan trigonometri sudut α dengan (90 perbandingan, o – α)
3) sin (90° – α ) = cos α .
fungsi, persamaan
dan identitas
cos (90° – α) = sin α
trigonometri.
tan (90° – α) = cotan α
Menyelesaikan
model matematika
cotan (90° – α) = tan α
dari masalah yang
cosec (90° – α) = sec α
berkaitan dengan
sec (90° – α) = cosec α
perbandingan,
Perbandingan trigonometri sudut α dengan (180 o – α)
fungsi, persamaan
4) sin (180° – α) = sin α dan identitas
trigonometri, dan
cos (180° – α) = –cos α
penafsirannya.
tan (180° – α) = –tan α cotan (180° – α) = –cotan α cosec (180° – α) = sec α sec (180° – α) = -cot α
Perbandingan trigonometri sudut α dengan (180 o + α)
C. Identitas Trigonometri
5) sin (180° + α) = –sin α
Contoh identitas trigonometri:
2 2 cos (180° + α) = –cos α 1) sin a + cos a=1
2 tan (180° + α) = tan α 2 2) 1 + tan a = sec a
cotan (180° + α) = cotan α cosec (180° + α) = -cosec α
D. Persamaan Trigonometri
sec (180° + α) = -sec α Untuk k∈B (B = himpunan bilangan bulat), diperoleh persamaan sebagai berikut.
1) Jika sin x = sin a, maka:
x 1 = a + k . 360° x 2
= (180° – a) + k . 360°
Kuadran II
Kuadran I
2) Jika cos x = cos a, maka:
sinus positif
semua positif
x 1 = a + k . 360° x 2 = –a + k . 360°
3) Jika tan x = tan a, maka: Kuadran III Kuadran IV
tangan positif kosinus positif x = a + k . 180°
4) Jika cotan x = cotan a, maka: 270° x = a + k . 180°
B. Fungsi Trigonometri
E. Aturan Sinus, Aturan Kosinus, dan Rumus
Fungsi trigonometri dapat berbentuk sebagai Segitiga
Aturan sinus:
berikut.
1) f(x) = a sin (kx + b)
Aturan kosinus:
nilai maksimum = a nilai minimum = – a
2 2 2 A c 3) c B =a +b – 2ab cos C
2) f(x) = a cos (kx + b)
360 ° 2 p
Periode = = k
Luas segitiga:
1 1 L 1 ∆ ABC = bc . sin A L
= ac sin B ∆ =
nilai maksimum = a nilai minimum = – a ∆ ABC
L ∆ ABC = ab . sin C
3) f(x) = a tan (kx + b)
180 ° p Periode =
Tidak ada nilai maksimum dan minimum.
Pelaj aran
Ruang Dimensi Tiga
Kelas X Semester 2 Kedudukan suatu garis terhadap garis lain (dua garis) Standar Kompetensi
Kompetensi Dasar
dibedakan atas:
Menentukan
3) berpotongan kedudukan, jarak,
Menentukan
1) Berimpit
4) bersilangan dan besar sudut
kedudukan titik,
2) Sejajar
garis, dan bidang
yang melibatkan
dalam ruang dimensi
titik, garis, dan
tiga.
bidang dalam ruang Menentukan jarak dimensi tiga.
dari titik ke garis dan dari titik ke bidang
Kedudukan suatu bidang terhadap bidang lain (dua
dalam ruang dimensi tiga.
bidang) dibedakan atas:
Menentukan besar
1) Berimpit
sudut antara garis
2) Sejajar
dan bidang dan
3) Berpotongan
antara dua bidang dalam ruang dimensi tiga.
A. Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang pada Bangun Ruang
Kedudukan titik dibedakan atas:
B. Proyeksi Ruang
1) Titik terletak pada garis
Proyeksi ruang meliputi:
2) Titik terletak di luar garis
1) Proyeksi titik pada garis.
3) Titik terletak pada bidang
2) Proyeksi titik pada bidang.
4) Titik terletak di luar bidang
3) Proyeksi garis pada bidang.
