Hukum Gravitasi Newton dan Hukum Keppler

Hukum Gravitasi Newton dan Hukum Keppler dalam Model Randall – Sundrum

Azrul Azwar
Program Studi Fisika, FMIPA, Universitas Tanjungpura
Jalan Jendral Ahmad Yani Pontianak 78124
e-mail : azrul_azwar@yahoo.co.id

Abstrak
Telah dilakukan kajian terhadap model Randall – Sundrum yang difokuskan untuk mendapatkan
perumusan hukum gravitasi Newton dan hukum Keppler dalam model tersebut. Dari kajian ini diperoleh
bahwa hukum gravitasi Newton mengalami modifikasi. Modifikasi ini menjadi signifikan pada jarak yang
sangat dekat. Penerapannya pada hukum Keppler memberikan perubahan pada hubungan antara
periode dan jarak planet.
Kata Kunci : Randall-Sundrum, Dimensi Ekstra, Brane, Gravitasi.

1. Pendahuluan
Saat ini telah banyak dikembangkan
model alam semesta dengan dimensi tambahan
(extra dimension) [1-3]. Salah satu model
yang cukup populer adalah model Randall –
Sundrum [2,3]. Model ini telah digunakan

dalam fisika partikel untuk menjelaskan
masalah hirarki massa berdasarkan kehadiran
dimensi ekstra yang melengkung [2,3]. Selain
itu
penerapannya
pada
kosmologi
mengahasilkan model yang konsisten dengan
model kosmologi standar pada level energi
rendah (kondisi alam semesta saat ini) dan
hanya berbeda pada level energy tinggi
(awal alam semesta) [4-6].
Salah satu permasalahan dalam model
dengan dimensi tambahan adalah belum
adanya bukti eksperimental
keberadaan
dimensi tambahan tersebut. Secara teoritis,
kehadiran dimensi tambahan ini dapat
dibuktikan dengan mengamati penyimpangan
pada hukum gravitasi, karena gravitasi

merupakan dinamika dari ruang-waktu itu
sendiri. Dalam tulisan ini akan dibahas tentang
modifikasi hukum Keppler dalam model
Randall – Sundrum. Adanya modifikasi ini
diharapkan dapat diamati secara ekperimental
melalui observasi periode gerak planet
sehingga menjadi bukti keberadaan dimensi
tambahan.

2.Model Randall – Sundrum
Model Randall – Sundrum merupakan
salah satu model dunia brane dalam ruang –
waktu berdimensi lima. Dalam model ini,
alam semesta dianggap sebagai sebuah
permukaan tiga dimensi (yang disebut
“brane” atau lebih tepat “3-brane”, mengacu
pada tiga dimensi ruang), yang tersimpan
(embedded) dalam ruang-waktu berdimensi
lima (yang disebut “Bulk”), dengan semua

medan materi dan medan gauge selain medan
gravitasi terkurung (hanya memiliki dinamika)
pada brane, sedangkan gravitasi yang

merupakan dinamika dari seluruh ruang-waktu
dan dimediasi oleh graviton dapat bergerak
dalam Bulk [2-5].
Dalam model Randall–Sundrum, ruangwaktu bulk bersifat lengkung, yang dipilih
berbentuk
ruang-waktu
Anti-de
Sitter
berdimensi lima. Ruang-waktu ini merupakan
ruang–waktu bersimetri maksimal dengan
konstanta
kosmologi
bernilai
negatif.
Sedangkan brane memiliki tegangan (tension)
 , dan dianggap memiliki simetri refleksi

Z 2 Z  Z  , serupa dengan model HoravaWitten [2-5].
Geometri model Randall – Sundrum
dinyatakan oleh metrik [2,3]

yang diberikan oleh metrik
sehingga



ds 2  e

2 k Z



   h dx  dx  dZ 2

1  1 

2 

2 U     Z  V Z h  0





(2)
Sedangkan faktor
disebut sebagai
faktor kelengkungan. Pada titik z = 0 faktor
kelengkungan ini bernilai 1 dan metrik (1) di
atas akan menjadi ruang-waktu Minkowski.

