Materi Barisan dan Deret Olimpiade Matem
Barisan dan Deret
1.
Barisan dan deret aritmetika
Pengertian, rumus suku ke-n dan rumus Jumlah
suku pertama
Barisan aritmetika adalah barisan yang setiap dua suku berurutan memiliki selisih yang
konstan.
adalah barisan aritmetika dengan suku pertama adalah
dan beda adalah .
dirumuskan dengan:
Suku ke-n
Jumlah
bilangan pertama
dirumuskan dengan:
Suku tengah
Jika
menyatakan suku tengah dari suatu barisan aritmetika, maka:
Dengan
Sisipan
bilangan ganjil.
Jika setiap dua bilangan berurutan pada barisan aritmetika disisipi
buah bilangan namun tetap
membentuk barisan aritmetika, maka beda barisan tersebut akan memiliki perubahan dengan suku
pertama tetap.
Misalkan
beda barisan yang baru dan
beda barisan yang lama, Berlaku:
Barisan Aritmetika Bertingkat
Misalkan ada barisan
yang bukan merupakan barisan aitmetika sebab
tidak konstan. Tetapi apabila diambil
bernilai konstan.
dan seterusnya sampai pada suatu saat
Maka kita dapat mengambil kesimpulan bahwa rumus jumlah
suku pertama,
, barisan
tersebut merupakan polinomial pangkat .
2.
Barisan dan deret geometri
Pengertian, rumus suku ke- dan rumus Jumlah
suku pertama barisan geometri adalah
barisan yang setiap dua suku berurutan memiliki perbandingan yang konstan. Misalkan
adalah barisan geometri dengan suku pertama
dirumuskan dengan:
Suku ke-
Jumlah
dan rasio . Berlaku:
bilangan pertama
dirumuskan dengan:
Suku Tengah
Misalkan
menyatakan suku tengah dari suatu barisan geometri. Berlaku:
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
Sisipan
Misalkan setiap dua bilangan berurutan pada barisan geometri disisipi
buah bilangan
namun tetap membentuk barisan geometri. Rasio barisan tersebut akan memiliki perubahan
dengan suku pertama tetap.
Misalkan
rasio barisan yang baru dan
rasio barisan yang lama. Hubungan
keduanya adalah:
√
Barisan geometri tak hingga
jika
Dari persamaan
maka
dengan syarat
.
Rumus tersebut merupakan rumus jumlah dari suatu barisan tak hingga dengan suatu syarat
tertentu.
3.
Barisan dan deret lainnya
Suatu barisan tidak harus masuk ke dalam salah satu dari dua bentuk di atas. Sebagai contoh
adalah barisan yang berbentuk
yang merupakan penjumlahan dari dua
bilangan sebelumnya. Untuk menyelesaikan persoalan yang ditanyakan memerlukan
pengetahuan terhadap pola dari barisan tersebut.
Beberapa rumusan deret lainnya:
4.
(
)
Prinsip Teleskopik
Prinsip teleskopik banyak digunakan untuk menyederhanakan suatu deret. Ada dua bentuk
umum yang dikenal, yaitu penjumlahan dan perkalian sebagai berikut:
∑
∏
Berikut beberapa penjumlahan yang dapat digunakan untuk menyelesaikan soal deret
menggunakan teleskopik:
(
)
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
(
)
(
[
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
]
)
Latihan Soal
1.
Diketahui barisan
2.
Sebuah barisan jumlah
3.
Nilai dari
. Tentukan suku ke-10 dan jumlah 4 suku pertama.
buah suku pertama dirumuskan dengan
maka
∑
4.
Pada sebuah barisan aritmatika, nilai suku ke-25 tiga kali nilai suku ke-5. Suku yang bernilai
dua kali nilai suku pertama adalah suku ke ...
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
5.
Sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku membentuk barisan aritmatika. Jika sisi hipotenusa sama
dengan 20, maka keliling segitiga tersebut adalah ...
6.
Pada suatu deret aritmatika berlaku
. Nilai
7.
Hasil penjumlahan semua bilangan bulat di antara √
8.
Pada setiap dua bilangan berurutan dari barisan
dan √
adalah ...
disisipi sebanyak 4
bilangan. Tentukan suku ke-100 dari barisan yang baru.
9.
Diketahui barisan
. Tentukan rumus jumlah
tersebut.
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
suku pertama dari barisan
10. Diketahui barisan
. Tentukan suku ke-5 dan jumlah 4 suku pertama barisan
tersebut.
11. Pada barisan geometri diketahui
dan
Nilai
12. Tiga bilangan membentuk deret geometri dengan jumlah 65. Jika suku ke-3 dikurangi 20
terbentuklah deret aritmatika, maka rasio barisan tersebut adalah ...
13. Pada setiap dua bilangan berurutan dari barisan
disisipi sebanyak 3
bilangan. Tentukan suku ke-7 dari barisan yang baru.
14. Jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah 6 dan jumlah dari suku-suku yang bernomor
ganjil adalah 4. Suku ke-6 barisan tersebut adalah ...
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
15. Hitunglah nilai dari √ √ √ √
16. Hitunglah nilai dari
17. Bilangan bulat positif terkecil
sehingga
merupakan kuadrat
sempurna adalah ...
18. Jika
,
dan
adalah tiga suku pertama deret geometri tak hingga, maka
jumlah suku-sukunya adalah ...
19. Tiga buah bilangan merupakan barisan aritmatika. Bila suku tengahnya dikurangi 5, maka
terbentuk suatu barisan geometri dengan rasio sama dengan 2. Jumlah barisan aritmatika itu
adalah ...
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
20. Agar bilangan
21. Tentukan rumus jumlah
sedekat mungkin kepada
suku pertama dari barisan
, haruslah
adalah ...
22. Jika jumlah 2015 bilangan bulat positif berurutan adalah sebuah bilangan kuadrat sempurna.
Tentukan nilai minimum dari ke 2015 bilangan tersebut.
23. Bilangan bulat positif terkecil
dengan
√
merupakan bilangan bulat adalah ⋅⋅⋅
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
sehingga
24.
adalah bilangan bulat positif yang memenuhi
adalah kuadrat dari
tiga bilangan yang membentuk barisan aritmatika. Tentukan nilai
25. Nilai dari
26. Nilai dari
adalah ...
adalah ...
27. Nilai dari
28. Diketahui
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
adalah ...
Tentukan nilai
29. Nilai dari
30. Nilai dari
√
√
√
√
adalah ...
adalah ...
31. Nilai dari
32. Nilai dari
33. Nilai dari
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
adalah ...
adalah ...
adalah ...
34. Nilai dari
adalah ...
35. Buktikan
36. Sebuah deret aritmatika terdiri dari
suku (ganjil). Jumlah semua sukunya 260, besar suku
tengahnya 20, serta beda deret tersebut adalah 3. Nilai
37. Perhatikan barisan bilangan
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
. Suku negatifnya yang pertama adalah ...
38. Diketahui
∑
∑
Nilai dari
∑
39. Pada suatu deret aritmetika berlaku
40. Jika
untuk
Nilai dari
dan
41. Diketahui
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
maka
Jika
bilangan positif, maka
42. Barisan
memenuhi
untuk
dan mempunyai
jumlah sama dengan 137. Tentukan nilai dari
43. Misalkan
adalah suku ke-
tentukan nilai dari suku ke-
dari suatu barisan aritmatika. Jika
dan
maka
.
44. Pada suatu deret tak hingga, suku-suku yang bernomor ganjil berjumlah sedangkan suku-suku
yang bernomor genap berjumlah . Suku pertamanya adalah ...
45. Afkar memilih suku-suku barisan geometri tak hingga
untuk membuat barisan
geometri tak hingga baru yang jumlahnya . Tiga suku pertama pilihan Afkar adalah ...
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
46. Tiga buah bilangan merupakan barisan aritmatika. Bila suku tengahnya dikurangi 5, maka
terbentuk suatu barisan geometri dengan rasio sama dengan 2. Jumlah barisan aritmatika itu
adalah ...
47. Tentukan rumus jumlah
suku pertama dari barisan 4, 10, 20, 35, 56, ...
48. Tentukan jumlah 100 bilangan asli pertama yang bukan bilangan kuadrat sempurna.
49. Diketahui
adalah bilangan bulat yang memenuhi
membentuk
membentuk barisan geometri. Jika
maka
barisan aritmetika sedangkan
tentukan nilai dari
.
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
50. Barisan bilangan bulat
memenuhi
untuk
. Jumlah 1492
bilangan pertama adalah 1985 dan jumlah 1985 bilangan pertama adalah 1492. Tentukan
jumlah 2001 bilangan pertama.
51. Nilai
yang memenuhi persamaan
adalah ...
√ √ √
√
√
√
52. Hitunglah nilai dari
53. Barisan
⋅⋅⋅ terdiri dari semua bilangan asli yang bukan kuadrat atau pangkat
tiga bilangan bulat. Suku ke-250 barisan tersebut adalah ...
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
54. Barisan
memiliki blok angka 1 yang berisi
buah angka 2 pada blok ke- . Tentukan jumlah 1234 bilangan pertama.
55. Misalkan
Jika
adalah fungsi yang memenuhi
maka
56. Tentukan nilai dari
√
57. Barisan
√
memenuhi
maka semua pasangan
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
√
√
Jika terdapat bilangan berurutan sehingga
yang memenuhi adalah ...
58. Hitunglah nilai dari
∑
59. Barisan
memenuhi
dan
Nilai dari
60. Tentukan nilai √
√
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
√
serta
1.
