Percobaan Satu Faktor: Rancangan Acak Kelompok Lengkap (RAKL) (Randomized Block Design)

Percobaan Satu Faktor: Rancangan
Acak Kelompok Lengkap (RAKL)
(Randomized Block Design)
ARUM HANDINI PRIMANDARI

Latar belakang
• Rancangan Acak kelompok adalah suatu rancangan acak yang dilakukan
dengan mengelompokkan satuan percobaan ke dalam grup-grup yang
homogen yang dinamakan kelompok dan kemudian menentukan
perlakuan secara acak di dalam masing-masing kelompok.
• Melalui pengelompokkan yang tepat atau efektif, maka rancangan ini
dapat mengurangi galat percobaan yang mana dengan adanya
pengelompokkan, maka dapat membuat keragaman satuan-satuan
percobaan di dalam masing-masing kelompok sekecil mungkin sedangkan
perbedaan antar kelompok sebesar mungkin

Perhatikan kasus berikut

Ingin mengetahui pengaruh jenis obat
terhadap kecepatan penyembuhan
Faktor : jenis obat

Apakah ada faktor lain yang
mempengaruhi kecepatan
penyembuhan selain jenis obat?
Bila faktor-faktor lain yang dapat
mempengaruhi keragaman respon (selain
faktor yang diteliti) tidak dapat
diseragamkan (dikendalikan) oleh
peneliti, maka RAL tidak dapat
diterapkan.

Umur

• Balita, anak-anak
• Remaja
• dewasa
• Orang tua

Jenis
kelamin

Alergi

• Laki-laki
• Perempuan

• Ada riwayat
• Tidak ada

Mengapa RAKL?

Keheterogenan unit percobaan berasal dari satu sumber
keragaman

Mengatasi kesulitan dalam mempersiapkan unit
percobaan dalam jumlah besar

Kelompok yang dibentuk harus merupakan kumpulan
dari unit-unit percobaan yang relatif homogen sedangkan
keragaman antar kelompok diharapkan cukup tinggi

Ciri – ciri RAKL

Pada satuan percobaan/media/bahan percobaan terdapat
faktor yang tidak seragam (heterogen)
Terdapat 2 sumber keragaman yaitu perlakuan dan
kelompok (plus galat percobaan)
Keragaman respons disebabkan oleh Perlakuan, Kelompok
dan Galat

Keuntungan / kelebihan RAK
Lebih efisien dan akurat dibandingkan dengan RAL

- Pengelompokan yang efektif akan menurunkan jumlah kuadrat
galat, sehingga akan meningkatkan tingkat ketepatan atau bisa
mengurangi jumlah ulangan
Lebih fleksibel dalam hal jumlah perlakuan, jumlah
ulangan/kelompok

Penarikan kesimpulan lebih luas, karena kita juga bisa melihat
perbedaan antar kelompok

Kekurangan RAK
• Memerlukan asumsi tambahan untuk beberapa uji hipotesis

• Interaksi antara kelompok dan perlakuan sangat sulit
• Peningkatan ketepatan pengelompokan akan menurun dengan
semakin meningkatnya jumlah satuan percobaan dalam
kelompok
• Derajat bebas kelompok akan menurunkan derajat bebas galat,
sehingga sensifitasnya akan menurun terutama apabila jumlah
perlakuannya sedikit atau keragaman dalam satuan percobaan
kecil (homogen)
• Jika ada data yang hilang memerlukan perhitungan yang rumit

Pengacakan dan bagan percobaan
Misalkan ada 6 perlakuan (P1, P2, P3, P4, P5, P6) dan setiap
perlakuan diulang dalam 3 kelompok.
Ada 6 unit percobaan pada setiap kelompok
Total unit percobaan ada 6 × 3 = 18 unit percobaan

Pengacakan dilakukan pada masing-masing kelompok
Salah satu bagan percobaan :

Kelompok 1
P1 P3 P2 P4 P6 P5 
Kelompok 2
P3 P5 P6 P4 P1 P2 
Kelompok 3
P1 P5 P3 P4 P2 P6 

Tabulasi Data
Tabulasi data dapat disajikan sebagai berikut:
Perlakuan
1
2
⋮

𝑎

Total

Kelompok
1

2

𝑦11

𝑦12

𝑦21
⋮

𝑦𝑎1

𝑦∙1

Baris 𝑖 merupakan
perlakuan, sedangkan
kolom 𝑗 merupakan

kelompok

𝑦22
⋮

𝑦𝑎2

𝑦∙2

…

…

n
𝑦1𝑛

…

𝑦2𝑛

…

𝑦∙𝑛

…

…

⋮

𝑦𝑎𝑛

Total

Ratarata

𝑦1∙

𝑦ത1∙

𝑦2∙
⋮

𝑦𝑎∙

𝑦∙∙

𝑦ത2∙
⋮

𝑦ത𝑎∙

𝑦ത∙∙

Model linier aditif RAKL
Model linier aditif dari RAKL yaitu:

i  1,2,...,t

Yij    i   j  ij

j  1,2,...,r

dengan

ij N 0, 2 
iid

Yij: pengamatan pada perlakuan ke-i dan kelompok ke-j
μ: rataan umum
τi: pengaruh perlakuan ke-i
ßj: pengaruh kelompok ke-j
εij: pengaruh acak pada perlakuan ke-i, kelompok ke-j
t

Asumsi untuk model tetap adalah

r

   0 dan 

i

i1

Asumsi untuk model acak adalah i N 0, 
iid

j

0

j1

2




dan  j N 0, 2 
iid

Hipotesis model tetap
Hipotesis pengaruh perlakuan
H0 : 1  2  ...  t  0
H1 : i  0,(i  1,2,...,t)

Hipotesis pengaruh kelompok
H0 : 1  2  ...  r  0
H1 :  j  0,( j  1,2,...,r)

Tidak terdapat perbedaan pengaruh
perlakuan terhadap respon yang diamati

Tidak terdapat perbedaan pengaruh
kelompok terhadap respon yang diamati

Hipotesis model acak
Hipotesis pengaruh perlakuan
H0 : 2  0

Keragaman perlakuan tidak berpengaruh terhadap
respon yang diamati

H1 : 2  0

Keragaman perlakuan berpengaruh positif
terhadap respon yang diamati

Hipotesis pengaruh kelompok
Keragaman kelompok tidak berpengaruh terhadap
H0 : 2  0
respon yang diamati

H1 : 2  0

Keragaman kelompok berpengaruh positif
terhadap respon yang diamati

Perhitungan analisis variansi
Y2
FK 
tr
t

r

JKT   Yij2  FK
i1 j 1

Yi2
JKP  
 FK
i1 r
t

r

Y 2j

j1

t

JKK  

 FK

JKG  JKT  JKP  JKK

Tabel analisis variansi
SV

db

JK

KT

Fhitung

Perlakuan

t-1

JKP

KTP

KTP/KTG

Kelompok

r-1

JKK

KTK

KTK/KTG

Galat

(t-1)(r-1)

JKG

KTG

Total

tr-1

JKT

Kriteria keputusan :
1. H0 ditolak jika: (untuk perlakuan)

Fhitung  F ,t1,(t1)(r1)

2. H0 ditolak jika: (untuk kelompok)

Fhitung  F ,r1,(t1)(r 1)

Efisiensi relatif (ER) dari RAK terhadap RAL
Ukuran kebaikan RAK dengan RAL

 dbb  1  dbr  3 ˆ r2
ER 
 2
 dbb  3  dbr  1 ˆ b
Ragam galat dari RAK dan RAL diduga dengaan rumus:

ˆ b2  KTG

ˆ 

2
r

r  1KTK  r  t  1KTG
tr  1

Nilai ER = 2, maka untuk memperoleh sensitifitas RAL sama dengan RAK
maka ulangan yang digunakan dengan RAL harus 2 kali dari ulangan
(kelompok) RAK.

Contoh penerapan
Dalam suatu percobaan di bidang peternakan terdapat suatu
pengaruh tentang berbagai campuran ransum (makanan),
katakanlah campuran A, B, C, D terhadap pertambahan bobot
badan selama masa percobaan (diukur dalam kg). Hewan
percobaan yang digunakan adalah domba jantan yang terdiri
dari umur yang berbeda. Karena berbeda umur, maka dilakukan
pengelompokkan dan terdapat empat kelompok berdasarkan
tingkat umur domba tersebut.

Data pertambahan bobot badan (kg)dari 16 domba jantan
yang memperoleh makanan yang berbeda

Perlakuan

Kelompok Umur
1

2

3

4

A

2

3

3

5

B

5

4

5

5

C

8

7

10

9

D

6

5

5

2

Penyelesaian
1.

Model

Yij    i   j  ij ;i  1,2,3,4; j  1,2,3,4
Dimana :
Yij: pertambahan bobot badan dari domba ke-j yang memperoleh campuran
makanan ke-i

μ: nilai tengah umum (rata – rata) pertambahan bobot badan
τi: pengaruh perlakuan makanan ke-i
βj: pengaruh kelompok domba (kelompok umur) ke-j

εij: pengaruh galat percobaan pada domba ke-j yang memperoleh perlakuan
makanan ke-i

2. Asumsi

Komponen-komponen µ, τi, βj, dan εij bersifat aditif
Nilai-nilai τi (i= 1,2,3,4) tetap,

   0 dan E     
i

i

i

i

Nilai-nilai βj (j = 1,2,3,4) tetap,   j  0 dan E   j    j
j

εij timbul secara acak, menyebar normal dengan nilai tengah sama
dengan nol dan ragam σ².

3. Hipotesis
H0 : 1  2  3  4  0
H1 : i  0,(i  1,2,3,4)
H0 : 1  2  ...  r  0
H1 :  j  0,( j  1,2,...,r)

4.
5.
6.
7.

◦
◦

Taraf signifikasi
Statistik uji
(Kriteria keputusan)
Perhitungan
perhitungan FK, JKP, JKK, JKT, dan JKG
tabel analisis variansi

8. Kesimpulan

Hitung pula:
1. Koefisien Keragaman (KK)
2. Sensifitas RAK terhadap RAL (ER)

Latihan RAKL dengan R
# RAKL

#
#
#
#

Perlakuan: pemberian ransum
faktor: ransum, level: jenis ransum
kelompok: kel umur domba jantan
unit pengamatan: pertambahan bobot

# Input data
ransum = c(rep('A',4),rep('B',4),rep('C',4),rep('D',4))
umur = c(rep(c('1','2','3','4'),4))
# ransum = gl(4,4,labels = c("A","B","C","D"))
# umur = gl(4,1,16)
bobot = c(2,3,3,5,5,4,5,5,8,7,10,9,6,5,5,2)
percobaan = data.frame(ransum, umur, bobot)

# Anova
result = aov(bobot~ransum+umur, data = percobaan)
summary(result)

Plot
par(mfrow = c(1,2))

plot(bobot~ransum, data = percobaan)
plot(bobot~umur, data = percobaan)

Data Hilang dalam RAK
Terkadang data dalam satuan percobaan tertentu hilang atau
tidak dapat dipergunakan, misalkan pada kasus percobaan
pemberian ransum pada domba jantan, ada domba yang sakit
atau mati.

Suatu metode yang dikemukakan oleh Yates (1933)
memungkinkan kita untuk menduga data yang hilang tersebut.
Suatu dugaan terhadap data yang hilang tidak akan memberikan
tambahan informasi kepada peneliti, tetapi hanya sebagai fasilitas
untuk analisis dari data yang tersisa tersebut.

Kehilangan Data tunggal (Single value)
Untuk data tunggal dalam RAK yang hilang, maka dugaannya dihitung
dengan formula:

Y

rB  tT  G
r  1 t  1

Dimana:
r dan t: jumlah kelompok dan perlakuan
B dan T: total nilai pengamatan dalam kelompok dan perlakuan yang
kehilangan satuan percobaannya.
G: total seluruh nilai pengamatan.
Kemudian nilai dugaan tersebut dimasukkan dalam tabel pengamatan
dan dilakukan analisis variansi.

Nilai dugaan yang digunakan harus sedemikian rupa sehingga
jumlah kuadrat galat dalam analisis variansi menjadi minimum.
Jumlah kuadrat perlakuan akan berbias ke atas sebesar:

B   t  1  Y

Bias 

2

t  t  1

Contoh

Perlakuan

Kelompok Umur

Total

Total

1

2

3

4

A

2

3

3

5

13

B

5

4

5

14

C

8

7

ℎ

10

9

34

D

6

5

5

2

18

21

19

18

21

79

rB  tT  G 4  18  4  14  79
Y

 5.4
(4  1)(4  1)
r  1 t  1

Nilai dugaan 5.4 ini kemudian dicoba sebagai suatu nilai
pengamatan untuk analisis variansi. Dengan demikian total
kelompok ketiga yang tadinya 18 menjadi 23.4 dan total
perlakuan B menjadi 19.4 dan total keseluruhan 84.4.
Biasnya:
B   t  1  Y 18  (4  1)5.4

