Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

B. Bentuk Akar

dalam perhitungan yang melibatkan

Pada bentuk akar berlaku:

pangkat, akar, dan m 1) a = a n

logaritma.

manb × =× mnab ×

ma m a

A. Bentuk Pangkat

= nb n b

Bentuk pangkat meliputi: pangkat bulat positif,

mn

pangkat bulat negatif, dan pangkat nol. m 4) × a = a × a

Secara umum perpangkatan bulat positif suatu

bilangan real didefinisikan:

= n mn m

a n = a × a × a × ... × a

C. Logaritma

sebanyak n faktor Logaritma merupakan invers (kebalikan) dari per- pangkatan, sehingga dapat didefinisikan sebagai

Sifat-sifat bilangan berpangkat bilangan bulat untuk

berikut.

a , b ∈ R; m, n ∈ B ; a ≠ 0, b ≠ 0 (R = himpunan bilangan real dan B = himpunan bilangan bulat) berikut.

=a x n ⇔ a log x = n

m 1) a × a n = a m +n a m

m − n untuk a > 0, a ≠ 1 dan x > 0.

a = bilangan pokok atau basis logaritma

4) (ab) ×b x = numerus, bilangan yang dicari logaritmanya,

=a n n

x >0 n = hasil logaritma, nilainya dapat positif, nol, atau

negatif

Sifat-sifat logaritma:

1) a log a = 1

2) a log 1 = 0

3) a log x + a log y = a log (x . y)

4) a log x – a log y = a log x y

5) a log x n = n. a log x

log x log x = c log a

6) a

7) a log x =

a a log

8) a log x = x

9) a . log x

log x =

10) a

log =− log x 1 x

11) a log a x =− log x

12) a log x . x log y = a log y

13) a log a n =n

14) log 2 x = log x . log x

15) log x =

-1

log x

Persamaan kuadrat

Pelaj aran

dan Fungsi

Kelas X Semester 1

B. Persamaan Kuadrat

Bentuk umum persamaan kuadrat: Memecahkan

Standar Kompetensi

Kompetensi Dasar

2 ax + bx + c = 0 ; a, b, c ∈ R, a ≠ 0 masalah yang

 Memahami konsep

fungsi.

Akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan fungsi, persamaan

berkaitan dengan

 Menggambar

grafik fungsi aljabar

dengan:

dan fungsi

sederhana dan

 memfaktorkan;

kuadrat serta

 melengkapkan bentuk kuadrat sempurna; pertidaksamaan  menggunakan rumus abc: kuadrat.

fungsi kuadrat.

−± b b 2 − 4 ac x 1,2 =

A. Pengertian Relasi dan Fungsi

Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat: pemasangan ang gota-anggota himpunan A dengan

1) jumlah akar-akar persamaan kuadrat: anggota-anggota himpunan B. Sedangkan suatu

x +x = −

fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu

relasi yang memasangkan setiap anggota A dengan

2) hasil kali akar-akar persamaan kuadrat: tepat satu anggota B.

Fungsi f dari himpunan A ke B ditulis:

x 1 .x 2 =

:A f → B C. Fungsi Kuadrat

Bentuk umum fungsi kuadrat: (dibaca: fungsi f memetakan A ke B)

Pada fungsi f : A →

B berlaku:

(x) = ax + bx + c, a ≠ 0, a, b, c ∈ R

1) Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari Cara-cara menentukan fungsi kuadrat:

f , ditulis Df.

a. jika diketahui titik potong dengan sumbu x di

2) Himpunan B disebut daerah kawan (kodomain) dari f.

(x 1 , 0) dan (x 2 , 0)maka y = f(x) = a (x – x 1 ) (x – x 2 );

3) Himpunan dari semua peta f di B disebut daerah

b. jika diketahui koordinat titik puncak (titik balik) hasil

nya P (p,q), maka y = f(x) = a(x – p) 2 (range) dari fungsi tersebut, ditulis Rf. + q;

c. jika melalui tiga titik yang diketahui, digunakan

y = ax 2 + bx + c.

Pelaj aran

Sistem Persamaan

Kelas X Semester 1

2) Sistem persamaan linear dengan tiga variabel. Standar Kompetensi

Kompetensi Dasar

Bentuk umumnya:

 ++= kx ly mz n ;

masalah yang

sistem persamaan

berkaitan dengan

linear dan sistem

  px qy rz + += s

sistem persamaan

persamaan

a, b, c, d, k, l, m, n, p, q, r, s = bilangan real. linear dan

campuran linear dan

pertidaksamaan satu

kuadrat dalam dua

variabel.

variabel.

Sistem persamaan linear dengan persamaan

 Merancang model

kuadrat. Bentuk umumnya:

matematika dari

masalah yang

 y = ax b +

berkaitan dengan

 y = px + qx r +

2 ; a, b, p, q, r = bilangan real.

sistem persamaan linear.

Sistem persamaan kuadrat dengan dua variabel.

 Menyelesaikan

Bentuk umumnya:

model matematika dari masalah yang

= 2  y ax + bx c +

berkaitan dengan

2 y ; a, b, c, p, q, r = bilangan real. = px + qx r +

sistem persamaan

linear dan penafsirannya.

B. Himpunan Penyelesaian Sistem Persamaan

Untuk mencari himpunan penyelesaian sistem

persamaan linear dengan dua variabel dan Sistem persamaan linear terdiri atas dua atau

A. Sistem Persamaan Linear

persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan lebih persamaan linear. Sistem persamaan linear

beberapa cara, yaitu:

terbagi atas:

1) substitusi,

1) Sistem persamaan linear dengan dua variabel.

2) eliminasi, dan

Bentuk umumnya:

3) gabungan substitusi dan eliminasi.

 ax + by = c  ; a, b, c, p, q, r = bilangan real.  px + qy = r

Pelaj aran

Pertidaksamaan

Kelas X Semester 1

1) Pertidaksamaan linear, yaitu suatu pertidak- Standar Kompetensi

samaan yang mempunyai variabel pangkat Memecahkan

Kompetensi Dasar

 Menyelesaikan

satu.

masalah yang

Contoh : x + 4 < 2x + 7 berkaitan dengan

pertidaksamaan

2) Pertidaksamaan kuadrat, yaitu suatu pertidak- fungsi, persamaan

satu variabel yang

melibatkan bentuk

samaan yang mempunyai variabel pangkat dan fungsi

pecahan aljabar.

kuadrat serta

 Merancang model dua.

pertidaksamaan

Contoh :x 2 – 2x + 4 < 7 kuadrat.

matematika dari

masalah yang

3) Pertidaksamaan pecahan, yaitu suatu pertidak-

berkaitan dengan

samaan yang mempunyai bentuk pecahan dan

pertidaksamaan satu

mengandung variabel x pada penyebutnya.

variabel.

