PPT MATH VIIIA_edt2 PPT MATH VIIIA_edt2
MATEMATIKA
Disusun Oleh:
Heri Dwi Nugroho
Disklimer
Daftar Isi
Disklaimer
• Powerpoint pembelajaran ini dibuat sebagai
alternatif guna membantu Bapak/Ibu Guru
melaksanakan pembelajaran.
• Materi powerpoint ini mengacu pada Kompetensi
Inti (KI) dan Kompetensi Dasar (KD) Kurikulum 2013.
• Dengan berbagai alasan, materi dalam powerpoint
ini disajikan secara ringkas, hanya memuat poinpoin besar saja.
• Dalam penggunaannya nanti, Bapak/Ibu Guru dapat
mengembangkannya sesuai kebutuhan.
• Harapan kami, dengan powerpoint ini Bapak/Ibu
Guru dapat mengembangkan pembelajaran secara
kreatif dan interaktif.
Daftar Isi
BAB IPola Bilangan
BAB IIKoordinat Kartesius
BAB IIIRelasi dan Fungsi
BAB IV Persamaan Garis Lurus
BAB V Sistem Persamaan Linear Dua V ariabel
BAB I
Pola Bilangan
A. Pola Barisan Konfigurasi Objek
B. Pola dan Suku-Suku Barisan Bilangan
C. Barisan dan Deret Aritmetika
D. Barisan dan Deret Geometri
Kembali ke Daftar
Isi
A. Pola Konfigurasi
Objek
1. Pengertian Pola Barisan Bilang
an
2. Barisan Bilangan Khusus dan P
olanya
Kembali ke BAB I
1. Pengertian Pola Barisan Bilangan
Barisan bilangan dapat diartikan sebagai susunan
bilangan yang memiliki keteraturan
Contoh:
Batang-batang korek api disusun seperti berikut.
Banyak batang korek api yang dibutuhkan adalah 3,
5, 7, 9.
Banyak batang korek api yang dibutuhkan untuk
pola berikutnya dengan menambahkan 2 batang
pada pola sebelumnya.
2. Barisan Bilangan Khusus dan Polanya
a. Barisan Bilangan Asli
Barisan bilangan asli adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, · · · .
Barisan asli dapat ditampilkan dengan gambar berikut
b. Barisan Bilangan Ganjil
Barisan bilangan ganjil adalah 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, · · · .
Barisan ini dapat ditampilkan dengan gambar berikut.
c. Barisan Bilangan Genap
Barisan bilangan genap adalah 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, · · ·
.
Barisan ini dapat ditampilkan dengan gambar berikut
d. Barisan Bilangan Segitiga
Barisan bilangan segitiga adalah 1, 3, 6, 10, 15, · · · .
Barisan ini dapat ditampilkan dengan gambar berikut.
e. Barisan Bilangan Persegi Panjang
Salah satu barisan bilangan persegi panjang adalah 2, 6,
12, 20, · · · .
Barisan ini dapat ditampilkan dengan gambar berikut.
f.
Barisan Bilangan Persegi
Barisan bilangan persegi adalah 1, 4, 9, 16, 25, · · · .
Barisan bilangan persegi sering disebut barisan bilangan
kuadrat. Barisan ini dapat ditampilkan dengan gambar
berikut.
g. Barisan Bilangan pada Segitiga Pascal
Beberapa sifat barisan bilangan pada segitiga Pascal sebagai berikut.
1) Pada setiap baris diawali dan diakhiri dengan bilangan 1.
2) Setiap bilangan diperoleh dengan menjumlah dua bilangan di atasnya kecuali
bilangan pada baris pertama dan kedua.
3) Bilangan-bilangan dalam satu diagonal membentuk suatu barisan, misalkan:
diagonal pertama : 1, 1, 1, 1, 1, · · · (barisan bilangan konstan)
diagonal kedua : 1, 2, 3, 4, · · · (barisan bilangan asli)
diagonal ketiga : 1, 3, 6, 10, · · · (barisan bilangan segitiga)
CONTOH SOAL
Perhatikan pola berikut ini.
Berapa banyaknya persegi pada pola ke-7 dan ke-12?
Jawaban:
Banyaknya persegi pada
pola ke-1 = 5 = 5 + 0 = 5 + 3 × 0
pola ke-2 = 8 = 5 + 3 = 5 + 3 × 1
pola ke-3 = 11 = 5 + 6 = 5 + 3 × 2
Dari pola di atas maka:
pola ke-7 = 5 + (3 × 6) = 23
pola ke-12 = 5 + (3 × 11) = 38
Jadi, banyaknya persegi pada pola ke-7 dan ke-12 adalah 23 dan
38.
B. Pola dan Suku-Suku Barisan
Bilang
1. Pengertian Barisan Bilangan
2. Beberapa Contoh Aturan Barisan
Bilangan
3. Menemukan Rumus Suku Ke-n (Un
)
Kembali ke BAB I
1. Pengertian Barisan Bilangan
Perhatikan pola bilangan-bilangan berikut.
a. 1, 3, 5, 7
b. 2, 4, 6, 8, 10
c. 3, 6, 9, 12, 15, . . .
Jika kamu perhatikan, bilangan-bilangan pada a, b, dan c
disusun dengan pola tertentu. Bilanganbilangan tersebut
disebut barisan bilangan. Adapun setiap bilangan dalam
barisan bilangan disebut
suku barisan. Suku ke-n suatu barisan bilangan ditulis
dengan Un.
Pada barisan bilangan: 1, 3, 5, 7 diperoleh:
Suku ke-1 = U1 = 1
Suku ke-2 = U2 = 3
Suku ke-3 = U3 = 5
Suku ke-4 = U4 = 7
Jadi, barisan bilangan 1, 3, 5, 7 memiliki 4 suku.
2. Beberapa Contoh Aturan Barisan Bilangan
a. Barisan dengan Aturan Ditambah
1) Barisan Bertingkat Satu
Barisan bilangan 1, 3, 5, 7, · · · merupakan barisan bertingkat satu.
2) Barisan Bertingkat Dua
Barisan bilangan 0, 1, 3, 6, · · · merupakan barisan bertingkat dua.
3) Barisan Bertingkat Tiga
Barisan bilangan 0, 1, 3, 8, 18, 35, · · · merupakan barisan
bertingkat tiga.
b. Barisan dengan Aturan Dikali
c. Barisan dengan Aturan Dipangkatkan
d. Barisan fibonacci
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . .
Aturannya: mulai suku
ketiga, setiap suku diperoleh
dengan menjumlahkan dua
suku sebelumnya.
3. Menemukan Rumus Suku Ke-n
(U
n)
Prinsip
dasar menentukan rumus suku ke-n adalah
mencari kaitan antara bilangan satu dengan suku
kesatu, bilangan dua dengan suku kedua, bilangan
tiga dengan suku ketiga, dan seterusnya.
Contoh:
Barisan bilangan 2, 4, 8, 16, · · ·
U 1 = 2 = 21
U 2 = 4 = 22
U 3 = 8 = 23
U4 = 16 = 24, dan seterusnya
Diperoleh rumus suku ke-n adalah Un = 2n .
C. Barisan dan Deret
Aritmetika
1. Barisan Aritmetika
2. Deret Aritmetika
Kembali ke BAB I
1. Barisan Aritmetika
a. Pengertian Barisan
Aritmetika
Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang selisih
antara dua suku barisan yang berurutan nilainya selalu
atau sama pada Barisan Aritmetika
b. tetap
Rumus-Rumus
1) Rumus Suku Ke-n (Un)
Un = a + (n – 1)b
2) Beda (b)
b = Un – (Un – 1)
3) Rumus
1 Suku Tengah (Ut)
Ut = U1 +Un
2
c. Jenis-Jenis Barisan Aritmetika
1) Barisan Aritmetika Naik
2) Barisan Aritmetika Turun
2. Deret Aritmetika
Deret aritmetika adalah nilai yang diperoleh dari
penjumlahan suku-suku barisan bilangan aritmetika.
Jika U1, U2, U3, · · · , Un – 1, Un membentuk barisan aritmetika,
bentuk penjumlahan U1 + U2 + U3 + · · · + Un – 1 + Un disebut
Rumus
penjumlahan n suku pertama deret aritmetika
deret aritmetika.
dapat dituliskan sebagai berikut.
Dengan : Sn = jumlah n suku pertama
n = banyak suku
a = suku pertama
b = beda suku
Un = suku terakhir
Contoh Soal
Setiap Minggu Dina menyimpan uang di laci. Pada
minggu pertama Dina menyimpan Rp500,00,
minggu
kedua
Rp700,00,
minggu
ketiga
Rp900,00, minggu keempat Rp1.100,00, begitu
seterusnya setiap minggu bertambah Rp200,00.
a.Tentukan besar uang yang disimpan Dina pada
minggu ke-20.
b.Tentukan jumlah uang yang disimpan Dina
setelah 36 minggu.
D.
Barisan dan Deret Geometri
1.
Barisan Geometri
2.
Deret Geometri
Kembali ke BAB I
1. Barisan Geometri
a. Pengertian Barisan
Geometri
Barisan geometri adalah barisan bilangan yang
perbandingan setiap dua suku barisan yang berurutan
selalu tetap
atau
sama. Aritmetika
b. nilainya
Rumus-Rumus
pada
Barisan
1) Rumus Suku Ke-n (Un)
Un = arn – 1
2) Rasio (r)
Un
r
Un 1
3) Rumus Suku Tengah (Ut)
Ut U1 �Un
2. Deret Geometri
Deret geometri adalah penjumlahan dari suku-suku barisan geometri.
Jika U1, U2, U3, · · · , Un – 1, Un membentuk barisan geometri,
bentuk penjumlahan U1 + U2 + U3 + · · · + Un – 1 + Un disebut
deret geometri.
Rumus
penjumlahan n suku pertama deret geometri
dapat dituliskan sebagai berikut.
Dengan : Sn = jumlah n suku pertama
n = banyak suku
a = suku pertama
b = beda suku
Contoh Soal
1. Tentukan suku ke-8 dari setiap barisan
geometri berikut.
a. 1, 3, 9, 27, · · ·
b. 3, –6, 12, –24, · · ·
2. Berdasarkan pengamatan diketahui bahwa
setiap bakteri berkembang biak menjadi dua
kali lipat dalam waktu dua menit. Semula ada
50 sel bakteri untuk pengamatan.
a. Berapa banyak bakteri setelah 10 menit?
b. Setelah berapa menit jumlah bakteri menjadi
25.600 sel?
BAB II
Koordinat Kartesius
A. Letak Benda pada Koordinat Kar
tesius
B. Posisi Relatif Benda Menggunak
an Koordinat Kartesius
Kembali ke Daftar
Isi
A.Letak Benda pada Koordinat Kartesius
1. Jarak Tempat/Benda terhadap Garis Su
mbu
2. Membaca Letak Benda Menggunakan Si
stem Koordinat
3. Membaca dan Menuliskan Letak Titik/Be
nda pada Sistem Koordinat Kartesius
Kembali ke BAB II
1. Jarak Tempat/Benda terhadap Garis
Sumbugambar di
Perhatikan
samping. Jarak antara
titik/benda dari garis sumbu
dapat kamu hitung seperti
gambar
di samping.
a.
Pasar berjarak
2 satuan
terhadap jalan X dan
berjarak 4 satuan
jalan Y.
b. terhadap
Rumah belajar
berjarak 6
satuan terhadap jalan X
dan berjarak 6 satuan
terhadap jalan Y.
c. SMPN 1 berjarak 3 satuan terhadap jalan X dan berjarak 5
satuan terhadap jalan Y.
2. Membaca Letak Benda Menggunakan Sistem
Koordinat
Perhatikan gambar di samping.
Letak tempat-tempat pelayanan
tersebut dapat ditunjukkan dengan
sistem koordinat secara sederhana.
Sumbu mendatar diberi kode huruf
abjad dan sumbu tegak diberi kode
bilangan.
Letak tempat-tempat layanan
tersebut dapat ditulis sebagai
berikut.
Hotel terletak pada koordinat (C,
5).
Bank terletak pada koordinat (F, 5).
Pasar terletak pada koordinat (F,
10).
Kantor Pos terletak pada koordinat
(J, 3).
Sekolah terletak pada koordinat (J,
3.
Membaca dan Menuliskan Letak
Titik/Benda pada Sistem Koordinat
Kartesius
Cara membaca letak titik pada
sistem koordinat kartesius sebagai
berikut.
a.Gunakan titik acuan (0, 0) untuk
menentukan titik A(x, y).
b.x menunjukkan banyak
langkah/satuan untuk arah
mendatar (arah ke kanan bernilai
positif, arah ke kiri bernilai
negatif).
c.y menunjukkan banyak
langkah/satuan untuk arah tegak
(arah kemenentukan
atas bernilaikoordinat
positif, arah
Misalnya
titik A. Perhatikan gambar
bawah
di ke
atas
. Daribernilai
titik (0,negatif).
0) melangkah 5 satuan ke kanan (x =
5), dilanjutkan ke atas 2 satuan (y = 2). Jadi, koordinat titik
A(5, 2).
Contoh Soal
Jajargenjang ABCD terletak pada bidang koordinat
dengan koordinat titik A(–2, –4), B(6, –4), dan C(9,
2).
Tentukan:
a. koordinat titik D dengan bantuan gambar;
b. panjang AB;
c. tinggi jajargenjang; dan
d. luas jajargenjang.
B. Posisi Relatif
Benda
Menggunakan
Koordinat
Kartesius
Keterangan Gambar
Contoh Soal
Perhatikan gambar berikut.
Dengan sistem koordinat
kartesius, tentukan koordinat
tempat-tempat di pada gambar
di samping dengan titik acuan
yang diberikan.
a. Posisi kampus dan stasiun
dengan titik acuan balai kota.
b. Posisi toko buku dan apotek
dengan titik acuan stasiun.
c. Posisi toko buku dan stasiun
dengan titik acuan kampus
Kembali ke BAB II
BAB III
Relasi dan Fungsi
A. Relasi dan Fungsi
B. Rumus Fungsi, Nilai Fungsi, dan Gr
afik Fungsi
Kembali ke Daftar
Isi
A.Relasi dan
Fungsi
1. Relasi
2. Fungsi
Kembali ke BAB III
1. Relasi
a. Pengertian Relasi
Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu
hubungan (pengaitan) yang memasangkan (mengawankan)
anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota
himpunan B. Relasi
b. Menyajikan
1) Relasi Berbentuk Tabel
2) Relasi Berbentuk Diagram Panah
3) Relasi Berbentuk Himpunan Pasangan
Berurutan
4) Relasi pada Bidang Koordinat Kartesius
2.
Fungsi
a. Pengertian Fungsi
Fungsi disebut juga pemetaan.
Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus
yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan
tepat satu anggota himpunan B.
Notasi Fungsi: f : x y atau f : x f(x) atau f : x y = f(x)
Tepat satu artinya tidak boleh lebih dan tidak boleh kurang
dari suatu
satu. relasi merupakan fungsi atau pemetaan sebagai
Syarat
berikut.
1) Setiap anggota A mempunyai pasangan di B.
2) Setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B.
b. Domain, Kodomain, dan Range
Fungsi f memetakan anggota himpunan A
ke anggota himpunan B.
A = {1, 2, 3, 4} disebut daerah asal
(domain).
B = {3, 5, 7, 9, 11} disebut daerah kawan
(kodomain).
Dari diagram panah di samping diperoleh
himpunan pasangan berurutan
f = {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9)}.
(1, 3) dibaca bayangan 1 oleh fungsi f
adalah 3.
(1, 3) juga dapat dituliskan dengan f(1) = 3
dibaca
nilai dari
f(1)mempunyai
adalah 3. pasangan
Himpunan dari anggota
kodomain
yang
dengan
anggota domain dinamakan daerah hasil (range).
Dengan demikian, range fungsi = {3, 5, 7, 9}.
c. Banyak Fungsi yang Mungkin dari
Dua Relasi
Jika banyak anggota himpunan A = n(A) dan banyak
anggota himpunan B = n(B) maka:
1) banyak fungsi yang mungkin dari A ke B =
n(B)n(A) dan
2) banyak fungsi yang mungkin dari B ke A =
n(A)n(B) .
d. Fungsi Korespondensi Satu-Satu
Suatu fungsi dikatakan korespondensi satu-satu jika setiap
anggota domain dipasangkan dengan tepat satu anggota
kodomain dan sebaliknya setiap anggota kodomain
dipasangkan dengan tepat satu anggota domain.
Jika terdapat himpunan A dan B dengan n(A) = n(B) = n,
banyak korespondensi satu-satu yang mungkin dari himpunan
A ke himpunan B adalah n × (n – 1) × (n – 2) × (n – 3) × . . . ×
3 × 2 × 1.
B. Rumus Fungsi, Nilai Fungsi, dan
Grafik Fungsi
1. Rumus Fungsi dan
Nilai Fungsi
2. Grafik Fungsi pad
a Bidang Koordina
t Kartesius
Kembali ke BAB III
1. Rumus Fungsi dan Nilai
Fungsi f : x y = f(x) dari himpunan A ke himpunan B jika
Fungsi
digambarkan dalam bentuk diagram panah seperti
gambar di bawah.
y merupakan peta atau bayangan x atau nilai fungsi dari
x, ditulis y = f(x).
x merupakan prapeta dari f(x) atau x merupakan
prapeta dari y.
Dalam bentuk pasangan berurutan, f : x y = f(x)
dituliskan sebagai (x, y) atau (x, f(x)).
Himpunan dari nilai y = f(x) disebut daerah hasil atau
range f.
Contoh Menentukan Nilai Fungsi
Suatu fungsi f : x 3x + 5 dapat dinyatakan dengan rumus
fungsi f(x) = 3x + 5. Berdasarkan rumus fungsi ini, dapat
ditentukan nilai fungsi untuk setiap nilai x pada domain {x |
–2 ≤ x ≤ 1, x bilangan bulat} sebagai berikut.
Nilai fungsi untuk x = –2 adalah f(–2) = 3 × (–2) + 5 = –6 +
5 = –1
Nilai fungsi untuk x = –1 adalah f(–1) = 3 × (–1) + 5 = –3 +
5=2
Nilai fungsi untuk x = 0 adalah f(0) = 3 × 0 + 5 = 0 + 5 =
5
Nilai fungsi untuk x = 1 adalah f(1) = 3 × 1 + 5 = 3 + 5 =
8
Himpunan pasangan berurutan f : x 3x + 5 pada domain
{x | –2 ≤ x ≤ 1, x bilangan bulat} adalah {(–2, –1), (–1,
2), (0, 5), (1, 8)}.
Range f = {–1, 2, 5, 8}.
Prapeta dari –1 adalah f–1(–1) = –2.
Prapeta dari 2 adalah f–1(2) = –1.
Prapeta dari 5 adalah f–1(5) = 0.
Prapeta dari 8 adalah f–1(8) = 1
2. Grafik Fungsi pada Bidang Koordinat
Kartesius
a.Grafik
n
b.Grafik
as
c. Grafik
d.Grafik
t
Fungsi Konsta
Fungsi Identit
Fungsi Linear
Fungsi Kuadra
a.Grafik Fungsi Konstan
Fungsi konstan dinyatakan dengan rumus f(x) = c, c
bilangan real.
Grafik fungsi f(x) = 3 pada domain {x | –3 ≤ x ≤ 3} dapat
digambar sebagai berikut.
Tabel fungsi f(x) = 3.
.
Grafik Fungsi Identitas
Fungsi identitas dinyatakan dengan rumus f(x) = x.
Grafik fungsi f(x) = x dengan {x | –4 < x ≤ 3} dapat
digambar sebagai berikut.
Tabel fungsi f(x) = x.
c.
Grafik Fungsi Linear
Fungsi linear dinyatakan dengan rumus f(x) = ax + b
dengan a ≠ 0 dan a, b, bilangan real.
.
Grafik Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat dinyatakan dengan rumus f(x) = ax2
+ bx + c dengan a ≠ 0 dan a, b, bilangan real.
BAB IV
Persamaan Garis Lurus
A.Grafik Garis Lurus
B.Gradien Garis Lurus
C. Persamaan Garis Lurus
D.
Kedudukan Dua Garis L
urus
Kembali ke Daftar
Isi
A. Grafik Garis Lurus
1. Persamaan Garis Lu
rus
2. Syarat Titik Terleta
k pada Garis
3. Menggambar Grafik
Garis Lurus
Kembali ke BAB
IV
1. Persamaan Garis Lurus
Bentuk umum persamaan garis lurus dalam variabel x dan y
sebagai berikut.
y = mx +
n
atau
Ax + by = c
Contoh:
y = –2x + 4 dan 4x + 2y = 8 merupakan persamaan garis
lurus.
Perhatikan cara mengubah persamaan garis lurus menjadi
bentuk
lain yang ekuivalen berikut.
2.
Syarat Titik Terletak pada Garis
Sebuah titik terletak pada suatu garis jika nilai absis dan
ordinat titik tersebut memenuhi persamaan garisnya .
Titik (x1, y1) terletak pada garis y = mx + n jika y1 = mx1
+ n bernilai benar.
Contoh:
Titik (1, 4) terletak pada garis y = –2x + 6
karena 4 = –2(1) + 6 ⇔ 4 = 4 bernilai benar.
Titik (2, 2) terletak pada garis y = –2x + 6
karena 2 = –2(2) + 6 ⇔ 2 = 2 bernilai benar.
Titik (3, 5) tidak terletak pada garis y = –2x + 6
karena 5 = –2(3) + 6 ⇔ 5 = 0 bernilai salah.
3.
Menggambar Grafik Garis Lurus
a.
Menggambar Grafik Garis Lurus
Menggunakan Beberapa Titik Bantu
Langkah-langkahnya sebagai berikut.
1) Menentukan beberapa titik bantu yang terletak
pada garis lurus.
2) Menggambar titik-titik bantu tersebut pada bidang
koordinat kartesius.
3) Menghubungkan titik-titik bantu pada bidang
koordinat kartesius dengan garis lurus.
Contoh Soal.
Diketahui titik A(0, 15), B(5, 25), C(10, 35), dan
D(30, 75).
1. Gambarlah garis yang melalui titik A dan B.
2. Gambarlah garis yang melalui titik A dan C.
3. Gambarlah garis yang melalui titik A dan D.
4. Gambarlah garis yang melalui titik B dan C.
Apakah keempat grafik garis tersebut merupakan
grafik garis yang sama? Selidikilah!
b. Menggambar Grafik Garis Lurus Menggunakan
Pertolongan Titik Perpotongan Garis dengan
Sumbu
Koordinat sebagai berikut.
Langkah-langkahnya
1) Menentukan titik potong garis dengan sumbu X.
Garis memotong sumbu X di y = 0. Substitusikan y = 0 ke
dalam persamaan garis untuk menentukan titik potong
garis dengan sumbu X.
2) Menentukan titik potong garis dengan sumbu Y.
Garis memotong sumbu Y di x = 0. Substitusikan x = 0
ke dalam persamaan garis untuk menentukan titik
potong garis dengan sumbu Y.
3) Menggambar titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y
tersebut pada bidang koordinat kartesius.
4) Menghubungkan kedua titik potong dengan garis lurus.
5) Menuliskan persamaan garisnya pada salah satu ujung
garis.
B. Gradien Garis
Lurus
1.Gradien Garis
2.Menentukan Gradien Garis
3.Sifat-Sifat Gradien Suatu Garis
Kembali ke BAB
IV
1. Gradien Garis
Gradien garis adalah nilai
kemiringan atau
kecondongan suatu garis.
Gradien biasanya
dilambangkan dengan
huruf m.
2.
Menentukan Gradien Garis
a.
Menentukan Gradien Garis jika Diketahui Grafiknya
Langkah-langkah menentukan gradien garis yang
diketahui grafiknya. Misalkan diketahui grafik garis g.
1)Menentukan dua titik sembarang pada grafik garis g.
2)Membuat garis lurus putus-putus mendatar dari kiri ke
kanan dimulai dari titik yang terletak di sebelah kiri.
Misalkan garis putus-putus tersebut garis a.
3)Dari garis a, membuat garis yang tegak lurus dengan
garis a dan memotong titik yang terletak di sebelah
kanan. Misalkan garis putus-putus tersebut garis b.
4)Garis g, garis a, dan garis b membentuk segitiga
dengan:
panjang sisi mendatar segitiga = perubahan nilai
x dan
panjang sisi tegak segitiga = perubahan nilai y.
5)Menentukan gradien garis tersebut menggunakan
rumus berikut.
b.
Menentukan Gradien Garis Jika Diketahui Persamaannya
1) Gradien garis dengan persamaan y = mx + n
Gradien garis dengan persamaan y = mx + n
adalah m.
2) Gradien garis dengan persamaan ax + by = c
Persamaan garis ax + by = c dapat diubah menjadi bentuk
y = mx + n.
c. Menentukan Gradien Garis Jika Diketahui Dua Titik yang
Dilalui
3.
Sifat-Sifat Gradien Suatu Garis
C.
Persamaan Garis Lurus
1.Persamaan Garis yang Diketahui Gradien
dan Salah Satu Titik yang Dilalui Garis
2.Persamaan Garis yang Melalui Dua Titik
Kembali ke BAB
IV
1.Persamaan Garis yang Diketahui Gradien dan
Salah Satu Titik yang Dilalui Garis
a. Persamaan Garis yang Bergradien m dan Memotong
Sumbu Y di (0, n)
b. Persamaan Garis yang Bergradien m dan Melalui
Titik (x1, y1)
2.
Persamaan Garis yang Melalui Dua Titik
CONTOH SOAL
1. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2, –3) dan
bergradien:
a. 5
b.
2. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (–4, 7) dan titik (10,
–1).
D. Kedudukan Dua Garis Lurus
1. Dua Garis Sejajar
2. Dua Garis Berimpit
3. Dua Garis Berpotonga
n
Kembali ke BAB
IV
1. Dua Garis Sejajar
Dua garis dikatakan sejajar jika
jarak kedua garis tersebut
selalu sama atau kedua garis
tersebut tidak pernah
berpotongan.
Dua garis yang sejajar
mempunyai gradien sama.
2. Dua Garis Berimpit
Dua garis dikatakan berimpit
jika semua titik-titik yang dilalui
kedua garis tersebut berimpit.
Dengan kata lain, kedua garis
tersebut merupakan garis yang
sama.
Dua garis berimpit mempunyai
persamaan garis yang
ekuivalen.
Pada gambar di samping garis a
berimpit dengan garis b.
3. Dua Garis
Berpotongan
a. Kedudukan Dua Garis Berpotongan
1) Dua Garis Berpotongan Tegak Lurus
2) Dua Garis Berpotongan Tidak Tegak Lurus
b. Titik Potong Dua Garis Berpotongan
Titik potong dua garis berpotongan dapat ditentukan dengan
cara menggambar kedua garis dalam satu bidang koordinat
kartesius.
Titik potong dua garis berpotongan berupa sebuah titik yang
dilalui oleh grafik kedua garis tersebut.
CONTOH SOAL
1. Diketahui persamaan garis g adalah y = 3x – 10.
Garis l sejajar dengan garis g sedangkan garis k
tegak lurus dengan garis g. Tentukan gradien garis l
dan garis k.
2. Tentukan persamaan garis yang tegak lurus dengan
garis
y = –2x – 5 dan melalui titik (3, 4).
3. Apakah garis dengan persamaan y = –3x + 14 akan
berpotongan dengan garis –4y + 3x – 4 = 0?
Jika berpotongan, tentukan titik potongnya.
BAB V
SISTEM PERSAMAAN
LINEAR DUA V ARIABEL
A. Mengenal Sistem Persamaan Linear Dua V ar
iabel (SPLDV )
B. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Du
a V ariabel
C. Menyelesaikan Masalah yang Berkaitan den
gan Sistem Persamaan Linear Dua V ariabel
Kembali ke Daftar
Isi
A. Mengenal Sistem Persamaan Linear Dua
V ariabel (SPLDV )
1.Persamaan Linear
2.Sistem Persamaan Linear Dua V ariabel
Kembali ke BAB V
1.
Persamaan Linear
Persamaan linear adalah persamaan yang mengandung
variabel dengan syarat setiap variabel tersebut berpangkat
satu.
a. Persamaan Linear Satu V ariabel (PLSV )
Persamaan linear satu variabel adalah persamaan linear
yang hanya mempunyai satu variabel.
Contoh: y + 4 = 12
Variabelnya satu, yaitu y
b. Persamaan Linear Dua V ariabel (PLDV )
Persamaan linear dua variabel adalah persamaan linear
yang mempunyai dua variabel.
Contoh: y + 4x = 12
Variabelnya dua, yaitu x dan y
c. Sistem Persamaan Linear Dua V ariabel (SPLDV )
Sistem persamaan linear dua variabel adalah sistem
persamaan yang terdiri atas dua persamaan linear dua
variabe
2. Sistem Persamaan Linear Dua V ariabel
a. V ariabel dan Koefisien PLDV
Pada persamaan 3x – 4y = 23, bilangan 3 disebut koefisien
dari x, bilangan –4 disebut koefisien dari y, bilangan 23
disebut konstanta, sedangkan x dan y disebut variabel.
b. Penyelesaian dan Bukan Penyelesaian SPLDV
Nilai pengganti yang memenuhi SPLDV sehingga persamaan
bernilai benar disebut penyelesaian atau akar. Sebaliknya,
nilai pengganti yang tidak memenuhi SPLDV sehingga
persamaan bernilai salah disebut bukan penyelesaian atau
bukan akar
c. Perbedaan Antara PLDV dengan SPLDV
PLDV hanya terdiri atas satu persamaan. Penyelesaiannya
merupakan nilai pengganti dari variabel-variabel yang
memenuhi persamaan tersebut.
SPLDV terdiri atas dua persamaan. Penyelesaian SPLDV
merupakan nilai pengganti dari variabel-variabel yang
memenuhi kedua persamaan tersebut
B. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear
Dua V ariabel
1.Metode Substitusi
2.Metode Eliminasi
(Penghilangan)
3.Metode Grafik
Kembali ke BAB V
1. Metode Substitusi
Penyelesaian SPLDV menggunakan metode substitusi
dilakukan dengan cara berikut.
a.Ambil satu variabel pada salah satu persamaan.
Selanjutnya, nyatakan variabel tersebut dalam variabel
lain. Dengan begitu akan diperoleh persamaan dalam
bentuk baru.
b.Substitusikan persamaan baru tersebut ke persamaan
yang lain kemudian persamaan tersebut diselesaikan.
Contoh:
Tentukan penyelesaian SPLDV berikut
menggunakan metode substitusi.
2x – 3y = –10 . . . (1)
x + 2y = 2
. . . (2)
Jawaban:
Cara 1: mensubstitusikan x
Nyatakan variabel x dalam y pada
persamaan (2).
x + 2y = 2 x = 2 – 2y
. . . (3)
Substitusikan persamaan (3) ke dalam
persamaan (1).
2x – 3y = –10
2(2 – 2y) – 3y = –10
4 – 4y – 3y = –10
4 – 7y = –10
–7y = –14
y=2
Substitusikan y = 2 ke dalam
persamaan (3).
x = 2 – 2y
x = 2 – 2(2)
x = –2
Jadi, penyelesaiannya x = –2 dan y
= 2.
2. Metode Eliminasi
(Penghilangan)
Penyelesaian SPLDV dengan metode eliminasi dilakukan
dengan cara menghilangkan salah satu variabelnya.
Contoh:
Tentukan penyelesaian SPLDV berikut menggunakan
metode eliminasi.
2x – 3y = –10 . . . (1)
x + 2y = 2
. . . (2)
Jawaban:
Jadi, penyelesaiannya adalah x = –2 dan y
= 2.
3. Metode Grafik
Penyelesaian SPLDV menggunakan metode grafik dilakukan
dengan menggambar grafik dari kedua persamaan yang
diketahui pada satu bidang kartesius. Koordinat titik potong
kedua grafik merupakan penyelesaian dari sistem persamaan
tersebut.
Contoh:
Tentukan penyelesaian SPLDV
berikut menggunakan metode
grafik.
2x – 3y = –10 . . . (1)
x + 2y = 2
. . . (2)
Menggambar
garis 2x – 3y
Jawaban:
= –10.
Menggambar garis x + 2y
=2.
Kedua garis tersebut
digambar dalam satu bidang
kartesius berikut.
Tampak bahwa kedua garis
tersebut berpotongan di titik (–2,
2).
Jadi, penyelesaiannya (–2, 2).
C. Menyelesaikan Masalah yang Berkaitan
dengan Sistem Persamaan Linear Dua
V ariabel
Untuk menyelesaikan masalah sehari-hari kamu harus
mampu mengubah masalah menjadi SPLDV.
Secara garis besar langkah-langkah mengubah
permasalahan sehari-hari menjadi SPLDV dilakukan sebagai
berikut.
1.Tentukan variabel-variabelnya, lalu lakukan pemisalan.
2.Terjemahkan permasalahan tersebut ke dalam model
matematika berbentuk SPLDV.
3.Selesaikan model matematika yang diperoleh pada langkah
2.
4.Selanjutnya, nilai-nilai variabel yang telah diperoleh
dicocokkan dengan pemisalan awal sehingga permasalahan
dapat diselesaikan.
Contoh Soal
1. Pak Maman membeli buku tulis dan buku gambar untuk
anak-anak panti asuhan. Jumlah buku-buku tersebut
160 buah. Harga setiap buku gambar Rp2.400,00,
sedangkan harga setiap buku tulis Rp3.500,00. Jika Pak
Maman harus membayar sebanyak Rp494.000,00,
tentukan banyak setiap jenis buku tersebut.
2. Bu Sita mempunyai persediaan 4 kotak penghapus dan
15 rautan. Setiap kotak berisi 12 buah penghapus. Jika
terjual semua, Bu Sita akan memperoleh uang
Rp59.400,00. Pada suatu hari terjual 10 buah
penghapus dan 3 rautan. Hasil penjualan tersebut
Rp12.200,00. Tentukan hasil penjualan jika terjual 8
penghapus dan 10 rautan.
Kembali ke BAB V
Disusun Oleh:
Heri Dwi Nugroho
Disklimer
Daftar Isi
Disklaimer
• Powerpoint pembelajaran ini dibuat sebagai
alternatif guna membantu Bapak/Ibu Guru
melaksanakan pembelajaran.
• Materi powerpoint ini mengacu pada Kompetensi
Inti (KI) dan Kompetensi Dasar (KD) Kurikulum 2013.
• Dengan berbagai alasan, materi dalam powerpoint
ini disajikan secara ringkas, hanya memuat poinpoin besar saja.
• Dalam penggunaannya nanti, Bapak/Ibu Guru dapat
mengembangkannya sesuai kebutuhan.
• Harapan kami, dengan powerpoint ini Bapak/Ibu
Guru dapat mengembangkan pembelajaran secara
kreatif dan interaktif.
Daftar Isi
BAB IPola Bilangan
BAB IIKoordinat Kartesius
BAB IIIRelasi dan Fungsi
BAB IV Persamaan Garis Lurus
BAB V Sistem Persamaan Linear Dua V ariabel
BAB I
Pola Bilangan
A. Pola Barisan Konfigurasi Objek
B. Pola dan Suku-Suku Barisan Bilangan
C. Barisan dan Deret Aritmetika
D. Barisan dan Deret Geometri
Kembali ke Daftar
Isi
A. Pola Konfigurasi
Objek
1. Pengertian Pola Barisan Bilang
an
2. Barisan Bilangan Khusus dan P
olanya
Kembali ke BAB I
1. Pengertian Pola Barisan Bilangan
Barisan bilangan dapat diartikan sebagai susunan
bilangan yang memiliki keteraturan
Contoh:
Batang-batang korek api disusun seperti berikut.
Banyak batang korek api yang dibutuhkan adalah 3,
5, 7, 9.
Banyak batang korek api yang dibutuhkan untuk
pola berikutnya dengan menambahkan 2 batang
pada pola sebelumnya.
2. Barisan Bilangan Khusus dan Polanya
a. Barisan Bilangan Asli
Barisan bilangan asli adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, · · · .
Barisan asli dapat ditampilkan dengan gambar berikut
b. Barisan Bilangan Ganjil
Barisan bilangan ganjil adalah 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, · · · .
Barisan ini dapat ditampilkan dengan gambar berikut.
c. Barisan Bilangan Genap
Barisan bilangan genap adalah 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, · · ·
.
Barisan ini dapat ditampilkan dengan gambar berikut
d. Barisan Bilangan Segitiga
Barisan bilangan segitiga adalah 1, 3, 6, 10, 15, · · · .
Barisan ini dapat ditampilkan dengan gambar berikut.
e. Barisan Bilangan Persegi Panjang
Salah satu barisan bilangan persegi panjang adalah 2, 6,
12, 20, · · · .
Barisan ini dapat ditampilkan dengan gambar berikut.
f.
Barisan Bilangan Persegi
Barisan bilangan persegi adalah 1, 4, 9, 16, 25, · · · .
Barisan bilangan persegi sering disebut barisan bilangan
kuadrat. Barisan ini dapat ditampilkan dengan gambar
berikut.
g. Barisan Bilangan pada Segitiga Pascal
Beberapa sifat barisan bilangan pada segitiga Pascal sebagai berikut.
1) Pada setiap baris diawali dan diakhiri dengan bilangan 1.
2) Setiap bilangan diperoleh dengan menjumlah dua bilangan di atasnya kecuali
bilangan pada baris pertama dan kedua.
3) Bilangan-bilangan dalam satu diagonal membentuk suatu barisan, misalkan:
diagonal pertama : 1, 1, 1, 1, 1, · · · (barisan bilangan konstan)
diagonal kedua : 1, 2, 3, 4, · · · (barisan bilangan asli)
diagonal ketiga : 1, 3, 6, 10, · · · (barisan bilangan segitiga)
CONTOH SOAL
Perhatikan pola berikut ini.
Berapa banyaknya persegi pada pola ke-7 dan ke-12?
Jawaban:
Banyaknya persegi pada
pola ke-1 = 5 = 5 + 0 = 5 + 3 × 0
pola ke-2 = 8 = 5 + 3 = 5 + 3 × 1
pola ke-3 = 11 = 5 + 6 = 5 + 3 × 2
Dari pola di atas maka:
pola ke-7 = 5 + (3 × 6) = 23
pola ke-12 = 5 + (3 × 11) = 38
Jadi, banyaknya persegi pada pola ke-7 dan ke-12 adalah 23 dan
38.
B. Pola dan Suku-Suku Barisan
Bilang
1. Pengertian Barisan Bilangan
2. Beberapa Contoh Aturan Barisan
Bilangan
3. Menemukan Rumus Suku Ke-n (Un
)
Kembali ke BAB I
1. Pengertian Barisan Bilangan
Perhatikan pola bilangan-bilangan berikut.
a. 1, 3, 5, 7
b. 2, 4, 6, 8, 10
c. 3, 6, 9, 12, 15, . . .
Jika kamu perhatikan, bilangan-bilangan pada a, b, dan c
disusun dengan pola tertentu. Bilanganbilangan tersebut
disebut barisan bilangan. Adapun setiap bilangan dalam
barisan bilangan disebut
suku barisan. Suku ke-n suatu barisan bilangan ditulis
dengan Un.
Pada barisan bilangan: 1, 3, 5, 7 diperoleh:
Suku ke-1 = U1 = 1
Suku ke-2 = U2 = 3
Suku ke-3 = U3 = 5
Suku ke-4 = U4 = 7
Jadi, barisan bilangan 1, 3, 5, 7 memiliki 4 suku.
2. Beberapa Contoh Aturan Barisan Bilangan
a. Barisan dengan Aturan Ditambah
1) Barisan Bertingkat Satu
Barisan bilangan 1, 3, 5, 7, · · · merupakan barisan bertingkat satu.
2) Barisan Bertingkat Dua
Barisan bilangan 0, 1, 3, 6, · · · merupakan barisan bertingkat dua.
3) Barisan Bertingkat Tiga
Barisan bilangan 0, 1, 3, 8, 18, 35, · · · merupakan barisan
bertingkat tiga.
b. Barisan dengan Aturan Dikali
c. Barisan dengan Aturan Dipangkatkan
d. Barisan fibonacci
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . .
Aturannya: mulai suku
ketiga, setiap suku diperoleh
dengan menjumlahkan dua
suku sebelumnya.
3. Menemukan Rumus Suku Ke-n
(U
n)
Prinsip
dasar menentukan rumus suku ke-n adalah
mencari kaitan antara bilangan satu dengan suku
kesatu, bilangan dua dengan suku kedua, bilangan
tiga dengan suku ketiga, dan seterusnya.
Contoh:
Barisan bilangan 2, 4, 8, 16, · · ·
U 1 = 2 = 21
U 2 = 4 = 22
U 3 = 8 = 23
U4 = 16 = 24, dan seterusnya
Diperoleh rumus suku ke-n adalah Un = 2n .
C. Barisan dan Deret
Aritmetika
1. Barisan Aritmetika
2. Deret Aritmetika
Kembali ke BAB I
1. Barisan Aritmetika
a. Pengertian Barisan
Aritmetika
Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang selisih
antara dua suku barisan yang berurutan nilainya selalu
atau sama pada Barisan Aritmetika
b. tetap
Rumus-Rumus
1) Rumus Suku Ke-n (Un)
Un = a + (n – 1)b
2) Beda (b)
b = Un – (Un – 1)
3) Rumus
1 Suku Tengah (Ut)
Ut = U1 +Un
2
c. Jenis-Jenis Barisan Aritmetika
1) Barisan Aritmetika Naik
2) Barisan Aritmetika Turun
2. Deret Aritmetika
Deret aritmetika adalah nilai yang diperoleh dari
penjumlahan suku-suku barisan bilangan aritmetika.
Jika U1, U2, U3, · · · , Un – 1, Un membentuk barisan aritmetika,
bentuk penjumlahan U1 + U2 + U3 + · · · + Un – 1 + Un disebut
Rumus
penjumlahan n suku pertama deret aritmetika
deret aritmetika.
dapat dituliskan sebagai berikut.
Dengan : Sn = jumlah n suku pertama
n = banyak suku
a = suku pertama
b = beda suku
Un = suku terakhir
Contoh Soal
Setiap Minggu Dina menyimpan uang di laci. Pada
minggu pertama Dina menyimpan Rp500,00,
minggu
kedua
Rp700,00,
minggu
ketiga
Rp900,00, minggu keempat Rp1.100,00, begitu
seterusnya setiap minggu bertambah Rp200,00.
a.Tentukan besar uang yang disimpan Dina pada
minggu ke-20.
b.Tentukan jumlah uang yang disimpan Dina
setelah 36 minggu.