Bias 

2

t  t  1

2

4(4  1)

 0.27

Dengan demikian penduga tak bias bagi JKP yaitu:
JKP (hasil perhitungan) – bias

Hasil analisis variansi dengan pendugaan data hilang
SV

db

JK

KT

Kelompok

3

2.43

0.81

Perlakuan

3

61.13+

20.38

Galat

9

17.39

1.93

Total

15 – 1 = 14

80.95

F
9.39

Keterangan: +bias = 0.27 sehingga JKP tak bias = 61.13 – 0.27 = 60.86
Analisis variansi alternatif (warna merah mengalami perubahan)
SV

db

JK

KT

Kelompok

3

2.43

0.81

Perlakuan

3

60.86

20.28

Galat

9–1=8

17.39

2.17

Total

14

80.65

F
9.35

Kehilangan Data Lebih dari Satu
Data Pertambahan Bobot Badan (kg) dari Domba Jantan yang
Memperoleh Makanan Berbeda

Perlakuan

Kelompok Umur

Total

Total

1

2

3

4

A

2

3

3

5

13

B

5

4

5

14

C

8

7

ℎ2

10

9

34

D

6

ℎ1

5

2

13

18

21

74

21

14

Prosedur pendugaan dilakukan dengan cara iterasi.

Prosedur iterasinya:

1. Pendugaan h1 melalui:
h1 

Yi  Y j
2

13 3  14 3

 4.5
2

2. Pendugaan h2 (iterasi pertama) dengan menggunakan rumus
hilang data tunggal sebelumnya.
rB  tT  G 4  18  4  14  (74  4.5)
h2 

 5.5
(4  1)(4  1)
r  1 t  1

3. Pendugaan h1 (iterasi pertama) dengan rumus sama.
rB  tT  G 4  14  4  13  (74  5.5)
h1 

 3.2
(4  1)(4  1)
r  1 t  1

4. Pendugaan h2 (iterasi kedua) dengan cara sama.
h2 

rB  tT  G 4  18  4  14  (74  3.2)

 5.6
(4  1)(4  1)
r  1 t  1

5. Pendugaan h1 (iterasi kedua)
h1 

rB  tT  G 4  14  4  13  (74  5.6)

 3.2
(4  1)(4  1)
r  1 t  1

6. Pendugaan h2 (iterasi kedua)
h2 

rB  tT  G 4  18  4  14  (74  3.2)

 5.6
(4  1)(4  1)
r  1 t  1

Dari proses iterasi terlihat bahwa nilai h1 dan h2 telah konstan
di nilai h1 = 3.2 dan h2 = 5.6

Datanya menjadi:

Perlakuan

Kelompok Umur

Total

Total

1

2

3

4

A

2

3

3

5

13

B

5

4

5

19.6

C

8

7

ℎ2 = 5.6
10

9

34

D

6

ℎ1 = 3.2

5

2

13

18

21

82.8

21

17.2

Besarnya bias untuk dua data hilang
B   t  1 Y   B   t  1  Y 

Bias 
2

1

1

2

2

t  t  1

2

Tabel analisis variansi
SV

db

JK

KT

Kelompok

3

5.21

1.74

Perlakuan

3

64.41

21.47

Galat

9–2=7

15.49

2.21

Total

15 – 2 = 13

85.11

9.71

14  (4  1)3.2  18  (4  1)5.6
2

Bias 

F

4(4  1)

2

 1.73

Tabel analisis variansi alternatif
SV

db

JK

KT

Kelompok

3

5.21

1.74

Perlakuan

3

62.68

20.89

Galat

7

15.49

2.21

Total

13

83.38

F
9.49

Referensi
Gaspersz, Vincent, 1991, Teknik Analisis Dalam Penelitian
Percobaan, Tarsito, Bandung.
Mattjik, Ahmad Anshori., dan Sumertajaya, Made I,
Perancangan Percobaan dengan Aplikasi SAS dan Minitab,
IPB Press, Bandung.
Montgomery, Douglas C., 2001, Design and Analysis of
Experiments 5th Ed, John Wiley & Sons, Inc., USA.

Box Plot/Whisker Plot