2 x +  Menyelesaikan 3

Contoh :

12 − x

model matematika

dari masalah yang

4) Pertidaksamaan nilai mutlak (harga mutlak),

berkaitan dengan

yaitu suatu pertidaksamaan yang mempunyai

pertidaksamaan

tanda mutlak. Pada pertidaksamaan nilai mutlak

satu variabel dan berlaku:

penafsirannya.

x >0 sama artinya –a < x < a.

x <0 sama artinya x < –a atau x > a.

A. Pengertian Pertidaksamaan

5) Pertidaksamaan bentuk akar, yaitu pertidak- Pertidaksamaan adalah suatu kalimat terbuka yang

samaan yang variabelnya terletak di bawah memuat satu variabel (peubah) atau lebih dan tanda-

tanda akar. Cara penyelesaiannya diawali tanda ketidaksamaan (<, >, ≤, atau ≥).

dengan menguadratkan kedua ruas.

Contoh: x −< 10

B. Jenis-Jenis Pertidaksamaan dan Penyelesai-

annya

Berdasarkan pangkat dari variabelnya (bentuk pertidaksamaan), pertidaksamaan dapat dibagi atas:

Pelaj aran

Logika Matematika

Kelas X Semester 2

A. Kalimat Terbuka, Pernyataan, dan Negasinya

Kalimat terbuka adalah suatu kalimat yang memuat Standar Kompetensi

Kompetensi Dasar

variabel, nilai kebenarannya belum dapat ditentukan, Menggunakan

 Memahami

apakah bernilai benar atau salah. logika matematika

pernyataan dalam

dalam pemecahan

Pernyataan adalah suatu kalimat yang dapat masalah yang

matematika dan

ditentukan nilai kebenarannya, yaitu benar atau berkaitan dengan

ingkaran atau

salah, tetapi tidak dapat terjadi benar dan salah pernyataan

majemuk dan

nilai kebenaran

Ingkaran pernyataan (negasi penyataan) adalah pernyataan

dari suatu per-

berkuantor.

nyataan majemuk

kebalikan dari penyataan. Jika pernyataan benar,

dan pernyataan

ingkarannya salah, dan sebaliknya.

berkuantor.  Merumuskan

Ingkaran dari p dinotasikan dengan ~p, dibaca:

pernyataan yang setara dengan tidak p atau bukan p atau tidak benar bahwa p

pernyataan majemuk

atau non-p.

atau pernyataan berkuantor yang

Contoh :

diberikan.

= Bandung adalah ibu kota Provinsi Jawa Barat.

 Menggunakan (benar/B) prinsip logika

matematika yang

Ingkarannya:

berkaitan dengan

~ p = Bandung bukan ibu kota Provinsi Jawa Barat.

pernyataan majemuk

(salah/S)

dan pernyataan

~ p = Tidak benar bahwa Bandung adalah ibu kota

berkuantor

Provinsi Jawa Barat. (salah/S)

dalam penarikan kesimpulan dan

pemecahan masalah

Penyataan Majemuk

Pernyataan majemuk adalah penyataan yang terdiri dari dua pernyataan atau lebih dapat Pernyataan majemuk adalah penyataan yang terdiri dari dua pernyataan atau lebih dapat

p ⇒q Contoh: Hari ini mendung atau langit berwarna

B B B biru.

Jenis-Jenis Kalimat Majemuk

B Ada empat pernyataan majemuk, yaitu:

1) Konjungsi, yaitu gabungan antara dua

4) Biimplikasi, dibentuk dari (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p), pernyataan dengan memakai kata hubung

dinotasikan:

”dan”, dinotasikan:

p⇔q dibaca: p jika dan hanya jika q,

p ∧ q dibaca: p dan q p syarat cukup dan perlu untuk q,

Tabel kebenaran konjungsi: p ekuivalen dengan q

p ∧q

B B B Tabel kebenaran biimplikasi:

p ⇒q q ⇒p p ⇔q

2) Disjungsi, yaitu gabungan antara dua pernyataan dengan memakai kata hubung ”atau”, dinotasi-

B. Ingkaran Pernyataan Majemuk

kan: Ingkaran pernyataan majemuk terbagi atas.

1) Ingkaran dari konjungsi, berlaku: p ∨ q dibaca: p atau q.

~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q

Tabel kebenaran disjungsi:

2) Ingkaran dari disjungsi, berlaku:

p ∨q

~(p ∨ q) ≡ ~p ∨ ~q

B B B 3) Ingkaran dari implikasi, berlaku:

B ~(p → q) ≡ p ∧ ~q

B B 4) Ingkaran dari biimplikasi, berlaku: S

~(p ⇔ q) ≡ (p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~p)

3) Implikasi, yaitu gabungan antara dua pernyataan C. Konvers, Invers, dan Kontraposisi dengan memakai kata hubung ”jika …maka…”,

Dari implikasi p ⇒ q dapat dibentuk implikasi baru, dinotasikan:

yaitu:  Konvers: q ⇒ p

p→ q dibaca: jika p maka q,

 Invers: ~p ⇒ ~q dan

p hanya jika q,p syarat cukup untuk q,

 Kontraposisi: ~q ⇒ ~p

q syarat perlu untuk p, atau q jika p q syarat perlu untuk p, atau q jika p

D. Pernyataan Berkuantor dan Ingkarannya

Jika p ⇒ q benar dan ~q benar maka

1) Pernyataan berkuantor universal, dinotasikan: pernyataan ~p bernilai benar. ∀p(x) (dibaca: “Untuk semua x, berlaku- p ⇒q lah p(x)”)

~p ∴ ~q

Ingkarannya:

c) Silogisme, berlaku:

~(“∀ p(x)) ≡ ∃x ~p(x) (dibaca: “ingkaran untuk semua x yang berlaku p(x) adalah

Jika p ⇒ q dan q ⇒ r keduanya ada x yang bukan p(x)”).

benar maka p ⇒ r juga benar.

p⇒q

2) Pernyataan berkuantor eksistensial, dinotasi-

∃(x) p(x)

2) Penarikan kesimpulan dari pernyataan ber- (dibaca: “Ada x sehingga berlaku p(x)”)

kuantor

Ingkarannya:

Contoh : p (x) : Jika suatu segitiga merupakan segitiga

~(∃x p(x)) ≡ ∀x ~p(x) (dibaca: “ingkaran sama kaki maka mempunyai dua sudut

beberapa x berlaku p(x) adalah semua x

sama besar.

bukan p(x)”). ≡ Setiap segitiga sama kaki mempunyai dua

sudut sama besar.

