Fungsi Komposisi Fungsi dan Invers Fungs (5)
Fungsi, Komposisi Fungsi, dan Invers
Fungsi Matematika
rumus hitung 43 Comments
Fungsi, Komposisi Fungsi, dan Invers Fungsi Matematika – Sobat hitung kali ini kita
akan belajar tentang fungsi komposisi matematik SMA. Rumushitung telah merangkumkan
materi tersebut semoga bisa membantu belajarnya. Let’s check this out!
Apa itu Relasi?
Dalam fungsi matematika dikenal adanya relasi. Misal sobat punya dua himpunan cowok
ganteng dengan himpunan cewek jelek, kemudia sobat kaitkan anggota himpunan cowok
ganteng dengan cewek jelek berdasarkan suatu hubungan tertentu maka bisa dikatakan ada
relasi antera kedua himpunan tersebut. Jika himpunan cowok ganteng kita sebut himpunan A
dan himpunan cewek jelek kita sebut himpunan B, maka relasi A ke B bisa dinyatakan dalam
kalimat matematika
R :A→ B
Contoh lain :
A = {1,2,3,4} dan B = [1,2,3,4,5,6} jika sobat kaitkan kedua himpunan dengan hubungan “A
merupakan setengah dari B” maka relasi tersebut dapat digambarkan dalam diagram berikut
Fungsi atau Pemetaan
Apa sebenarnya yang dimakasud dengan fungsi atau pemetaan? suatu relasi dari A ke B yang
memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B disebut dengan fungsi atau
pemetaan dari A ke B. Suatu fungsi umumnya dinotasikan dengan huruf ef kecil (f). Misalny
f adalah fungsi yang memtakan dari A ke B, maka fungsi tersebut ditulis
f : A → BA disebut dengan daerah asal [domain]
B disebut dengan daerah kawan [codomain]
Jikaf memetakan x ∈ A ke y ∈B maka dapat sobat hitung katakan bahwa y adalah peta dari
x dan dapat ditulis f : x → y (f memetakan x ke y) atau y adalah fungsi dari x, y = f(x).
Contoh
Diagaram disamping adalah pemetaan f: A → B dengan
daerah asal A = {a,b,c,d,e}
daerah kawan B = {1,2,3,4,5,6}
f(a) = 1; f(b) = 2; f(c) = 3; f(d) = 4; f(e) = 5, sehingga
didapat range (daerah hasil) H = {1,2,3,4,5}
fungsi yang memetakan daerah asal ke daerah kawan bermacam-macam sobat, bisa fungsi
sederhana, linier, kuadrat, dan sebagainya.
Contoh
Misal f: R → R dengan f(x+2) = x2-x, tentukan berapa nilai f(x) dan f(1)
Kita misalkan y = x + 2, sehingga x = y-2
f(y) = (y-2)2 – (y-2) = y2 – 4y + 4 – y +2 = y2 -5y + 6
sehingga bisa didapat f(x) = x2 -5x + 6
f(1) = 12 -5(1) + 6 = 2
Komposisi Fungsi
Jika sobat hitung menggabungkan dua fungsi secara berurutan akan menghasilkan sebuah
fungsi baru. Apa yang sobat lakukan tersebut disebut dengan mengkomposisikan fungsi dan
hasilnya disebut komposisi fungsi. Coba sobat hitung simak ilustrasi berikut
Pada diagram di atas fungsi f dikomposisikan dengan fungsi g menghasilkan fungsi h. h
dinamakan fungsi komposisi dari fungsi f dan g dinotasikan h = f o g (sobat mungkin sering
sebut fog atau f bundaran g). Jadi jika kira rinci
g(y) = g(f(x))
h(x) = g(f(x)) atau h (x) = (g o f) (x) = g(f(x))
Buat lebih jelas kita latihan dengan contoh soal berikut
Jika f(x) = 2x2 + 1 dan g(x) = x+2
tentukan
a. (g o f ) (x)
b. (g o f ) (5)
c. (f o g) (x)
d. (f o g) (3)
Jawab:
mengkomposisikan fungsi sebenarnya sangat sederhana, sobat hanya perlu mentaati asas
ketika memasukkan nilai x.
