ELECTIFPGEL3MATHEMAT - Knowledge
SKEMA BUSINESS SCHOOL
MATHEMATIQUES FINANCIERES
SESSION 3 – ANNEE ACADEMIQUE 2016/2017
SOPHIE GAY ANGER
SUITE DE VERSEMENTS
SUITES DE VERSEMENTS PERIODIQUES IDENTIQUES – valeur présente
CF1
CF2
CF3
CF4
CF5
CF6
CF7
CF8
CF9
Vp ?
VP =
CF1
+
CF2
+
CF3
+
CF4
+
CF5
(1 + r )1 (1 + r )2 (1 + r )3 (1 + r )4 (1 + r )5
+ ... +
CF9
(1 + r )9
1
1
1
1
1
1
VP = CF
...
+
+
+
+
+
+
1
2
3
4
5
9
1
r
1
r
1
r
1
r
1
r
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
r
)
+
+
+
+
+
+
2
LES SUITES CROISSANTES
APPLICATION
LES ACTIONS
Une action est un titre de propriété représentant une fraction du capital d’une entreprise
Sans échéance = source de fonds à long terme pour l’entreprise
Librement négociable
Droits des actionnaires
Droits financiers
Droits de gestion
3
•
•
•
•
•
•
•
au bénéfice, via les dividendes
aux actions gratuites
préférentiel de souscription, en cas augmentation du K
à l’information
de vote
soumission de projets aux A.G.
valeur résiduelle en cas de liquidation / cessation d’activité
LES SUITES CROISSANTES
APPLICATION
LES ACTIONS
Flux financiers d’une action ordinaire
Dividendes
∞
– Hypothèse la plus simple : dividendes constants
Prix = VP =
∞
∑( 1+ r )
t =1
4
Dt
t
Prix =
D
r
LES SUITES CROISSANTES
APPLICATION
LES ACTIONS
– Hypothèse plus réaliste : dividendes croissant à un taux constant
2 D
D0(1+g) D0(1+g) 0
(1+g)3
D0 (1+g)4
D0
(1+g)n
D0 (1+g)n+1
∞
Prix = VP =
5
D0 (1 + g )
r−g
LES SUITES CROISSANTES
APPLICATION
LES ACTIONS
Prix = VP =
D0 (1 + g )
r−g
Huskie Motor vient de verser un dividend de $1.00 par action. L’équipe
managériale a prévu une croissance de ce dividend à un taux constant de 5%. Si
le taux de rendement requis sur l’action Huskie Motor est de 12%, quel est son
prix ?
6
Source: Mishkin & Eakins, 2015, Chap. 13
LES SUITES CROISSANTES
APPLICATION
LES ACTIONS
– Hypothèse encore plus réaliste : dividendes croissant à un taux constant après une prévision sur 3 à
5 ans.
D3 (1+g)3
2
D3 (1+g)
D3 (1+g)
D3
D2
D1
∞
Prix = VP =
7
D3
D3 (1 + g )
D1
D2
+
+
+
(1 + r ) (1 + r )2 (1 + r )3 (1 + r )3 (r − g )
LES SUITES CROISSANTES
APPLICATION
LES ACTIONS
Macro Systems vient de verser à ses actionnaires un dividend de $0.32 par
action. Ce dividende devrait doubler chaque année durant les 4 prochaines
années (D1 à D4), puis croitre à un taux plus modeste de 1% par an.
Si le taux de rendement requis est de 13%, quel est le prix de cette action ?
8
LES SUITES CROISSANTES
APPLICATION
LES ACTIONS
– Hypothèse encore un peu plus réaliste : modèles à plusieurs étapes.
D0 (1+g1)3(1+g2)4
D0 (1+g1)3(1+g2)
2 D0 (1+g1)3
D
(1+g
)
0
1
D0(1+g1)
(1+g3)
D0 (1+g1)3(1+g2)4
(1+g3)2
∞
g1
3 ans
g2
4 ans
g3
4 ans
1 + g 3
1 + g 4
1
2
1 −
1 −
3
1
1 + r D0 (1 + g1 ) (1 + g 2 ) 1 + r
Prix = D0 (1 + g1 )
+
+
r−g
r−g
(1 + r )7
(1 + r )3
1
2
9
D0 (1 + g1 )3 (1 + g2 )4 (1 + g3 )
r
g
−
3
LES SUITES CROISSANTES
APPLICATION
LES ACTIONS
Alpha Stock vient de verser un dividende de 0,5€. Ce dividende va croitre au
taux de 3% pendant 5 ans, puis au taux de 2,5% pendant 3ans et à l’infini au
taux de 2%.