E. Penarikan Kesimpulan

Penarikan kesimpulan terbagi atas:

1) Penarikan kesimpulan dari pernyataan majemuk, dengan aturan:

a) Modus Ponens, berlaku: Jika p ⇒ q benar dan p benar maka pernyataan q bernilai benar. p ⇒q p ∴ q

Pelaj aran

Trigonometri

Kelas X Semester 2

A. Perbandingan Trigonometri

Rumus-rumus perbandingan trigonometri Menggunakan

Standar Kompetensi

Kompetensi Dasar

 Melakukan

panjang sisi depan y = perbandingan,

manipulasi aljabar

1) sin α =

panjang sisi miring r fungsi, persamaan,

dalam perhitungan

dan identitas

teknis yang

cos α =

panjang sisi apit

trigonometri dalam

berkaitan dengan

panjang sisi miring r α

pemecahan masalah

perbandingan,

panjang sisi depan y tan α = =

fungsi, persamaan

panjang sisi apit x

dan identitas

2) sec α = 1 trigonometri. 1 ; cosec α = ;

cos α

sin α

 Merancang model

matematika dari

cotan α = 1 ; cosec α = cos α ;

masalah yang

tan α

sin α

berkaitan dengan Perbandingan trigonometri sudut α dengan (90 perbandingan, o – α)

3) sin (90° – α ) = cos α .

fungsi, persamaan

dan identitas

cos (90° – α) = sin α

trigonometri.

tan (90° – α) = cotan α

 Menyelesaikan

model matematika

cotan (90° – α) = tan α

dari masalah yang

cosec (90° – α) = sec α

berkaitan dengan

sec (90° – α) = cosec α

perbandingan,

Perbandingan trigonometri sudut α dengan (180 o – α)

fungsi, persamaan

4) sin (180° – α) = sin α dan identitas

trigonometri, dan

cos (180° – α) = –cos α

penafsirannya.

tan (180° – α) = –tan α cotan (180° – α) = –cotan α cosec (180° – α) = sec α sec (180° – α) = -cot α

Perbandingan trigonometri sudut α dengan (180 o + α)

C. Identitas Trigonometri

5) sin (180° + α) = –sin α

Contoh identitas trigonometri:

2 2 cos (180° + α) = –cos α 1) sin a + cos a=1

2 tan (180° + α) = tan α 2 2) 1 + tan a = sec a

cotan (180° + α) = cotan α cosec (180° + α) = -cosec α

D. Persamaan Trigonometri

sec (180° + α) = -sec α Untuk k∈B (B = himpunan bilangan bulat), diperoleh persamaan sebagai berikut.

1) Jika sin x = sin a, maka:

x 1 = a + k . 360° x 2

= (180° – a) + k . 360°

Kuadran II

Kuadran I

2) Jika cos x = cos a, maka:

sinus positif

semua positif

x 1 = a + k . 360° x 2 = –a + k . 360°

3) Jika tan x = tan a, maka: Kuadran III Kuadran IV

tangan positif kosinus positif x = a + k . 180°

4) Jika cotan x = cotan a, maka: 270° x = a + k . 180°

B. Fungsi Trigonometri

E. Aturan Sinus, Aturan Kosinus, dan Rumus

Fungsi trigonometri dapat berbentuk sebagai Segitiga

Aturan sinus:

berikut.

1) f(x) = a sin (kx + b)

Aturan kosinus:

nilai maksimum = a nilai minimum = – a

2 2 2 A c 3) c B =a +b – 2ab cos C

2) f(x) = a cos (kx + b)

360 ° 2 p

Periode = = k

Luas segitiga:

1 1 L 1 ∆ ABC = bc . sin A L

= ac sin B ∆ =

nilai maksimum = a nilai minimum = – a ∆ ABC

L ∆ ABC = ab . sin C

3) f(x) = a tan (kx + b)

180 ° p Periode =

Tidak ada nilai maksimum dan minimum.

Pelaj aran

Ruang Dimensi Tiga

Kelas X Semester 2 Kedudukan suatu garis terhadap garis lain (dua garis) Standar Kompetensi

Kompetensi Dasar

dibedakan atas:

Menentukan

3) berpotongan kedudukan, jarak,

 Menentukan

1) Berimpit

4) bersilangan dan besar sudut

kedudukan titik,

2) Sejajar

garis, dan bidang

yang melibatkan

dalam ruang dimensi

titik, garis, dan

tiga.

bidang dalam ruang  Menentukan jarak dimensi tiga.

dari titik ke garis dan dari titik ke bidang

Kedudukan suatu bidang terhadap bidang lain (dua

dalam ruang dimensi tiga.

bidang) dibedakan atas:

 Menentukan besar

1) Berimpit

sudut antara garis

2) Sejajar

dan bidang dan

3) Berpotongan

antara dua bidang dalam ruang dimensi tiga.

A. Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang pada Bangun Ruang

Kedudukan titik dibedakan atas:

B. Proyeksi Ruang

1) Titik terletak pada garis

Proyeksi ruang meliputi:

2) Titik terletak di luar garis

1) Proyeksi titik pada garis.

3) Titik terletak pada bidang

2) Proyeksi titik pada bidang.

4) Titik terletak di luar bidang

3) Proyeksi garis pada bidang.

Pelaj aran

Statistika dan Peluang

Kelas XI Semester 1

A. Statistika

Standar Kompetensi

Kompetensi Dasar

Perbedaan Pengertian Statistik dengan Statistika

Statistik merupakan kumpulan angka-angka dari Menentukan

 Membaca data

kedudukan, jarak,

suatu permasalahan, sehingga dapat memberikan dan besar sudut

dalam bentuk tabel

gambaran mengenai masalah tersebut. Sedangkan yang melibatkan

dan diagram batang,

statistika adalah cara ilmiah yang mem pelajari titik, garis, dan

garis, lingkaran, dan

pengumpulan, pengaturan, perhitungan, peng- bidang dalam ruang  Menyajikan data gambaran, dan penganalisisan data, serta penarikan

ogive.

dimensi tiga.

dalam bentuk tabel dan diagram batang,

kesimpulan yang valid berdasarkan penganalisisan

garis, lingkaran,

yang dilakukan, dan pembuatan kesimpulan yang

dan ogive serta

rasional.

penafsirannya.  Menghitung ukuran

Penyajian Data Tunggal

pemusatan, ukuran letak, dan ukuran

Penyajian data dapat berupa:

penyebaran data,

1) Diagram batang, yaitu penyajian data dengan

serta penafsirannya.

menggunakan batang-batang berbentuk

 Menggunakan

persegi panjang dengan lebar batang yang

aturan perkalian,

sama dan dilengkapi dengan skala tertentu

permutasi, dan kombinasi dalam

untuk menyatakan banyaknya tiap jenis data.

pemecahan masalah.

