Bab 5 Sinyal dan Sistem Waktu Diskrit - Sinyal sistem bab5 rev 03

Bab 5 Sinyal dan Sistem Waktu Diskrit Oleh: Tri Budi Santoso Laboratorium Sinyal, EEPIS-ITS Edited by Foxit Reader Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2009 For Evaluation Only.

  Representasi matematik pada sinyal waktu diskrit, domain waktu dan frekuensi pada suatu sinyal waktu diskrit, transformasi pada sinyal waktu diskrit

  Materi: Tujuan:

• Siswa mampu menyelesaikan konsep dasar transformasi Fourier Waktu Diskrit • Siswa mampu membawa persoalan dari konsep sinyal waktu kontinyu menjadi sinyal waktu diskrit.

Sub Bab:

  5.1. Transformasi Fourier Waktu Kontinyu

  5.2. Discrete-Time Fourier Series (DTFT)

  5.3. Discrete-Fourier Transform (DFT)

  5.4. Komputasi DFT

  5.5. Komputasi Inverse DFT

  5.6. Interpretasi Hasil DFT

  5.7. Hubungan DFT- Transformasi Fourier

5.1. Continues Time Fourier Transform

  Sinyal periodik waktu kontinyu f(t) dengan periode T dinyatakan sebagai • bentuk weighted sum pada complex exponential: ∞

jk Ω

  Î untuk semua nilai t (1) f t = F e t

  ( ) k

  ∑ k = −∞

  T dimana:

  1 − Ω _jk

  F = koefisien-koefisien ekspansi F f ( t ) e tdt _{k k}

=

∫

  T Ω = frekuensi fundamental Î Ω =π/T Lanjutan….

• • Persamaan (1) dikenal sebagai deret Fourier eksponensial komplek

• Dalam terminologi deret geometri seringkali dinyatakan sebagai

  ( )

  ∑ ∞ =

  Ω + Ω + =

  1 ) sin cos ( k k k t k b t k a a t f

  ∫ = = ^T F dt t f

  T a ) (

  1

  (2) (3)

2 T

• = Ω = ^T
_{k k k} F F dt k t f T a cos ) (

  ∫ −

  (4)

5.2. Discrete-Time Fourier Series (DTFT) • Untuk sinyal periodik waktu diskrit x(n) dengan periode N.

  Kita kenal frekuensi digital 0 ~ 2π. Ekspansinya dinyatakan dalam: N −

  1

  1 ω jk n x n = X k e

  ( ) ( ) (6)

  ∑ N

  = k N −

  1 − ω (7) jk n

  X k = x n e ( ) ( )

  ∑ = k

  Persamaan (6) dan (7) dikenal sebagai pasangan Discrete Fourier Series (DFS) Dalam hal ini Lanjutan….

• Untuk N genap: _{( N / 2 ) − 1 ( N / 2 ) −}
₁

  2 π 2 π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

x n A A k k n B k k n

  ( ) =

• ( ) ( ) cos ( ) sin ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

  

∑ ∑

_{k = 1 k =} N ₁ N ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

  N ⎛ ⎞

  A n

  ……….(8a)

• cos π ⎜ ⎟

  2 ⎝ ⎠

• Untuk N ganjil: _{( N − 1 ) / 2 ( N − 1 ) /}
₂

  2 π 2 π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =

• ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ _{k = 1 k =}
• x ( n ) A ( ) A ( k ) cos k n B ( k ) sin k n

  ∑ ∑

  N N ₁ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Lanjutan

  Untuk N Genap: _{N − 1}

  1 = A ( ) x ( n )

  (9)

  ∑ N _{n = N} − ₁

  2 2 π ⎛ ⎞ A ( k ) = x ( n ) cos k n untuk k = 1 , 2 ,..., N / 2 −

  1 ( )

  ⎜ ⎟ ∑

  N N _{n = ⎝ ⎠ N} − ₁

  2 2 π ⎛ ⎞ B ( k ) = x ( n ) sin k n untuk k = 1 , 2 ,..., N / 2 −

  1 ( )

