Materi 6: Ditribusi Diskrit Khusus

  MA 2081 St at ist ika Dasar Ut riweni Mukhaiyar y

  U if ( ) M l i i l

• Uniform (seragam)
• Multinomial
• Bernoulli
• Hipergeometrik
• Binomial
• Geometrik
• Poisson
• Poisson
• Binomial Negatif
• Binomial Negatif

  27 Sept ember 2012

  2 Dist ribusi unif orm (seragam) ( g ) Peubah acak X diasumsikan setiap nilainya • (x (x x , x , …, x x ) memiliki peluang yang sama ) memiliki peluang yang sama.

  1 2 k Distribusi peluang X : •

  1 P X P X x x x x x ( (  ) )  ,  , ,..., _{1 2 k} k

_{k k}

  Rataan : Rataan : •

  1   x _i

  1

  



k

_{i }

₁ Variansi : • _{k k 2 2}

  1   x  

    _i  k _{i  1}

  3 Bukt i : mean dan variansi unt uk p a dist ribusi seragam mean dan variansi unt uk p. a dist ribusi seragam.

  1 ^{k k k} x Berdasarkan def inisi ekspekt asi,

  1

¹

¹

  1 [ ] ( ) ,    

          ^{k k k i i i i} _{i i i} x E X x P X x x k k

        ^{2 2 2 2} _{1 1}

  1 ( )   

   

             

    ^{k k i i i} _{i i}

  E

X x P X x x

k

  4 Cont oh 1 C t h 1 Pelantunan sebuah dadu. Pelantunan sebuah dadu. •

  1 P X x x ( (  ) )  ,  1, 2, 3, 4, 5, 6

  6 _0.18 0.175

  6

  1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6           _{x )}    3 5 3, 5 _{= (X 0.17 2 2 2 2}

  6 _{2 2 2 2 2 2 2 2 P 0.165 2}

  1 1 

  2 2  

  3

  3

  4 4  

  5

  5

  6 _{2 0.16}  

  6

  3.5 ^{1 2 3 4 5 6}  _x

  6   15.17 12.25 15 17 12 25    2.92 2 92

  5 Percobaan Bernoulli Percobaan terdiri dari 1 usaha Percobaan terdiri dari 1 usaha •

  Sukses Usaha

  G Gagal l Peluang sukses  p

• Peluang gagal Peluang gagal  1-p  1 p Misalkan •

  

1, jika terjadi sukses



  X   0, jika terjadi tidak sukses (gagal)

  

  6 Dist ribusi Bernoulli

• x
^{1 1  x}   p (1  p ) , 0,1 x 

  X X berdist ribusi Bernoulli, b di t ib i B lli

    P X ( x ) ber x p ( ; )

    0 , x lainnya 

• x

  Rat aan : E [ X ] = µ = p

  

2

  

2

Variansi : Var( Variansi : Var(
• x

  X X ) )= = p p ( ( 1-p 1 p ) )  

  7 Percobaan Binomial n usaha yang berulang. • Tiap usaha memberi hasil yang dapat

• dikelompokkan menj adi sukses at au gagal. P l Peluang sukses t idak berubah dari usaha yang g k t id k b b h d i h g • sat u ke yang berikut nya. Tiap usaha saling bebas. Tiap usaha saling bebas • •
Di ib i Bi i l

  8 Dist ribusi Binomial  Distribusi binomial parameter n dan p Distribusi binomial, parameter n dan p  Notasi X ~ B(n,p)

   F. m. p: ( ) ( ; , ) (1 ) ^{x n x} n P X x b x n p p p x

            

  !   n n

   Koef isien binomial : n ! = n.(n-1).(n-2) … 1 x

    o

  Rataan : E[X] = µ x

  = np ! !( )!

          n n x x n x untuk x = 0,1, … , n o

  Variansi : var(X)= 

  X

  2 = np(1-p)

  9 Cont oh 2

Suatu penelitian dilakukan untuk melihat sikap masyarakat tentang obat penenang. Penelitian

itu menunjukkan bahwa sekitar 70% penduduk percaya ‘obat penenang tidaklah mengobati apapun, obat itu hanyalah menutupi penyakit apapun obat itu hanyalah menutupi penyakit

sesungguhnya’. Menurut penelitian ini, berapa peluang bahwa paling sedikit 3 dari 5 orang peluang bahwa paling sedikit 3 dari 5 orang yang dipilih secara acak berpendapat seperti itu? edit ed 2011 by UM

  10 Jawab Misalkan peubah acak X menyat akan banyaknya p y y y

penduduk percaya ‘obat penenang tidaklah mengobati

apapun, obat itu hanyalah menutupi penyakit sesungguhn a’ sesungguhnya .