D.
Barisan dan Deret Geometri
1.
Barisan Geometri
2.
Deret Geometri
Kembali ke BAB I
1. Barisan Geometri
a. Pengertian Barisan
Geometri
Barisan geometri adalah barisan bilangan yang
perbandingan setiap dua suku barisan yang berurutan
selalu tetap
atau
sama. Aritmetika
b. nilainya
Rumus-Rumus
pada
Barisan
1) Rumus Suku Ke-n (Un)
Un = arn – 1
2) Rasio (r)
Un
r
Un 1
3) Rumus Suku Tengah (Ut)
Ut U1 �Un
2. Deret Geometri
Deret geometri adalah penjumlahan dari suku-suku barisan geometri.
Jika U1, U2, U3, · · · , Un – 1, Un membentuk barisan geometri,
bentuk penjumlahan U1 + U2 + U3 + · · · + Un – 1 + Un disebut
deret geometri.
Rumus
penjumlahan n suku pertama deret geometri
dapat dituliskan sebagai berikut.
Dengan : Sn = jumlah n suku pertama
n = banyak suku
a = suku pertama
b = beda suku
Contoh Soal
1. Tentukan suku ke-8 dari setiap barisan
geometri berikut.
a. 1, 3, 9, 27, · · ·
b. 3, –6, 12, –24, · · ·
2. Berdasarkan pengamatan diketahui bahwa
setiap bakteri berkembang biak menjadi dua
kali lipat dalam waktu dua menit. Semula ada
50 sel bakteri untuk pengamatan.
a. Berapa banyak bakteri setelah 10 menit?
b. Setelah berapa menit jumlah bakteri menjadi
25.600 sel?
BAB II
Koordinat Kartesius
A. Letak Benda pada Koordinat Kar
tesius
B. Posisi Relatif Benda Menggunak
an Koordinat Kartesius
Kembali ke Daftar
Isi
A.Letak Benda pada Koordinat Kartesius
1. Jarak Tempat/Benda terhadap Garis Su
mbu
2. Membaca Letak Benda Menggunakan Si
stem Koordinat
3. Membaca dan Menuliskan Letak Titik/Be
nda pada Sistem Koordinat Kartesius
Kembali ke BAB II
1. Jarak Tempat/Benda terhadap Garis
Sumbugambar di
Perhatikan
samping. Jarak antara
titik/benda dari garis sumbu
dapat kamu hitung seperti
gambar
di samping.
a.
Pasar berjarak
2 satuan
terhadap jalan X dan
berjarak 4 satuan
jalan Y.
b. terhadap
Rumah belajar
berjarak 6
satuan terhadap jalan X
dan berjarak 6 satuan
terhadap jalan Y.
c. SMPN 1 berjarak 3 satuan terhadap jalan X dan berjarak 5
satuan terhadap jalan Y.
2. Membaca Letak Benda Menggunakan Sistem
Koordinat
Perhatikan gambar di samping.
Letak tempat-tempat pelayanan
tersebut dapat ditunjukkan dengan
sistem koordinat secara sederhana.
Sumbu mendatar diberi kode huruf
abjad dan sumbu tegak diberi kode
bilangan.
Letak tempat-tempat layanan
tersebut dapat ditulis sebagai
berikut.
Hotel terletak pada koordinat (C,
5).
Bank terletak pada koordinat (F, 5).
Pasar terletak pada koordinat (F,
10).
Kantor Pos terletak pada koordinat
(J, 3).
Sekolah terletak pada koordinat (J,
3.
Membaca dan Menuliskan Letak
Titik/Benda pada Sistem Koordinat
Kartesius
Cara membaca letak titik pada
sistem koordinat kartesius sebagai
berikut.
a.Gunakan titik acuan (0, 0) untuk
menentukan titik A(x, y).
b.x menunjukkan banyak
langkah/satuan untuk arah
mendatar (arah ke kanan bernilai
positif, arah ke kiri bernilai
negatif).
c.y menunjukkan banyak
langkah/satuan untuk arah tegak
(arah kemenentukan
atas bernilaikoordinat
positif, arah
Misalnya
titik A. Perhatikan gambar
bawah
di ke
atas
. Daribernilai
titik (0,negatif).
0) melangkah 5 satuan ke kanan (x =
5), dilanjutkan ke atas 2 satuan (y = 2). Jadi, koordinat titik
A(5, 2).
Contoh Soal
Jajargenjang ABCD terletak pada bidang koordinat
dengan koordinat titik A(–2, –4), B(6, –4), dan C(9,
2).
Tentukan:
a. koordinat titik D dengan bantuan gambar;
b. panjang AB;
c. tinggi jajargenjang; dan
d. luas jajargenjang.
B. Posisi Relatif
Benda
Menggunakan
Koordinat
Kartesius
Keterangan Gambar
Contoh Soal
Perhatikan gambar berikut.
Dengan sistem koordinat
kartesius, tentukan koordinat
tempat-tempat di pada gambar
di samping dengan titik acuan
yang diberikan.
a. Posisi kampus dan stasiun
dengan titik acuan balai kota.
b. Posisi toko buku dan apotek
dengan titik acuan stasiun.
c. Posisi toko buku dan stasiun
dengan titik acuan kampus
Kembali ke BAB II
BAB III
Relasi dan Fungsi
A. Relasi dan Fungsi
B. Rumus Fungsi, Nilai Fungsi, dan Gr
afik Fungsi
Kembali ke Daftar
Isi
A.Relasi dan
Fungsi
1. Relasi
2. Fungsi
Kembali ke BAB III
1. Relasi
a. Pengertian Relasi
Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu
hubungan (pengaitan) yang memasangkan (mengawankan)
anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota
himpunan B. Relasi
b. Menyajikan
1) Relasi Berbentuk Tabel
2) Relasi Berbentuk Diagram Panah
3) Relasi Berbentuk Himpunan Pasangan
Berurutan
4) Relasi pada Bidang Koordinat Kartesius
2.
Fungsi
a. Pengertian Fungsi
Fungsi disebut juga pemetaan.
Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus
yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan
tepat satu anggota himpunan B.
Notasi Fungsi: f : x y atau f : x f(x) atau f : x y = f(x)
Tepat satu artinya tidak boleh lebih dan tidak boleh kurang
dari suatu
satu. relasi merupakan fungsi atau pemetaan sebagai
Syarat
berikut.
1) Setiap anggota A mempunyai pasangan di B.
2) Setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B.
b. Domain, Kodomain, dan Range
Fungsi f memetakan anggota himpunan A
ke anggota himpunan B.
A = {1, 2, 3, 4} disebut daerah asal
(domain).
B = {3, 5, 7, 9, 11} disebut daerah kawan
(kodomain).
Dari diagram panah di samping diperoleh
himpunan pasangan berurutan
f = {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9)}.
(1, 3) dibaca bayangan 1 oleh fungsi f
adalah 3.
(1, 3) juga dapat dituliskan dengan f(1) = 3
dibaca
nilai dari
f(1)mempunyai
adalah 3. pasangan
Himpunan dari anggota
kodomain
yang
dengan
anggota domain dinamakan daerah hasil (range).
Dengan demikian, range fungsi = {3, 5, 7, 9}.
c. Banyak Fungsi yang Mungkin dari
Dua Relasi
Jika banyak anggota himpunan A = n(A) dan banyak
anggota himpunan B = n(B) maka:
1) banyak fungsi yang mungkin dari A ke B =
n(B)n(A) dan
2) banyak fungsi yang mungkin dari B ke A =
n(A)n(B) .
d. Fungsi Korespondensi Satu-Satu
Suatu fungsi dikatakan korespondensi satu-satu jika setiap
anggota domain dipasangkan dengan tepat satu anggota
kodomain dan sebaliknya setiap anggota kodomain
dipasangkan dengan tepat satu anggota domain.
Jika terdapat himpunan A dan B dengan n(A) = n(B) = n,
banyak korespondensi satu-satu yang mungkin dari himpunan
A ke himpunan B adalah n × (n – 1) × (n – 2) × (n – 3) × . . . ×
3 × 2 × 1.
B. Rumus Fungsi, Nilai Fungsi, dan
Grafik Fungsi
1. Rumus Fungsi dan
Nilai Fungsi
2. Grafik Fungsi pad
a Bidang Koordina
t Kartesius
Kembali ke BAB III
1. Rumus Fungsi dan Nilai
Fungsi f : x y = f(x) dari himpunan A ke himpunan B jika
Fungsi
digambarkan dalam bentuk diagram panah seperti
gambar di bawah.
y merupakan peta atau bayangan x atau nilai fungsi dari
x, ditulis y = f(x).
x merupakan prapeta dari f(x) atau x merupakan
prapeta dari y.