a. (g o f ) (x) —> kita masukkan fungsi f sebagai x dalam fungsi g
(g o f ) (x) = g(f(x)) = g (2x2+1) = 2x2+1 + 2 = 2x2+3
b. (g o f ) (5) = 2(5)2 + 3 = 53
c. (f o g) (x) –> kita masukkan fungsi g sebagai x dalam fungsi f
(f o g) (x) = f(g(x)) = f (x+2) = 2(x+2)2 +1 = 2 (x2+4x+4) +1 = 2x2 + 8x +8 + 1 = 2x2 + 8x + 9
d. (f o g) (3) = 2(3)2 + 8(3) + 9 = 51
Invers Fungsi
Apa itu invers fungsi? Misal sobat punya fungsi f: A → B maka invers fungsi dari f
dinyatakan dengan f-1: B → A
jika y = f(x) maka x = f-1(y).
Hasil invers dari suatu fungsi dapat merupakan fungsi atau bukan fungsi. Kapan invers suatu
fungsi merupakan fungsi juga? Jawabannya ketik fungsi tersebeut berkorespondensi satusatu. Ketika suatu fungsi bukan merupkan korespondensi satu-satu maka inversnya bukan
merupakan sebuah fungsi melainkan suatu relasi.
Bagaimana Menentukan Invers Suatu Fungsi?
Invers suatu fungsi dapat ditentukan dengan terlebih dahulu memisalkan fungsinya
denga y
Kemudian menyatakan variabel x sebagai fungsi dari y
Mengganti y dalam fungsi menjadi x
Contoh
Tentukan ivers dari fungsi f(x) = 2x + 6
Pembahasan
f(x) = 2x + 6
misal y = 2x + 6
2x = y – 6
x=½y–3
dengan demikian f-1(y) = ½ y – 3 atau f-1(x) = ½ x – 3
Contoh 2
Tentukan Invers dari fungsi y = 2x + 3/ 4x + 5
jawab :
y = 2x + 3/ 4x + 5
y (4x + 5) = 2x + 3
4yx + 5y = 2x + 3
4yx – 2x = 3 – 5y
x (4y-2) = 3 – 5y
x = 3 – 5y / 4y-2
atau
x = -5y +3 / 4y – 2
jadi dengan dimikian f-1 (y) = 2x + 3/ 4x + 5 = -5y +3 / 4y – 2
atau f-1(x) = -5x +3 / 4x – 2
Penyelesaian contoh soal fungsi komposisi nomor dua bisa sobat kerjakan dengan
menggunakan rumus cepat
Jika f(x) = ax + b/cx + d maka inversnya f-1(x) = -dx + b / cx – a
Pengertian Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
Fungsi Komposisi
Dari dua jenis fungsi f(x) dan g(x) kita dapat membentuk sebuah fungsi baru
dengan menggunakan sistem operasi komposisi. operasi komposisi biasa
dilambangkan dengan "o" (komposisi/bundaran). fungsi baru yang dapat kita
bentuk dari f(x) dan g(x) adalah:
(g o f)(x) artinya f dimasukkan ke g
(f o g)(x) artinya g dimasukkan ke f
Contoh Soal 1:
Diketahui f(x) = 3x - 4 dan g(x) = 2x, maka tentukanlah rumus (f o g)(x) dan (g o
f)(x) ...