Pelaj aran
Statistika dan Peluang
Kelas XI Semester 1
A. Statistika
Standar Kompetensi
Kompetensi Dasar
Perbedaan Pengertian Statistik dengan Statistika
Statistik merupakan kumpulan angka-angka dari Menentukan
Membaca data
kedudukan, jarak,
suatu permasalahan, sehingga dapat memberikan dan besar sudut
dalam bentuk tabel
gambaran mengenai masalah tersebut. Sedangkan yang melibatkan
dan diagram batang,
statistika adalah cara ilmiah yang mem pelajari titik, garis, dan
garis, lingkaran, dan
pengumpulan, pengaturan, perhitungan, peng- bidang dalam ruang Menyajikan data gambaran, dan penganalisisan data, serta penarikan
ogive.
dimensi tiga.
dalam bentuk tabel dan diagram batang,
kesimpulan yang valid berdasarkan penganalisisan
garis, lingkaran,
yang dilakukan, dan pembuatan kesimpulan yang
dan ogive serta
rasional.
penafsirannya. Menghitung ukuran
Penyajian Data Tunggal
pemusatan, ukuran letak, dan ukuran
Penyajian data dapat berupa:
penyebaran data,
1) Diagram batang, yaitu penyajian data dengan
serta penafsirannya.
menggunakan batang-batang berbentuk
Menggunakan
persegi panjang dengan lebar batang yang
aturan perkalian,
sama dan dilengkapi dengan skala tertentu
permutasi, dan kombinasi dalam
untuk menyatakan banyaknya tiap jenis data.
pemecahan masalah.
2) Diagram lingkaran, yaitu penyajian data statistik
Menentukan ruang
dengan menggunakan gambar yang berbentuk
sampel suatu
lingkaran, yang dibagi atas juring-juring.
percobaan. Menentukan 3) Diagram garis, yaitu penyajian data pada
peluang suatu
bidang Cartesius dengan menghubungkan
kejadian dan
titik-titik data pada bidang Cartesius (sumbu x
penafsirannya.
dan sumbu y), sehingga diperoleh suatu grafik berupa garis.
4) Diagram Batang daun, yaitu penyajian data yang dibagi atas dua bagian, yaitu bagian batang dan 4) Diagram Batang daun, yaitu penyajian data yang dibagi atas dua bagian, yaitu bagian batang dan
2) Tabel distribusi frekuensi kumulatif, meru pa- sedangkan bagian daun memuat angka
kan tabel frekuensi yang berisikan frekuensi satuan.
kumulatif (frekuensi hasil akumulasi).
5) Diagram kotak garis, yaitu penyajian data dalam Fre kuensi kumulatif adalah frekuensi yang bentuk kotak garis.
dijumlahkan, yaitu frekuensi suatu kelas di jumlahkan dengan frekuensi kelas
Penyajian Data Berkelompok
sebelumnya.
Apabila data cukup banyak maka data dikelompokkan dalam beberapa kelompok,
Ukuran Data Statistik
kemudian data tersebut disajikan dalam bentuk
a. Ukuran Pemusatan Data (Ukuran Tendensi
tabel distribusi frekuensi.
Sentral)
Langkah-langkah membuat tabel distribusi Ada tiga macam ukuran tendensi sentral, yaitu: frekuensi adalah sebagai berikut.
a) Rata-rata atau mean ( x ), yaitu jumlah seluruh
1) Urutkan data dari data terkecil ke data ter- nilai-nilai data dibagi dengan banyaknya data. besar.
1) Rata-rata untuk data tunggal (tidak ber-
2) Tentukan banyak kelas pada tabel distribusi fre- kelompok) , rumusnya: kuensi, dengan menggunakan metode Sturges:
x 1 + x + x ++ x ∑
nx
i k = 1 + 3,3 log n
2 3 x .... n i 1 = =
Keterangan:
k = banyak kelas n = banyak data
2) Rata-rata untuk data berkelompok, rumusnya:
3) Tentukan interval kelas dengan rumus: n fx i i
fx 11 + fx 22 + fx 33 ++ .... fx ∑
nn = i = 1
f 1 ++++ f 2 f 3 .... f n k
Keterangan:
3) Rata-rata sesungguhnya, rumusnya: R = range = jangkauan = data tertinggi – data
I = interval kelas
k = banyak kelas
∑ fd i i
terendah
4) Tentukan batas atas kelas (Ba) dan batas bawah n ∑
kelas (Bb).
Tabel distribusi frekuensi dapat dibedakan atas:
4) Rata-rata sesungguhnya dengan mem-
1) Tabel distribusi frekuensi relatif: mempunyai faktorkan interval kelasnya, rumusnya: frekuensi relatif dalam bentuk persentase
(%). Besarnya frekuensi relatif dapat ditentu-
kan dengan rumus:
∑ fu ii
x = x + i = 1 0 n I Fungsi relatif kelas ke-k =
i = 1 frekuensi kelas ke- = k ×
banyak data
Keterangan:
Kuartil terbagi atas:
x (eksbar) = rata-rata data Kuartil bawah (Q 1 ), terletak pada data n
= jumlah semua bobot data
urutan ke-¼ (n + 1)
x 0 = rata-rata sementara Kuartil tengah (Q ), terletak pada data
f i = bobot untuk nilai-nilai x i 2
x = nilai data ke-I
i urutan ke-½ (n + 1)
I = interval kelas Kuartil atas (Q 3 ), terletak pada data urutan u == d
I = faktor interval
ke-¾ (n + 1) Rumus kuartil untuk data berkelompok:
b) Median (Md), yaitu nilai yang terletak di tengah deretan data setelah diurutkan dari yang ter kecil.