Si le taux de rendement requis est de 13%, quel est le prix de cette action ?
10 Source: Mishkin & Eakins, 2015, Chap. 13
RISK AND VALUE
APPLICATION
LA RELATION RENDEMENT-RISQUE
Eléments abordés :
• Comment définir le risque en finance ?
• Comment le mesurer le risque associé à un investissement financier ?
• La relation rendement-risque
11
LA VALEUR ET LE RISQUE
APPLICATION
LA RELATION RENDEMENT-RISQUE
Qu’est-ce que le risque en Finance ?
12
LA VALEUR ET LE RISQUE
APPLICATION
LA RELATION RENDEMENT-RISQUE
Comment mesure-t-on le
risque en Finance ?
• Déviation par rapport au
résultat espéré
13
LA VALEUR ET LE RISQUE
APPLICATION
LA RELATION RENDEMENT-RISQUE
Comment mesure-t-on le risque en Finance ?
Mesure du rendement attendu ou espéré
( )
1
E~
rj = r j =
N
N
∑r
∏(1 + r ) − 1
N
rj = N
j ,t
t =1
j ,t
t =1
Rendement d’un portefeuille
1
rp =
k
14
k
∑r + r + ...+ r
1
j =1
2
k
k
rp =
k
∑w r + w r + ...+ w r ,∑w
11
j =1
2 2
Si équipondéré
k k
j =1
j
=1
LA VALEUR ET LE RISQUE
APPLICATION
LA RELATION RENDEMENT-RISQUE
Comment mesure-t-on le risque en Finance ?
Evolution comparée des cours BN et GLE
15
LA VALEUR ET LE RISQUE
APPLICATION
LA RELATION RENDEMENT-RISQUE
Risque et effet de diversification ?
Le cas d’un portefeuille de deux titres
16
LA VALEUR ET LE RISQUE
APPLICATION
LA RELATION RENDEMENT-RISQUE
Risque et effet de diversification
Le cas d’un portefeuille de deux titres
17
LA VALEUR ET LE RISQUE
APPLICATION
LA RELATION RENDEMENT-RISQUE
Risque et effet de diversification
Diversification : effet de corrélations imparfaites entre les rendements des titres
Var(a + b) = Var( a ) + Var( b ) + 2 cov(a;b )
Var(a + b) = Var( a ) + Var( b ) + 2σ aσ bcorr( a;b )
Var( wa ) = w2Var( a )
Var(wa ra + wb rb ) = wa2Var( ra ) + wb2Var( rb ) + 2wa wb cov(ra ; rb )
Var(wa ra + wb rb ) = wa2Var( ra ) + wb2Var( rb ) + 2wa wbσ raσ rbcorr( ra ; rb )
Corrélation : estime la façon dont une variable évolue par rapport à une autre.
Comprise entre -1 (anticorrélation parfaite) et 1 (corrélation parfaite)
18
LA VALEUR ET LE RISQUE
APPLICATION
LA RELATION RENDEMENT-RISQUE
Risque et effet de diversification
Diversification : effet de corrélations imparfaites entre les rendements des titres
Var (wa ra + wb rb ) = wa2Var( ra ) + wb2Var( rb ) + 2 wa wbσ raσ rb corr( ra ; rb )
19
LA VALEUR ET LE RISQUE
APPLICATION
LA RELATION RENDEMENT-RISQUE
Risque et effet de diversification : max rendement, min risque
Lorsque l’on réunit des titres en portefeuille on vise naturellement à minimiser le
risque et maximiser le rendement espéré
Quelle combinaison permet d’obtenir un rendement max pour le min de risque ?