Jawab:
(f o g)(x) = g dimasukkan ke f menggantikan x
(f o g)(x) = 3(2x)-4
(f o g)(x) = 6x - 4
(g o f)(x) = f dimasukkan ke g menggantikan x
(g o f)(x) = 2(3x-4)
(g o f)(x) = 6x-8
Syarat Fungsi Komposisi
Contoh Soal 2
Misal fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut :
f : {(-1,4), (1,6), (3,3), (5,5)}
g : {(4,5), (5,1), (6,-1), (7,3)}
Tentukan :
a. f o g d. (f o g) (2)
b. g o f e. (g o f) (1)
c. (f o g) (4)
f. (g o f) (4)
Jawab :
Pasangan terurut dari fungsi f dan g dapat digambarkan dengan diagram panah
berikut ini
a. (f o g) = {(4,5), (5,6), (6,4), (7,3)}
b. (g o f) = {(-1,5), (1,-1), (3,3), (5,1)}
c. (f o g) (4) = 5
d. (f o g) (2) tidak didefinisikan
e. (g o f) (1) = -1
Sifat-sifat Fungsi Komposisi
Fungsi komposisi memiliki beberapa sifat, diantaranya:
Tidak Komutatif
(g o f)(x) = (f o g)(x)
Asosiatif
(f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x)]
Fungsi Identitas I(x) = x
(f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x)
Cara Menentukan fungsi bila fungsi komposisi dan fungsi yang lain
diketahui
Misalkan jika fungsi f dan fungsi komposisi (f o g) atau (g o f) telah diketahui
maka kita dapat menentukan fungsi g. demikian juga sebaliknya.
Contoh Soal 3
Misal fungsi komposisi (f o g) (x) = -4x + 4 dan f (x) = 2x + 2.
Tentukan fungsi g (x).
Jawab :
(f o g) (x) = -4x + 4
f (g (x)) = -4x + 4
2 (g (x)) + 2 = -4x + 4
2 g (x) = -4x + 2
g (x) = -4x + 2
2
g (x) = -2x + 1
Jadi fungsi g (x) = -2x + 1
Fungsi Invers
Apabila fungsi dari himpunan A ke B dinyatakan dengan f, maka invers dari
fungsi f merupakan sebuah relasi dari himpunan A ke B. Sehingga, fungsi invers
dari f : A -> B adalah f-1: B -> A. dapat disimpulkan bahwa daerah hasil dari f-1 (x)
merupakan daerah asal bagi f(x) begitupun sebaliknya.
Cara menenukan fungsi invers bila fungsi f(x) telah diketahui:
Pertama
Ubah persamaan y = f (x) menjadi bentuk x sebagai fungsi dari y
Kedua
Hasil perubahan bentuk x sebagai fungsi y itu dinamakan sebagai f-1(y)
Ketiga
Ubah y menjadi x [f-1(y) menjadi f-1(x)]
Contoh Soal:
Fungsi Matematika
rumus hitung 43 Comments
Fungsi, Komposisi Fungsi, dan Invers Fungsi Matematika – Sobat hitung kali ini kita
akan belajar tentang fungsi komposisi matematik SMA. Rumushitung telah merangkumkan
materi tersebut semoga bisa membantu belajarnya. Let’s check this out!
Apa itu Relasi?
Dalam fungsi matematika dikenal adanya relasi. Misal sobat punya dua himpunan cowok
ganteng dengan himpunan cewek jelek, kemudia sobat kaitkan anggota himpunan cowok
ganteng dengan cewek jelek berdasarkan suatu hubungan tertentu maka bisa dikatakan ada
relasi antera kedua himpunan tersebut. Jika himpunan cowok ganteng kita sebut himpunan A
dan himpunan cewek jelek kita sebut himpunan B, maka relasi A ke B bisa dinyatakan dalam
kalimat matematika
R :A→ B
Contoh lain :
A = {1,2,3,4} dan B = [1,2,3,4,5,6} jika sobat kaitkan kedua himpunan dengan hubungan “A
merupakan setengah dari B” maka relasi tersebut dapat digambarkan dalam diagram berikut
Fungsi atau Pemetaan
Apa sebenarnya yang dimakasud dengan fungsi atau pemetaan? suatu relasi dari A ke B yang
memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B disebut dengan fungsi atau
pemetaan dari A ke B. Suatu fungsi umumnya dinotasikan dengan huruf ef kecil (f). Misalny
f adalah fungsi yang memtakan dari A ke B, maka fungsi tersebut ditulis
f : A → BA disebut dengan daerah asal [domain]
B disebut dengan daerah kawan [codomain]
Jikaf memetakan x ∈ A ke y ∈B maka dapat sobat hitung katakan bahwa y adalah peta dari
x dan dapat ditulis f : x → y (f memetakan x ke y) atau y adalah fungsi dari x, y = f(x).
