BAB IV PEMBAHASAN - ANALISIS KESTABILAN MODEL MATEMATIKA AIDS DENGAN TRANSMISI VERTIKAL AIDS Repository - UNAIR REPOSITORY

BAB IV PEMBAHASAN Pada bab ini dilakukan analisis model penyebaran penyakit AIDS dengan

  adanya transmisi vertikal pada AIDS. Dari model matematika tersebut ditentukan titik setimbang dan kemudian dianalisis kestabilan dari titik setimbang yang diperoleh.

4.1 Analisis Kestabilan Model Matematika AIDS dengan Transmisi Vertikal AIDS

  Adapun model yang dibahas dalam proposal ini adalah model yang dibangun oleh Mahato dkk, (2014)yakni model matematika AIDS dengan adanya transmisi vertikal.Model matematika AIDS ini memberikan penularan Ibu hamil atau Ibu menyusui yang positif terinfeksi HIV ke anaknya. Ada empat kompartemen dalam model ini, yakni populasi yang sehat dan rentan tertular HIV/AIDS (Susceptible), populasi yang terinfeksi HIV tanpa gejala (Exposed), populasi terinfeksi HIV dengan gejala (Infected ) dan populasi kasus AIDS (AIDS).

  Pada penulisan ini, diberikan beberapa asumsi untuk memodelkan kasus penyebaran HIV/AIDS dengan transmisi vertikal AIDS, yaitu:

  1. Populasi dibagi menjadi empat kompartemen yaitu Susceptible merupakan pupulasi yang rentan, Exposed merupakan populasi yang terinfeksi HIV tanpa gejala, Infected merupakan populasi yang terinfeksi HIV dengan gejala, dan AIDS merupakan populasi penderita AIDS

2. Terdapat faktor penularan ibu hamil maupun ibu menyusui ke anaknya

  14

  3. Laju rekrutmen bertambah dengan Laju Konstan

  4. Pada populasi AIDS diisolasi sehingga tidak dapat menularkan ke populasi yang lain khususnya populasi yang sehat

  5. Kematian HIV karena AIDS diperhatikan.

  Berikut ini adalah keterangan notasi yang berlaku pada model matematika AIDS dengan transmisi vertikal AIDS:

Tabel 4.1. Notasi dan Definisi Parameter Model Matematika AIDS dengan

  Transmisi Vertikal

NOTASI KETERANGAN

  Laju kelahiran yang rentan ∧

  Populasi yang rentan pada saat t ( )

  Populasi yang terinfeksi HIV (tanpa ( ) gejala) pada saat t

  Populasi yang terinfeksi HIV(dengan ( ) gejala) pada saat t

  Populasi yang terkena AIDS pada saat t ( )

  Peluang transmisi penyakit/interaksi dengan individu yang terinfeksi Rata-rata interaksi individu per satuan

  c

  waktu Populasi total pada saat t

  ( ) Laju kematian alami Laju terinfeksi HIV baru Laju transmisi penularan vertikal Laju kematian karena terinfeksi HIV Laju pengembangan menjadi AIDS Laju kematian kasus AIDS

  Selanjutnya untuk mempermudah penulisan dengan demikian notasi , , , ( ), dan berturut-turut ditulis dengan S,E,I,A, dan N.

  Karena notasi S,E,I,A, dan N menyatakan jumlah individu dalam populasi tertentu pada waktu tertentu sehingga diasumsikan:

  , , , , ≥ 0 Selain itu, dalam ilmu fisika kelajuan merupakan salah satu besaran turunan yang tidak bergantung pada arah, sehingga kelajuan termasuk besaran skalar yang nilainya selalu positif. Dengan demikian, dalam skripsi ini dapat diasumsikan ∧, , c, , , , , , dan merupakan parameter yang menyatakan laju, maka ∧, , c, , , , , , ˃ 0.Karena , menyatakan probabilitas maka 0 ≤ ≤ 1, dan 0 ≤ ≤ 1.

  Berdasarkan asumsi dan notasi di atas, maka dapat dibentuk diagram transmisi dari model penyebaran HIV/AIDS dengan adanya transmisi vertikal: ∧ _{S E I A}

  (

• ) ( + )

Gambar 4.1. Diagram Transmisi Model Matematika AIDS dengan Transmisi Vertikal AIDS.

