Teori Evolusi dan mempersiapkan pembelajaran (3)

« Teori Evolusi (Bagian 2) : Manusia Purba memang ADA
Analogi Warna »

Penarikan Kesimpulan: Modus Ponens dan Modus Tollens
Posted by Taufiq Hidayat on April 28th, 2010
Tulisan-tulisan di kategori Logika Matematika ini hanya ditujukan untuk mereka yang sedang
belajar hal-hal dasar tentang Logika Matematika. Akan jarang ditemui hal-hal yang baru di sini.
Semoga bermanfaat.
Saat mengajar kuliah Pemrograman Non Prosedural (terutama bagian Pemrograman Logika),
saya banyak menemui mahasiswa yang belum memahami kegunaan logika matematika, terutama
dalam kehidupan sehari-hari. Padahal tujuan utama semua ilmu adalah membantu kehidupan
manusia. Demikian juga dengan logika matematika. Salah satu manfaatnya adalah membantu
membuat (menarik) kesimpulan yang benar. Tulisan ini akan membahas tentang teknik penarikan
kesimpulan dasar, yaitu Modus Ponens dan Modus Tollens.
Agar cakupannya tidak meluas, jenis logika yang saya pakai di tulisan ini adalah logika proposisi
(propositional logic). Dalam logika proposisi, sebuah kalimat dinyatakan dengan sebuah simbol
(yang mungkin berindeks).
Contoh 1:
p : saya makan di kelas
q : saya minum di kelas
p Λ q : saya makan di kelas dan saya minum di kelas (disingkat: saya makan dan minum di

kelas)
p V q : saya makan atau minum di kelas
p → q : jika saya makan di kelas maka saya minum di kelas
¬ p : saya tidak makan di kelas.
—————- []
Modus Ponens dan Modus Tollens sebenarnya adalah teknik penarikan kesimpulan dari logika
manusia juga. Di Logika Matematika, kedua teknik penarikan kesimpulan tersebut dinyatakan
dengan:
Modus Ponens
p→q
p
———
Kesimpulan: q
Modus Tollens

p→q
¬q
———
Kesimpulan: ¬ p
Arti Modus Ponens adalah “jika diketahui p → q dan p, maka bisa ditarik kesimpulan q“.

Sedangkan Modus Tollens berarti “jika diketahu p → q dan ¬q, maka bisa ditarik kesimpulan
¬p“.
Contoh 2:
Diketahui cerita sederhana berikut: Jika saya makan di kelas maka saya minum di kelas. Saya
makan di kelas. Apakah saya minum di kelas?
Solusi:
Menggunakan Contoh 1 di atas, kita memperoleh kalimat matematika:
p→q
p
Menggunakan Modus Ponens, maka kita bisa menarik kesimpulan q, yang artinya saya minum
di kelas.
—————- []
Contoh 3:
Diketahui cerita sederhana berikut: Jika saya makan di kelas maka saya minum di kelas. Saya
tidak minum di kelas. Apakah saya makan di kelas?
Solusi:
Menggunakan Contoh 1 di atas, kita memperoleh kalimat matematika:
p→q
¬q
Menggunakan Modus Tollens, maka kita bisa menarik kesimpulan ¬p, yang artinya saya tidak

makan di kelas.
—————- []
Contoh 4:
Diketahui cerita sederhana berikut: Jika saya makan di kelas maka saya minum di kelas. Jika
saya minum di kelas maka ruangan kelas menjadi kotor. Saya makan di kelas. Apakah ruangan
kotor?

Solusi:
Misalkan:
p : saya makan di kelas
q : saya minum di kelas
r : ruangan kelas menjadi kotor
maka, cerita sederhana tersebut dapat dinyatakan dengan
1: p → q
2: q → r
3: p
Menggunakan Modus Ponens untuk kalimat 1 dan kalimat 3, maka kita bisa menarik kesimpulan
q, yang artinya saya minum di kelas. Kalimat-kalimat matematikanya bisa kita ubah menjadi:
1: p → q
2: q → r

3: p
4: q
Dengan menggunakan Modus Ponens untuk kalimat 2 dan 4, kita memperoleh kesimpulan r,
yang artinya ruangan kelas menjadi kotor.
—————- []
Contoh 5:
Diketahui cerita sederhana berikut: Jika saya makan maka saya tidak belajar. Jika televisi sedang
mati maka saya belajar. Saat ini, televisi sedang mati. Apakah saya sedang makan?
Solusi:
Misalkan:
p : saya makan
q : saya belajar
r : televisi mati
maka, cerita sederhana tersebut dapat dinyatakan dengan
1: p → ¬q
2: r → q
3: r

Kesimpulan dengan Modus Ponens untuk kalimat 2 dan kalimat 3: q.
Kalimat matematika diubah menjadi:

1: p → ¬q
2: r → q
3: r
4: q
Dengan menggunakan Modus Tollens untuk kalimat 1 dan kalimat 4, kita peroleh kesimpulan
¬p, yang artinya saya tidak makan.
—————- []
Cerita di contoh-contoh di atas adalah sederhana. Namun bukan berarti contoh yang lebih
kompleks tidak bisa diselesaikan dengan teknik ini. Berikut adalah contoh dengan cerita yang
lebih kompleks.
Contoh 6:
Diketahui cerita berikut: Pak Ali biasa ke kantor menggunakan mobil. Tentu saja jika mobilnya
tidak mengalami masalah. Kalau mobilnya punya masalah, dia akan menggunakan angkutan
umum. Biasanya dia mengetahui bahwa mobilnya punya masalah saat mau berangkat,
menyebabkan dia terlambat tiba di kantor. Tetapi dia juga bisa terlambat meskipun naik mobil
karena jalannya macet. Gara-gara terlambat, dia tidak bisa menghabiskan kopinya, yang sudah
disediakan di dapur kantor. Pagi ini terlihat kopinya sudah habis. Pertanyaan:
a. Apakah mobil pak Ali bermasalah?
b. Apakah jalanan macet?
Solusi:

Misalkan:
p : mobil Pak Ali bermasalah
q : Pak Ali ke kantor naik mobil
r : Pak Ali ke kantor naik angkutan umum
s : Pak Ali terlambat
t : Jalanan macet
u : Kopinya Pak Ali habis.
maka, cerita tersebut dapat dinyatakan dengan
1: p → r
2: ¬p → q
3: r → s
4: q Λ t → s

5: s → ¬u
6: u
Kesimpulan yang bisa diambil:
7: ¬s {Modus Tollens dari 5 dan 6}
8: ¬r {Modus Tollens dari 3 dan 7}
9: ¬p {Modus Tollens dari 1 dan 8}
Arti kalimat 9: mobil Pak Ali tidak bermasalah (Jawaban untuk pertanyaan a).

Kesimpulan untuk menjawab pertanyaan b:
10: q {Modus Ponens dari 2 dan 9}
11: ¬(q Λ t) {Modus Tollens dari 4 dan 7}
12: ¬q V ¬t {Hukum de Morgan untuk 11}
13: q → ¬t {Ekuivalensi implikasi dengan 12}
14: ¬t {Modus Ponens dari 10 dan 13}
Kalimat 14 berarti Jalanan tidak macet (Jawaban untuk pertanyaan b).
—————- []
Catatan Tambahan:
Hukum de Morgan:
¬(p Λ q) ≡ (¬p V ¬q)
¬(p V q) ≡ (¬p Λ ¬q)
Ekuivalensi implikasi:
(p → q) ≡ (¬p V q)
http://bahanbelajarsekolah.blogspot.co.id/2015/06/silogisme-modus-ponens-dan-modus-tollens.html
Modus Ponens

Modus ponen adalah salah satu cara pengambilan kesimpulan (argumentasi) yang paling
sederhana dan dibenarkan secara kaidah logika dan mungkin adalah yang paling sering kita
gunakan. Dia bekerja berdasarkan premis kalimat majemuk jika p maka q.

Contoh :
Premis1 : Jika Hari Minggu maka libur
Premis2 : Sekarang hari minggu

Kesimpulan : Sekarang hari libur
Premis adalah suatu pernyataan yang diketahui kebenarannya, atau dianggap benar. Dalam
matematika modus Ponen dinyatakan sbb:

p→q
p
∴q
Modus Tollen

Modus Tollens adalah salah satu cara pengambilan kesimpulan (argumentasi) yang dibenarkan
secara kaidah logika. Cara ini bekerja berdasarkan Premis berbentuk jika p maka q. Dengan
mengambil kesimpulan jika tidak q maka tidak p. Modus Tollens juga disebut aturan
kontrapositif.
Kalau dituliskan dalam rumus, maka jika kita memiliki 2 premis, yaitu:

p→q

q
∴p
Berikut contoh
Premis1 : Jika minuman keras maka minuman itu haram.
Premis2 : Minuman ini tidak haram
Kesimpulan : Ini bukan minuman keras

Kesalahan Umum

Kesalahan yang sering terjadi yang saya lihat dalam diskusi-diskusi adalah sebagai berikut:
Premis1 : Jika p maka q
Premis2 : Tidak p
Kesimpulan : Tidak q (Salah!)

Dalam contoh minuman keras di atas, adalah salah jika kita mengambil kesimpulan kalau itu
bukan minuman keras maka tidak haram. (daging babi bukan minuman keras tetapi haram)
Contoh lainnya:
Premis1 : Jika harga minyak dunia naik maka harga BBM subsidi naik.
Premis2 : Harga minyak dunia turun
Kesimpulan : Harga BBM subsidi harusnya tidak naik (salah!)

Dari pernyataan jika p maka q, kita tidak bisa menarik kesimpulan kalau tidak p maka tidak q!
Contoh lain:
Premis1 : Jika hujan maka tanaman basah.
Premis2 : Hari ini tidak hujan
Kesimpulan : Tanaman tidak basah. (salah! mungkin saja basah karena disiram pakde)
Selain modus ponen dan tollens, cara lain penarikan kesimpulan yang sah adalah dengan
silogisme, deduksi dan induksi

Dalam logika matematika, penarikan kesimpulan dilakukan
berdasarkan premis-premis penyusunnya sampai dengan
diperoleh suatu kesimpulan (konklusi). Penarikan suatu
kesimpulan dikatakan sah apabila implikasi dari premis-premis
dan konklusinya merupakan tautologi. Keabsahan penarikan
kesimpulan dapat diperiksa dengan menggunakan tabel
kebenaran .
Berikut ini beberapa metode penarikan kesimpulan antara lain
modus ponens, modus tollens, dan silogisme.
Modus Ponens
Penarikan kesimpulan dengan modus ponens
berdasarkan premis-premisnya yang berbentuk :

dilakukan

pq
p

q
Modus ponens, dapat dinyatakan dalam bentuk implikasi, yaitu:
[(p  q)  p]  q
artinya konjungsi dari (p  q) dan p berimplikasi konklusi q.
Untuk menguji keabsahanya dapat dilakukan dengan
menggunakan tabel kebenaran untuk [(p  q)  p]  q yang
merupakan tautologi

Terbukti bahwa [(p  q)  p]  q merupakan pernyataan yang
selalu benar
Contoh:
Tentukan konklusi dari premis-premis berikut
Premis 1: Jika hari ini hujan, maka Anggi membawa payung
Premis 2: Hari ini hujan
Jawab:
Jika hari ini hujan, maka Anggi membawa payung
p
q
Hari ini hujan
p

 Anggi membawa payung
q
Modus Tollens
Penarikan kesimpulan dengan modus tollens
berdasarkan premis-premisnya yang berbentuk :

dilakukan

pq
~q

 ~p
Modus tollens di atas dapat dinyatakan dalam bentuk implikasi
yaitu:
[(p  q)  ~q]  ~p
artinya konjungsi dari (p  q) dan ~q berimplikasi konklusi ~p.
Untuk menguji keabsahanya dapat dilakukan dengan
menggunakan tabel kebenaran untuk [(p  q)  ~q]  ~p yang
merupakan tautologi

Karena pernyataan merupakan [(p  q)  ~q]  ~p tautologi,
berarti kesimpulan itu benar atau sah
Contoh:
Tentukan konklusi dari premis-premis berikut
Premis 1: Jika Andi ke sekolah, maka Andi seorang siswa
Premis 2: Andi bukan seorang siswa
Jawab:
Jika Andi ke sekolah, maka Andi seorang siswa
p
q
Andi bukan seorang siswa
~p

 Andi tidak ke sekolah
~q
Silogisme
Penarikan kesimpulan dengan modus tollens
berdasarkan premis-premisnya yang berbentuk :

dilakukan

pq
qr

pr
Silogisme di atas dapat dinyatakan dalam bentuk implikasi
yaitu:
[(p  q)  (p r)]  (p  r)

Untuk menguji keabsahanya
menggunakan tabel kebenaran

dapat

dilakukan

dengan

Karena merupakan [(p  q)  (p r)]  (p  r) tautologi,
maka kesimpulan di atas adalah benar atau sah
Contoh:
Tentukan konklusi dari premis-premis berikut
Premis 1: Jika hari ini cerah, maka Ayah pergi bekerja
Premis 2: Jika Ayah bekerja, maka Ayah membawa motor
Jawab:
Jika hari ini cerah, maka Ayah pergi bekerja
p
q
Jika Ayah pergi bekerja, maka Ayah membawa motor
q
r

 Jika hari ini cerah, maka Ayah membawa motor
p
r
Selain tabel kebenaran, kita dapat membuktikan kebenaran dari
pernyataaan majemuk dengan menggunakan hukum-hukum
logika (ekuivalensi) berikut:
p  q  ~p  q

p  q  ~q  ~p
~p  ~q  q  p
Contoh:
Tentukan sah atau tidaknya dari argumentasi berikut
pq
~q  r
p

 r
Jawab:
Untuk soal ini, kita bisa mengujinya secara bertahap
pq
~q  r

?
p

 r
Jika dilihat, premis ~q  r ini ekuivalen dengan q  r sehingga
pq
qr

pr
p

 r
Pada penarikan kesimpulan tahap pertama didapatkan
kesimpulan (silogisme). Kemudian pada penarikan kesimpulan
kedua merupakan modus ponens. Jadi, argumen di atas sah