2) Diagram lingkaran, yaitu penyajian data statistik

 Menentukan ruang

dengan menggunakan gambar yang berbentuk

sampel suatu

lingkaran, yang dibagi atas juring-juring.

percobaan.  Menentukan 3) Diagram garis, yaitu penyajian data pada

peluang suatu

bidang Cartesius dengan menghubungkan

kejadian dan

titik-titik data pada bidang Cartesius (sumbu x

penafsirannya.

dan sumbu y), sehingga diperoleh suatu grafik berupa garis.

4) Diagram Batang daun, yaitu penyajian data yang dibagi atas dua bagian, yaitu bagian batang dan 4) Diagram Batang daun, yaitu penyajian data yang dibagi atas dua bagian, yaitu bagian batang dan

2) Tabel distribusi frekuensi kumulatif, meru pa- sedangkan bagian daun memuat angka

kan tabel frekuensi yang berisikan frekuensi satuan.

kumulatif (frekuensi hasil akumulasi).

5) Diagram kotak garis, yaitu penyajian data dalam Fre kuensi kumulatif adalah frekuensi yang bentuk kotak garis.

dijumlahkan, yaitu frekuensi suatu kelas di jumlahkan dengan frekuensi kelas

Penyajian Data Berkelompok

sebelumnya.

Apabila data cukup banyak maka data dikelompokkan dalam beberapa kelompok,

Ukuran Data Statistik

kemudian data tersebut disajikan dalam bentuk

a. Ukuran Pemusatan Data (Ukuran Tendensi

tabel distribusi frekuensi.

Sentral)

Langkah-langkah membuat tabel distribusi Ada tiga macam ukuran tendensi sentral, yaitu: frekuensi adalah sebagai berikut.

a) Rata-rata atau mean ( x ), yaitu jumlah seluruh

1) Urutkan data dari data terkecil ke data ter- nilai-nilai data dibagi dengan banyaknya data. besar.

1) Rata-rata untuk data tunggal (tidak ber-

2) Tentukan banyak kelas pada tabel distribusi fre- kelompok) , rumusnya: kuensi, dengan menggunakan metode Sturges:

x 1 + x + x ++ x ∑

nx

i k = 1 + 3,3 log n

2 3 x .... n i 1 = =

Keterangan:

k = banyak kelas n = banyak data

2) Rata-rata untuk data berkelompok, rumusnya:

3) Tentukan interval kelas dengan rumus: n fx i i

fx 11 + fx 22 + fx 33 ++ .... fx ∑

nn = i = 1

f 1 ++++ f 2 f 3 .... f n k

Keterangan:

3) Rata-rata sesungguhnya, rumusnya: R = range = jangkauan = data tertinggi – data

I = interval kelas

k = banyak kelas

∑ fd i i

terendah

4) Tentukan batas atas kelas (Ba) dan batas bawah n ∑

kelas (Bb).

Tabel distribusi frekuensi dapat dibedakan atas:

4) Rata-rata sesungguhnya dengan mem-

1) Tabel distribusi frekuensi relatif: mempunyai faktorkan interval kelasnya, rumusnya: frekuensi relatif dalam bentuk persentase

(%). Besarnya frekuensi relatif dapat ditentu-

 kan dengan rumus:

∑ fu ii

x = x +  i = 1 0  n I Fungsi relatif kelas ke-k =

 i = 1  frekuensi kelas ke- = k ×

banyak data

Keterangan:

Kuartil terbagi atas:

x (eksbar) = rata-rata data  Kuartil bawah (Q 1 ), terletak pada data n

= jumlah semua bobot data

urutan ke-¼ (n + 1)

x 0 = rata-rata sementara  Kuartil tengah (Q ), terletak pada data

f i = bobot untuk nilai-nilai x i 2

x = nilai data ke-I

i urutan ke-½ (n + 1)

I = interval kelas  Kuartil atas (Q 3 ), terletak pada data urutan u == d

I = faktor interval

ke-¾ (n + 1) Rumus kuartil untuk data berkelompok:

b) Median (Md), yaitu nilai yang terletak di tengah deretan data setelah diurutkan dari yang ter kecil.

  n fk − Q j 

Rumus median untuk data berkelompok:

 I Keterangan:

Qj = kuartil ke-j (j = 1, 2, 3) Tb Qi

= tepi bawah kelas yang memuat Qj Md = median

Keterangan:

n = jumlah seluruh frekuensi Tb

= tepi bawah kelas fk Qi = frekuensi kumulatif kurang dari di bawah fk

= frekuensi kumulatif kelas yang memuat Qj f Qi = frekuensi kelas yang memuat Qj

c) Modus (Mo), yaitu data yang paling sering I = lebar atau panjang kelas (interval kelas) muncul atau yang mempunyai frekuensi terbanyak.

b) Desil , yaitu ukuran letak yang membagi Rumus modus data kelompok adalah

sekumpulan data menjadi 10 bagian. Rumus desil untuk data berkelompok:

f D j  Mo = modus

 d 1 = selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya

Keterangan:

d 2 = selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya

Dj = desil ke-j (j = 1, 2, 3, …, 9) Tb Di = tepi bawah kelas yang memuat Dj

n = jumlah seluruh frekuensi Ukuran letak suatu data dapat dinyatakan dalam fk Di = frekuensi kumulatif kurang dari di

b. Ukuran Letak

bentuk fraktil. bawah kelas yang memuat Dj

Fraktil adalah nilai-nilai yang membagi sepe- f Di = frekuensi kelas yang memuat Dj

I = lebar atau panjang kelas (interval kelas) rangkat data yang telah berurutan menjadi beberapa

bagian yang sama, yaitu:

c) Persentil , yaitu ukuran letak yang membagi

a) Kuartil, yaitu ukuran letak yang membagi sekum- sekumpulan data menjadi 100 bagian. Rumus pulan data tersebut menjadi 4 bagian yang kuartil untuk data berkelompok: sama.