  ⎜ ⎟ ∑

  N N _{n = ⎝ ⎠ N} − ₁ N

  1 ⎛ ⎞ A = x ( n ) cos n untuk k = 1 , 2 ,..., N / 2 −

  1 π ( )

  ⎜ ⎟ ∑

  2 N ⎝ ⎠ n =

5.3. Disc re te -Fo urie r Tra nsfo rm (DFT)

• Bisa digunakan untuk sinyal periodik dan non periodik
• Dimana ω =2π/N
• Bentuk Inversnya:
• Dalam terminologi (W _N

  1

− ≤ ≤ =

  ∑ − =

  − N k e n x k

  X N n ω n jk

  (10)

  ( 1 )

  =e ^-j2π/N ) dinyatakan: ( 1 ) ) (

  1

− ≤ ≤ =

  ∑ − =

  N n e k

  X N n x N n n jk

  ω

  (11)

  1 − _N

  1 ) ( Sifat-Sifat DFT

• Secara umum sama dengan sifat Transformasi Fourier waktu kontinyu.

• • Tetapi durasi untuk n dibatasi 0 s/d N-1. Maka setelah n = N-1,

  akan berputar kembali pada nilai n = 0.
• Dari beberapa sifat tsb, kita bahas 4 saja, yaitu:
• Sifat Linearitas - Sifat Circular Translation - Sifat Perkalian dengan Eksponensial - Sifat Circular Convolution

a. Sifat Linearitas

  DFT[a x (n)] = a X (k) , DFT[a x (n)] = a X (k)

  1

  1

  1

  1

  2

  2

  2

  2 Maka:

  DFT[a x (n) + a x (n)] = a DFT[x (n)] + a DFT[x (n)]

  1

  1

  2

  2

  1

  1

  2

  2

  = a X (k) + a X (k)

  1

  

1

  2

  2

  ……..(12)

b. Sifat Circular Translation

• Pada kasus translasi linearÆx(n-n ) merupakan bentuk pergeseran ke kanan.
• Tetapi pada kasus sinyal non-periodik (n = 0 s/d N-1), maka pergeseran terbatas sampai dengan N-1. Setelah itu kembali ke n=0Î Modulo N, maka

  1

  7 bentuknya menjadi

  N=8

  6

  2

  5

  3

  4 x(n) = [x(0), x(1),……, x(N-2), x(N-1)] x((n-1)mod N) = [x(N-1), x(0),……, x(N-3), x(N-2)] …… x((n-n )mod N) = [x(N-n ), x(N-n +1),……., x(N- n -1)] …… x((n-N)mod N) = [x(0), x(1),……, x(N-2), x(N-1)]

c. Sifat Perkalian dengan Eksponensial

  Jika DFT[x(n)] = X(k)

• ln

  Maka DFT[W x(n)] =X((k-l) mod N)

  N

  ………..(14)

d. Sifat Circular Convolution

• Konvolusi Linear:

  ∞ ∞

x n x n x n k x k atau x k x n k

₁ ( ) ∗ ( ) = ( − ) ( ) ( ) ( − ) _{2 1 2 1 2 k} ∑ ∑ _k

  = −∞ = −∞

_{j ω j ω}

F x n x n X e

X e

  ( ) ∗ ( ) = [ ] _{1 2 1 ( ) ( )}

₂

  − ¹ x n x n F F x n F x n

  ( ) ∗ ( ) = ( ) ⋅ ( ) _{1 2} { [ ] [ ] } _{1 2}

• Konvolusi Circular: _{N −}
₁ x ( n ) x ( n ) x ( n k ) mod N x ( k )

  ⊗ ∆ − _{1 2 1}

( ) ₂ ∑ _{k = N − 1} Contoh 1:

• Sebuah operasi konvolusi circular dibentuk dari dua komponen x

  1

  (n)=(1,2,2,0) dan x

  2 (n)=(0,1,2,3).