n fk − Q j
Rumus median untuk data berkelompok:
I Keterangan:
Qj = kuartil ke-j (j = 1, 2, 3) Tb Qi
= tepi bawah kelas yang memuat Qj Md = median
Keterangan:
n = jumlah seluruh frekuensi Tb
= tepi bawah kelas fk Qi = frekuensi kumulatif kurang dari di bawah fk
= frekuensi kumulatif kelas yang memuat Qj f Qi = frekuensi kelas yang memuat Qj
c) Modus (Mo), yaitu data yang paling sering I = lebar atau panjang kelas (interval kelas) muncul atau yang mempunyai frekuensi terbanyak.
b) Desil , yaitu ukuran letak yang membagi Rumus modus data kelompok adalah
sekumpulan data menjadi 10 bagian. Rumus desil untuk data berkelompok:
f D j Mo = modus
d 1 = selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya
Keterangan:
d 2 = selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya
Dj = desil ke-j (j = 1, 2, 3, …, 9) Tb Di = tepi bawah kelas yang memuat Dj
n = jumlah seluruh frekuensi Ukuran letak suatu data dapat dinyatakan dalam fk Di = frekuensi kumulatif kurang dari di
b. Ukuran Letak
bentuk fraktil. bawah kelas yang memuat Dj
Fraktil adalah nilai-nilai yang membagi sepe- f Di = frekuensi kelas yang memuat Dj
I = lebar atau panjang kelas (interval kelas) rangkat data yang telah berurutan menjadi beberapa
bagian yang sama, yaitu:
c) Persentil , yaitu ukuran letak yang membagi
a) Kuartil, yaitu ukuran letak yang membagi sekum- sekumpulan data menjadi 100 bagian. Rumus pulan data tersebut menjadi 4 bagian yang kuartil untuk data berkelompok: sama.
B. Peluang
n fk − Permutasi
P j = Tb
P j + I Permutasi adalah urutan yang mungkin dari sejumlah
unsur yang berbeda tanpa adanya pengulangan.
Rumusnya:
Keterangan: Pj = kuartil ke-j (j = 1, 2, 3, …, 99)
Tb nr P =
Pnr (,) =
( nr − ) !
atau
= tepi bawah kelas yang memuat Pj
( nr − ) !
Pi
n = jumlah seluruh frekuensi fk Pi = frekuensi kumulatif kurang dari di bawah
kelas yang memuat Pj Di mana k ≤ n f Pi = frekuensi kelas yang memuat Pj
Permutasi terbagi atas:
I = lebar atau panjang kelas (interval kelas)
1) Permutasi dengan beberapa objek sama, ber-
laku:
c. Ukuran Penyebaran Data (Dispersi)
a) Banyaknya permutasi dari n objek dengan Ukuran penyebaran data terbagi atas: r objek sama (r < n) adalah
a) jangkauan atau range (R), berlaku:
R =X maks –X min
nr P =!
b) simpangan rata-rata atau deviasi rata-rata (SR),
b) Banyaknya permutasi dari n objek, di mana rumusnya:
ada beberapa objek sama, misalnya ada m 1 objek yang sama, ada m
2 objek yang sama
serta m 3 objek yang sama, dan seterusnya
= = SR = i = 1 SR = atau
fx = i i − x adalah
nn
c) simpangan baku/standar deviasi/deviasi standar
nmm P 1 , 2 , m 3,.... =
mm 1 ! 2 ! m 3 ! .... (SD), rumusnya:
2) Permutasi siklis, berlaku:
∑ Banyaknya permutasi siklis dari n objek =
SD = 1 i =
jika n > 30 (n – 1)!
Kombinasi
2 ∑ Banyaknya kombinasi r objek dari n objek ditulis (
n C r atau C r = adalah jika ≤ 30 n − 1
dengan
SD
rnr ! ( − ) !
d) simpangan kuartil atau jangkauan semi inter- kuartil (Q d ), rumusnya:
Keterangan:
Peluang Suatu Kejadian
1 Q d = simpangan kuartil
Peluang (P) merupakan ukuran mengenai kemung-
2 Q 3 = simpangan atas Q 1 = simpangan bawah
kinan suatu kejadian tertentu akan terjadi dalam suatu percobaan. Jika hasil suatu percobaan yang kinan suatu kejadian tertentu akan terjadi dalam suatu percobaan. Jika hasil suatu percobaan yang
Kejadian Majemuk
maka himpunan itu disebut ruang sampel yang Pada kejadian majemuk berlaku: dilambangkan dengan S.