Rentabilité moyenne / an
Variance
Ecart-type
Corrélation (RA, RB)
20
Titre A
15,00%
9,00%
30,00%
Titre B
5,00%
7,00%
26,46%
0%
LA VALEUR ET LE RISQUE
APPLICATION
LA RELATION RENDEMENT-RISQUE
Risque et effet de diversification : max rendement, min risque, 2 titres
wA
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
50%
55%
60%
65%
70%
75%
80%
85%
90%
95%
100%
21
wB
100%
95%
90%
85%
80%
75%
70%
65%
60%
55%
50%
45%
40%
35%
30%
25%
20%
15%
10%
5%
0%
E(Rp)
5,00%
5,50%
6,00%
6,50%
7,00%
7,50%
8,00%
8,50%
9,00%
9,50%
10,00%
10,50%
11,00%
11,50%
12,00%
12,50%
13,00%
13,50%
14,00%
14,50%
15,00%
σp
26,458%
25,104%
23,851%
22,713%
21,709%
20,859%
20,182%
19,696%
19,415%
19,348%
19,498%
19,858%
20,419%
21,165%
22,076%
23,133%
24,317%
25,610%
26,997%
28,465%
30,000%
Portefeuille
de variance
minimale
LA VALEUR ET LE RISQUE
APPLICATION
LA RELATION RENDEMENT-RISQUE
Risque et effet de diversification : max rendement, min risque, 2 titres
A
ρ =0
ρ =1
ρ =-1
B
22
LA VALEUR ET LE RISQUE
APPLICATION
LA RELATION RENDEMENT-RISQUE
Risque et effet de diversification : n titres
Risque du
portefeuille
Risque TOTAL
1
10
20
Nombre de titres dans le portefeuille
23
LA VALEUR ET LE RISQUE
APPLICATION
LA RELATION RENDEMENT-RISQUE
Risque et effet de diversification : n titres
Risque du
portefeuille
Risque TOTAL = risque diversifiable ou spécifique
+ risque non diversifiable ou systématique
Risque
diversifiable
Risque non diversifiable
1
10
20
Nombre de titres dans le portefeuille
24
LA VALEUR ET LE RISQUE
APPLICATION
LA RELATION RENDEMENT-RISQUE
Risque et effet de diversification : n titres
Diversification « naïve » du portefeuille : 20aine de titres
Risque systématique : lié au marché dans son ensemble
Risque spécifique : lié aux caractéristiques des entreprises ayant émis les titres
Mesure du risque total = écart-type des rendements
Comment mesurer le risque systématique ?
25
LA VALEUR ET LE RISQUE
APPLICATION
LA RELATION RENDEMENT-RISQUE
Mesure du risque systématique et relation rendement-risque
Risque systématique = sensibilité des rendements d’un titre financier aux évolution
du marché dans son ensemble
Estimateur des mouvements du marché = indice boursier (CAC, SBF250, …)
Mesure du risque : coefficient « bêta » β
βA =
cov(rA ,rM )
Var( rM )
β>1 : les rendements du titres varient plus que les rendements du marché
β
MATHEMATIQUES FINANCIERES
SESSION 3 – ANNEE ACADEMIQUE 2016/2017
SOPHIE GAY ANGER
SUITE DE VERSEMENTS
SUITES DE VERSEMENTS PERIODIQUES IDENTIQUES – valeur présente
CF1
CF2
CF3
CF4
CF5
CF6
CF7
CF8
CF9
Vp ?
VP =
CF1
+
CF2
+
CF3
+
CF4
+
CF5
(1 + r )1 (1 + r )2 (1 + r )3 (1 + r )4 (1 + r )5
+ ... +
CF9
(1 + r )9
1
1
1
1
1
1
VP = CF
...
+
+
+
+
+
+
1
2
3
4
5
9
1
r
1
r
1
r
1
r
1
r
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
r
)
+
+
+
+
+
+
2
LES SUITES CROISSANTES
APPLICATION
LES ACTIONS
Une action est un titre de propriété représentant une fraction du capital d’une entreprise
Sans échéance = source de fonds à long terme pour l’entreprise
Librement négociable
Droits des actionnaires
Droits financiers
Droits de gestion
3
•
•
•
•
•
•
•
au bénéfice, via les dividendes
aux actions gratuites
préférentiel de souscription, en cas augmentation du K
à l’information
de vote
soumission de projets aux A.G.
valeur résiduelle en cas de liquidation / cessation d’activité
LES SUITES CROISSANTES
APPLICATION
LES ACTIONS
Flux financiers d’une action ordinaire
Dividendes
∞
– Hypothèse la plus simple : dividendes constants
Prix = VP =
∞
∑( 1+ r )
t =1
4
Dt
t
Prix =
D
r
LES SUITES CROISSANTES
APPLICATION
LES ACTIONS
– Hypothèse plus réaliste : dividendes croissant à un taux constant
2 D
D0(1+g) D0(1+g) 0
(1+g)3
D0 (1+g)4
D0
(1+g)n
D0 (1+g)n+1
∞
Prix = VP =
5
D0 (1 + g )
r−g
LES SUITES CROISSANTES
APPLICATION
LES ACTIONS
Prix = VP =
D0 (1 + g )
r−g
Huskie Motor vient de verser un dividend de $1.00 par action. L’équipe
managériale a prévu une croissance de ce dividend à un taux constant de 5%. Si
le taux de rendement requis sur l’action Huskie Motor est de 12%, quel est son
prix ?
