ELECTIFPGEL3MATHEMAT - Knowledge

S YEM A B U S INESS S C I OOL

M A TI EM A TIQ U ES FINA NC IERES
S ES S ION 1–A NNEE A C A DEM IQ U E 2016/
2017
S OP I IE DA Y A NDER

M A TI É M A TIQ U ES FINA NC I: RES
DÉ FINITIONS
•L '
A C TU A L ISA TION permet d'
ob tenir l
av
al
eur présente (
V p)de fluxmonétaires
futurs.
•L A C A P ITA L IS A TION permet d’
ob tenir l
av
al

eur future (
V F)de fl
uxmonétaires
présents.
1000€

Vp ?
VF ?
1000€

P 0

2

P 1

M A TI É M A TIQ U ES FINA NC I: RES
DÉ FINITIONS
L A C A P ITA L ISA TION
J

’
inv
estis l
asomme de 250€suruncompte rémunéréautauxde 6%annuel.
Q uelseral
’
intérêtgagnéaprès 1an(
i1)?
Q uel
l
e seral
av
al
eurduplacementaprès 1an?
V?
F

2D0€

P 0

P 1

i1  V p r  2D0 0B06  1D
V F ,1  V p  V p r  V p 1  r   2D01B06   26D

3

M A TI É M A TIQ U ES FINA NC I: RES
DÉ FINITIONS
•INTERET =LOYERDE L’
A RDENT

•C OM P ENSA TION P OU R
Temps =reportde consommation
Risque =prob ab il
itéde ne pas recev
oirl
e rendementattendu

4

TA U XD’
INTÉ RÊT S IM P L E
DEFINITION
I ’inPérê P esP diP « simple » lorsqu’il esP cMlculé à cOMque période seulemenP sur lM NMse de lM
somme prê Pée ou emprunPée à l’origine pMr lM suiPe, nous Mppellerons cePPe somme le
cMpiPMlB
PMr l’in Pér ê P sim ple, le cMpiPMl, NMse de cMlcul, resPe consPMnP, de mê me que le monPMnP
d'inPérê P de cOMque périodeB

Ex
empl
e:
In
v
estissemen
t de 10
0€
,tauxd’

in
térêt simpl
e de 5
%V F après 6ans ?

1
00
€

5

TA U XD’
INTÉ RÊT S IM P L E
VP

: le cMpiPMl iniPiMl ou QMleur présenPe,

VF

: le cMpiPMl finMl ou QMleur fuPure

r s : PMux d’inPérê P simple pour une période

IP

: monPMnP d’inPérê P Mccumulé sur P périodes

iP : monPMnP d’inPérê Ps pou lM période PB
VF

i1

i2

i3

i4

iD
i6

Vp

6

TA U XD’
INTERET S IM P L E
D’Mprè s nos définiPions, on M :

I1  V P rs
In

 VP rs   VP rs   BBB  VP rs  nLVP rs 

V F V P  I n V I  nLV I rs V I 1  nrs 
VF

i1

i2

i3

i4

I n1
…

Vp

7

in

TA U XD’
INTERET S IM P L E -A P P L IC A TIONS
InsPrumenPs finMnciers du mMrcOé monéPMire
S ysPè me finMncier  MMrcOés finMnciers  insPiPuPions finMnciè res
MMrcOés finMnciers
• P ermettent l

adéterminationdes v
aleurs marchandes =prix
• A ssurent l
acoordinationet agrégationde l
’
information
• P ermettent unpartage durisque entre l
es participants de marché
• A ssure l
al
iquiditégrâ
ce à présence des marchés secondaires
M archés primaires =oùl
es titres sont émis,i.
e.
oùl
es émetteurs récol
tent des fonds
M archés secondaires =oùl
es titres s’

échangent après émission

8

TA U XD’
INTERET S IM P L E -A P P L IC A TIONS
MMrcOés finMnciers
• MMrcOés monéPMires
 MMrcOé inPerNMncMire
l
ieuoùles b anques financent l
eurs b esoins monétaires ouplacent leurs ex
cédents de
monnaie de b anque central
e.
C’
est aussilà que lab anque central
e interv
ient pour gérer
l

amasse monétaire enachetant ouv
endant des titres.

 MMrcOé des PiPres de créMnce négociMNles
TC N =titres de financement à court (
inférieur à 1an)oumoy
enterme,il
s incl
uent
émis par l
es b anques,caisses d’
épargne,maisons de titres,…)
,
l
es certificats de dépôt (
l
es b illets de trésorerie (
émis par l
es entreprises,l
es col
l
ectiv
ités l
ocal
es,l
es Etats,…)
,
l
es b ons à moy
enterme négociab les (
ouB M TN)
,instrument de financement pl
us soupl
e
(
j
usqu’
à 5ans d’
échéance)
.