Barisan dan deret aritmetika
Pengertian, rumus suku ke-n dan rumus Jumlah
suku pertama
Barisan aritmetika adalah barisan yang setiap dua suku berurutan memiliki selisih yang
konstan.
adalah barisan aritmetika dengan suku pertama adalah
dan beda adalah .
dirumuskan dengan:
Suku ke-n
Jumlah
bilangan pertama
dirumuskan dengan:
Suku tengah
Jika
menyatakan suku tengah dari suatu barisan aritmetika, maka:
Dengan
Sisipan
bilangan ganjil.
Jika setiap dua bilangan berurutan pada barisan aritmetika disisipi
buah bilangan namun tetap
membentuk barisan aritmetika, maka beda barisan tersebut akan memiliki perubahan dengan suku
pertama tetap.
Misalkan
beda barisan yang baru dan
beda barisan yang lama, Berlaku:
Barisan Aritmetika Bertingkat
Misalkan ada barisan
yang bukan merupakan barisan aitmetika sebab
tidak konstan. Tetapi apabila diambil
bernilai konstan.
dan seterusnya sampai pada suatu saat
Maka kita dapat mengambil kesimpulan bahwa rumus jumlah
suku pertama,
, barisan
tersebut merupakan polinomial pangkat .
2.
Barisan dan deret geometri
Pengertian, rumus suku ke- dan rumus Jumlah
suku pertama barisan geometri adalah
barisan yang setiap dua suku berurutan memiliki perbandingan yang konstan. Misalkan
adalah barisan geometri dengan suku pertama
dirumuskan dengan:
Suku ke-
Jumlah
dan rasio . Berlaku:
bilangan pertama
dirumuskan dengan:
Suku Tengah
Misalkan
menyatakan suku tengah dari suatu barisan geometri. Berlaku:
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
Sisipan
Misalkan setiap dua bilangan berurutan pada barisan geometri disisipi
buah bilangan
namun tetap membentuk barisan geometri. Rasio barisan tersebut akan memiliki perubahan
dengan suku pertama tetap.
Misalkan
rasio barisan yang baru dan
rasio barisan yang lama. Hubungan
keduanya adalah:
√
Barisan geometri tak hingga
jika
Dari persamaan
maka
dengan syarat
.
Rumus tersebut merupakan rumus jumlah dari suatu barisan tak hingga dengan suatu syarat
tertentu.
3.
Barisan dan deret lainnya
Suatu barisan tidak harus masuk ke dalam salah satu dari dua bentuk di atas. Sebagai contoh
adalah barisan yang berbentuk
yang merupakan penjumlahan dari dua
bilangan sebelumnya. Untuk menyelesaikan persoalan yang ditanyakan memerlukan
pengetahuan terhadap pola dari barisan tersebut.
Beberapa rumusan deret lainnya:
4.
(
)
Prinsip Teleskopik
Prinsip teleskopik banyak digunakan untuk menyederhanakan suatu deret. Ada dua bentuk
umum yang dikenal, yaitu penjumlahan dan perkalian sebagai berikut:
∑
∏
Berikut beberapa penjumlahan yang dapat digunakan untuk menyelesaikan soal deret
menggunakan teleskopik:
(
)
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
(
)
(
[
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
]
)
Latihan Soal
1.
Diketahui barisan
2.
Sebuah barisan jumlah
3.
Nilai dari
. Tentukan suku ke-10 dan jumlah 4 suku pertama.
buah suku pertama dirumuskan dengan
maka
∑
4.
Pada sebuah barisan aritmatika, nilai suku ke-25 tiga kali nilai suku ke-5. Suku yang bernilai
dua kali nilai suku pertama adalah suku ke ...
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
5.
Sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku membentuk barisan aritmatika. Jika sisi hipotenusa sama
dengan 20, maka keliling segitiga tersebut adalah ...
6.
Pada suatu deret aritmatika berlaku
. Nilai
7.
Hasil penjumlahan semua bilangan bulat di antara √
8.
Pada setiap dua bilangan berurutan dari barisan
dan √
adalah ...
disisipi sebanyak 4
bilangan. Tentukan suku ke-100 dari barisan yang baru.
9.
Diketahui barisan
. Tentukan rumus jumlah
tersebut.
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
suku pertama dari barisan
10. Diketahui barisan
. Tentukan suku ke-5 dan jumlah 4 suku pertama barisan
tersebut.
11. Pada barisan geometri diketahui
dan
Nilai
12. Tiga bilangan membentuk deret geometri dengan jumlah 65. Jika suku ke-3 dikurangi 20
terbentuklah deret aritmatika, maka rasio barisan tersebut adalah ...
13. Pada setiap dua bilangan berurutan dari barisan
disisipi sebanyak 3
bilangan. Tentukan suku ke-7 dari barisan yang baru.
14. Jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah 6 dan jumlah dari suku-suku yang bernomor
ganjil adalah 4. Suku ke-6 barisan tersebut adalah ...
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
15. Hitunglah nilai dari √ √ √ √
16. Hitunglah nilai dari
17. Bilangan bulat positif terkecil
sehingga
merupakan kuadrat
sempurna adalah ...
18. Jika
,
dan
adalah tiga suku pertama deret geometri tak hingga, maka
jumlah suku-sukunya adalah ...
19. Tiga buah bilangan merupakan barisan aritmatika. Bila suku tengahnya dikurangi 5, maka
terbentuk suatu barisan geometri dengan rasio sama dengan 2. Jumlah barisan aritmatika itu
adalah ...
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
20. Agar bilangan
21. Tentukan rumus jumlah
sedekat mungkin kepada
suku pertama dari barisan
, haruslah
adalah ...
22. Jika jumlah 2015 bilangan bulat positif berurutan adalah sebuah bilangan kuadrat sempurna.
Tentukan nilai minimum dari ke 2015 bilangan tersebut.
23. Bilangan bulat positif terkecil
dengan
√
merupakan bilangan bulat adalah ⋅⋅⋅
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
sehingga
24.
adalah bilangan bulat positif yang memenuhi
adalah kuadrat dari
tiga bilangan yang membentuk barisan aritmatika. Tentukan nilai
25. Nilai dari
26. Nilai dari
adalah ...
adalah ...
27. Nilai dari
28. Diketahui
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
adalah ...
Tentukan nilai
29. Nilai dari
30. Nilai dari
√
√
√
√
adalah ...
adalah ...
31. Nilai dari
32. Nilai dari
33. Nilai dari
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
adalah ...
adalah ...
adalah ...
34. Nilai dari
adalah ...
35. Buktikan
36. Sebuah deret aritmatika terdiri dari
suku (ganjil). Jumlah semua sukunya 260, besar suku
tengahnya 20, serta beda deret tersebut adalah 3. Nilai
37. Perhatikan barisan bilangan
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
. Suku negatifnya yang pertama adalah ...
38. Diketahui
∑
∑
Nilai dari
∑
39. Pada suatu deret aritmetika berlaku
40. Jika
untuk
Nilai dari
dan
41. Diketahui
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
maka
Jika
bilangan positif, maka
42. Barisan
memenuhi
untuk
dan mempunyai
jumlah sama dengan 137. Tentukan nilai dari
43. Misalkan
adalah suku ke-
tentukan nilai dari suku ke-
dari suatu barisan aritmatika. Jika
dan
maka
.
44. Pada suatu deret tak hingga, suku-suku yang bernomor ganjil berjumlah sedangkan suku-suku
yang bernomor genap berjumlah . Suku pertamanya adalah ...
45. Afkar memilih suku-suku barisan geometri tak hingga
untuk membuat barisan
geometri tak hingga baru yang jumlahnya . Tiga suku pertama pilihan Afkar adalah ...
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
46. Tiga buah bilangan merupakan barisan aritmatika. Bila suku tengahnya dikurangi 5, maka
terbentuk suatu barisan geometri dengan rasio sama dengan 2. Jumlah barisan aritmatika itu
adalah ...
47. Tentukan rumus jumlah
suku pertama dari barisan 4, 10, 20, 35, 56, ...
48. Tentukan jumlah 100 bilangan asli pertama yang bukan bilangan kuadrat sempurna.
49. Diketahui
adalah bilangan bulat yang memenuhi
membentuk
membentuk barisan geometri. Jika
maka
barisan aritmetika sedangkan
tentukan nilai dari
.
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
50. Barisan bilangan bulat
memenuhi
untuk
. Jumlah 1492
bilangan pertama adalah 1985 dan jumlah 1985 bilangan pertama adalah 1492. Tentukan
jumlah 2001 bilangan pertama.
51. Nilai
yang memenuhi persamaan
adalah ...
√ √ √
√
√
√
52. Hitunglah nilai dari
53. Barisan
⋅⋅⋅ terdiri dari semua bilangan asli yang bukan kuadrat atau pangkat
tiga bilangan bulat. Suku ke-250 barisan tersebut adalah ...
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
54. Barisan
memiliki blok angka 1 yang berisi
buah angka 2 pada blok ke- . Tentukan jumlah 1234 bilangan pertama.
55. Misalkan
Jika
adalah fungsi yang memenuhi
maka
56. Tentukan nilai dari
√
57. Barisan
√
memenuhi
maka semua pasangan
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
√
√
Jika terdapat bilangan berurutan sehingga
yang memenuhi adalah ...
58. Hitunglah nilai dari
∑
59. Barisan
memenuhi
dan
Nilai dari
60. Tentukan nilai √
√
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
√
serta