B. Peluang

n fk −  Permutasi

P j = Tb

P j +  I Permutasi adalah urutan yang mungkin dari sejumlah

  unsur yang berbeda tanpa adanya pengulangan. 

Rumusnya:

Keterangan: Pj = kuartil ke-j (j = 1, 2, 3, …, 99)

Tb nr P =

Pnr (,) =

( nr − ) !

atau

= tepi bawah kelas yang memuat Pj

( nr − ) !

Pi

n = jumlah seluruh frekuensi fk Pi = frekuensi kumulatif kurang dari di bawah

kelas yang memuat Pj Di mana k ≤ n f Pi = frekuensi kelas yang memuat Pj

Permutasi terbagi atas:

I = lebar atau panjang kelas (interval kelas)

1) Permutasi dengan beberapa objek sama, ber-

laku:

c. Ukuran Penyebaran Data (Dispersi)

a) Banyaknya permutasi dari n objek dengan Ukuran penyebaran data terbagi atas: r objek sama (r < n) adalah

a) jangkauan atau range (R), berlaku:

R =X maks –X min

nr P =!

b) simpangan rata-rata atau deviasi rata-rata (SR),

b) Banyaknya permutasi dari n objek, di mana rumusnya:

ada beberapa objek sama, misalnya ada m 1 objek yang sama, ada m

2 objek yang sama

serta m 3 objek yang sama, dan seterusnya

= = SR = i = 1 SR = atau

fx = i i − x adalah

nn

c) simpangan baku/standar deviasi/deviasi standar

nmm P 1 , 2 , m 3,.... =

mm 1 ! 2 ! m 3 ! .... (SD), rumusnya:

2) Permutasi siklis, berlaku:

∑ Banyaknya permutasi siklis dari n objek =

SD = 1 i =

jika n > 30 (n – 1)!

Kombinasi

2 ∑ Banyaknya kombinasi r objek dari n objek ditulis (

n C r atau C r = adalah jika ≤ 30 n − 1

dengan

SD

rnr ! ( − ) !

d) simpangan kuartil atau jangkauan semi inter- kuartil (Q d ), rumusnya:

Keterangan:

Peluang Suatu Kejadian

1 Q d = simpangan kuartil

Peluang (P) merupakan ukuran mengenai kemung-

2 Q 3 = simpangan atas Q 1 = simpangan bawah

kinan suatu kejadian tertentu akan terjadi dalam suatu percobaan. Jika hasil suatu percobaan yang kinan suatu kejadian tertentu akan terjadi dalam suatu percobaan. Jika hasil suatu percobaan yang

Kejadian Majemuk

maka himpunan itu disebut ruang sampel yang Pada kejadian majemuk berlaku: dilambangkan dengan S.

Peluang kejadian saling asing atau kejadian saling lepas:

Peluang P untuk terjadinya suatu kejadian E adalah

P (A ∪ B) = P(A) + P(B)

nE PE () =() Untuk peluang kejadian sembarang A dan B ber laku:

nS ()

Keterangan:

P (A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) P (E) = peluang kejadian yang diharapkan sukses

n (E) = banyaknya anggota kejadian E n (S) = banyaknya anggota ruang sampel (banyaknya

Pada kejadian A dan B saling bebas, kejadian A tidak kejadian yang mungkin terjadi)

memengaruhi kejadian B atau kejadian B tidak memengaruhi kejadian A, sehingga berlaku:

Peluang komplemen suatu kejadian berlaku: P (E C ) = 1 – P(E)

P (A ∩ B) = P(A) × P(B)

Keterangan:

Dua buah kejadian disebut kejadian tidak saling ) = peluang komplemen suatu kejadian

P (E C

P (E) = peluang yang diharapkan sukses

bebas berlaku:

Frekuensi Harapan

P (A ∩ B) = P(A) × P(B| A)

Jika suatu percobaan dilakukan n kali maka peluang kejadian yang diharapkan adalah P(E). Perkalian

Peluang bersyarat P(B| A) artinya peluang terjadinya antara berapa kali percobaan dilakukan dengan

B setelah A terjadi

peluang kejadian itu dinamakan frekuensi harapan (f h ), ditulis dengan:

f h (E) = n × P(E)

Keterangan:

f h (E) = frekuensi harapan P (E) = peluang kejadian E n = banyak kejadian

Pelaj aran

Kompisisi Dua Fungsi

dan Invers

Kelas XI Semester 2 memetakan setiap elemen dari P (domain) dengan tepat satu elemen dari Q (kodomain).

Standar Kompetensi

Kompetensi Dasar

Jika f memetakan suatu elemen x ∈ P ke suatu Menentukan

 Menentukan

elemen y ∈ Q, fungsi f dari A ke B dapat ditulis komposisi dua

komposisi fungsi dari

y = f(x) dengan x sebagai peubah bebas dan y suatu fungsi.

fungsi dan invers

dua fungsi.

 Menentukan invers

sebagai peubah terikat.

suatu fungsi.

Daerah asal (domain) fungsi y = f(x) adalah nilai- nilai x supaya y = f(x) ada nilainya (terdefinisi).

A. Pengertian Relasi dan Fungsi

Syarat agar suatu fungsi terdefinisi :

1. Produk Cartesius Jika terdapat himpunan P dan Q yang tidak

* y = fx () → syarat f x () ≥ 0

fx ()

kosong, produk cartesius dari himpunan P dan

→ gx () ≠ 0

gx ()

Q adalah himpunan pasangan terurut (x, y)

dengan x ∈ P, y ∈ Q, ditulis sebagai berikut.

* fx y = ()

log () x

→ syarat g x () > 0 dan f x () > 0, fx () ≠ 1

P × Q = {(x, y)  x ∈ P dan y ∈ Q}

2. Relasi Daerah hasil (range) fungsi y = f(x) adalah nilai-nilai Relasi atau hubungan R dari himpunan P ke y yang dipengaruhi oleh domain fungsi (D f ) . himpunan Q adalah sembarang himpunan Menentukan range (daerah hasil) dari fungsi bagian dari produk cartesius P × Q dengan x ∈ kuadrat y = f(x) = ax 2 + bx + c adalah sebagai P, y ∈ Q, ditulis sebagai berikut:

berikut.