  Berdasarkan

Gambar 4.1 di atas, maka dapat dibentuk suatu model

  matematika AIDS dengan transmisi vertikal AIDS sebagai berikut: =

  (4.1) ∧ − −

  = (4.2)

  − − =

  (4.3)

• − + + =

  (4.4) − + . Pada persamaan (4.1) mempresentasikan laju perubahan populasi yang sehat atau rentan per satuan waktu bertambah karena adanya laju rekrutmen dari populasi yang rentan sebesar ∧. Kemudian berkurang karena adanya interaksi populasi yang rentan dengan populasi yang terinfeksi HIV tanpa gejala sebesar dan berkurang karena adanya kematian alami sebesar .

  Pada persamaan (4.2) mempresentasikan laju perubahan populasi yang terinfeksi HIV tanpa gejala bertambah karena terdapat populasi yang rentan yang telah berinteraksi dengan populasi yang terinfeksi HIV pada fase Isebesar . Kemudian berkurang karena adanya kematian alami pada fase E sebesar dan berkurang karena adanya laju terinfeksi HIV dengan munculnya gejala pada fase

  E sebesar .

  Pada persamaan (4.3) mempresentasikan laju perubahan populasi HIV dengan gejala bertambah karena populasi yang terinfeksi HIV dengan gejala sebesar serta bertambah karena adanya laju transmisi vertikal sebesar . Kemudian berkurang karena adanya laju kematian yang diakibatkan HIV dengan muncul gejala sebesar , berkurang karena adanya kematian alami sebesar , dan berkurang karena berkembangnya populasi HIV dengan gejala ke tahap AIDS sebesar .

  Pada persamaan (4.4) mempresentasikan laju populasi AIDS bertambah karena laju berkembangnya HIV dengan gejala sebesar ke tahap AIDS.

  Kemudian berkurang karena adanya kematian alami sebesar dan kematian akibat AIDS sebesar .

  Selanjutnya, populasi total dinyatakan sebagai = + + + , sehingga laju perubahan dari total populasi adalah =

  Λ − − − − Untuk mempermudah analisis model, Model pada persamaan (4.1) - (4.4) dapat ditulis ulang menjadi :

  = (4.5)

  Λ − − − −

  − − −

  = (4.6) _N − +

  = (4.7)

• − + + =

  (4.8) − + . Selanjutnya dilakukan analisis kestabilan dari model di atas.Adapun langkah pertama yang harus dilakukan adalah menentukan titik setimbang dari model tersebut.Kemudian titik setimbang yang diperoleh disubstitusikan kedalam persamaan model yang telah dilinierisasi menggunakan matriks Jacobian.Matriks Jacobian ini merupakan hampiran linier dari sistem tak linier. Selanjutnya akan dibentuk persamaan karakteristik untuk mendapatkan nilai eigen. Nilai eigen tersebut nantinya digunakan untuk menentukan kestabilan dari model tersebut. Kestabilan model yang dihasilkan diharapkan dapat membantu untuk mengetahui dinamika perilaku sistem dari model tersebut.

  Keadaan setimbang merupakan suatu kondisi ketika perubahan jumlah subpopulasi tertentu sepanjang waktu adalah nol. Dalam model ini, hal tersebut = = = = 0 terpenuhi saat . (4.9)

  Berdasarkan persamaan (4.9) maka dari persamaan (4.5) – (4.8) diperoleh

  (4.10) Λ − − − − = 0

  − − −

  (4.11) _N − + = 0 (4.12)

• − + + = 0

  (4.13) − + = 0. Kemudian dari persamaan-persamaan di atas diperoleh dua titik setimbang yaitu titik setimbang non endemik (bebas penyakit) dan titik setimbang endemik.

  Titik setimbang bebas penyakit adalah suatu kondisi dimana tidak ada

  penyebaran penyakit menular. Titik setimbang ini diperoleh ketika tidak ada individu yang terinfeksi penyakit dalam populasi = 0 . Karena tidak ada individu yang terinfeksi maka mengakibatkan tidak adanya juga individu yang terinfeksi pada fase exposed dan AIDS = 0, = 0 .Titik setimbang bebas

  = , , penyakit dapat dinyatakan dengan 0, = ( , 0, 0, 0) sehingga

  Λ

  . Dengan demikian diperoleh titik setimbang bebas penyakit memenuhi = sebagai berikut

  Λ

  = , , , 0, 0, 0) _{0, = (} .