9

TA U XD’
INTERET S IM P L E -A P P L IC A TIONS
MMrcOés finMnciers
• MMrcOés monéPMires
 MMrcOé des PiPres de créMnce négociMNles
L es EuroC ommercialP apers sont l
’
équiv
al
ent des TC N sur l
es eurosmarchés
L es EuroM ediumTermNotes sont l
’
équiv
al
ent des B M TN.
L es b ons duTrésor à tauxfix
e(
B TF)
,émis par l
’
Etat,sont aussicôtés sur l
e M M ,av
ec des
échéances standards j
usqu’
à 52semaines.
L es b ons à tauxannuels normalisésoffrent des
échéances entre 2et 5ans.

10

TA U XD’
INTERET S IM P L E -A P P L IC A TIONS
MMrcOés finMnciers
MMrcOés monéPMires: 3 grMndes cMPégories de produiPs

TiPres à es compPe ou PMux in fine

1
00
9
8,
0
4
1
00
2

TiPres à coupon
1
00

TiPres donP lM renPMNiliPé esP indexée s ur l’inflMPion TIPS Mux US 

11

TA U XD’
INTERET S IM P L E -A P P L IC A TIONS
MMrcOés monéPMires: escompPe Qs B yield
TMux d’escompPe: se cMlcule sur lM NMs e de lM QMleur finMle
Vous inQesPissez EED dMns un insPrumenP qui Qerse une QMleur de remNours emenP de
1000, quel es P le PMux d’escompPe ?
−
=
= ,

Y ield : se cMlcule s ur lM NMs e de l’inQesPis semenP réMlisé 36D jCMn
Quel esP le PMux de rendemenP qui corres pond à l’insPrumenP cides sus ?
−
=
= ,

12

TA U XD’
INTERET S IM P L E -A P P L IC A TIONS
F onsidérons un Non du Trésor, mMPuriPé 1 MnB Y ield  1,2D%
F Mlculons son prix
VF

V p?

E P si lM mMPuriPé esP de 1D0 jours ?

13

TA U XD’
INTÉ RÊT S IM P L E -A P P L IC A TIONS
T Nills: écOéMnce inférieure ou égMle à 1 Mn

 V ous inv
estissez 996.
73$pour unb onduTrésoray
antune maturitéde 28j
ours.
L av
aleurde
remb oursement(
V N)estde 1000$.
Q uelestl
e tauxd’
escompte,quelestl
ey
iel
d?
 Indiquez l
e tauxd’
escompte annual
isé%et l
ey
ield annual
isé%siv
ous av
ez achetéunTB ,
maturité182j
ours,pour l
asomme de $4,
925.
L e titre aune v
al
eurnominale de $5,
000.
 S iv
ous souhaitez ob tenirunrendementannual
iséde 3.
5%,comb ine êtesv
ous prêt à pay
er au
max
imumpour unTB ,maturité91j
ours,v
al
eurnominal
e de $5,
000?
 L e prixd’
uncommercialpaper ay
antune maturitéde 182j
ours estde $7,
840.
S il
e tauxannualisé
de rendementestde 4.
093%,quel
le estl
av
al
eurnominal
e de l
’
instrument? (
!365j
ours par an)

14 S ource:M ishkinand Eakins,2015,C hap10

TA U XD’
INTÉ RÊT S IM P L E -A P P L IC A TIONS
T Nills: écOéMnce inférieure ou égMle à 1 Mn

 L e prixd’
uncommercialpaper estde $7,
930pour une v
al
eurnominal
e de $8,
000.
S ile tauxde
rendementannual
iséestde 4%,quel
l
e estl
amaturitéde ce titre ? M ême questionsil
e taux
d’
escompte estde 4%.

15 S ource:M ishkinand Eakins,2015,C hap10

TA U XD’
INTÉ RÊT C OM P OS É S
DEFINITION
L e tauxd’
intérêt est dit composél
orsqu’
àl
afinde chaque période l’
intérêt s’
aj
oute au
capitalde déb ut de période pour former l
ab ase de cal
culde l
’
intérêt pour lapériode
suiv
ante.
Donc:
-l
e capitalde b ase v
arie à chaque période.
-le montant d’
intérêt v
arie à chaque période.
-s’
ils’
agit d’
unpl
acement,l
’
intérêt s’
aj
oute aucapital
.