  Dapatkan hasil konvolusi

  ) ( ) ( ) (

  2

  1 ⊗ n x n x n x =

  x

  1

  (n) x

  2

  (n) Penyelesaian: Step 2: x ₁ (k) = (1, 2, 2, 0) x ₂ ((1-k)mod 4)= (1, 0, 3, 2)

• y(0) = 1 0 6 0 = 7 Step 1: x
₁ (k) = (1, 2, 2, 0) x ₂ ((0-k)mod 4)= (0, 3,
• y(0) = 0 6 4 0 = 10 Step 3: x
₁ (k) = (1, 2, 2, 0) x ₂ ((2-k)mod 4)= (2, 1,
• y(0) = 3 4 2 0 = 9 Step 5: x
₁ (k) = (1, 2, 2, 0)
• y(0) = 1 2 0 0 = 4 Step 4: x
₁ (k) = (1, 2, 2, 0) x ₂ ((3-k)mod 4)= (3, 2, 1, 0) Hasilnya: ) 9 ,

  4 , 7 , ) 10 ( ( ) ( ) (

  2

  4

  1 = ⊗ = n x n x n y

  n y(n)

  DFT n x n x DFT

  IDFT n x n x

Gambar 5.2. Hasil konvolusi circular

5.4. Computation of DFT

  N −

  1 kn

  ……(17)

  X k = x n W k = N − ( )

  ; , 1 ,.....,

  1 ( )

  N ∑ n = N −

  1 kn kn

  = Re x n j Im x n Re W j Im W + + { [ ] ( ) [ ] ( ) }

  { [ ] [ ] } N N

  ∑ n

  = N −

1 N −

  1 ⎧

  ⎫ kn kn x n W x n W

  = Re Re − Im Im [ ] ( )

  [ ] ( ) [ ] [ ]

  ⎨

N

  N ⎬ ∑

  ∑ n n

  = =

  ⎩ ⎭

  N

1 N

  1 − −

5.5. Computation of Inverse DFT

  ( ) ∑

  − = −

  − = ⎟ ⎠ ⎞

  ⎜ ⎝ ⎛ =

  1 ; 1 , 1 ,....,

  1 ) ( N k kn N

  N n W k

  X N n x

  ……….(18)

5.6. Interpretation of DFT Result

  x(n)Î versi diskrit (tersampel) pad asinyal analog x

  a

  (t) Frekuensi indek

  (tanpa satuan) k Frekuensi digital

  (radiant) ω

  k

  = k2 π/N

  Frekuensi indek (tanpa satuan)

  Ω

  k

  = k2 π/NT Contoh 2

• Dapatkan transformasi Fourier dari sinyal cosinus yang memiliki periode eksak di dalam window yang terdapat pada sampel. Tetapkan x(n) seperti pada Gambar dibawah yang direpresentasikan sebagai x(t) = 3cos(2πt), pada t=nT. Untuk suatu n = 0~ 99, dan T=0,01.

  x(t) t Penyelesaian Didapatkan sekuen diskrit sebagai • x(n) = 3cos(2πnT) = 3cos(0.02πn) untuk

n =0,1,….,199. Perlu dicatat bahwa x(n) merupakan sinyal cosinus

sepanjang dua periode.

  x(n) n

• Bagian real X

  X N n ω n jk

  X ω ω π

  ( 3 ) N n n k j n k n k

  1 sin cos 02 , cos

  − =

  ∑ − =

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

  − N k e n x k

  R

  ∑ − =

  1 − ≤ ≤ =

  ( 1 ) ) (

  (k) dapat dihitung dari persamaan (11).

  I

  (k) dan imajiner X

  Hasilnya seperti pada gambar berikut… Bagian Real X (k) _R

  k

  Indek Freq Digital (rad/det) Freq Digital

  ω

  k

Bagian Imaginer Semua bernilai 0, atau mendekati 0

  Keterangan

  Perhatikan pada bagian Real, ada dua nilai muncul yaitu pada indek frekuensi (2) dan (N-2 =198).

  Masing-masing dengan nilai 300. Ini merepresentasikan (AN/2), dimana:

• A=3Î amplitudo
• N = 300 Î jumlah sampel yang digunakan Karena struktur sampling, frekuensi indek 2 berkaitan secara tepat dengan penuh pada gelombang cosinus.