R = {(x, y)  x ∈ P dan y ∈ Q}

 Untuk D f = {xx ∈ R}

Jika a > 0, daerah hasilnya R f = {yy > y e ,

3) Fungsi

y ∈ R}

Suatu fungsi f atau peme-

Jika a < 0, daerah hasilnya R f = {yy < y e , taan f dari himpunan P

 ke himpunan Q adalah 2 b − 4 ac  y ∈ R} dengan y e =−

 suatu relasi khusus yang

 Untuk D f = {xp < x < q, x ∈ R}

D. Komposisi Fungsi

- Jika absis titik puncaknya  x e =−  Jika fungsi f: A → B dan fungsi g: B → C, fungsi h:

di dalam interval domain, tentukan

A → C disebut fungsi komposisi yang ditentukan f(x e ), f(p), dan f(q), sehingga: R f = {yf min oleh rumus sebagai berikut.

<y<f maks , y∈ R} h=g o f=g o f(x) = g o {f(x)} = (g o f)(x)

Jika absis titik puncaknya (x e ) di luar

interval domain, tentukan f(p), dan f(q),  Syarat agar fungsi g dan fungsi f dapat dikom-

sehingga: R f = {yf min <y<f maks , y∈ R}.

posisikan menjadi (g o f ) adalah sebagai berikut.

Irisan antara daerah hasil fungsi dengan daerah  Fungsi dari himpunan P ke Q

B. Sifat-sifat Fungsi

asal fungsi g bukan himpunan kosong. disebut satu-satu (one-one

(R f ∩R g )≠0

/ injektif ) jika setiap elemen

Daerah asal fungsi komposisi (g o f ) adalah dari P hanya mempunyai

himpunan bagian dari daerah asal fungsi f. satu peta di Q dan tidak harus semua elemen

() gf o

Daerah hasil fungsi komposisi (g o f ) adalah  Fungsi dari himpunan P ke

dari Q terpetakan dari P.

himpunan bagian dari daerah hasil fungsi g. himpunan Q disebut pada

R () gf o ⊆ R f

(onto / surjektif ) jika setiap  Sifat fungsi komposisi: tidak komutatif elemen dari himpunan Q

g o f(x) ≠f o g(x) .

habis terpetakan (mempunyai minimal satu

E. Fungsi Invers

pasangan dengan elemen himpunan P).  Tidak semua fungsi invers merupakan fungsi  Fungsi dari himpunan P

invers dan invers fungsi yang merupakan fungsi ke himpunan Q disebut

disebut fungsi invers.

korespondensi satu-satu  Suatu fungsi f : A  B mempunyai fungsi invers (one-one onto / bijektif ) jika fungsi itu injektif

f -1 : B  A jika semua elemen himpunan A dan dan onto).

elemen himpunan B berkorespondensi satu- satu.

 notasi fungsi invers adalah jika f(x) = y, f -1 (y) = x Jika f dan g adalah dua fungsi yang diketahui, maka

C. Aljabar Fungsi

atau y -1 =f (x).

fungsi yang merupakan jumlah, selisih, hasil kali,  Langkah menentukan fungsi invers dari y = f(x) dan hasil bagi kedua fungsi tersebut masing-masing

adalah:

sebagai berikut.

Mengubah fungsi y = f(x) dalam bentuk x * ( f + g )( ) ( ) x = fx + gx () , dengan D ( fg + ) = D f ∩ D g sebagai fungsi y.

* -1 (

f − g )( ) ( ) ( ) x = fx − gx , dengan D ( fg − ) = D f ∩ D g - Mengganti y pada f (y) dengan x untuk * -1 ( )( ) ( ) ( )

fg . x = fxgx . , dengan D () fg . = D f ∩ D g mendapatkan f (x) .

 -1 f fx  Sifat komposisi fungsi invers : f o g = (g o f)

-1 -1

*  ()() x = , dengan D = D f ∩ D g dan gx () ≠ 0

 g gx

 () f

  g

F. Hubungan komposisi dan invers

G. Rumus-rumus

Jika (g o f )(x) = h(x), maka diperoleh:

1. (f ± g) (x) = f(x) ± g(x)

1. h -1 (x) = (g f ) -1 (x) = (f -1 g -1 )(x) = f -1 -1

(g (x))

2. (f × g) (x) = f(x) × g(x)

oo

2. (f g) -1 (x) = (g -1 -1 o )(x) = g -1 (f -1 o f (x))

 f fx ()

3.  () x =

dengan g(x) ≠ 0

 x

gx ()

3. g(x) = (h o f -1 )(x)

4. f () x = {} fx ()

4. f(x) = (g -1 h )(x)

 xb −  n

-1

5. fx () = ax +→ b f () x =   a 

-1

6. fx () = ax b +→ f () x =

ax b +

- dx b +

7. fx () =

→ f -1 () x = ; x ≠

cx d +

cx a −

Pelaj aran

Limit Fungsi

Kelas XI Semester 2

A. Pengertian Limit

Standar Kompetensi

Kompetensi Dasar

1. Limit suatu fungsi f(x) untuk x mendekati nilai

a adalah harga yang paling dekat dari f(x) pada Menggunakan

 Menghitung limit

fungsi aljabar

konsep limit fungsi

saat x mendekati nilai a.

sederhana di suatu

dan turunan fungsi

2. Jika

x lim ( ) → a

fx = L , artinya L adalah nilai pendekatan

titik.

dalam pemecahan

 Menggunakan sifat untuk x di sekitar a.

masalah.

limit fungsi untuk menghitung bentuk

B. Teorema Limit

tak tentu fungsi

1. Jika f(x) = x, maka lim ( ) fx = a x

→ aljabar. a  Menggunakan sifat

2. Jika c konstanta, maka lim . ( ) cfx = c x fx → a . lim ( ) x → a

dan aturan turunan

3. lim ( ) { fx ± gx () } = lim ( ) lim ( ) fx ± dalam perhitungan gx x → a x → a x → a

turunan fungsi aljabar.

4. lim ( ). ( ) fxgx

} = lim ( ). lim ( ) fx → gx a { x → a x → a

 Menggunakan

turunan untuk

5. fx () lim ( ) fx

= x → a , untuk lim ( ) 0 gx ≠

karakteristik suatu

fungsi aljabar dan

x → a x {} ( x )

 Merancang model

untuk n bilangan asli

matematika dari masalah yang

C. Limit Fungsi Aljabar

berkaitan dengan

Langkah umum penyelesaian limit fungsi aljabar

ekstrem fungsi

x lim ( ) → a

fx adalah sebagai berikut.

aljabar.