Contoh
Diagaram disamping adalah pemetaan f: A → B dengan
daerah asal A = {a,b,c,d,e}
daerah kawan B = {1,2,3,4,5,6}
f(a) = 1; f(b) = 2; f(c) = 3; f(d) = 4; f(e) = 5, sehingga
didapat range (daerah hasil) H = {1,2,3,4,5}
fungsi yang memetakan daerah asal ke daerah kawan bermacam-macam sobat, bisa fungsi
sederhana, linier, kuadrat, dan sebagainya.
Contoh
Misal f: R → R dengan f(x+2) = x2-x, tentukan berapa nilai f(x) dan f(1)
Kita misalkan y = x + 2, sehingga x = y-2
f(y) = (y-2)2 – (y-2) = y2 – 4y + 4 – y +2 = y2 -5y + 6
sehingga bisa didapat f(x) = x2 -5x + 6
f(1) = 12 -5(1) + 6 = 2
Komposisi Fungsi
Jika sobat hitung menggabungkan dua fungsi secara berurutan akan menghasilkan sebuah
fungsi baru. Apa yang sobat lakukan tersebut disebut dengan mengkomposisikan fungsi dan
hasilnya disebut komposisi fungsi. Coba sobat hitung simak ilustrasi berikut
Pada diagram di atas fungsi f dikomposisikan dengan fungsi g menghasilkan fungsi h. h
dinamakan fungsi komposisi dari fungsi f dan g dinotasikan h = f o g (sobat mungkin sering
sebut fog atau f bundaran g). Jadi jika kira rinci
g(y) = g(f(x))
h(x) = g(f(x)) atau h (x) = (g o f) (x) = g(f(x))
Buat lebih jelas kita latihan dengan contoh soal berikut
Jika f(x) = 2x2 + 1 dan g(x) = x+2
tentukan
a. (g o f ) (x)
b. (g o f ) (5)
c. (f o g) (x)
d. (f o g) (3)
Jawab:
mengkomposisikan fungsi sebenarnya sangat sederhana, sobat hanya perlu mentaati asas
ketika memasukkan nilai x.
a. (g o f ) (x) —> kita masukkan fungsi f sebagai x dalam fungsi g
(g o f ) (x) = g(f(x)) = g (2x2+1) = 2x2+1 + 2 = 2x2+3
b. (g o f ) (5) = 2(5)2 + 3 = 53
c. (f o g) (x) –> kita masukkan fungsi g sebagai x dalam fungsi f
(f o g) (x) = f(g(x)) = f (x+2) = 2(x+2)2 +1 = 2 (x2+4x+4) +1 = 2x2 + 8x +8 + 1 = 2x2 + 8x + 9
d. (f o g) (3) = 2(3)2 + 8(3) + 9 = 51
Invers Fungsi
Apa itu invers fungsi? Misal sobat punya fungsi f: A → B maka invers fungsi dari f
dinyatakan dengan f-1: B → A
jika y = f(x) maka x = f-1(y).
Hasil invers dari suatu fungsi dapat merupakan fungsi atau bukan fungsi. Kapan invers suatu
fungsi merupakan fungsi juga? Jawabannya ketik fungsi tersebeut berkorespondensi satusatu. Ketika suatu fungsi bukan merupkan korespondensi satu-satu maka inversnya bukan
merupakan sebuah fungsi melainkan suatu relasi.
Bagaimana Menentukan Invers Suatu Fungsi?