  Contoh 3

  Gambarkan magnitudo pada DFT 64 titik pada x(n) = (1/32) sin (0,2πn). • Dengan nilai n=0,1,…,63

• = ) (

  1

  =

  ⎜ ⎝ ⎛

  ⎟ ⎠ ⎞

  ⎜ ⎝ ⎛

  ⎟ ⎠ ⎞

  2 =

  1

  32

  64

  2

  Seperti terlihat pada gambar sebelumnya, dengan persamaan tersebut terjadi 6,4 gelombang sinus. Jika gelombang sinus tepat pada 1 periode penuh, |X(k)| akan memiliki nilai (AN/2), sehingga:

  Penyelesaian

  I R R

  X I

  X k

  X k k X k X k

  Magnitudonya: ( ) ( ) ( ) ( )

  (k)

  I

  (k) + X

  R

  X(k) = X

  AN

5.7. Hubungan DFT-Fourier Transform

• Transformasi Fourier • Discrete Fourier Transform

  ( ) ( ) ( )

  ∑ ∑ − =

  − ∞ −∞ = −

  = =

  1 N n n j n n j j e n x e n x e

  X ω ω ω

  ( ) ( ) ( )

  1 ,..., 1 , 1 /

  2 − = =

  ∑ − =

  − N k e n x k

  X N n N k j π Sinyal Tersampel dan Transformasi Fouriernya

Zero Padding |8 titik DFT| dengan tambahan 4 zero pada x(n)

  Hasil DFT

  |16 titik DFT| dengan tambahan 12 zero pada x(n)

  Hasil DFT

  |64 titik DFT| dengan tambahan 60 zero pada x(n)

  Hasil DFT Contoh Lain DFT pada Sinyal Sinus x(n) = (1/64)*(sin(2*pi*n/64) + (1/3)*sin(2*pi*15*n/64))

  Soal Latihan

  1. Dapatkan bentuk transformasi Fourier (DFT)10-point untuk sinyal waktu diskrit berikut ini:

  ⎧ = 7 , 3 ;

  1 ) n n n x c

  = = 4 ; 4 ;

  ⎩ ⎨ ⎧ ≠

  [ ]

  9 ,......, 2 , = 1 ) = n n x b 1 ;

  X b _b [ ]

  9 ,......,

2 ,

; 1 , = 1 ) = k k

  

2. Dapatkan bentuk invers Transformasi Fourier (IDFT) 10-point untuk sinyal berikut ini:

[ ]

  X a k _a

  [ ]

  1 ) k k

  ;

  = = 9 ,...... 2 , 1 ;

  [ ] ⎩ ⎨ ⎧ =

  ; 1 , ) ^{5 2} = = n e n x d ^{n j} π

  [ ] 9 ,......, 2 ,

  1 ; ; 1 ) n n n x a

  = = 9 ,......, 2 ,

  ⎩ ⎨ ⎧ =

  1

k

  3. Sebuah sinyal waktu diskrit dinyatakan dalam bentuk komplek berikut ini _{j k N n} ( ^{2 π / )} x n = e ; n = , 1 , 2 ,..... N −

  1 ₁ [ ] Dapatkan bentuk transformasi Fourier waktu diskrit (DFT) dari x[n] sebanyak N-titik

  4. Sebuah sinyal waktu diskrit tersusun dari fungsi sinusioda: x [n]=cos(2πkn/N)

2 Dapatkan bentuknya dalam domain frekuensi N-titik

  

5. Buatlah sebuah program visualisasi dengan Matlab untuk domain waktu dan domain

frekuensi untuk sinyal berikut ini:

6. Buat visualisasi sinyal domain waktu & frekuensi sinyal ini:

  a). 1,1,1,1,0,0,0,……0,0

  b). 1,1,1,1,0,0,0,………………….0,0 16 titik 32 titik

  c). 1,1,1,1,0,0,0,………………0,0

  d). 1,1,1,1,0,0,0,………………….0,0 64 titik 128 titik

7. Buat visualisasi domain waktu dan domain frekuensi untuk sinyal:

  a) x[n] = sinc(2πn/10) ; n = -30,-29,…..-1,0,1,……..,29,30 ; n 30 , 29 ,...., 2 ,

  1 = − − − − ⎧ ⎪ x n n

  [ ] = 1 ; =