  Titik setimbang endemik adalah suatu kondisi dimana terdapat

  penyebaran penyakit ≠ 0 . Dengan kata lain titik setimbang endemik ini terjadi pada saat terdapat populasi yang terinfeksi HIV tanpa gejala, populasi HIV dengan gejala, dan populasi AIDS, sehingga diperoleh , , , > 0. Titik setimbang endemik dapat dinyatakan

  ∗ ∗ ∗ ∗

  = ( , , , ) ₁ .

  Dari persamaan (4.10), (4.12), dan (4.13) diperoleh

• − −
2<
• − ∗
• −
• ( + + − )
• ^∗ _∗
• ^∗ _∗

  ,

  =

  =

  (4.18) = Λ ² − ² + − − ^{2 3} + − ( + + )

  = ^{1 2 + − 1 2 − 1} Berdasarkan dari persamaan – persamaan diatas dapat disimpulkan titik setimbang endemik dari model matematika AIDS dengan transmisi vertikal yaitu : ₁ =

  ∗

  ,

  ∗

  ∗

  = Dengan ₁

  ,

  ∗

  dengan :

  ∗

  = Λ

  ∗

  −

  ∗ ∗

  =

  ∗

  =

  ∗

  ∗

  =

  Λ _∗

  −

  (4.14)

  ∗

  = ^∗

  (4.15)

  = ^∗

  Dengan melakukan substitusi persamaan (4.14) – (4.16) ke persamaan (4.17) maka diperoleh

  (4.16) Berdasarkan persamaan (4.11), maka diperoleh

  − − − _N

  − + = 0

  ∗

  1 + ^∗ _∗

  − +

  

∗

  = 0 (4.17)

• ₂
• ₃
• −
• − −
2<
• −

  ∗ ∗

  =

• − _∗ ∗

  =

• −

  eksis jika Untuk syarat titik setimbang _{2 2} ¹ _{2 3}

  Λ − + − − + − ( + + )

  ∗

  = _{1 2 1 2 1} &gt; 0

• − − , , dengan
^{1 2 3 dan , merujuk pada persamaan (4.18)} dapat dilihat di Uraian lengkap perhitungan titik setimbang endemik ¹ Lampiran 1.

  Setelah didapatkan titik setimbang bebas penyakit dan titik setimbang endemik, selanjutnya dianalisis kestabilan lokal dari masing – masing titik setimbang tersebut. Kestabilan lokal disekitar dua titik setimbang dapat membantu untuk mengetahui dinamika perilaku sistem pada model matematika AIDS dengan transmisi vertikal AIDS.

  Berdasarkan persamaan (4.10) – (4.13) terlihat bahwa sistem tersebut merupakan sistem autonomous nonlinear.Untuk menguji kestabilan asimtotis lokal dari titik-titik setimbang bebas penyakit dan endemik perlu dilakukan linierisasi dengan menggunakan matriks Jacobian.

  Misalkan sistem autonomous dari model matematika AIDS dengan transmisi vertikal AIDS didefinisikan sebagai berikut: = (

  (4.19) Λ − − − − = ^{1 , , , )}

  − − −

  = ( (4.20) _N − + = ^{2 , , , )}

  = ( (4.21)

• − + + = ^{3 , , , )}

  = ( (4.22)

  − + = ^{4 , , , ).}

  Berdasarkan

  Definisi 2.3, matriks Jacobian dari persamaan (4.19) – (4.22)

  adalah _{1 2 2 1 1 2 1 2} .

  = _{3 4 3 4 4 3 4 3} Dari sini diperoleh matriks Jacobian sebagai berikut −

  − − − ₂

  ( + ) _{2 2 − 1 1 − − −}

• . (4.23)

  = − ³ ₂

  − merujuk pada persamaan (4.18). dengan ^{1 , 2 , dan 3} Untuk menganalisis kestabilan dari suatu sistem dapat ditentukan dari nilai eigen matriks Jacobian model. Berikut analisis kestabilan asimtotis lokal dari titik setimbang bebas penyakit ^{1 .} dan titik setimbang endemik

  )

a. Kestabilan Lokal di Titik Setimbang Bebas Penyakit (

  Matriks Jacobian pada persamaan (4.23) dievaluasi pada titik setimbang

  Λ

  = , 0,0,0 bebas penyakit HIV/AIDS adalah −

  − − − ¹

  = .

  − ³ − ² merujuk pada persamaan (4.18). dengan ^{1 , 2 , 3} Berdasarkan matrik Jacobiantersebut, dapat dibentuk suatu persamaan sebagai berikut: karakteristik dari matriks det − = 0yaitu: _{2 1 2}

  = 0 (4.24) ⇔ ( + ) + ² +

• dengan
_{1 1} + = ( ) _{3 2} = _{1 3 1 2 3 merujuk pada persamaan (4.18)} − dan , ,

  Berdasarkan persamaan karakteristik (4.24) maka didapat nilai eigen sebagai berikut _{1 −} = _{2 −} = = _{2 −( + ).}

  ) Berdasarkan stabil

  Teorema 2.2 agar titik setimbang bebas penyakit (

  asimtotis jika dan hanya jika persamaan karakteristik (4.24) mempunyai akar-akar yang negatif. Karena laju kematian alami dan laju kematian karena AIDS &lt; 0 &lt; 0 bernilai positif , maka jelas bahwa ^{1 dan 2} Sedangkan nilai eigen yang lain diperoleh dari akar persamaan

• = 0
_{1 2} Selanjutnya akan ditentukan syarat agar persamaan (4.25) memiliki akar- akar yang negatif. Tanda dari nilai eigen yang merupakan akar dari persamaan (4.25) tidak mudah ditentukan, sehingga digunakan kriteria Routh Hurwitz.

  (4.25) ² +

  Berdasarkan

  Teorema 2.3. syarat agar akar persamaan (4.25) bernilai negatif atau

  &gt; 0 &gt; 0 . mempunyai bagian real negatif jika ^{1 dan 2} ₁ = ( ), = = _{1 3 1 3} Pandang dengan + dan + + − .

• Dari sini diperoleh

  _{1 + + + −} = 2 = ) 2 + + + (1 − ¹

  = .. dengan ¹ ₂

  &gt; 0 &lt; 1 . Dari uraian di atas didapati bahwa syarat untuk ^{1 jika 1}

  &gt; 0 . Selanjutnya, akan diberikan syarat agar ² ₂ =

• − ( + ) − = )
• (1 &mi
• ( + )

  = . dengan

  &gt; 0 &lt; 1 dan Dari uraian di atas didapati bahwa syarat untuk ^{2 jika , dengan} ₁ merupakan bilangan reproduksi dasar yakni menyatakan rata-rata banyaknya kasus baru dari individu yang terinfeksi penyakit menular terhadap individu yang rentan. Bilangan reproduksi dasar ini dapat dijadikan tolak ukur terjadi atau tidaknya penyakit menular.

  Berdasarkan uraian di atas dapat dibentuk sebuah teorema terkait kestabilan dari titik setimbang bebas penyakit sebagai berikut

  Λ

  = , 0,0,0

  Teorema 4.1 Titik setimbang bebas penyakit

  pada model matematika AIDS dengan transmisi vertikal AIDS akan stabil asimtotis jika &lt; 1 &lt; 1 . memenuhi dan ¹ Teorema 4.1 dapat diartikan bahwa setiap individu yang terinfeksi HIV dapat menularkan penyakit HIV kepada rata-rata kurang dari satu penderita baru

  &lt; 1 &lt; 1 . sehingga penyakit HIV dapat dieliminasi jika dan ¹

  )

b. Kestabilan Lokal di titik Setimbang Endemik (

  Setelah diperoleh analisis kesatabilan lokal untuk titik setimbang non endemik selanjutnya akan dianalisis kestabilan lokal untuk titik setimbang endemik. Dengan langkah yang sama seperti diatas sehingga matriks Jacobian di

  ∗ ∗ ∗ ∗

  = , , , adalah sebagai berikut: titik setimbang ¹

  − _∗ − −

  − _{1 − 2 3 ∗ 1} = , − ³

  − ² , , merujuk pada persamaan (4.18). dengan ^{1 2 3} Kemudian berdasarkan matriks tersebut, dapat dibentuk persamaan karakteristik ₁ dengan menggunakan det − = 0, sehingga diperoleh persamaan ₁ adalah karakteristik dari matriks ₁

₂ ) + ( ) _{2 3 = 0 3} ⟺ ( + )( + ²

  ) _{1 2 = 0 (4.26)} ⟺ ( + )( + ²

• ₂
• dengan

  ∗ ∗ ∗

• ₁

  ) (

  = +

  ∗2 ∗ ∗ ∗ ₂ + = ₁ ∗2 ∗ ∗ ∗

  2 _{3 1 − − −} =

  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ _{1 1} + + = ₃ ∗ ∗ ∗ ∗

  2 _{2 1 − − − .} =

  ∗ ∗ ∗ Berdasarkan uraian di atas, untuk mengetahui kestabilan dari titik setimbang secara analitik melalui analisis nilai eigen dari persamaan (4.26) sulit endemik ¹ dilakukan karena melibatkan koefisien persamaan karakteristik yang rumit.

  Dengan demikian penentuan kestabilan dengan kriteria Routh-Hurwitz juga sulit dianalisis untuk dilakukan.Oleh karena itu, kestabilan lokal titik setimbang ¹ secara numerik menggunakan software MATLAB. Berikut adalah asumsi parameter yang digunakan :

Tabel 4.2 Parameter model matematika AIDS dengan adanya transmisi vertikal Parameter Nilai Satuan

  10 Per tahun ∧

  0.5 1 orang per tahun

  10 - c

  0.2 Per tahun

  0.8 Per tahun

  0.2 Per tahun

  0.01 Per tahun

  0.9 Per tahun

  0.8 Per tahun Simulasi yang dilakukan dengan menggunakan metode bidang fase dengan memberikan tiga nilai awal untuk variabelN, E, I, A yang berbeda untuk mengetahui letak kekonvergenan solusi dari tiap-tiap nilai awal parameter yang diberikan. Berikut adalah nilai awal yang diberikan:

Tabel 4.3 Parameter Nilai Awal Nama No Nilai Satuan

  Jumlah populasi 1 1000 awal (0) 2 800 Orang 3 500

  Jumlah populasi 1 750 Orang awal (0)

  2 650

  3 300 Jumlah populasi 1 300 awal (0)

  2 200 Orang 3 100 Jumlah populasi

  1

  50 awal (0)

  2

  10 Orang

  3

  1 Berdasarkan nilai parameter pada

Tabel 4.2 di atas diperoleh nilai dari

  = (35, 9, 8, 6) . Berikut ini adalah gambar dari bidang fase titik setimbang ¹ model matematika AIDS dengan adanya transmisi vertikal.

Gambar 4.2 Grafik Bidang Fase dan untuk Titik Setimbang Endemik

  Pada

Gambar 4.2 grafik bidang fase tersebut dapat diketahui bahwa

  semuanya konvergen ke titik 35, 8 . Berdasarkan nilai parameter yang

  = = 4.2198 &gt; 1 digunakan

  Berdasarkan uraian diatas maka dapat dibentuk dugaan atau konjektur sebagai berikut :

  ∗ ∗ ∗ ∗ _{1 pada model} = , , , Konjektur 4.1 Titik setimbang endemik

  matematika AIDS dengan adanyaTransmisi vertikal akan ada dan stabil asimtotis

  = &gt; 1 lokal jika

4.2 Simulasi Numerik Model Matematika AIDS dengan adanya Transmisi Vertikal

4.2.1 Simulasi dan Interpretasi Model

  Pada subbab ini disimulasikan model matematika AIDS dengan adanya transmisi vertikal.Hal tersebut dilakukan untuk mengetahui perilaku dari subpopulasi pada model tersebut.Simulasi ini dilakukan dalam waktu = 50 tahun, dengan nilai awal 0 , 0 , 0 , 0 = 200,150,40,20 . Berikut ini adalah hasil simulasi untuk subpopulasi N, E, I, A.

Gambar 4.3 Dinamika Populasi AIDS dengan Transmisi Vertikal untuk

  &lt; 1 . Kasus

  Pada

Gambar 4.3 terlihat bahwa laju transmisi semakin besardan laju

  transmisi semakin kecil. Hal ini dikarenakan tidak adanya interaksi antara dengan . Oleh karena itu, kondisi ini menunjukan tidak terjadi endemik di dalam populasi.

  Selanjutnya akan diberikan hasil simulasi untuk model matematika AIDS &gt; 1 dengan transmisi vertikal ketika dalam waktu = 10 tahun,dengan nilai awal 0 , 0 , 0 , 0 = 1000,750,200,50 dan nilai parameter yang diperbesar yaitu = 0.5, = 10, dan = 0.8.

  Gambar 4.4Dinamika Populasi AIDS dengan Transmisi Vertikal untuk Kasus

  &gt; 1 .

  Pada Gambar 4.4 terlihat bahwa laju transmisi populasi total ( )semakin kecil. Hal ini dikarenakan laju transmisi HIV dengan gejala ( ) semakin besar.

  Oleh karena itu, kondisi ini menunjukan terjadi endemik di dalam populasi.