  0.3

    (0, 343)(0, 09) (0, 240)(0, 30) (0,168)(1) 2!3! 1!4! 0!5!

                

  (0 343)(0 09) (0 240)(0 30) (0 168)(1)      

  5 5! 5! 5!

  4

  3

  0.3

  0.7

  0.3

  0.7

  0.7

  Maka X~B(5, 0. 7) Y i i di i d l h P(X

  5

  5

  5

              ^{3 2 4 1 5}

  5      

  5

  5

  P(X  3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) _{3 2 4 1 5}

   3).

   3) Yang ingin dicari adalah P(X

  0, 309 0, 360 0,168 0, 837       

  11 Percobaan Poisson • Memiliki 2 keluaran hasil : SUKSES dan GAGAL. Memiliki 2 keluaran hasil : SUKSES dan GAGAL.

P b P i

• Terdef inisi pada : (yang membedakan dari

  percobaan Binomial) ▫

  Panj ang selang wakt u ▫ Luas daerah/ area C t h Cont oh :

• Banyak kej adian angin t ornado dalam sat u

  t ahun di US t ahun di US

• Banyak bat u “ Apung” dit emukan di set iap 2

  met er panj ang sungai “ A”

  12 Proses Poisson

   Selang wakt u at au daerahnya saling bebas.

   Peluang pada Proses Poisson t ergant ung pada g p g g p selang wakt u dan besarnya daerah.

   Peluang unt uk selang yang pendek at au daerah yang sempit dapat diabaikan.

  13 Dist ribusi Poisson  Peubah acak X berdist ribusi Poisson

  X~P( ( )  t) x

   t  e t

    

  F. m. p : P X (  x )  , x   0,1, 2,...

x ! !

e = t et apan Euler (2. 71828…) o Rataan : E[X] =  =  t

  X

  2 o Variansi : var(X)= o Variansi : var(X)   =   t t

  

X

X

  14 Cont oh 3 Rata-rata banyaknya kejadian hujan beserta badai dalam b l ( i ) di d h d l h 7 satu bulan (empat minggu) di suatu daerah adalah 7.

  a. Hitung peluang bahwa lebih dari 2 kejadian hujan beserta badai menimpa daerah tersebut dalam periode 2 minggu.

  b. Berapa rata-rata banyaknya kejadian hujan beserta badai menimpa daerah tersebut dalam periode 2 p p bulan.

  5

  1 s su a K s si li a n A r lu

  16 Jawab

• Kasus Diskrit • Misal p.a. X : banyak kejadian hujan beserta badai dalam satu bulan di suatu daerah

  Jenis

• Distribusi Poisson

  kasus

• Satuan waktu : 1 bulan = 4 minggu (Kasus dapat dibagi atas 2 jenis berdasar satuan waktunya
• Jika dipandang waktu dalam bulan, ambil t = 1

  Satuan

• Jika dipandang waktu dalam minggu, ambil t = 4 p g gg
• Rata-rata kejadian 1 bulan : 7, rata-rata kejadian 1 minggu : 7/4

  Paramet  = t = 7

• Jika t = 1 (dalam bulan) maka X ~ P (7), dengan rata-rata

  er

• Jika t = 4 (dalam minggu) maka X ~ P (7) , dengan rata-rata Jika t 4 (dalam minggu) maka X P (7) , dengan rata rata  t  = t = (7/4)(4) = 7 (7/4)(4)

  7 distribus distribus i

• t = 0,5 (dalam bulan), X ~ P(3,5) maka P(X>2) = ....

  Pertanya • t = 2 (dalam minggu), X ~ P(3,5) maka P(X>2) = .... an an a.

   = ....

• t = 2 (dalam bulan), X ~ P(14) maka

  Pertanya • t = 8 (dalam minggu), X ~ P(14) maka  = .... an b.

  . . . _x   t

e  t

    P X (  x )  , x  0,1, 2,...

  Ingat def inisi:

  x !

  sehingga

  P X ( 2) 1 P X

     

  2     a.

  1 P X 

  2       _{3,5 3,5 3,5 1 2 t 0,5}   

   e 3, 5 e 3, 5 e 3, 5

             

  1

  1     0! 1! 2!   1 0.030 0,106 0, 370    0, 494

b. Jika dalam 1 bulan, rat a-rat a banyak kej adian huj an

besert a badai adalah 7 (  =7) maka dalam 2 bulan (t =2), rat a-

rat a banyak huj an besert a badai t erj adi adalah rat a banyak huj an besert a badai t erj adi adalah   t = 14. t = 14

  17

  18 Hubungan dist ribusi Bernoulli, Binomial, Poisson dan Normal Bernoulli Binomial Poisson dan Normal

  Misalkan p. a X

  Distribusi Bernoulli Di t ib i B lli X ~ Ber (1, p)

  >1 >1 n

  Distribusi Normal n >>>

  Distribusi Binomial

  μ, σ μ, σ X ~ Bin (n, p)

  2  = np(1- p)

  μ = np, σ 2 

  =  , 

  μ =  σ n >>>, p <<< n >>>

  Distribusi Poisson DLP

  X POI (   ) ) t t

  X ~ POI (

  



= np = np(1- p)

  19 Beberapa dist ribusi diskrit lainnya p y

  Distribusi Multinomial • Distribusi Hipergeometrik • Di t ib i Hi t ik Distribusi Binomial Negatif • Distribusi Geometri • Distribusi Geometri

• Bila suatu usaha tertentu dapat menghasilkan k macam hasil

  

   

  x n p  

  1 ^{k k} _{i i i i}

  dan

  1 ¹

  dengan, Percobaan Binomial menjadi Multinomial jika setiap

      

  Di t ib i M lt i i l

      

  n P X x X x X x x x x

  ( , ,..., ) p p p , ,..., ^{k x x x k k k} _k

  1 ² _{1 1 2 2 1 2 1 2}

  E ₁ , E ₂ , …, E _k dengan peluang p ₁ , p

₂

, …, p _k , maka distribusi peluang peubah acak X ₁ , X ₂ , …, X

_k

yang menyatakan banyak terjadinya E ₁ , E ₂ , …, E _k dalam n usaha bebas ialah,

  20 Dist ribusi Mult inomial

    j p percobaan memiliki lebih dari dua kemungkinan hasil.

  21 Cont oh 4 C h 4

  Peluang seorang perwakilan datang ke suatu konferensi di suatu • kota menggunakan pesawat, bus, mobil pribadi, dan kereta berturut-turut adalah 0.4, 0.2, 0.3, dan 0.1. Hitung peluang dari 9 perwakilan yang datang 3 orang datang menggunakan pesawat, 3 orang dengan bus, 1 orang dengan mobil pribadi, dan 2 orang dengan kereta.

  Jawab: • Misalkan X : banyaknya perwakilan yang datang menggunakan _i transportasi i, i=1,2,3,4 berturut-turut mewakili pesawat, bus, mobil pribadi, dan kereta. pesawat bus mobil pribadi dan kereta

  

9

 

^{3 3 1 2} P X (  3, ₁ X  3, ₂ X  1, ₃ X  2) _{4        }

  0.4

  0.2

  0.3

  0.1   

3, 3,1, 2

 

  9!  ⁵

   0.064 0.08 0.3 0.01  2520 1.536 10    0, 038702     

  3!3!1!2!

  22 Dist ribusi Hipergeomet rik Di ib i Hi ik

  ~ h(N , n, k) ( , , ) •

  X

• X : banyaknya sukses dalam sampel acak ukuran n

  yang diambil dari N benda yang mengandung k bernama s u k s e s dan N k bernama g a g a l. bernama s u k s e s dan N -k bernama g a g a l.

  k N  k

       

  x x n n x x

        

  P X ( x ) h x N n k ( ; , , ) , x 0,1, 2,..., n

     

  N

     

  n

   

   

  Rataan : Variansi :

  N n k k nk _{2 2  }  n

  1

  1

      

     

  N

  1 N N

  N

    

  23 Cont oh 5 Cont oh 5 Dari 50 gedung di sebuah kawasan industri, 12 gedung • mempunyai kode pelanggaran. Jika 10 gedung dipilih

secara acak dalam suatu inspeksi, hitung peluang bahwa 3

dari 10 gedung mempunyai kode pelanggaran! dari 10 gedung mempunyai kode pelanggaran! Jawab : • Misalkan X : banyak gedung yang dipilih mempunyai kode pelanggaran. l

  X ~ h(50, 10, 12)

  12

  38         

  3 7 220 12620256

    

    

  P X ( 3) h (3;50,10,12)

  0.2703     

  50 10272278170

     

  10    

  10

  24 Kait annya dengan dist ribusi Binomial Kait annya dengan dist ribusi Binomial Percobaan binomial maupun hipergeometrik • sama-sama memiliki 2 kemungkinan, yaitu sukses dan gagal.