6
Source: Mishkin & Eakins, 2015, Chap. 13
LES SUITES CROISSANTES
APPLICATION
LES ACTIONS
– Hypothèse encore plus réaliste : dividendes croissant à un taux constant après une prévision sur 3 à
5 ans.
D3 (1+g)3
2
D3 (1+g)
D3 (1+g)
D3
D2
D1
∞
Prix = VP =
7
D3
D3 (1 + g )
D1
D2
+
+
+
(1 + r ) (1 + r )2 (1 + r )3 (1 + r )3 (r − g )
LES SUITES CROISSANTES
APPLICATION
LES ACTIONS
Macro Systems vient de verser à ses actionnaires un dividend de $0.32 par
action. Ce dividende devrait doubler chaque année durant les 4 prochaines
années (D1 à D4), puis croitre à un taux plus modeste de 1% par an.
Si le taux de rendement requis est de 13%, quel est le prix de cette action ?
8
LES SUITES CROISSANTES
APPLICATION
LES ACTIONS
– Hypothèse encore un peu plus réaliste : modèles à plusieurs étapes.
D0 (1+g1)3(1+g2)4
D0 (1+g1)3(1+g2)
2 D0 (1+g1)3
D
(1+g
)
0
1
D0(1+g1)
(1+g3)
D0 (1+g1)3(1+g2)4
(1+g3)2
∞
g1
3 ans
g2
4 ans
g3
4 ans
1 + g 3
1 + g 4
1
2
1 −
1 −
3
1
1 + r D0 (1 + g1 ) (1 + g 2 ) 1 + r
Prix = D0 (1 + g1 )
+
+
r−g
r−g
(1 + r )7
(1 + r )3
1
2
9
D0 (1 + g1 )3 (1 + g2 )4 (1 + g3 )
r
g
−
3
LES SUITES CROISSANTES
APPLICATION
LES ACTIONS
Alpha Stock vient de verser un dividende de 0,5€. Ce dividende va croitre au
taux de 3% pendant 5 ans, puis au taux de 2,5% pendant 3ans et à l’infini au
taux de 2%.
Si le taux de rendement requis est de 13%, quel est le prix de cette action ?
10 Source: Mishkin & Eakins, 2015, Chap. 13
RISK AND VALUE
APPLICATION
LA RELATION RENDEMENT-RISQUE
Eléments abordés :
• Comment définir le risque en finance ?
• Comment le mesurer le risque associé à un investissement financier ?
• La relation rendement-risque
11
LA VALEUR ET LE RISQUE
APPLICATION
LA RELATION RENDEMENT-RISQUE
Qu’est-ce que le risque en Finance ?
12
LA VALEUR ET LE RISQUE
APPLICATION
LA RELATION RENDEMENT-RISQUE
Comment mesure-t-on le
risque en Finance ?
• Déviation par rapport au
résultat espéré
13
LA VALEUR ET LE RISQUE
APPLICATION
LA RELATION RENDEMENT-RISQUE
Comment mesure-t-on le risque en Finance ?
Mesure du rendement attendu ou espéré
( )
1
E~
rj = r j =
N
N
∑r
∏(1 + r ) − 1
N
rj = N
j ,t
t =1
j ,t
t =1
Rendement d’un portefeuille
1
rp =
k
14
k
∑r + r + ...+ r
1
j =1
2
k
k
rp =
k
∑w r + w r + ...+ w r ,∑w
11
j =1
2 2
Si équipondéré
k k
j =1
j
=1
LA VALEUR ET LE RISQUE
APPLICATION
LA RELATION RENDEMENT-RISQUE
Comment mesure-t-on le risque en Finance ?
Evolution comparée des cours BN et GLE
15
LA VALEUR ET LE RISQUE
APPLICATION
LA RELATION RENDEMENT-RISQUE
Risque et effet de diversification ?