Dalam bentuk pasangan berurutan, f : x y = f(x)
dituliskan sebagai (x, y) atau (x, f(x)).
Himpunan dari nilai y = f(x) disebut daerah hasil atau
range f.
Contoh Menentukan Nilai Fungsi
Suatu fungsi f : x 3x + 5 dapat dinyatakan dengan rumus
fungsi f(x) = 3x + 5. Berdasarkan rumus fungsi ini, dapat
ditentukan nilai fungsi untuk setiap nilai x pada domain {x |
–2 ≤ x ≤ 1, x bilangan bulat} sebagai berikut.
Nilai fungsi untuk x = –2 adalah f(–2) = 3 × (–2) + 5 = –6 +
5 = –1
Nilai fungsi untuk x = –1 adalah f(–1) = 3 × (–1) + 5 = –3 +
5=2
Nilai fungsi untuk x = 0 adalah f(0) = 3 × 0 + 5 = 0 + 5 =
5
Nilai fungsi untuk x = 1 adalah f(1) = 3 × 1 + 5 = 3 + 5 =
8
Himpunan pasangan berurutan f : x 3x + 5 pada domain
{x | –2 ≤ x ≤ 1, x bilangan bulat} adalah {(–2, –1), (–1,
2), (0, 5), (1, 8)}.
Range f = {–1, 2, 5, 8}.
Prapeta dari –1 adalah f–1(–1) = –2.
Prapeta dari 2 adalah f–1(2) = –1.
Prapeta dari 5 adalah f–1(5) = 0.
Prapeta dari 8 adalah f–1(8) = 1
2. Grafik Fungsi pada Bidang Koordinat
Kartesius
a.Grafik
n
b.Grafik
as
c. Grafik
d.Grafik
t
Fungsi Konsta
Fungsi Identit
Fungsi Linear
Fungsi Kuadra
a.Grafik Fungsi Konstan
Fungsi konstan dinyatakan dengan rumus f(x) = c, c
bilangan real.
Grafik fungsi f(x) = 3 pada domain {x | –3 ≤ x ≤ 3} dapat
digambar sebagai berikut.
Tabel fungsi f(x) = 3.
.
Grafik Fungsi Identitas
Fungsi identitas dinyatakan dengan rumus f(x) = x.
Grafik fungsi f(x) = x dengan {x | –4 < x ≤ 3} dapat
digambar sebagai berikut.
Tabel fungsi f(x) = x.
c.
Grafik Fungsi Linear
Fungsi linear dinyatakan dengan rumus f(x) = ax + b
dengan a ≠ 0 dan a, b, bilangan real.
.
Grafik Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat dinyatakan dengan rumus f(x) = ax2
+ bx + c dengan a ≠ 0 dan a, b, bilangan real.
BAB IV
Persamaan Garis Lurus
A.Grafik Garis Lurus
B.Gradien Garis Lurus
C. Persamaan Garis Lurus
D.
Kedudukan Dua Garis L
urus
Kembali ke Daftar
Isi
A. Grafik Garis Lurus
1. Persamaan Garis Lu
rus
2. Syarat Titik Terleta
k pada Garis
3. Menggambar Grafik
Garis Lurus
Kembali ke BAB
IV
1. Persamaan Garis Lurus
Bentuk umum persamaan garis lurus dalam variabel x dan y
sebagai berikut.
y = mx +
n
atau
Ax + by = c
Contoh:
y = –2x + 4 dan 4x + 2y = 8 merupakan persamaan garis
lurus.
Perhatikan cara mengubah persamaan garis lurus menjadi
bentuk
lain yang ekuivalen berikut.
2.
Syarat Titik Terletak pada Garis
Sebuah titik terletak pada suatu garis jika nilai absis dan
ordinat titik tersebut memenuhi persamaan garisnya .
Titik (x1, y1) terletak pada garis y = mx + n jika y1 = mx1
+ n bernilai benar.
Contoh:
Titik (1, 4) terletak pada garis y = –2x + 6
karena 4 = –2(1) + 6 ⇔ 4 = 4 bernilai benar.
Titik (2, 2) terletak pada garis y = –2x + 6
karena 2 = –2(2) + 6 ⇔ 2 = 2 bernilai benar.
Titik (3, 5) tidak terletak pada garis y = –2x + 6
karena 5 = –2(3) + 6 ⇔ 5 = 0 bernilai salah.
3.
Menggambar Grafik Garis Lurus
a.
Menggambar Grafik Garis Lurus
Menggunakan Beberapa Titik Bantu
Langkah-langkahnya sebagai berikut.
1) Menentukan beberapa titik bantu yang terletak
pada garis lurus.
2) Menggambar titik-titik bantu tersebut pada bidang
koordinat kartesius.
3) Menghubungkan titik-titik bantu pada bidang
koordinat kartesius dengan garis lurus.
Contoh Soal.
Diketahui titik A(0, 15), B(5, 25), C(10, 35), dan
D(30, 75).
1. Gambarlah garis yang melalui titik A dan B.
2. Gambarlah garis yang melalui titik A dan C.
3. Gambarlah garis yang melalui titik A dan D.
4. Gambarlah garis yang melalui titik B dan C.
Apakah keempat grafik garis tersebut merupakan
grafik garis yang sama? Selidikilah!
b. Menggambar Grafik Garis Lurus Menggunakan
Pertolongan Titik Perpotongan Garis dengan
Sumbu
Koordinat sebagai berikut.
Langkah-langkahnya
1) Menentukan titik potong garis dengan sumbu X.
Garis memotong sumbu X di y = 0. Substitusikan y = 0 ke
dalam persamaan garis untuk menentukan titik potong
garis dengan sumbu X.
2) Menentukan titik potong garis dengan sumbu Y.
Garis memotong sumbu Y di x = 0. Substitusikan x = 0
ke dalam persamaan garis untuk menentukan titik
potong garis dengan sumbu Y.
3) Menggambar titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y
tersebut pada bidang koordinat kartesius.
4) Menghubungkan kedua titik potong dengan garis lurus.
5) Menuliskan persamaan garisnya pada salah satu ujung
garis.
B. Gradien Garis
Lurus
1.Gradien Garis
2.Menentukan Gradien Garis
3.Sifat-Sifat Gradien Suatu Garis
Kembali ke BAB
IV
1. Gradien Garis
Gradien garis adalah nilai
kemiringan atau
kecondongan suatu garis.
Gradien biasanya
dilambangkan dengan
huruf m.
2.
Menentukan Gradien Garis
a.
Menentukan Gradien Garis jika Diketahui Grafiknya
Langkah-langkah menentukan gradien garis yang
diketahui grafiknya. Misalkan diketahui grafik garis g.
1)Menentukan dua titik sembarang pada grafik garis g.
2)Membuat garis lurus putus-putus mendatar dari kiri ke
kanan dimulai dari titik yang terletak di sebelah kiri.
Misalkan garis putus-putus tersebut garis a.
3)Dari garis a, membuat garis yang tegak lurus dengan
garis a dan memotong titik yang terletak di sebelah
kanan. Misalkan garis putus-putus tersebut garis b.
4)Garis g, garis a, dan garis b membentuk segitiga
dengan:
panjang sisi mendatar segitiga = perubahan nilai
x dan
panjang sisi tegak segitiga = perubahan nilai y.
5)Menentukan gradien garis tersebut menggunakan
rumus berikut.
b.
Menentukan Gradien Garis Jika Diketahui Persamaannya
1) Gradien garis dengan persamaan y = mx + n
Gradien garis dengan persamaan y = mx + n
adalah m.
2) Gradien garis dengan persamaan ax + by = c
Persamaan garis ax + by = c dapat diubah menjadi bentuk
y = mx + n.
c. Menentukan Gradien Garis Jika Diketahui Dua Titik yang
Dilalui
3.
Sifat-Sifat Gradien Suatu Garis
C.
Persamaan Garis Lurus
1.Persamaan Garis yang Diketahui Gradien
dan Salah Satu Titik yang Dilalui Garis
2.Persamaan Garis yang Melalui Dua Titik
Kembali ke BAB
IV
1.Persamaan Garis yang Diketahui Gradien dan
Salah Satu Titik yang Dilalui Garis
a. Persamaan Garis yang Bergradien m dan Memotong
Sumbu Y di (0, n)
b. Persamaan Garis yang Bergradien m dan Melalui
Titik (x1, y1)
2.
Persamaan Garis yang Melalui Dua Titik
CONTOH SOAL
1. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2, –3) dan
bergradien:
a. 5
b.
2. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (–4, 7) dan titik (10,
–1).
D. Kedudukan Dua Garis Lurus
1. Dua Garis Sejajar
2. Dua Garis Berimpit
3. Dua Garis Berpotonga
n
Kembali ke BAB
IV
1. Dua Garis Sejajar
Dua garis dikatakan sejajar jika
jarak kedua garis tersebut
selalu sama atau kedua garis
tersebut tidak pernah
berpotongan.
Dua garis yang sejajar
mempunyai gradien sama.
2. Dua Garis Berimpit
Dua garis dikatakan berimpit
jika semua titik-titik yang dilalui
kedua garis tersebut berimpit.
Dengan kata lain, kedua garis
tersebut merupakan garis yang
sama.
Dua garis berimpit mempunyai
persamaan garis yang
ekuivalen.
Pada gambar di samping garis a
berimpit dengan garis b.
3. Dua Garis
Berpotongan
a. Kedudukan Dua Garis Berpotongan
1) Dua Garis Berpotongan Tegak Lurus
2) Dua Garis Berpotongan Tidak Tegak Lurus
b. Titik Potong Dua Garis Berpotongan
Titik potong dua garis berpotongan dapat ditentukan dengan
cara menggambar kedua garis dalam satu bidang koordinat
kartesius.
Titik potong dua garis berpotongan berupa sebuah titik yang
dilalui oleh grafik kedua garis tersebut.
CONTOH SOAL
1. Diketahui persamaan garis g adalah y = 3x – 10.
Garis l sejajar dengan garis g sedangkan garis k
tegak lurus dengan garis g. Tentukan gradien garis l
dan garis k.
2. Tentukan persamaan garis yang tegak lurus dengan
garis
y = –2x – 5 dan melalui titik (3, 4).
3. Apakah garis dengan persamaan y = –3x + 14 akan
berpotongan dengan garis –4y + 3x – 4 = 0?
Jika berpotongan, tentukan titik potongnya.
BAB V
SISTEM PERSAMAAN
LINEAR DUA V ARIABEL
A. Mengenal Sistem Persamaan Linear Dua V ar
iabel (SPLDV )
B. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Du
a V ariabel
C. Menyelesaikan Masalah yang Berkaitan den
gan Sistem Persamaan Linear Dua V ariabel
Kembali ke Daftar
Isi
A. Mengenal Sistem Persamaan Linear Dua
V ariabel (SPLDV )
1.Persamaan Linear
2.Sistem Persamaan Linear Dua V ariabel
Kembali ke BAB V
1.
Persamaan Linear
Persamaan linear adalah persamaan yang mengandung
variabel dengan syarat setiap variabel tersebut berpangkat
satu.
a. Persamaan Linear Satu V ariabel (PLSV )
Persamaan linear satu variabel adalah persamaan linear
yang hanya mempunyai satu variabel.
Contoh: y + 4 = 12
Variabelnya satu, yaitu y
b. Persamaan Linear Dua V ariabel (PLDV )
Persamaan linear dua variabel adalah persamaan linear
yang mempunyai dua variabel.
Contoh: y + 4x = 12
Variabelnya dua, yaitu x dan y
c. Sistem Persamaan Linear Dua V ariabel (SPLDV )
Sistem persamaan linear dua variabel adalah sistem
persamaan yang terdiri atas dua persamaan linear dua
variabe
2. Sistem Persamaan Linear Dua V ariabel
a. V ariabel dan Koefisien PLDV
Pada persamaan 3x – 4y = 23, bilangan 3 disebut koefisien
dari x, bilangan –4 disebut koefisien dari y, bilangan 23
disebut konstanta, sedangkan x dan y disebut variabel.
b. Penyelesaian dan Bukan Penyelesaian SPLDV
Nilai pengganti yang memenuhi SPLDV sehingga persamaan
bernilai benar disebut penyelesaian atau akar. Sebaliknya,
nilai pengganti yang tidak memenuhi SPLDV sehingga
persamaan bernilai salah disebut bukan penyelesaian atau
bukan akar
c. Perbedaan Antara PLDV dengan SPLDV
PLDV hanya terdiri atas satu persamaan. Penyelesaiannya
merupakan nilai pengganti dari variabel-variabel yang
memenuhi persamaan tersebut.
SPLDV terdiri atas dua persamaan. Penyelesaian SPLDV
merupakan nilai pengganti dari variabel-variabel yang
memenuhi kedua persamaan tersebut
B. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear
Dua V ariabel
1.Metode Substitusi
2.Metode Eliminasi
(Penghilangan)
3.Metode Grafik
Kembali ke BAB V
1. Metode Substitusi
Penyelesaian SPLDV menggunakan metode substitusi
dilakukan dengan cara berikut.
a.Ambil satu variabel pada salah satu persamaan.
Selanjutnya, nyatakan variabel tersebut dalam variabel
lain. Dengan begitu akan diperoleh persamaan dalam
bentuk baru.
b.Substitusikan persamaan baru tersebut ke persamaan
yang lain kemudian persamaan tersebut diselesaikan.
Contoh:
Tentukan penyelesaian SPLDV berikut
menggunakan metode substitusi.
2x – 3y = –10 . . . (1)
x + 2y = 2
. . . (2)
Jawaban:
Cara 1: mensubstitusikan x
Nyatakan variabel x dalam y pada
persamaan (2).
x + 2y = 2 x = 2 – 2y
. . . (3)
Substitusikan persamaan (3) ke dalam
persamaan (1).
2x – 3y = –10
2(2 – 2y) – 3y = –10
4 – 4y – 3y = –10
4 – 7y = –10
–7y = –14
y=2
Substitusikan y = 2 ke dalam
persamaan (3).
x = 2 – 2y
x = 2 – 2(2)
x = –2
Jadi, penyelesaiannya x = –2 dan y
= 2.
2. Metode Eliminasi
(Penghilangan)
Penyelesaian SPLDV dengan metode eliminasi dilakukan
dengan cara menghilangkan salah satu variabelnya.
Contoh:
Tentukan penyelesaian SPLDV berikut menggunakan
metode eliminasi.
2x – 3y = –10 . . . (1)
x + 2y = 2
. . . (2)
Jawaban:
Jadi, penyelesaiannya adalah x = –2 dan y
= 2.
3. Metode Grafik
Penyelesaian SPLDV menggunakan metode grafik dilakukan
dengan menggambar grafik dari kedua persamaan yang
diketahui pada satu bidang kartesius. Koordinat titik potong
kedua grafik merupakan penyelesaian dari sistem persamaan
tersebut.
Contoh:
Tentukan penyelesaian SPLDV
berikut menggunakan metode
grafik.
2x – 3y = –10 . . . (1)
x + 2y = 2
. . . (2)
Menggambar
garis 2x – 3y
Jawaban:
= –10.
Menggambar garis x + 2y
=2.
Kedua garis tersebut
digambar dalam satu bidang
kartesius berikut.
Tampak bahwa kedua garis
tersebut berpotongan di titik (–2,
2).
Jadi, penyelesaiannya (–2, 2).
C. Menyelesaikan Masalah yang Berkaitan
dengan Sistem Persamaan Linear Dua
V ariabel
Untuk menyelesaikan masalah sehari-hari kamu harus
mampu mengubah masalah menjadi SPLDV.
Secara garis besar langkah-langkah mengubah
permasalahan sehari-hari menjadi SPLDV dilakukan sebagai
berikut.
1.Tentukan variabel-variabelnya, lalu lakukan pemisalan.
2.Terjemahkan permasalahan tersebut ke dalam model
matematika berbentuk SPLDV.
3.Selesaikan model matematika yang diperoleh pada langkah
2.
4.Selanjutnya, nilai-nilai variabel yang telah diperoleh
dicocokkan dengan pemisalan awal sehingga permasalahan
dapat diselesaikan.
Contoh Soal
1. Pak Maman membeli buku tulis dan buku gambar untuk
anak-anak panti asuhan. Jumlah buku-buku tersebut
160 buah. Harga setiap buku gambar Rp2.400,00,
sedangkan harga setiap buku tulis Rp3.500,00. Jika Pak
Maman harus membayar sebanyak Rp494.000,00,
tentukan banyak setiap jenis buku tersebut.
2. Bu Sita mempunyai persediaan 4 kotak penghapus dan
15 rautan. Setiap kotak berisi 12 buah penghapus. Jika
terjual semua, Bu Sita akan memperoleh uang
Rp59.400,00. Pada suatu hari terjual 10 buah
penghapus dan 3 rautan. Hasil penjualan tersebut
Rp12.200,00. Tentukan hasil penjualan jika terjual 8
penghapus dan 10 rautan.
Kembali ke BAB V