Peluang kejadian saling asing atau kejadian saling lepas:
Peluang P untuk terjadinya suatu kejadian E adalah
P (A ∪ B) = P(A) + P(B)
nE PE () =() Untuk peluang kejadian sembarang A dan B ber laku:
nS ()
Keterangan:
P (A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) P (E) = peluang kejadian yang diharapkan sukses
n (E) = banyaknya anggota kejadian E n (S) = banyaknya anggota ruang sampel (banyaknya
Pada kejadian A dan B saling bebas, kejadian A tidak kejadian yang mungkin terjadi)
memengaruhi kejadian B atau kejadian B tidak memengaruhi kejadian A, sehingga berlaku:
Peluang komplemen suatu kejadian berlaku: P (E C ) = 1 – P(E)
P (A ∩ B) = P(A) × P(B)
Keterangan:
Dua buah kejadian disebut kejadian tidak saling ) = peluang komplemen suatu kejadian
P (E C
P (E) = peluang yang diharapkan sukses
bebas berlaku:
Frekuensi Harapan
P (A ∩ B) = P(A) × P(B| A)
Jika suatu percobaan dilakukan n kali maka peluang kejadian yang diharapkan adalah P(E). Perkalian
Peluang bersyarat P(B| A) artinya peluang terjadinya antara berapa kali percobaan dilakukan dengan
B setelah A terjadi
peluang kejadian itu dinamakan frekuensi harapan (f h ), ditulis dengan:
f h (E) = n × P(E)
Keterangan:
f h (E) = frekuensi harapan P (E) = peluang kejadian E n = banyak kejadian
Pelaj aran
Kompisisi Dua Fungsi
dan Invers
Kelas XI Semester 2 memetakan setiap elemen dari P (domain) dengan tepat satu elemen dari Q (kodomain).
Standar Kompetensi
Kompetensi Dasar
Jika f memetakan suatu elemen x ∈ P ke suatu Menentukan
Menentukan
elemen y ∈ Q, fungsi f dari A ke B dapat ditulis komposisi dua
komposisi fungsi dari
y = f(x) dengan x sebagai peubah bebas dan y suatu fungsi.
fungsi dan invers
dua fungsi.
Menentukan invers
sebagai peubah terikat.
suatu fungsi.
Daerah asal (domain) fungsi y = f(x) adalah nilai- nilai x supaya y = f(x) ada nilainya (terdefinisi).
A. Pengertian Relasi dan Fungsi
Syarat agar suatu fungsi terdefinisi :
1. Produk Cartesius Jika terdapat himpunan P dan Q yang tidak
* y = fx () → syarat f x () ≥ 0
fx ()
kosong, produk cartesius dari himpunan P dan
→ gx () ≠ 0
gx ()
Q adalah himpunan pasangan terurut (x, y)
dengan x ∈ P, y ∈ Q, ditulis sebagai berikut.
* fx y = ()
log () x
→ syarat g x () > 0 dan f x () > 0, fx () ≠ 1
P × Q = {(x, y) x ∈ P dan y ∈ Q}
2. Relasi Daerah hasil (range) fungsi y = f(x) adalah nilai-nilai Relasi atau hubungan R dari himpunan P ke y yang dipengaruhi oleh domain fungsi (D f ) . himpunan Q adalah sembarang himpunan Menentukan range (daerah hasil) dari fungsi bagian dari produk cartesius P × Q dengan x ∈ kuadrat y = f(x) = ax 2 + bx + c adalah sebagai P, y ∈ Q, ditulis sebagai berikut:
berikut.
R = {(x, y) x ∈ P dan y ∈ Q}
Untuk D f = {xx ∈ R}
Jika a > 0, daerah hasilnya R f = {yy > y e ,
3) Fungsi
y ∈ R}
Suatu fungsi f atau peme-
Jika a < 0, daerah hasilnya R f = {yy < y e , taan f dari himpunan P
ke himpunan Q adalah 2 b − 4 ac y ∈ R} dengan y e =−
suatu relasi khusus yang
Untuk D f = {xp < x < q, x ∈ R}
D. Komposisi Fungsi
- Jika absis titik puncaknya x e =− Jika fungsi f: A → B dan fungsi g: B → C, fungsi h:
di dalam interval domain, tentukan
A → C disebut fungsi komposisi yang ditentukan f(x e ), f(p), dan f(q), sehingga: R f = {yf min oleh rumus sebagai berikut.