16

TA U XD’
INTÉ RÊT C OM P OS É S
L A C A P ITA L ISA TION :
général
isation
i1  V p r
i2  V p  i1 r  V p  V p r r  V p 1 r r
2

i3  V p  i1  i2 r  V p  V p r  V p 1  r r r  V p 1  r  r
n 1

i n  V p 1  r 

r

V F ,1  V p  i1  V p  V p  r  V P 1  r 
2

V F , 2  V p 1  r   V p 1  r r  V p 1  r 
2

2

3

V F , 3  V p 1  r   V p 1  r  r  V p 1  r 
n

V F , n  V p 1  r 

17

TA U XD’
INTÉ RÊT C OM P OS É S
L’
A C TU A L ISA TION ET C A P ITA L ISA TION :
général
isation
n

V F ,n  VP 1 r 

VF
VP 
1 r n

18

TA U XD’
INTÉ RÊT C OM P OS É S
Ex
empl
es
 S achantque v
ous pouv
ez ob tenirune rémunérationde 4%effectifannuelsurv
os pl
acements préféreriezv
ous recev
oir5’
00
0€auj
ourd’
huiou5’
80
0€dans trois ans ?
 Q uel
l
e estl
av
al
eur final
e d’
unpl
acementde 1000
€in
v
estiautauxde 2
%pendant3ans,puis autauxde
2,
25
% pendant 2ans,puis autauxde 1
,
75% pendant 5ans? Q uelest l
e rendement moy
ende cet
in
v
estissement ?
 Q uelmontant dev
ezv
ous déposer sur v
otre compte auj
ourd’
huisiv
ous souhaitez av
oir l
a somme de
12’
3
45€dans 7ans?L e tauxde rémunérationde v
otre pl
acementestde 3
,
65%.
 C omb iende temps dev
ezv
ous pl
acer l
asomme de 1500
€pour accumul
er 2333
€siv
otre pl
acement est
rémunéréautauxde 3
,
75%effectifannuel?

19

Q U IZ
 Q uelest l
e tauxd’
escompte et l
e tauxde rendement annual
isés d’
unB onduTrésor acheté à unprixde
990
0
€et qui a une échéance de 9
1j
ours ainsi qu’
une v
al
eur de remb oursement (
ounominal
e)de
10’
0
00€?

 L e tauxd’
escompte annual
isé d’
uninstrument dumarché monétaire est de 3.
75%al
ors que sa v
al
eur
nominal
e est de $
200
,
0
00et sa maturité est de 51j
ours.Q uelest sonprix? Q uelserait sonprixsil
a
maturitéétaitde 7
1j
ours ?

 Q uel
l
e estl
av
al
eur final
e d’
unpl
acementde 240
00
€inv
estiautauxde 2,
5
%pendant4ans,puis autaux
de 2,
25
%pendant6mois,puis autauxde 4%pendant2ans et6mois? Q uelestl
e rendementmoy
ende
cetinv
estissement(
attention,quel
l
e ty
pe de moy
enne estpertinent)?

20

EQ U IV A L ENC E DES TA U X
L es tauxpeuv
entêtre effectifs,nominauxoupériodiques:
• L es tauxeffectifs (
r)correspondentaurendementeffectiv
ementréal
isésurunhorizon
d’
une année

• L es tauxpériodiques (
rp)correspondent àdes tauxeffectifs sur une période inférieure
àune année:
tauxmensuel
,semestriel
,heb domadaire,….

• L es tauxnominaux(
ouproportionnel
s,ri)correspondent autauxpériodique mul
tipl
ié
parl
e nomb re de périodes dansune année
onpeutdoncécrire:

21

EQ U IV A L ENC E DES TA U X
• Transformer untauxeffectifentauxnominal:

• Transformer untauxnominalentauxeffectif:

22

EQ U IV A L ENC E DES TA U X
Ex
ercices:
• Q uelest l
e tauxpériodique mensuelcorrespondant à untauxeffectif annuelde
1.
25%?
• Q uelest l
e tauxproportionnelannueléquiv
al
ent à tauxeffectif annuelde 4.
25%
capital
isépartrimestre ?
• Q uelest l
e tauxpériodique mensuelcorrespondant à untauxeffectif mensuelde
0.
5%?
• Q uelestl
e tauxeffectifannueléquiv
al
entautauxproportionnelannuelde 2.
5%encas
de capital
isationmensuel
l
e des intérêts ?
• Q uelestl
e tauxeffectifannueléquiv
al
entautauxproportionnelannuelde 2.
5%encas
de capital
isationsemestriel
l
e des intérêts ?
• Q uelestl
e tauxproportionnelannueléquiv
al
entàuntauxeffectifannuelde 5.
75%en
cas de capital
isationmensuel
l
e des intérêts ?

23

EQ U IV A L ENC E DES TA U X
L acapitalisationcontinue
• Q ue se passetil l
orsque l
’
on suppose que l
’
intérêt s’
aj
oute au capital
continuel
l
ement?i.
el
orsque ktend v
ers 

→

24