 Menyelesaikan

1. Substitusi nilai x = a ke f(x).

model matematika

 2. Jika hasilnya bentuk tak tentu ∞ 0   , , ∞−∞ dari masalah ,  ∞

yang berkaitan

f(x) harus diuraikan.

dengan ekstrem

3. Jika hasilnya bentuk tertentu, itulah nilai

fungsi aljabar dan

limitnya.

penafsirannya.

D. Jenis Limit untuk x → c

F. Jika x → ∞ dengan hasil ∞ – ∞,

1. Jika x → c dan c adalah konstanta, fungsi f(x) fungsi f(x) diurai kan dengan cara dikali sekawan diuraikan dengan cara faktorisasi.

untuk fungsi yang mengandung bentuk akar,

2. Untuk fungsi f(x) yang mengandung bentuk kemudian membagi pembilang dan penyebut akar, kalikan dengan sekawannya terlebih

dengan x pangkat tertinggi. dahulu, baru masukkan nilai limitnya.

Rumus jumlah dan selisih akar

lim ( ax + b + cx + d ) =   0, untuk a c =

∞ , untuk a c >

x ∞ →∞ 0  −∞ , untuk a c < fungsi f(x) diuraikan dengan cara membagi

E. Jika x → ∞ dan hasilnya

atau ,

pembilang dan penyebut dengan x pangkat

∞ , untuk a c > lim ( ax + b − cx + d = )   0, untuk a c =

tertinggi.

x →∞

 −∞ , untuk a c <

∞ , untuk m > n

ax m + ax m − 1 1 2 + ...

=  n 1 1  , untuk m = n

lim n −

Rumus selisih akar kuadrat

x →∞ bx 1 + bx 2 + ...

 b 1  0, untuk m < n

 ∞ , untuk a p >

2 2  bq −

lim

→∞ untuk a p

ax ++− bx c px ++ qx r =

 −∞ , untuk a p <

Pelaj aran

Integral

Kelas XII Semester 1

C. Penerapan Integral Tentu

Standar Kompetensi

Kompetensi Dasar

1. S = v dt ∫

Menggunakan

 Memahami konsep

a dt konsep integral

2. V =

integral tak tentu

dalam pemecahan

dan integral tentu.

D. Integral Tertentu

masalah sederhana.  Menghitung

integral tak tentu

() f x dx = Fx b () a = Fb () − Fa ∫ ()

dan integral tentu

dari fungsi aljabar

Fx ( ) antiturunan ( ) = fx

sederhana.

a = batas bawah

 Menggunakan

b = batas atas

integral untuk

menghitung luas

E. Sifat-Sifat Integral Tertetu

daerah di bawah

kurva.

1. k dx k b a = ( − ∫ )

A. Integral Tak Tentu a

2. () f x dx = ∫ 0

1. dx =+ ∫ xc

2. () df x = fx () + c ∫

3. k f x dx k f x dx () = ()

b 3. a adx = ax c ∫ +

4. ∫ () f x dx =− ∫ () f x dx

x n + 1 a + b c dengan n ≠ ∫ 1

4. x dx n =

() f x dx + () f x dx = () a f x dx 5. ∫ ∫ ∫

x n + 1 + c dengan n ≠− 1 a b ∫ a

5. ax dx n =

n + 1 ax b + n + n 1 ( )

+ c dengan a ≠ ∫ 0

6. ( ax b dx + ) =

an ( + 1)

B. Sifat-Sifat Integral

1. kf x dx () = k f x dx ∫ () ∫

2. ( ( ) fx ± ( )) g x dx = () f x dx + g x dx ∫ ∫ ∫ ()

F. Luas Bidang Datar

H. Integral Fungsi Trigonometri

1. Dibatasi Oleh Kurva dan Sumbu X

4. ∫ cosec 2 x dx = - cot x + c

5. ∫ sec x tan x dx = sec x + c

b b b 6. ∫ cosec x cot x dx = - cosec x + c Luas D 1 =

− () f x dx ∫ = () f x dx Luas D 2 = ∫

a ∫ () a f x dx a

I. Integral Substitusi Trigonometri

2. Luas Antara Dua Kurva Substitusi Hasil

Fungsi Integral

dengan Substitusi

Luas D = [() fx − ( )] g x dx

x=a sin α

a cosα

G. Volume Benda Putar

1. Mengelilingi Sumbu X

J. Panjang Busur

Volume = [ ( )] fx 2 dx

x=b

2. Mengelilingi Sumbu Y

b  dy 

2 S=

Volume = π ∫ fy dy

dx

a  dx 

Pelaj aran

Program Linear

Kelas XII Semester 1

B. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

Standar Kompetensi linear Kompetensi Dasar Menyelesaikan

Daerah penyelesaian dari masalah program linear, yaitu masalah program

 Menyelesaikan

model matematika yang berbentuk pertidaksamaan linear.

sistem

pertidaksamaan

linear ax + by < ab atau ax + by > ab.

linear dua variabel.

Daerah penyelesaian dapat ditentukan dengan

 Merancang model cara: matematika dari

masalah program

1. Jika ax + by < ab maka daerah penyelesaian

linear.

berada di sebelah kiri garis, dengan syarat

 Menyelesaikan

koefisien x positif (a > 0).

model matematika

2. Jika ax + by > ab maka daerah penyelesaian

dari masalah

berada di sebelah kanan garis, dengan syarat

program linear dan penafsirannya.

koefisien x positif (a > 0).

A. Persamaan garis lurus

Letak kiri dan kanan daerah penyelesaian,

1. Persamaan garis yang dengan syarat koefisien x positif ( a > 0 ) bergradien m dan melalui

kiri (≤)

kanan (≥)

kiri (≤) titik (x

1 ,y 1 ) adalah:

kiri (≤) kanan (≥)

2. Persamaan garis yang

C. Fungsi Tujuan (Objektif /Sasaran), Nilai Mak-

melalui dua titik (x 1 ,y 1 )

si mum, dan Nilai Minimum

dan (x 2 ,y 2 ) adalah:

1. Fungsi tujuan adalah nilai f untuk x dan y tertentu y − y 1 x − x

dari suatu program linear, dan dinyatakan f(x, y) =

2. nilai fungsi sasaran yang dikehendaki adalah

kondisi x dan y yang menyebabkan maksimum

3. Persamaan garis yang

atau minimum

melalui titik (0, a)

3. Pada gambar HP program linear, titik-titik dan (b, 0) adalah:

sudut merupakan titik-titik kritis, dimana nilai ax + by = ab

minimum atau maksimum berada. Apabila minimum atau maksimum berada. Apabila

simpulkan cara penentuan titik kritis sebagai ditentukan tanpa harus digambar grafiknya.

berikut.