<y<f maks , y∈ R} h=g o f=g o f(x) = g o {f(x)} = (g o f)(x)
Jika absis titik puncaknya (x e ) di luar
interval domain, tentukan f(p), dan f(q), Syarat agar fungsi g dan fungsi f dapat dikom-
sehingga: R f = {yf min <y<f maks , y∈ R}.
posisikan menjadi (g o f ) adalah sebagai berikut.
Irisan antara daerah hasil fungsi dengan daerah Fungsi dari himpunan P ke Q
B. Sifat-sifat Fungsi
asal fungsi g bukan himpunan kosong. disebut satu-satu (one-one
(R f ∩R g )≠0
/ injektif ) jika setiap elemen
Daerah asal fungsi komposisi (g o f ) adalah dari P hanya mempunyai
himpunan bagian dari daerah asal fungsi f. satu peta di Q dan tidak harus semua elemen
() gf o
Daerah hasil fungsi komposisi (g o f ) adalah Fungsi dari himpunan P ke
dari Q terpetakan dari P.
himpunan bagian dari daerah hasil fungsi g. himpunan Q disebut pada
R () gf o ⊆ R f
(onto / surjektif ) jika setiap Sifat fungsi komposisi: tidak komutatif elemen dari himpunan Q
g o f(x) ≠f o g(x) .
habis terpetakan (mempunyai minimal satu
E. Fungsi Invers
pasangan dengan elemen himpunan P). Tidak semua fungsi invers merupakan fungsi Fungsi dari himpunan P
invers dan invers fungsi yang merupakan fungsi ke himpunan Q disebut
disebut fungsi invers.
korespondensi satu-satu Suatu fungsi f : A B mempunyai fungsi invers (one-one onto / bijektif ) jika fungsi itu injektif
f -1 : B A jika semua elemen himpunan A dan dan onto).
elemen himpunan B berkorespondensi satu- satu.
notasi fungsi invers adalah jika f(x) = y, f -1 (y) = x Jika f dan g adalah dua fungsi yang diketahui, maka
C. Aljabar Fungsi
atau y -1 =f (x).
fungsi yang merupakan jumlah, selisih, hasil kali, Langkah menentukan fungsi invers dari y = f(x) dan hasil bagi kedua fungsi tersebut masing-masing
adalah:
sebagai berikut.
Mengubah fungsi y = f(x) dalam bentuk x * ( f + g )( ) ( ) x = fx + gx () , dengan D ( fg + ) = D f ∩ D g sebagai fungsi y.
* -1 (
f − g )( ) ( ) ( ) x = fx − gx , dengan D ( fg − ) = D f ∩ D g - Mengganti y pada f (y) dengan x untuk * -1 ( )( ) ( ) ( )
fg . x = fxgx . , dengan D () fg . = D f ∩ D g mendapatkan f (x) .
-1 f fx Sifat komposisi fungsi invers : f o g = (g o f)
-1 -1
* ()() x = , dengan D = D f ∩ D g dan gx () ≠ 0
g gx
() f
g
F. Hubungan komposisi dan invers
G. Rumus-rumus
Jika (g o f )(x) = h(x), maka diperoleh:
1. (f ± g) (x) = f(x) ± g(x)
1. h -1 (x) = (g f ) -1 (x) = (f -1 g -1 )(x) = f -1 -1
(g (x))
2. (f × g) (x) = f(x) × g(x)
oo
2. (f g) -1 (x) = (g -1 -1 o )(x) = g -1 (f -1 o f (x))
f fx ()
3. () x =
dengan g(x) ≠ 0
x
gx ()
3. g(x) = (h o f -1 )(x)
4. f () x = {} fx ()
4. f(x) = (g -1 h )(x)
xb − n
-1
5. fx () = ax +→ b f () x = a
-1
6. fx () = ax b +→ f () x =
ax b +
- dx b +
7. fx () =
→ f -1 () x = ; x ≠
cx d +
cx a −
Pelaj aran
Limit Fungsi
Kelas XI Semester 2
A. Pengertian Limit
Standar Kompetensi
Kompetensi Dasar
1. Limit suatu fungsi f(x) untuk x mendekati nilai
a adalah harga yang paling dekat dari f(x) pada Menggunakan
Menghitung limit
fungsi aljabar
konsep limit fungsi
saat x mendekati nilai a.
sederhana di suatu
dan turunan fungsi
2. Jika
x lim ( ) → a
fx = L , artinya L adalah nilai pendekatan
titik.
dalam pemecahan
Menggunakan sifat untuk x di sekitar a.
masalah.
limit fungsi untuk menghitung bentuk
B. Teorema Limit
tak tentu fungsi
1. Jika f(x) = x, maka lim ( ) fx = a x
→ aljabar. a Menggunakan sifat
2. Jika c konstanta, maka lim . ( ) cfx = c x fx → a . lim ( ) x → a
dan aturan turunan
3. lim ( ) { fx ± gx () } = lim ( ) lim ( ) fx ± dalam perhitungan gx x → a x → a x → a
turunan fungsi aljabar.
4. lim ( ). ( ) fxgx
} = lim ( ). lim ( ) fx → gx a { x → a x → a
Menggunakan
turunan untuk
5. fx () lim ( ) fx
= x → a , untuk lim ( ) 0 gx ≠
karakteristik suatu
fungsi aljabar dan
x → a x {} ( x )
Merancang model
untuk n bilangan asli
matematika dari masalah yang
C. Limit Fungsi Aljabar
berkaitan dengan
Langkah umum penyelesaian limit fungsi aljabar
ekstrem fungsi
x lim ( ) → a
fx adalah sebagai berikut.
aljabar.
Menyelesaikan
1. Substitusi nilai x = a ke f(x).
model matematika
2. Jika hasilnya bentuk tak tentu ∞ 0 , , ∞−∞ dari masalah , ∞
yang berkaitan
f(x) harus diuraikan.
dengan ekstrem
3. Jika hasilnya bentuk tertentu, itulah nilai
fungsi aljabar dan
limitnya.
penafsirannya.
D. Jenis Limit untuk x → c
F. Jika x → ∞ dengan hasil ∞ – ∞,
1. Jika x → c dan c adalah konstanta, fungsi f(x) fungsi f(x) diurai kan dengan cara dikali sekawan diuraikan dengan cara faktorisasi.
untuk fungsi yang mengandung bentuk akar,
2. Untuk fungsi f(x) yang mengandung bentuk kemudian membagi pembilang dan penyebut akar, kalikan dengan sekawannya terlebih
dengan x pangkat tertinggi. dahulu, baru masukkan nilai limitnya.
Rumus jumlah dan selisih akar
lim ( ax + b + cx + d ) = 0, untuk a c =
∞ , untuk a c >
x ∞ →∞ 0 −∞ , untuk a c < fungsi f(x) diuraikan dengan cara membagi
E. Jika x → ∞ dan hasilnya
atau ,
pembilang dan penyebut dengan x pangkat
∞ , untuk a c > lim ( ax + b − cx + d = ) 0, untuk a c =
tertinggi.
x →∞
−∞ , untuk a c <
∞ , untuk m > n
ax m + ax m − 1 1 2 + ...
= n 1 1 , untuk m = n
lim n −
Rumus selisih akar kuadrat
x →∞ bx 1 + bx 2 + ...
b 1 0, untuk m < n
∞ , untuk a p >
2 2 bq −
lim
→∞ untuk a p
ax ++− bx c px ++ qx r =
−∞ , untuk a p <
Pelaj aran
Integral
Kelas XII Semester 1
C. Penerapan Integral Tentu
Standar Kompetensi
Kompetensi Dasar
1. S = v dt ∫
Menggunakan
Memahami konsep
a dt konsep integral
2. V =
integral tak tentu
dalam pemecahan
dan integral tentu.
D. Integral Tertentu
masalah sederhana. Menghitung
integral tak tentu
() f x dx = Fx b () a = Fb () − Fa ∫ ()
dan integral tentu
dari fungsi aljabar
Fx ( ) antiturunan ( ) = fx
sederhana.
a = batas bawah
Menggunakan
b = batas atas
integral untuk
menghitung luas
E. Sifat-Sifat Integral Tertetu
daerah di bawah
kurva.
1. k dx k b a = ( − ∫ )
A. Integral Tak Tentu a
2. () f x dx = ∫ 0
1. dx =+ ∫ xc
2. () df x = fx () + c ∫
3. k f x dx k f x dx () = ()
b 3. a adx = ax c ∫ +
4. ∫ () f x dx =− ∫ () f x dx
x n + 1 a + b c dengan n ≠ ∫ 1
4. x dx n =
() f x dx + () f x dx = () a f x dx 5. ∫ ∫ ∫
x n + 1 + c dengan n ≠− 1 a b ∫ a
5. ax dx n =
n + 1 ax b + n + n 1 ( )
+ c dengan a ≠ ∫ 0
6. ( ax b dx + ) =
an ( + 1)
B. Sifat-Sifat Integral
1. kf x dx () = k f x dx ∫ () ∫
2. ( ( ) fx ± ( )) g x dx = () f x dx + g x dx ∫ ∫ ∫ ()
F. Luas Bidang Datar
H. Integral Fungsi Trigonometri
1. Dibatasi Oleh Kurva dan Sumbu X
4. ∫ cosec 2 x dx = - cot x + c
5. ∫ sec x tan x dx = sec x + c
b b b 6. ∫ cosec x cot x dx = - cosec x + c Luas D 1 =
− () f x dx ∫ = () f x dx Luas D 2 = ∫
a ∫ () a f x dx a
I. Integral Substitusi Trigonometri
2. Luas Antara Dua Kurva Substitusi Hasil
Fungsi Integral
dengan Substitusi
Luas D = [() fx − ( )] g x dx
x=a sin α
a cosα
G. Volume Benda Putar
1. Mengelilingi Sumbu X
J. Panjang Busur
Volume = [ ( )] fx 2 dx
x=b
2. Mengelilingi Sumbu Y
b dy
2 S=
Volume = π ∫ fy dy
dx
a dx
Pelaj aran
Program Linear
Kelas XII Semester 1
B. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
Standar Kompetensi linear Kompetensi Dasar Menyelesaikan
Daerah penyelesaian dari masalah program linear, yaitu masalah program
Menyelesaikan
model matematika yang berbentuk pertidaksamaan linear.
