SUKU BANYAK dan teorema (3)

SUKU BANYAK ( POLINOMIAL )
a. Pengertian sukubanyak:

anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ...+ a1x + a0 adalah suku banyak dalam x berderajat n, dengan n
bilangan cacah dan an ≠ 0 . Bilangan ak dinamakan koefesien suku yang memuat xk.
Contoh :
7x5 – 3x4 +2x3 – 5x + 6 adalah suku banyak berderajat 5 ( dengan cara melihat pangkat
tertinggi dari persamaan tersebut ) koefesien x5 adalah 7, koefesien x4 adalah – 3.
b. Nilai Suku banyak
1. Nilai suku banyak f(x) untuk x = k adalah f (k)
a. Cara substitusi
Contoh :
Tentukan nilai suku banyak berikut ini : f(x) = 2x5 + x4 – 3x2 + 1 untuk x = 2
Jawab :
Untuk x = 2 , nilai suku banyak adalah f (2)
f(x) = 2x5 + x4 – 3x2 + 1
f(x) = 2.25 + 24 – 3.22 + 1
f(x) = 64 + 16 – 12 + 1 = 69
b. Cara Skemetik (koefesien ditulis secara berurutan dari derajat tertinggi )
Contoh :
Tentukan nilai suku banyak berikut : f(x) = 3x4 – 2x3 + 5x2 + x – 6 untuk x = 2

2
3
-2
5
1
-6
6
8
26
54
3
4
13
27
48
Jadi nilai suku banyak untuk x = 2 adalah 48
2. Operasi pada suku banyak
Contoh :
f (x) = 3x3 – 2x2 + x – 6
g (x) = x3 + x2 – 3x + 5

a. penjumlahan
f(x) + g(x)
= (3x3 – 2x2 + x – 6) + (x3 + x2 – 3x + 5)
= 3x3 – 2x2 + x – 6 + x3 + x2 – 3x + 5
= 4x3 – x2 – 2x - 1
b. pengurangan
f(x) - g(x) = (3x3 – 2x2 + x – 6) - (x3 + x2 – 3x + 5)
= 3x3 – 2x2 + x – 6 x3 - x2 + 3x - 5
= 2x3 – 3x2 – 4x - 11
c. perkalian
f(x) + g(x) = (3x3 – 2x2 + x – 6) . (x3 + x2 – 3x + 5)
= 3x6 + x5 - 10x4 + 16x3 – 19x2 + 23x – 30

+

c. Pembagian sukubanyak:
1. Pembagian suku banyak dengan (x – k)
Jika suku banyak f(x) dibagi dengan (x –k), maka hasil baginya H(x) dan sisanya S,
sehingga f(x) = (x-k) H(x) + S
Contoh :

Tentukan hasil bagi dan sisanya ; (3x4 – 2x3 + x2 + 5x – 2) : ( x – 2)
Pembagian dapat dikerjakan dengan 2 cara :
a. Cara bersusun

x-2

3x3
3x4
3x4

+
-

4x2
2x3
6x3
4x3
4x3

+

+
+
-

9x
x2

+
+

x2
8x2
9x2
9x2

+
-

23
5x

-

5x
18x 23x 23 -

2

2
4
6
4
4

-

Jadi hasil bagi = 3x3 + 4x2 + 9x + 23 , sisa = 44

b. Cara skematik atau sintetik atau horner
2

3
3

-2
6
4

1
8
9

5
18
23

-2
46
44

⇾
Sisa

Jadi hasil bagi = 3x3 + 4x2 + 9x + 23 , sisa = 44
2. Pembagian suku banyak dengan (ax + b)
Pembagian suku banyak dengan (ax + B) , maka hasilnya H(x)/a dan sisanya S, sehingga
f(x) = (x + b/a) H(x) + S atau (ax + b) H(x)/a + S
Contoh :
Tentukan nilai bagi dan sisanya : (2x3 – 3x2 + 5x + 3) ; (2x – 1)
Jawab ;
½
2
-3
5
3
1
-1
2
⇾
2

-2
4
5
Sisa
Jadi , hasil bagi = (2x2 – 2x + 4) /2 = x2 – x + 2
Sisa = 5
3. Pembagian suku banyak f(x) dibagi dengan ax2 + bx + c dengan a≠0 , hasil baginya H(x) dan
sisanya px + q , maka f(x) = (ax2+bx+c).H(x) + px + q
a. pembagian dapat difaktorkan
Contoh :
Tentukan sisa pembagian (3x4 + x2 – 5x + 7) : (x2 – 3x + 2)
Cara I :
3x4 + x2 – 5x + 7
= ( x2 – 3x + 2 ) H(x) + ( px + q )
= ( x - 1 ) ( x – 2 ) H(x) + ( px + q )
x =1⇾ 3+1–5+7
=p+q
p + q = 6 ....... (i)
x = 2 ⇾ 48 + 4 – 10 + 7
= 2p + q

2p + q = 49 ......(ii)
Dari persamaan (i) dan (ii) diperoleh :
2p + q = 49
p+q
= 6–
p
= 43
untuk p = 43 , maka q = - 37 ⇾ jadi sisanya = 43x – 37
Cara II :
Pembagian = (x2 – 3x + 2) = (x – 1)(x – 2) = P1,P2
1
3
0
1
-5
7

3
2
3

3
3
6
9

3
4
1
22

4
-1
44
43

-1
6
+
⇾

+
⇾

S1

S2

Sisa p = P1.S2 + S1 = (x-1).43 + 6 = 43x – 37
b. pembagian tidak dapat difaktorkan
tentukan sisa pembagian : (3x3 +4x – 8) : (3x2 +x +2)
Jawab :
Diselesaikan dengan cara identik : f(x) = pembagi x hasil bagi + sisa
Karena pembagi berderajat 2, maka sisa berderajat 1 dan misalkan dengan (px +q)
(3x3 + 4x – 8)
= (3x2 + x + 2) H(x) + (px + q)
2
= (3x + x + 2)(x + b) + (px + q)
= 3x3 + 3b2x2 + x2 + bx + 2x + 2b + px + q
= 3x3 + (3b + 1)x2 + (b + 2 + p)x + (2b + q)
Koefesien x2 = 0
⇾ 3b + 1 = 0
⇾ b = - 1/3
Koefesien x = 4
⇾b+2+p=4
⇾ p = 7/3
Koefesien x0 = -8
⇾ 2b + q = -8
⇾ q = - 22/3
Jadi sisa = px + q = 7x/3 – 22/3

1. Teorema Sisa
a. Pembagian Sukubanyak f(x) oleh ax + b
Jika f(x) dibagi ax + b bersisa S, maka f(x) dapat dinyatakan sebagai:
f(x) = (ax + b)H(x) + S
Dengan mengambil x = – b/a , maka kita peroleh:
f ( -b/a ) = 0 · H(x) + S
f ( -b/a ) = S
Ini berarti bahwa sisa pembagian sukubanyak f(x) oleh ax + b adalah S =
f ( -b/a ) .
b. Pembagian Sukubanyak f(x) oleh (ax + b)(cx + d)
Jika f(x) dibagi (ax + b)(cx + d) bersisa S(x) = px + q, maka f(x) dapat dinyatakan
sebagai:
f(x) = (ax + b)(cx + d)H(x) + S(x)
Dengan mengambil x = – b/a , maka kita peroleh:
f ( -b/a ) = 0 · (cx + d) · H(x) + (px + q)
f ( -b/a ) = px + q .............. (1)
Dengan mengambil x = – c/d , maka kita peroleh:
f ( -c/d ) = (ax + b) · 0 · H(x) + (px + q)
f ( -c/d ) = px + q............... (2)
Ini berarti bahwa sisa pembagian suku banyak f(x) oleh (ax + b)(cx + d) adalah
S(x) = px + q, dengan p dan q merupakan penyelesaian simultan dari persamaan (1)
dan (2).

2. Teorema faktor
(x – k) merupakan faktor dari f(x) jika dan hanya jika f(k) = 0
2.1 Teorema Faktor untuk Mencari Akar
Jika terdapat sukubanyak f(x) dan f(k) = 0, maka k merupakan akar dari f(x).
Sebaliknya, jika k merupakan akar akar dari f(x), maka f(k) = 0.
2.2 Persamaan Sukubanyak

a.
Jika x1, x2, dan x3 akar-akar persamaan ax3 + bx2 + cx + d = 0, maka:
1) x1 + x2 + x3 = - b/a
2) x1 · x2 + x1 · x3 + x2 · x3 =c/a
3) x1 · x2 · x3 = - d/a
b.
Jika x1, x2, x3, dan x4 akar-akar persamaan ax4 + bx4 + cx2 + dx + e = 0, maka:
1) x1 + x2 + x3 + x4 = - b/a
2) x1 · x2 + x1 · x3 + x1 · x4 + x2 · x3 + x2 · x4 + x3 · x4 = c/a
3) x1 · x2 · x3 + x1 · x2 · x4 + x1 · x3 · x4 + x2 · x3 · x4 = - d/a
4) x1 · x2 · x3 · x4 = e/a