1. Pilih titik potong kurva dengan sumbu Y atau sumbu X yang terkecil (0, a) dan (q,

Titik kritis ada 3:

0) jika tujuannya maksimumkan atau

(0, a), (x, y), dan (n, 0)

yang terbesar (0, p), (b, 0) jika tujuannya minimumkan .

2. Titik potong antara kedua kurva (x, y)

Titik kritis ada 3 : (0, m), (x, y), dan (b, 0)

Pelaj aran

Matriks

 Kelas XII Semester 1

Standar Kompetensi

Kompetensi Dasar

Menggunakan

 Menggunakan sifat-

 apbq + + cr +  A+B= 

 +  d +  s + + et + + + f  + u +   pemecahan masalah.

 matriks dalam

sifat dan operasi

matriks untuk

menunjukkan bahwa

1) Sifat penjumlahan matriks

suatu matrik persegi

Jika A, B, dan C matriks-matriks berordo

merupakan invers

sama, berlaku:

dari matriks persegi

(a) Sifat Komutatif: A + B = B + A;

lain.  Menentukan

(b Sifat Asosiatif: (A + B) + C = A + (B +

determinan dan

C);

invers matriks 2 x 2.

(c) Terdapat matriks Identitas, yaitu matriks

 Menggunakan

nol, sehingga: A + 0 = 0 + A = A;

determinan dan invers dalam

(d) Setiap matriks A mempunyai invers

penyelesaian sistem

penjumlahan yaitu matriks – A ,

persamaan linear

sehingga:

dua variabel.

A + ( –A ) = ( –A ) + A = 0

2) Pada pengurangan matriks bersifat:

1. Pengertian matriks

(a) Tidak Komutatif

a) Matriks merupakan susunan kumpulan bilangan

(b) Tidak Asosiatif

dalam bentuk persegi atau persegi panjang (c) Tidak terdapat unsur Identitas yang diatur menurut baris dan kolom;

b) Baris suatu matriks adalah susunan bilangan-

b) Perkalian Matriks

bilangan yang mendatar dalam matriks; Dua matriks A dan B dapat dikalikan bila banyak

c) Kolom suatu matriks adalah susunan bilangan- kolom matriks pertama (kiri) sama dengan bilangan yang tegak dalam matriks.

banyak baris matriks kedua (kanan)

2. Operasi hitung matriks

1) A mxn .B nxk =C mxk

a) Penjumlahan atau pengurangan matriks

2) B nxk .A mxn tidak dapat dikalikan Matriks A dan B dapat dijumlahkan atau

dikurangkan jika ordo A = ordo B

3. Transpos Matriks Apabila |A| = 0 |A| = 0, maka matriks A tidak

Transpos matriks A ( A ) adalah sebuah matriks yang mempunyai invers dan disebut matriks singular. disusun dengan cara menuliskan baris ke-I matriks

Apabila |A| ≠ 0 |A| ≠ 0, maka matriks A mempunyai

A menjadi kolom ke-I matriks A t . invers dan disebut matriks non singular.

 ad 

3) Sifat-sifat invers matriks

(1) A A =A A=I= 

Beberapa sifat matriks transpos:

a) (A + B) t =A +B

tt

5. Penggunaan matriks dalam sistem per-

t b) ( A t ) =A

samaan linear

t c) (AB) t =B A

1) Cara Matriks

d) (KA) = KA , k merupakan konstanta -1 Jika persamaan AX = B, maka X = A B -1 Jika persamaan XA = B, maka X = B A

tt

4. Determinan dan invers matriks

2) Cara determinan

ax + by = p

1) Jika A =  , maka determinan matriks A =

cx + dy = q

Dy |A|=

Dx

= ad – bc

maka x = = dan y y=

dengan

2) Jika  A= −  =    , maka invers matriks A = 

, Dy =  c  d − 

, Dx =

Pelaj aran

Barisan dan Deret

Kelas XII Semester 2

d. Jumlah n suku pertama (S n ) Standar Kompetensi

Kompetensi Dasar

S n =U 1 +U 2 +U 3 +U 4 +... +U n–1 +U n

Menggunakan

n konsep barisan

 Menentukan suku

S n = ( a + U n ) atau S n = { 2 a + () n − 1 b }

2 2 pemecahan masalah.

ke-n barisan dan

dan deret dalam

jumlah n suku deret

aritmetika dan

e. Hubungan suku pertama (a), suku tengah (U t ),

geometri. dan suku ke-n (U n )  Merancang model

matematika dari

masalah yang

berkaitan dengan

k letak suku tengah, banyaknya suku 2k – 1

deret.  Menyelesaikan

S n =n.U t

model matematika

f. Sisipan dari masalah

yang berkaitan

b baru =

dengan deret

dan menafsirkan solusinya. 2. Barisan dan Deret Geometri

a. Bentuk umum barisan:

1. Barisan dan Deret Aritmatika

U 1 , U 2 ,U 3 ,U 4 ,...,U n

a. Bentuk umum barisan: r, ar, ar 2 , ar 3 ,. . . , ar n–1 U

1 , U 2 , U 3 , U 4 , ..., U n

b. Rasio (perbandingan) = r

a, a + b, a + 2b, a + 3b, . . . , a + (n – 1)b

r = 2 = 3 = U 4 = U ... = n

b. Beda (selisih) = b U 1 U 2 U 3 U n − 1

b=U 2 –U 1 =U 3 –U 2 =U 4 –U 3 =...=U n –U n–1

c. Suku ke-n (U n )

c. Suku ke-n (U n ) n–1 U

n = a + (n – 1)b

U n = ar

U n =S n –S

n =S n n–1

–S

n–1 n–1

3. Deret Geometri Tak Hingga

S n =U 1 +U 2 +U 3 +U 4 +... +U n–1 +U n

a. Konvergen (semakin mengecil), apabila limit

ar ( − 1 )

jumlah untuk n  ∞ dapat ditentukan.

S n = , r > 1 atau Jumlah sampai tak hingga: r − 1

a S ∞ = , -1 < r < 1, r ≠ 0.

S n = , r < 1 b. Divergen (semakin menyebar/membesar),

1 − r apabila limit jumlah untuk n  ∞ tidak dapat

e. Hubungan suku pertama (a), suku tengah (U t ),

ditentukan.

dan suku ke-n (U n ) Jumlah sampai tak hingga: U 2 t = aU . n

S ∞ =±∞ , r < -1 atau r > 1.

f. Sisipan r baru = k + 1 r