sistem
pertidaksamaan
linear ax + by < ab atau ax + by > ab.
linear dua variabel.
Daerah penyelesaian dapat ditentukan dengan
Merancang model cara: matematika dari
masalah program
1. Jika ax + by < ab maka daerah penyelesaian
linear.
berada di sebelah kiri garis, dengan syarat
Menyelesaikan
koefisien x positif (a > 0).
model matematika
2. Jika ax + by > ab maka daerah penyelesaian
dari masalah
berada di sebelah kanan garis, dengan syarat
program linear dan penafsirannya.
koefisien x positif (a > 0).
A. Persamaan garis lurus
Letak kiri dan kanan daerah penyelesaian,
1. Persamaan garis yang dengan syarat koefisien x positif ( a > 0 ) bergradien m dan melalui
kiri (≤)
kanan (≥)
kiri (≤) titik (x
1 ,y 1 ) adalah:
kiri (≤) kanan (≥)
2. Persamaan garis yang
C. Fungsi Tujuan (Objektif /Sasaran), Nilai Mak-
melalui dua titik (x 1 ,y 1 )
si mum, dan Nilai Minimum
dan (x 2 ,y 2 ) adalah:
1. Fungsi tujuan adalah nilai f untuk x dan y tertentu y − y 1 x − x
dari suatu program linear, dan dinyatakan f(x, y) =
2. nilai fungsi sasaran yang dikehendaki adalah
kondisi x dan y yang menyebabkan maksimum
3. Persamaan garis yang
atau minimum
melalui titik (0, a)
3. Pada gambar HP program linear, titik-titik dan (b, 0) adalah:
sudut merupakan titik-titik kritis, dimana nilai ax + by = ab
minimum atau maksimum berada. Apabila minimum atau maksimum berada. Apabila
simpulkan cara penentuan titik kritis sebagai ditentukan tanpa harus digambar grafiknya.
berikut.
1. Pilih titik potong kurva dengan sumbu Y atau sumbu X yang terkecil (0, a) dan (q,
Titik kritis ada 3:
0) jika tujuannya maksimumkan atau
(0, a), (x, y), dan (n, 0)
yang terbesar (0, p), (b, 0) jika tujuannya minimumkan .
2. Titik potong antara kedua kurva (x, y)
Titik kritis ada 3 : (0, m), (x, y), dan (b, 0)
Pelaj aran
Matriks
Kelas XII Semester 1
Standar Kompetensi
Kompetensi Dasar
Menggunakan
Menggunakan sifat-
apbq + + cr + A+B=
+ d + s + + et + + + f + u + pemecahan masalah.
matriks dalam
sifat dan operasi
matriks untuk
menunjukkan bahwa
1) Sifat penjumlahan matriks
suatu matrik persegi
Jika A, B, dan C matriks-matriks berordo
merupakan invers
sama, berlaku:
dari matriks persegi
(a) Sifat Komutatif: A + B = B + A;
lain. Menentukan
(b Sifat Asosiatif: (A + B) + C = A + (B +
determinan dan
C);
invers matriks 2 x 2.
(c) Terdapat matriks Identitas, yaitu matriks
Menggunakan
nol, sehingga: A + 0 = 0 + A = A;
determinan dan invers dalam
(d) Setiap matriks A mempunyai invers
penyelesaian sistem
penjumlahan yaitu matriks – A ,
persamaan linear
sehingga:
dua variabel.