(5)

dengan:

2

 6k Z   6k



U Z   exp  2 k Z

dengan
, disini
adalah
konstanta kosmologi. Metrik (1) di atas
menyatakan geometri ruang – waktu
berdimensi lima dengan kelengkungan
konstan sebesar

(4)

Dengan mensubstitusikan metrik (9) pada
tensor Einstein, dan dengan menggunakan
kondisi Randall-Sundrum gauge (transversetraceless gauge) [2], maka akan diperoleh
persamaan

 1 2U

V Z   2
U Z 2


(1)

h x, Z  ,



Persamaan differensial (5) di atas dapat
diselesaikan dengan metode separasi
variabel, karena bagian non-trivial dari
potensial hanya bergantung pada koordinat
dimensi
kelima,
Z,
yaitu
dengan
mensubstitusikan





 

h x a , Z   Z  x a

(6)

ke dalam persamaan (5) sehingga diperoleh
1 
1 2 k
    x   
e



Z



2
Z

 4k Z   4k 2  Z 

(7)
3. Gravitasi Newton dalam Model Randall –
Sundrum
Untuk memperoleh gravitasi Newtonian
dalam model Randall-Sundrum dapat
dilakukan dengan memberikan perturbasi
linear terhadap metrik. Tinjau fluktuasi kecil
gravitsi  g AB pada metrik g AB , sehingga
2

A

ds  g AB  g AB dx dx

B

(3)

Dalam kajian ini, akan membatasi pada
fluktuasi kecil dalam “dunia” empat dimensi

Persamaan (7) dapat diselesaikan apabila ruas
kiri sama dengan ruas kanan, sama-sama
bernilai konstan, dipilih  m 2  0 , sehingga
akan diperoleh dua persamaan diferensial
yang saling terkait, yaitu:

     x    m 2  x a 

(8)

1

 m 2 k Z

e
 2Z  2k Z   2k 2  Z   0 (9)

2
 2


Dalam kerangka statik dengan simetri
rotasi pada 3-brane seperti alam semesta kita,
persamaan (8) dalam sistem koordinat bola
akan menjadi
1 d  2 d 
2
r
 m 
r 2 dr  dr 

(10)

Dalam sistem koordinat ini,  x i  hanya
merupakan fungsi dari r saja.
Apabila dipilih m  0 , yaitu untuk
kasus tak bermassa (mode ke-nol), maka
persamaan (10) di atas akan menjadi
persamaan Laplace, yaitu
1 d  2 d 
r
 0
r 2 dr  dr 

(11)

0

r    A  B

(12)

r

Untuk sumber titik yang terletak pada r  0 ,
konstanta integrasi A dapat dipilih
A  G N m1 m 2
dan  0    0  B  0 ,
sehingga cocok dengan gravitasi Newtonian
antara dua partikel bermassa m1 dan m2
pada brane yang terletak di titik Z  0


0

r   

G N m1m2
r

(13)

Persamaan (13) di atas menunjukkan bahwa
model
Randall
–
Sundrum
dapat
menghasilkan hukum gravitasi Newton.
Dalam pandangan model ini, gravitasi
Newton pada brane dibangkitkan oleh
pertukaran mode ke nol yang merupakan
graviton tak bermassa.
Untuk kasus m  0 di atas, persamaan
(9) akan menjadi
d 2
 4k 2  4k Z  Z 
dZ 2





(15)

0

exp 2k Z



(16)

yang memenuhi kondisi syarat batas pada
Z  0 melalui integrasi persamaan (15) pada
  Z  
selang
untuk 
yang
infinitesimal
d
4k 0   lim
 0  dZ


Kondisi




normalisasi

d
dZ




 



dZ  Z 

(17)
2

1



memberikan nilai konstanta normalisasi
sebesar  0  2k , sehingga solusi (16)
akan menjadi
2k exp 2k Z



(18)

Persamaan (18) akan menuju nol secara cepat
ketika Z membesar, dan akan memiliki
nilai maksimum ketika Z  0 . Ini berarti
bahwa mode ke-nol yang menghasilkan
gravitasi Newtonian akan terkonstrasi di
dekat brane yang terletak pada Z  0 .
Solusi asimtotis persamaan (9) akan
didomisasi oleh solusi gelombang datar
karena potensial Kazula-Klein turun menuju
nol ketika Z   , sehingga keadaan
Kazula-Klein continuum tanpa gap hadir
untuk semua nilai m 2  0 , sehingga harga
eigen m 2 bersifat kontinyu dan proper
measure menjadi dm. Dengan menggunakan
spektrum eigen ini, maka dapat dihitung
koreksi terhadap potensial gravitasi Newton
 r  antara dua partikel bermassa m1 dan
m 2 pada brane yang terletak di Z=0 yang
dibangkitkan oleh pertukaran mode KazulaKlein continuum. Untuk itu, tinjau kembali
persamaan (8)
1 d  2 d 
2
r
  m  (19)
r 2 dr  dr 

(14)

Ketika Z  0 , maka persamaan (14) di atas
menjadi
d 2
 4k 2 Z 
dZ 2

 Z   

 Z  

yang memiliki solusi umum berbentuk


yang memiliki solusi berbentuk

Solusi dari persamaan dari persamaan (19)
adalah


m r  

Ae mr
r

(20)

Konstanta integrasi A dapat dipilih berbentuk
A  G5 m1 m 2 dengan G5 adalah konstanta
gravitasi Newton dalam dimensi lima yang
terkait dengan konstanta gravitasi Newton
dalam dimensi empat melalui persamaan
G5 

GN
.
k

Adanya
kopling
anatara
mode
continuum m 2  0  dengan brane akan
memberikan koreksi terhadap gravitasi
Newtonian yang diberikan oleh persamaan


 r   G5 m1 m 2 dm
0

 r  

m e mr
k r

GN
 1 
m1 m2  2 
k
kr 

G N m1 m 2 
1 
1  2 2 
r
 k r 

G N m1 m 2 
2 
1  4 4  (23)
2
r
 k r 

Dari persamaan (23) di atas dapat
diperoleh hukum Keppler III yang
menggambarkan hubungan antara periode
dan jarak planet, yang diberikan oleh
persamaan

T2 

(21)

Sehingga hukum gravitasi Newton dapat
dituliskan sebagai.
 r  

F    r  

(22)

Dari hasil ini,dapat disimpulkan bahwa
gravitasi Newton akan mengalami koreksi.
Koreksi ini akan signifikan untuk level energi
tinggi sekitar 1 / k 2  10 8 GeV . Pada level
energi rendah model Randall-Sundrum secara
konsisten identik dengan gravitasi Newton.

4 2
r3
2 
GM 
1  4 4 
 k r 

(24)

Persamaan menunjukkan adanya koreksi
terhadap periode orbit planet. Adanya koreksi
ini memberikan peluang untuk memverifikasi
kehadiran dimensi ke lima, yaitu dengan
mengukur perbedaan periode planet yang
diprediksi oleh hukum Newton dengan yang
diprediksi oleh persamaan (24).

5. Kesimpulan
Dari analisis di atas dapat disimpulkan bahwa
model
Randall-Sundrum
menghasilkan
hukum gravitasi Newton dan hukum Keppler
yang termodifikasi. Modifikasi ini signifikan
pada level energi yang sangat tinggi.

4. Modifikasi Hukum Keppler
Adanya modifikasi pada hukum Newton
yang diberikan oleh persamaan (22) akan
menyebabkan modifikasi pada hukum
Keppler. Untuk mendapatkan hukum Keppler
dari model Randall-Sundrum, tinjau kembali
persamaan energi potensial gravitasi yang
diberikan oleh persamaan (22)
 r  

G N m1 m 2 
1 
1  2 2 
r
 k r 

(22)

Besarnya gaya gravitasi antara dua benda
bermassa m1 dan m2 dapat diperoleh dengan
menggunakan persamaan

Daftar Pustaka

[1] N. Arkani-Hamed, S. Dimopulos dan G.
Dvali. Phys. Lett. B 429, 263 (1998)
[2] L. Randall and R. Sundrum, Phys. Rev.
Lett. 83, 3370 (1999)
[3] L. Randall and R. Sundrum, Phys. Rev.
Lett. 83, 4690 (1999)

[4] D. Langlois, Prog. Theor. Phys. Suppl.
148, 181 (2003)
[5] P. Brax dan C. van de Bruck, Class.
Quant. Grav 20, R201 (2003)