• Pe rbe d a a n Pe rbe d a a n mendasar adalah pada binomial mendasar adalah pada binomial

  percobaan dilakukan d e n gan p e n ge m balian

sedangkan hipergeometrik, percobaan dilakukan

ta n p a p e n ge m ba lia n .

  Untuk ukuran sampel acak (n) yang diambil • semakin kecil terhadap N , maka distribusi semakin kecil terhadap N maka distribusi hipergeometrik dapat dihampiri oleh distribusi Binomial, dengan peluang sukses k/N .

  25 Dist ribusi Geomet rik Di ib i G ik

• X

  ~ g(p) atau X ~ Geom(p)

• X

  : banyaknya usaha sampai saat terjadi sukses pertama dari usaha-usaha yang saling bebas dengan peluang dari usaha-usaha yang saling bebas dengan peluang sukses p dan gagal (1-p). x  ¹

       P X ( x ) g x p ( ; ) p (1 p ) , x 1, 2,...

     

  Rataan : Rataan : Variansi : Variansi :

  1 1 p ₂ 

      _{2 2} p p

  26 Cont oh 6 Cont oh 6 Suatu tes hasil pengelasan logam meliputi proses • pengelasan sampai suatu patahan terjadi. Pada jenis

pengelasan tertentu, patahan terjadi 80% disebabkan oleh

logam itu sendiri dan 20% oleh penyinaran pada logam itu sendiri dan 20% oleh penyinaran pada pengelasan. Beberapa hasil pengelasan dites. Misalkan X adalah banyak tes yang dilakukan sampai ditemukan patahan pertama pada hasil pengelasan. Hitung peluang patahan pertama pada hasil pengelasan Hitung peluang pada tes ketiga ditemukan patahan pertama! Jawab : • X ~ Geom(0.2) ₂ P X P X ( ( 3) 3) g g (3; 0.2) (3; 0 2) 0.2(0.8) 0 2(0 8) 0.128 0 128

     

  27 Dist ribusi Binomial Negat if Dist ribusi Binomial Negat if  ~ b*(k, p)

  X  : banyaknya usaha yang berakhir tepat pada sukses ke-k dari b k h b kh d k k k d

  X usaha-usaha saling bebas dengan peluang sukses p dan gagal (1-p). x 

  1   _{k x k }

P X (  x )  b * ( ; , ) x k p  p (1  p ) , x  k k ,  1, k  2...

    k 

  1  

  Suatu peubah acak Binomial negatif adalah jumlah dari peubah • acak-peubah acak Geometrik.

• = Y + Y + = Y + Y + ... + Y

  X X Y

  1 2 k k

  dimana Y , Y , ..., Y adalah peubah acak saling bebas, masing-

  1 2 k masing berdistribusi Geom(p). k k (1 p ) ₂ 

   Variansi :

     

   Rataan : ₂ p p

  28 Cont oh 7 C t h 7 Perhatikan Contoh 6. • Misalkan X adalah banyak tes yang dilakukan • sehingga ditemukan 3 patahan pertama. Hitung peluang bahwa dilakukan 8 tes sehingga ditemukan 3 patahan pertama! J Jawab : • b

  7   _{3 5} P X P X ( (   8) 8)   b b * (8;3 0 2) (8;3, 0.2)   (0.2) (0.8) (0 2) (0 8)   0.05505 0 05505     2  

  29 Ref erensi 

  

Navidi, William., 2008, Statistics for Engineers and

Scientists, Scientists 2nd Ed., New York: McGraw-Hill. 2nd Ed New York: McGraw Hill

   Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond

H Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan

   Walpole, Ronald E., et.al, 2007, Statistitic for Walpole, Ronald E., et.al, 2007, Statistitic for Scientist and Engineering , 8th Ed., New Jersey: Prentice Hall.

   Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.