A + ( –A ) = ( –A ) + A = 0
2) Pada pengurangan matriks bersifat:
1. Pengertian matriks
(a) Tidak Komutatif
a) Matriks merupakan susunan kumpulan bilangan
(b) Tidak Asosiatif
dalam bentuk persegi atau persegi panjang (c) Tidak terdapat unsur Identitas yang diatur menurut baris dan kolom;
b) Baris suatu matriks adalah susunan bilangan-
b) Perkalian Matriks
bilangan yang mendatar dalam matriks; Dua matriks A dan B dapat dikalikan bila banyak
c) Kolom suatu matriks adalah susunan bilangan- kolom matriks pertama (kiri) sama dengan bilangan yang tegak dalam matriks.
banyak baris matriks kedua (kanan)
2. Operasi hitung matriks
1) A mxn .B nxk =C mxk
a) Penjumlahan atau pengurangan matriks
2) B nxk .A mxn tidak dapat dikalikan Matriks A dan B dapat dijumlahkan atau
dikurangkan jika ordo A = ordo B
3. Transpos Matriks Apabila |A| = 0 |A| = 0, maka matriks A tidak
Transpos matriks A ( A ) adalah sebuah matriks yang mempunyai invers dan disebut matriks singular. disusun dengan cara menuliskan baris ke-I matriks
Apabila |A| ≠ 0 |A| ≠ 0, maka matriks A mempunyai
A menjadi kolom ke-I matriks A t . invers dan disebut matriks non singular.
ad
3) Sifat-sifat invers matriks
(1) A A =A A=I=
Beberapa sifat matriks transpos:
a) (A + B) t =A +B
tt
5. Penggunaan matriks dalam sistem per-
t b) ( A t ) =A
samaan linear
t c) (AB) t =B A
1) Cara Matriks
d) (KA) = KA , k merupakan konstanta -1 Jika persamaan AX = B, maka X = A B -1 Jika persamaan XA = B, maka X = B A
tt
4. Determinan dan invers matriks
2) Cara determinan
ax + by = p
1) Jika A = , maka determinan matriks A =
cx + dy = q
Dy |A|=
Dx
= ad – bc
maka x = = dan y y=
dengan
2) Jika A= − = , maka invers matriks A =
, Dy = c d −
, Dx =
Pelaj aran
Barisan dan Deret
Kelas XII Semester 2
d. Jumlah n suku pertama (S n ) Standar Kompetensi
Kompetensi Dasar
S n =U 1 +U 2 +U 3 +U 4 +... +U n–1 +U n
Menggunakan
n konsep barisan
Menentukan suku
S n = ( a + U n ) atau S n = { 2 a + () n − 1 b }
2 2 pemecahan masalah.
ke-n barisan dan
dan deret dalam
jumlah n suku deret
aritmetika dan
e. Hubungan suku pertama (a), suku tengah (U t ),
geometri. dan suku ke-n (U n ) Merancang model
matematika dari
masalah yang
berkaitan dengan
k letak suku tengah, banyaknya suku 2k – 1
deret. Menyelesaikan
S n =n.U t
model matematika
f. Sisipan dari masalah
yang berkaitan
b baru =
dengan deret
dan menafsirkan solusinya. 2. Barisan dan Deret Geometri
a. Bentuk umum barisan:
1. Barisan dan Deret Aritmatika
U 1 , U 2 ,U 3 ,U 4 ,...,U n
a. Bentuk umum barisan: r, ar, ar 2 , ar 3 ,. . . , ar n–1 U
1 , U 2 , U 3 , U 4 , ..., U n
b. Rasio (perbandingan) = r
a, a + b, a + 2b, a + 3b, . . . , a + (n – 1)b
r = 2 = 3 = U 4 = U ... = n
b. Beda (selisih) = b U 1 U 2 U 3 U n − 1
b=U 2 –U 1 =U 3 –U 2 =U 4 –U 3 =...=U n –U n–1
c. Suku ke-n (U n )
c. Suku ke-n (U n ) n–1 U
n = a + (n – 1)b
U n = ar
U n =S n –S
n =S n n–1
–S
n–1 n–1
3. Deret Geometri Tak Hingga
S n =U 1 +U 2 +U 3 +U 4 +... +U n–1 +U n
a. Konvergen (semakin mengecil), apabila limit
ar ( − 1 )
jumlah untuk n ∞ dapat ditentukan.
S n = , r > 1 atau Jumlah sampai tak hingga: r − 1
a S ∞ = , -1 < r < 1, r ≠ 0.
S n = , r < 1 b. Divergen (semakin menyebar/membesar),
1 − r apabila limit jumlah untuk n ∞ tidak dapat
e. Hubungan suku pertama (a), suku tengah (U t ),
ditentukan.
dan suku ke-n (U n ) Jumlah sampai tak hingga: U 2 t = aU . n
S ∞ =±∞ , r < -1 atau r > 1.
f. Sisipan r baru = k + 1 r