Le cas d’un portefeuille de deux titres
16
LA VALEUR ET LE RISQUE
APPLICATION
LA RELATION RENDEMENT-RISQUE
Risque et effet de diversification
Le cas d’un portefeuille de deux titres
17
LA VALEUR ET LE RISQUE
APPLICATION
LA RELATION RENDEMENT-RISQUE
Risque et effet de diversification
Diversification : effet de corrélations imparfaites entre les rendements des titres
Var(a + b) = Var( a ) + Var( b ) + 2 cov(a;b )
Var(a + b) = Var( a ) + Var( b ) + 2σ aσ bcorr( a;b )
Var( wa ) = w2Var( a )
Var(wa ra + wb rb ) = wa2Var( ra ) + wb2Var( rb ) + 2wa wb cov(ra ; rb )
Var(wa ra + wb rb ) = wa2Var( ra ) + wb2Var( rb ) + 2wa wbσ raσ rbcorr( ra ; rb )
Corrélation : estime la façon dont une variable évolue par rapport à une autre.
Comprise entre -1 (anticorrélation parfaite) et 1 (corrélation parfaite)
18
LA VALEUR ET LE RISQUE
APPLICATION
LA RELATION RENDEMENT-RISQUE
Risque et effet de diversification
Diversification : effet de corrélations imparfaites entre les rendements des titres
Var (wa ra + wb rb ) = wa2Var( ra ) + wb2Var( rb ) + 2 wa wbσ raσ rb corr( ra ; rb )
19
LA VALEUR ET LE RISQUE
APPLICATION
LA RELATION RENDEMENT-RISQUE
Risque et effet de diversification : max rendement, min risque
Lorsque l’on réunit des titres en portefeuille on vise naturellement à minimiser le
risque et maximiser le rendement espéré
Quelle combinaison permet d’obtenir un rendement max pour le min de risque ?
Rentabilité moyenne / an
Variance
Ecart-type
Corrélation (RA, RB)
20
Titre A
15,00%
9,00%
30,00%
Titre B
5,00%
7,00%
26,46%
0%
LA VALEUR ET LE RISQUE
APPLICATION
LA RELATION RENDEMENT-RISQUE
Risque et effet de diversification : max rendement, min risque, 2 titres
wA
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
50%
55%
60%
65%
70%
75%
80%
85%
90%
95%
100%
21
wB
100%
95%
90%
85%
80%
75%
70%
65%
60%
55%
50%
45%
40%
35%
30%
25%
20%
15%
10%
5%
0%
E(Rp)
5,00%
5,50%
6,00%
6,50%
7,00%
7,50%
8,00%
8,50%
9,00%
9,50%
10,00%
10,50%
11,00%
11,50%
12,00%
12,50%
13,00%
13,50%
14,00%
14,50%
15,00%
σp
26,458%
25,104%
23,851%
22,713%
21,709%
20,859%
20,182%
19,696%
19,415%
19,348%
19,498%
19,858%
20,419%
21,165%
22,076%
23,133%
24,317%
25,610%
26,997%
28,465%
30,000%
Portefeuille
de variance
minimale
LA VALEUR ET LE RISQUE
APPLICATION
LA RELATION RENDEMENT-RISQUE
Risque et effet de diversification : max rendement, min risque, 2 titres
A
ρ =0
ρ =1
ρ =-1
B
22
LA VALEUR ET LE RISQUE
APPLICATION
LA RELATION RENDEMENT-RISQUE
Risque et effet de diversification : n titres
Risque du
portefeuille
Risque TOTAL
1
10
20
Nombre de titres dans le portefeuille
23
LA VALEUR ET LE RISQUE
APPLICATION
LA RELATION RENDEMENT-RISQUE
Risque et effet de diversification : n titres
Risque du
portefeuille
Risque TOTAL = risque diversifiable ou spécifique
+ risque non diversifiable ou systématique
Risque
diversifiable
Risque non diversifiable
1
10
20
Nombre de titres dans le portefeuille
24
LA VALEUR ET LE RISQUE
APPLICATION
LA RELATION RENDEMENT-RISQUE
Risque et effet de diversification : n titres
Diversification « naïve » du portefeuille : 20aine de titres
Risque systématique : lié au marché dans son ensemble
Risque spécifique : lié aux caractéristiques des entreprises ayant émis les titres
Mesure du risque total = écart-type des rendements
Comment mesurer le risque systématique ?
25
LA VALEUR ET LE RISQUE
APPLICATION
LA RELATION RENDEMENT-RISQUE
Mesure du risque systématique et relation rendement-risque
Risque systématique = sensibilité des rendements d’un titre financier aux évolution
du marché dans son ensemble
Estimateur des mouvements du marché = indice boursier (CAC, SBF250, …)
Mesure du risque : coefficient « bêta » β
βA =
cov(rA ,rM )
Var( rM )
β>1 : les rendements du titres varient plus que les rendements du marché
β