Invers suatu fungsi dapat ditentukan dengan terlebih dahulu memisalkan fungsinya
denga y
Kemudian menyatakan variabel x sebagai fungsi dari y
Mengganti y dalam fungsi menjadi x
Contoh
Tentukan ivers dari fungsi f(x) = 2x + 6
Pembahasan
f(x) = 2x + 6
misal y = 2x + 6
2x = y – 6
x=½y–3
dengan demikian f-1(y) = ½ y – 3 atau f-1(x) = ½ x – 3
Contoh 2
Tentukan Invers dari fungsi y = 2x + 3/ 4x + 5
jawab :
y = 2x + 3/ 4x + 5
y (4x + 5) = 2x + 3
4yx + 5y = 2x + 3
4yx – 2x = 3 – 5y
x (4y-2) = 3 – 5y
x = 3 – 5y / 4y-2
atau
x = -5y +3 / 4y – 2
jadi dengan dimikian f-1 (y) = 2x + 3/ 4x + 5 = -5y +3 / 4y – 2
atau f-1(x) = -5x +3 / 4x – 2
Penyelesaian contoh soal fungsi komposisi nomor dua bisa sobat kerjakan dengan
menggunakan rumus cepat
Jika f(x) = ax + b/cx + d maka inversnya f-1(x) = -dx + b / cx – a
Pengertian Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
Fungsi Komposisi
Dari dua jenis fungsi f(x) dan g(x) kita dapat membentuk sebuah fungsi baru
dengan menggunakan sistem operasi komposisi. operasi komposisi biasa
dilambangkan dengan "o" (komposisi/bundaran). fungsi baru yang dapat kita
bentuk dari f(x) dan g(x) adalah:
(g o f)(x) artinya f dimasukkan ke g
(f o g)(x) artinya g dimasukkan ke f
Contoh Soal 1:
Diketahui f(x) = 3x - 4 dan g(x) = 2x, maka tentukanlah rumus (f o g)(x) dan (g o
f)(x) ...
Jawab:
(f o g)(x) = g dimasukkan ke f menggantikan x
(f o g)(x) = 3(2x)-4
(f o g)(x) = 6x - 4
(g o f)(x) = f dimasukkan ke g menggantikan x
(g o f)(x) = 2(3x-4)
(g o f)(x) = 6x-8
Syarat Fungsi Komposisi
Contoh Soal 2
Misal fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut :
f : {(-1,4), (1,6), (3,3), (5,5)}
g : {(4,5), (5,1), (6,-1), (7,3)}
Tentukan :
a. f o g d. (f o g) (2)
b. g o f e. (g o f) (1)
c. (f o g) (4)
f. (g o f) (4)
Jawab :
Pasangan terurut dari fungsi f dan g dapat digambarkan dengan diagram panah
berikut ini
a. (f o g) = {(4,5), (5,6), (6,4), (7,3)}
b. (g o f) = {(-1,5), (1,-1), (3,3), (5,1)}
c. (f o g) (4) = 5
d. (f o g) (2) tidak didefinisikan
e. (g o f) (1) = -1
Sifat-sifat Fungsi Komposisi
Fungsi komposisi memiliki beberapa sifat, diantaranya:
Tidak Komutatif
(g o f)(x) = (f o g)(x)
Asosiatif
(f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x)]
Fungsi Identitas I(x) = x
(f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x)
Cara Menentukan fungsi bila fungsi komposisi dan fungsi yang lain
diketahui
Misalkan jika fungsi f dan fungsi komposisi (f o g) atau (g o f) telah diketahui
maka kita dapat menentukan fungsi g. demikian juga sebaliknya.
Contoh Soal 3
Misal fungsi komposisi (f o g) (x) = -4x + 4 dan f (x) = 2x + 2.
Tentukan fungsi g (x).
Jawab :
(f o g) (x) = -4x + 4
f (g (x)) = -4x + 4
2 (g (x)) + 2 = -4x + 4
2 g (x) = -4x + 2
g (x) = -4x + 2
2
g (x) = -2x + 1
Jadi fungsi g (x) = -2x + 1
Fungsi Invers
Apabila fungsi dari himpunan A ke B dinyatakan dengan f, maka invers dari
fungsi f merupakan sebuah relasi dari himpunan A ke B. Sehingga, fungsi invers
dari f : A -> B adalah f-1: B -> A. dapat disimpulkan bahwa daerah hasil dari f-1 (x)
merupakan daerah asal bagi f(x) begitupun sebaliknya.
Cara menenukan fungsi invers bila fungsi f(x) telah diketahui:
Pertama
Ubah persamaan y = f (x) menjadi bentuk x sebagai fungsi dari y
Kedua
Hasil perubahan bentuk x sebagai fungsi y itu dinamakan sebagai f-1(y)
Ketiga
Ubah y menjadi x [f-1(y) menjadi f-1(x)]
Contoh Soal: