Contoh Soal Permutasi dan Kombinasi Sert
Contoh Soal Permutasi dan Kombinasi Serta Pembahasannya
PERMUTASI
1). Lima putra dan tiga putri duduk berderet pada 8 kursi kosong sesuai dengan 8 lembar karcis bioskop yang
mereka miliki. Berapa banyak cara untuk duduk yang diperoleh dengan urutan berbeda jika :
Putra dan putri dapat duduk di sembarang kursi?
Putra dan putri masing-masing mengelompok sehingga hanya sepasang putra dan putri yang dapat duduk
berdampingan?
Jawaban :
Terdapat 8 orang yang menempati 8 kursi dimana perbedaan urutan duduk memberikan hasil yang berbeda. Ini
adalah masalah permutasi 8 unsur dari 8 unsur atau P(8, 8) diberikan oleh : P(8, 8) = 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 3 x 2 x 1 =
40.320
5 orang putra duduk pada 5 kursi tertentu dan pertukaran duduk hanya boleh pada ke 5 kursi tersebut, sehingga
banyaknya cara duduk putra adalah P(5, 5). Demikian juga 3 putri duduk pada tiga kursi tertentu dan pertukaran
duduk diatara mereka hanya boleh pada ke 3 kursi ini, sehingga banyaknya cara untuk duduk putri adalah P(3, 3).
Dengan demikian, banyak cara duduk 5 putra dan 3 putri yang masing-masing mengelompok adalah P(5, 5) x P(3, 3)
= 5! X 3! = 720
2). Jika huruf-huruf pada kata "BOROBUDUR" dipertukarkan, berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat
diperoleh?
Berapa cara yang berbeda untuk menuliskan hasil kali a4b2c2 tanpa menggunakan eksponen?
Jawaban :
Pada kata BOROBUDUR terdapat 9 huruf dengan huruf B diulang 2 kali, huruf O diulang 2 kali, huruf R diulang 2
kali, dan huruf U diulang 2 kali. Banyaknya susunan huruf berbeda yang diperoleh diberikan oleh rumus berikut:
3). Sebuah keluarga terdiri atas 5 orang. Mereka akan duduk mengelilingi sebuah meja bundar untuk makan
bersama. Berapa banyaknya cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan tersebut dengan urutan yang
berbeda?
Jawaban :
Banyaknya cara agar 5 orang dapat duduk mengelilingi meja makan sama dengan banyak permutasi siklis 5 elemen,
yaitu :
(5 -1)! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
4). Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah
seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu.
Jawab:
Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal 7 orang dengan 3 kursi kosong.
Maka banyaknya cara duduk ada :
7P3 = 7!/(7-3)! = 7!/4! = 7.6.5 = 210 cara
5). Ada berapa cara 7 orang yang duduk mengelilingi meja dapat menempati ketujuh tempat duduk denganurutan
yang berlainan?
Jawab:
Banyaknya cara duduk ada (7 - 1) ! = 6 ! ® 6 . 5 . 4. 3 . 2 . 1 = 720 cara.
KOMBINASI
1). Seorang pemuda akan mempersembahkan serangkaian bunga dua warna dari lima warna bunga yang terdapat di
tamannya. Berapa macam rangkaian bunga yang dapat dibuat pemuda tersebut?
Jawaban :
Apakah sama antara rangkaian bunga {Merah, Kuning} dengan rangkaian bunga {Kuning, Merah} ? Kasus tersebut
dinamakan kombinasi dua unsur dari lima unsur yang tersedia dan dilambangkan dengan :
Permutasi 2 unsur dari 5 unsur ditulis yang merupakan dua kejadian berikut :
Membuat rangkaian bunga yang memiliki 2 unsur dari 5 unsur yang tersedia dengan tidak
memperhatikan urutan terdapat cara
Menyusun elemen-elemen himpunan bagian dalam urutan yang berbeda yaitu {MK, KM}, {MB, BM}, {MH, HM},
{MP, PM}, {KB, BK}, {KH, HK}, {KP, PK}, {BH, HB}, {BP, PB}, dan {HP, PH} terdapat dua cara penyusunan atau
2! cara
Kejadian gabungan 1 diikuti oleh 2 adalah permutasi 2 unsur dari 5 unsur atau P(5, 2) =
Sehingga banyaknya kombinasi r elemen dari n elemen dengan 0 < r < n, diberi notasi adalah
Permutasi adalah urutan yang mungkin dari sejumlah unsur yang berbeda tanpa adanya pengulangan.
Banyaknya permutasi 3 unsur yang diambil dari 4 unsur adalah :
4 × 3 × 2 = 24.
Banyaknya permutasi 3 unsur yang diambil dari 4 unsur dapat ditulis :
Permutasi r unsur yang diambil dari n unsur dapat dipelajari melalui Tabel 1.
Tabel 1. Permutasi r unsur yang diambil dari n unsur
Tempat keBanyak Cara
1
n
2
n(n – 1)
3
n(n – 1) (n – 2)
...
...
r
n(n – 1) (n – 2)...(n – (r – 1))
Dari tabel tersebut, banyak permutasi r unsur yang diambil dari n unsur, dinotasikan P(n, r) adalah :
P(n, r) = n (n – 1) (n – 2) … (n – (r – 1))
Untuk r = 1, maka :
P(n, 1) = n
Untuk r = 2, maka P(n, 2) :
Ingatlah :
Notasi P(n, k) dapat juga ditulis dengan
.
Untuk r = 3 maka P(n, 3) :
Untuk r = k, diperoleh P(n, k) :
Untuk r = n, diperoleh :
P(n, n) = n (n – 1)(n – 2)…(n – (r – 1))(n – r)…(3)(2)(1) = n!
Banyak permutasi n unsur apabila disusun dalam k unsur adalah :
Contoh Soal 2 :
Tiga orang wiraniaga dicalonkan untuk mengisi kekosongan jabatan kepala cabang di dua kota. Tentukan banyak
cara untuk memilih dua kepala cabang dari tiga orang wiraniaga tersebut, dengan menggunakan rumus permutasi.
Jawab:
P(3, 2), dengan n = 3 (banyak wiraniaga) dan k = 2 (banyak wiraniaga terpilih).
Jadi, terdapat 6 cara.
Contoh Soal Permutasi dan Kombinasi Serta Pembahasannya
PERMUTASI1). Lima putra dan tiga putri duduk berderet pada 8 kursi kosong sesuai dengan 8 lembar kar is bioskop !
ang mereka miliki. "erapa ban!ak ara untuk duduk !ang diperole# dengan urutan berbeda $ika %Putra dan putri
dapat duduk di sembarang kursi& Putra dan putri masing'masing mengelompok se#ingga #an!a sepasang putra dan
putri !ang dapat duduk berdampingan&(aaban %Terdapat 8 orang !ang menempati 8 kursi dimana perbedaan urutan duduk
memberikan #asil !ang berbeda. Ini adala# masala# permutasi 8 unsur dari 8 unsur atau P*8+ 8) diberikan ole# %
P*8+ 8) , 8- , 8 / 0 2 3 1 , 45.235 orang putra duduk pada kursi tertentu dan pertukaran duduk #an!a
bole# pada ke kursi tersebut+ se#ingga ban!akn!a ara duduk putra adala# P* + ). 6emikian $uga 2 putri duduk
pada tiga kursi tertentu dan pertukaran duduk diatara mereka #an!a bole# pada ke 2 kursi ini+ se#ingga ban!akn!a
ara untuk duduk putri adala# P*2+ 2). 6engan demikian+ ban!ak ara duduk putra dan 2 putri !ang
masing'masing mengelompok adala# P*+ ) P*2+ 2) , - 7 2- , /35 3). (ika #uru '#uru pada kata 9":R:"U6UR9
dipertukarkan+ berapa ban!ak susunan #uru berbeda !ang dapat diperole#&"erapa ara !ang berbeda untuk
menuliskan #asil kali a4b33 tanpa menggunakan eksponen&(a aban %Pada kata ":R:"U6UR terdapat ; #uru
dengan #uru " diulang 3 kali+ #uru : diulang 3 kali+ #uru R diulang 3 kali+ dan #uru U diulang 3 kali. "an!akn!
a susunan #uru berbeda !ang diperole# diberikan ole# rumus berikut% 2). Sebua# keluarga terdiri atas orang.
Mereka akan duduk mengelilingi sebua# me$a bundar untuk makan bersama. "erapa ban!akn!a ara agar mereka
dapat duduk mengelilingi me$a makan tersebut dengan urutan !ang berbeda&(a aban %"an!akn!a ara agar orang
dapat duduk mengelilingi me$a makan sama dengan ban!ak permutasi siklis elemen+ !aitu %* '1)- , 4- , 4 2 3
1 , 344). "erapa ban!akn!a permutasi dari ara duduk !ang dapat ter$adi $ika 8 orang disediakan 4 kursi+ sedangkan
...
...
sala# seorang dari padan!a selalu duduk dikursi tertentu. (aab%(ika sala# seorang selalu duduk dikursi tertentu
maka tinggal / orang dengan 2 kursi kosong.Maka ban!akn!a ara duduk ada %/P2 , /-:M"I?ASI1). Seorang
pemuda akan mempersemba#kan serangkaian bunga dua arnadari lima arna bunga !ang terdapat di tamann!a.
"erapa maam rangkaian bunga !ang dapat dibuat pemuda tersebut&(a aban % Apaka# sama antara rangkaian
bunga @Mera#+ >uning dengan rangkaian bunga @>uning+ Mera# & >asus tersebut dinamakan kombinasi dua
unsur dari lima unsur !ang tersedia dan dilambangkan dengan %Permutasi 3 unsur dari unsur ditulis !ang
merupakan dua ke$adian berikut %Membuat rangkaian bunga !ang memiliki 3 unsur dari unsur !ang tersedia
dengan tidakmemper#atikan urutan terdapat araMen!usun elemen'elemen #impunan bagian dalam urutan !ang
berbeda !aitu @M>+ >M+ @M"+ "M+ @MB+ BM+ @MP+ PM+ @>"+ ">+ @>B+ B>+ @>P+ P>+@"B+ B"+ @"P+ P"+
dan @BP+ PB terdapat dua ara pen!usunan atau 3- ara>e$adian gabungan 1 diikuti ole# 3 adala# permutasi 3 unsur dari
unsur atau P*+ 3) , Se#ingga ban!akn!a kombinasi r elemen dari n elemen dengan 5 C r C n+ diberi notasi
adala#3). Tentukan nilai dari%a) 13D4b) 15D2(aabana) 13D4 13- 13- 13 . 11 . 15 . ; . 8- 13.11.15.;13D4 , ,
, , , 4; *13 F 4)- 4- 8- 4- 8 - 4 . 2.3.1 4.2.3.1 b) 15D2 15- 15- 15 .
; . 8 . /- 15.;.815D2 , , , , , 135 *15 F 2)- 2- /- 2- / - 2- 2.3.12).
8 anak pada suatu aara saling ber$abat tangan satu sama lain. Tentukan ban!akn!a $abat tangan !ang ter$adi(aaban %>ombinasi dengan n , 8 dan r , 3 8- 8- 8 . / . 0 - 8 D 2 , , , , 38
$abat tangan *8 F 3)- 3- 0- 3- 0- 3.1 4). Untuk mengikuti suatu perlombaan sekola# akan memili# 2 orang sis a dari
13 anak bersedia untuk ikut dalam perlombaan. Tentukan ban!akn!a kombinasi anak !ang diperole# sekola# dari ke
13 anak tersebut-(aaban %>ombinasi 2 dari 13 13- 13 - 13.11.15. ; - 13.11.1513D2 , , ,
, , 335 *13 F 2)- 2- ;- 2- ; - 2- 2.3.1). 0 orang sisa terpili# untuk mengikuti
perlombaan tenis me$a ganda. Tentukan ban!akn!a ara pen!usunan pasangan pemain dari keenam sisa tersebut-(aaban
%>ombinasi 3 dari 0 % 0- 0- 0..4 -0D3 , , , , 1 ara pemasangan *0 '3)- 3- 4- 3- 43.1
Permutasi dan Kombinasi Matematika
- Pelajaran matematika mengenai permutasidan kombina si diaja rkan pada si swa- si swi yang du duk di
kel as XI S MA. Ma teri ini m a s i h b e r k a i t a n d e n g a n P e l u a n g . L a l u a p a b e d a n y a
p e l u a n g , p e r m u t a s i d a n kombinasi !enang, jangan terburu-buru. Pada artikel ini
Rumus Matematika Dasar
a kan men jabarka n sa tu- persatu kepa da kalian men genai permu ta si dan kom bi nasida lam
ma tema ti ka . Sedan gkan un tuk ma teri peluan g dapat kal ian a kses pada arti kel yang membahas tentang
Pengertian dan Rumus Peluang Matematika.
Di dalam sebuah ruangan terdapat 150 siswa yang baru lulus SMP. Diketahui ada 75 siswa memilih untuk masuk
SMA dan 63 siswa memilih untuk masuk SMK sementara ada 32 siswa yang belum menentukan pilihannya. Lalu,
berapakah banyaknya siswa yang hanya memilih untuk masuk SMA dan SMK saja?
Pembahasan:
Siswa yang memilih masuk SMA dan SMK adalah:
n{AΛB} = (n{A} + n{B}) - (n{S} - n{X})
n{AΛB} = (75 + 63) – (150 – 32)
n{AΛB} = 138 – 118
n{AΛB} = 20 siswa
Siswa yang memilih masuk SMA saja = 75 – 20 = 55 orang
Siswa yang mmeilih masuk SMK saja = 63 – 20 = 43 orang
Contoh Soal 4:
Dari 40 orang bayi, diketahui bahwa ada 18 bayi yang gemar memakan pisang, 25 bayi gemar makan bubur, dan 9
bayi menyukai keduanya. Lalu ada berapa bayi yang tidak menyukai pisang dan bubur?
Pembahasan:
n{AΛB} = (n{A} + n{B}) - (n{S} - n{X})
9 = (18 + 25) - (40 - n{X})
9 = 43 - 40 + n{X}
9 = - 3 + n{X}
9 + 3 = n{X} =
n{X} = 12
Contoh Soal 5:
Dari sekelompok atlet diketahui bahwa 17 orang menyukai sepak bola, 13 menyukai renang, dan 12 orang menyukai
keduanya. coba kalian gambarkan diagram venn dan tentukan pula jumlah keseluruhan dari atlet tersebut.
Pembahasan:
Jumlah keseluruhan dari atlet tersebt adalah:
Atlet ang menyukai sepakbola saja : 17-12 = 5 orang
Atlet yang menyukai renang saja = 13 – 12 = 1 orang
Diagram venn-nya adalah:
Jadi, jumlah keseluruhan atlet tersebut adalah 18 orang
Cara Mudah Menyelesaikan Soal Himpunan
Himpunan merupakan materi pelajaran matematika untuk anak SMP dan tak jarang juga ketika di SMA masih
memakai himpunan. Nah untuk membantu dalam menyelesaikan soal-soal himpunan, berikut akan saya berikan cara
penyelesaian mudahnya.
Contoh 1 :
Dalam sebuah kelas terdapat 48 anak. 23 orang suka matematika, 35 orang suka fsika dan 14 orang suka keduaduanya. Berapakah jumlah anak yang tidak suka kedua-duanya?
Jawaban :
diagram ven
Mari kita lihat gambar di atas. Soal diatas bisa dibuat menjadi diagram ven.
M = anak yang suka matematika
F = anak yang suka fsika
X = anak yang tidak suka kedua-duanya. Kalau tidak suka harus ditempatkan diluar lingkaran.
Dalam soal ada anak yang suka kedua-duanya, berarti kedua lingkaran M dan F saling berpotongan dan ditengahnya
diisi dengan angka 14, yaitu jumlah anak yang suka kedua-duanya (angka berwarna biru).
Kemudian dicari jumlah anak yang suka matematika saja, yaitu dengan mengurangkan jumlah anak yang suka
matematika dengan jumlah anak yang suka kedua-duanya, yaitu 23-14.
Sekarang dicari jumlah anak yang suka fsika saja, yaitu anak yang suka fsika dikurangi dengan anak yang suka
kedua-duanya, yaitu 35-14.
Langkah terakhir adalah menjumlakan semuanya :
Jumlah anak = jumlah anak yang hanya suka matematika + jumlah anak yang suka fsika + jumlah anak yang suka
kedua-duanya+ jumlah anak yang tidak suka kedua-duanya
.
48 = (23-14) + (35-14) + 14 + x
48 = 9 + 21 + 14 + x
48 = 44 + x
48 - 44 = x
4=x
Jadi jumlah anak yang tidak suka kedua-duanya adalah 4 orang.
PERMUTASI
1). Lima putra dan tiga putri duduk berderet pada 8 kursi kosong sesuai dengan 8 lembar karcis bioskop yang
mereka miliki. Berapa banyak cara untuk duduk yang diperoleh dengan urutan berbeda jika :
Putra dan putri dapat duduk di sembarang kursi?
Putra dan putri masing-masing mengelompok sehingga hanya sepasang putra dan putri yang dapat duduk
berdampingan?
Jawaban :
Terdapat 8 orang yang menempati 8 kursi dimana perbedaan urutan duduk memberikan hasil yang berbeda. Ini
adalah masalah permutasi 8 unsur dari 8 unsur atau P(8, 8) diberikan oleh : P(8, 8) = 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 3 x 2 x 1 =
40.320
5 orang putra duduk pada 5 kursi tertentu dan pertukaran duduk hanya boleh pada ke 5 kursi tersebut, sehingga
banyaknya cara duduk putra adalah P(5, 5). Demikian juga 3 putri duduk pada tiga kursi tertentu dan pertukaran
duduk diatara mereka hanya boleh pada ke 3 kursi ini, sehingga banyaknya cara untuk duduk putri adalah P(3, 3).
Dengan demikian, banyak cara duduk 5 putra dan 3 putri yang masing-masing mengelompok adalah P(5, 5) x P(3, 3)
= 5! X 3! = 720
2). Jika huruf-huruf pada kata "BOROBUDUR" dipertukarkan, berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat
diperoleh?
Berapa cara yang berbeda untuk menuliskan hasil kali a4b2c2 tanpa menggunakan eksponen?
Jawaban :
Pada kata BOROBUDUR terdapat 9 huruf dengan huruf B diulang 2 kali, huruf O diulang 2 kali, huruf R diulang 2
kali, dan huruf U diulang 2 kali. Banyaknya susunan huruf berbeda yang diperoleh diberikan oleh rumus berikut:
3). Sebuah keluarga terdiri atas 5 orang. Mereka akan duduk mengelilingi sebuah meja bundar untuk makan
bersama. Berapa banyaknya cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan tersebut dengan urutan yang
berbeda?
Jawaban :
Banyaknya cara agar 5 orang dapat duduk mengelilingi meja makan sama dengan banyak permutasi siklis 5 elemen,
yaitu :
(5 -1)! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
4). Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah
seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu.
Jawab:
Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal 7 orang dengan 3 kursi kosong.
Maka banyaknya cara duduk ada :
7P3 = 7!/(7-3)! = 7!/4! = 7.6.5 = 210 cara
5). Ada berapa cara 7 orang yang duduk mengelilingi meja dapat menempati ketujuh tempat duduk denganurutan
yang berlainan?
Jawab:
Banyaknya cara duduk ada (7 - 1) ! = 6 ! ® 6 . 5 . 4. 3 . 2 . 1 = 720 cara.
KOMBINASI
1). Seorang pemuda akan mempersembahkan serangkaian bunga dua warna dari lima warna bunga yang terdapat di
tamannya. Berapa macam rangkaian bunga yang dapat dibuat pemuda tersebut?
Jawaban :
Apakah sama antara rangkaian bunga {Merah, Kuning} dengan rangkaian bunga {Kuning, Merah} ? Kasus tersebut
dinamakan kombinasi dua unsur dari lima unsur yang tersedia dan dilambangkan dengan :
Permutasi 2 unsur dari 5 unsur ditulis yang merupakan dua kejadian berikut :
Membuat rangkaian bunga yang memiliki 2 unsur dari 5 unsur yang tersedia dengan tidak
memperhatikan urutan terdapat cara
Menyusun elemen-elemen himpunan bagian dalam urutan yang berbeda yaitu {MK, KM}, {MB, BM}, {MH, HM},
{MP, PM}, {KB, BK}, {KH, HK}, {KP, PK}, {BH, HB}, {BP, PB}, dan {HP, PH} terdapat dua cara penyusunan atau
2! cara
Kejadian gabungan 1 diikuti oleh 2 adalah permutasi 2 unsur dari 5 unsur atau P(5, 2) =
Sehingga banyaknya kombinasi r elemen dari n elemen dengan 0 < r < n, diberi notasi adalah
Permutasi adalah urutan yang mungkin dari sejumlah unsur yang berbeda tanpa adanya pengulangan.
Banyaknya permutasi 3 unsur yang diambil dari 4 unsur adalah :
4 × 3 × 2 = 24.
Banyaknya permutasi 3 unsur yang diambil dari 4 unsur dapat ditulis :
Permutasi r unsur yang diambil dari n unsur dapat dipelajari melalui Tabel 1.
Tabel 1. Permutasi r unsur yang diambil dari n unsur
Tempat keBanyak Cara
1
n
2
n(n – 1)
3
n(n – 1) (n – 2)
...
...
r
n(n – 1) (n – 2)...(n – (r – 1))
Dari tabel tersebut, banyak permutasi r unsur yang diambil dari n unsur, dinotasikan P(n, r) adalah :
P(n, r) = n (n – 1) (n – 2) … (n – (r – 1))
Untuk r = 1, maka :
P(n, 1) = n
Untuk r = 2, maka P(n, 2) :
Ingatlah :
Notasi P(n, k) dapat juga ditulis dengan
.
Untuk r = 3 maka P(n, 3) :
Untuk r = k, diperoleh P(n, k) :
Untuk r = n, diperoleh :
P(n, n) = n (n – 1)(n – 2)…(n – (r – 1))(n – r)…(3)(2)(1) = n!
Banyak permutasi n unsur apabila disusun dalam k unsur adalah :
Contoh Soal 2 :
Tiga orang wiraniaga dicalonkan untuk mengisi kekosongan jabatan kepala cabang di dua kota. Tentukan banyak
cara untuk memilih dua kepala cabang dari tiga orang wiraniaga tersebut, dengan menggunakan rumus permutasi.
Jawab:
P(3, 2), dengan n = 3 (banyak wiraniaga) dan k = 2 (banyak wiraniaga terpilih).
Jadi, terdapat 6 cara.
Contoh Soal Permutasi dan Kombinasi Serta Pembahasannya
PERMUTASI1). Lima putra dan tiga putri duduk berderet pada 8 kursi kosong sesuai dengan 8 lembar kar is bioskop !
ang mereka miliki. "erapa ban!ak ara untuk duduk !ang diperole# dengan urutan berbeda $ika %Putra dan putri
dapat duduk di sembarang kursi& Putra dan putri masing'masing mengelompok se#ingga #an!a sepasang putra dan
putri !ang dapat duduk berdampingan&(aaban %Terdapat 8 orang !ang menempati 8 kursi dimana perbedaan urutan duduk
memberikan #asil !ang berbeda. Ini adala# masala# permutasi 8 unsur dari 8 unsur atau P*8+ 8) diberikan ole# %
P*8+ 8) , 8- , 8 / 0 2 3 1 , 45.235 orang putra duduk pada kursi tertentu dan pertukaran duduk #an!a
bole# pada ke kursi tersebut+ se#ingga ban!akn!a ara duduk putra adala# P* + ). 6emikian $uga 2 putri duduk
pada tiga kursi tertentu dan pertukaran duduk diatara mereka #an!a bole# pada ke 2 kursi ini+ se#ingga ban!akn!a
ara untuk duduk putri adala# P*2+ 2). 6engan demikian+ ban!ak ara duduk putra dan 2 putri !ang
masing'masing mengelompok adala# P*+ ) P*2+ 2) , - 7 2- , /35 3). (ika #uru '#uru pada kata 9":R:"U6UR9
dipertukarkan+ berapa ban!ak susunan #uru berbeda !ang dapat diperole#&"erapa ara !ang berbeda untuk
menuliskan #asil kali a4b33 tanpa menggunakan eksponen&(a aban %Pada kata ":R:"U6UR terdapat ; #uru
dengan #uru " diulang 3 kali+ #uru : diulang 3 kali+ #uru R diulang 3 kali+ dan #uru U diulang 3 kali. "an!akn!
a susunan #uru berbeda !ang diperole# diberikan ole# rumus berikut% 2). Sebua# keluarga terdiri atas orang.
Mereka akan duduk mengelilingi sebua# me$a bundar untuk makan bersama. "erapa ban!akn!a ara agar mereka
dapat duduk mengelilingi me$a makan tersebut dengan urutan !ang berbeda&(a aban %"an!akn!a ara agar orang
dapat duduk mengelilingi me$a makan sama dengan ban!ak permutasi siklis elemen+ !aitu %* '1)- , 4- , 4 2 3
1 , 344). "erapa ban!akn!a permutasi dari ara duduk !ang dapat ter$adi $ika 8 orang disediakan 4 kursi+ sedangkan
...
...
sala# seorang dari padan!a selalu duduk dikursi tertentu. (aab%(ika sala# seorang selalu duduk dikursi tertentu
maka tinggal / orang dengan 2 kursi kosong.Maka ban!akn!a ara duduk ada %/P2 , /-:M"I?ASI1). Seorang
pemuda akan mempersemba#kan serangkaian bunga dua arnadari lima arna bunga !ang terdapat di tamann!a.
"erapa maam rangkaian bunga !ang dapat dibuat pemuda tersebut&(a aban % Apaka# sama antara rangkaian
bunga @Mera#+ >uning dengan rangkaian bunga @>uning+ Mera# & >asus tersebut dinamakan kombinasi dua
unsur dari lima unsur !ang tersedia dan dilambangkan dengan %Permutasi 3 unsur dari unsur ditulis !ang
merupakan dua ke$adian berikut %Membuat rangkaian bunga !ang memiliki 3 unsur dari unsur !ang tersedia
dengan tidakmemper#atikan urutan terdapat araMen!usun elemen'elemen #impunan bagian dalam urutan !ang
berbeda !aitu @M>+ >M+ @M"+ "M+ @MB+ BM+ @MP+ PM+ @>"+ ">+ @>B+ B>+ @>P+ P>+@"B+ B"+ @"P+ P"+
dan @BP+ PB terdapat dua ara pen!usunan atau 3- ara>e$adian gabungan 1 diikuti ole# 3 adala# permutasi 3 unsur dari
unsur atau P*+ 3) , Se#ingga ban!akn!a kombinasi r elemen dari n elemen dengan 5 C r C n+ diberi notasi
adala#3). Tentukan nilai dari%a) 13D4b) 15D2(aabana) 13D4 13- 13- 13 . 11 . 15 . ; . 8- 13.11.15.;13D4 , ,
, , , 4; *13 F 4)- 4- 8- 4- 8 - 4 . 2.3.1 4.2.3.1 b) 15D2 15- 15- 15 .
; . 8 . /- 15.;.815D2 , , , , , 135 *15 F 2)- 2- /- 2- / - 2- 2.3.12).
8 anak pada suatu aara saling ber$abat tangan satu sama lain. Tentukan ban!akn!a $abat tangan !ang ter$adi(aaban %>ombinasi dengan n , 8 dan r , 3 8- 8- 8 . / . 0 - 8 D 2 , , , , 38
$abat tangan *8 F 3)- 3- 0- 3- 0- 3.1 4). Untuk mengikuti suatu perlombaan sekola# akan memili# 2 orang sis a dari
13 anak bersedia untuk ikut dalam perlombaan. Tentukan ban!akn!a kombinasi anak !ang diperole# sekola# dari ke
13 anak tersebut-(aaban %>ombinasi 2 dari 13 13- 13 - 13.11.15. ; - 13.11.1513D2 , , ,
, , 335 *13 F 2)- 2- ;- 2- ; - 2- 2.3.1). 0 orang sisa terpili# untuk mengikuti
perlombaan tenis me$a ganda. Tentukan ban!akn!a ara pen!usunan pasangan pemain dari keenam sisa tersebut-(aaban
%>ombinasi 3 dari 0 % 0- 0- 0..4 -0D3 , , , , 1 ara pemasangan *0 '3)- 3- 4- 3- 43.1
Permutasi dan Kombinasi Matematika
- Pelajaran matematika mengenai permutasidan kombina si diaja rkan pada si swa- si swi yang du duk di
kel as XI S MA. Ma teri ini m a s i h b e r k a i t a n d e n g a n P e l u a n g . L a l u a p a b e d a n y a
p e l u a n g , p e r m u t a s i d a n kombinasi !enang, jangan terburu-buru. Pada artikel ini
Rumus Matematika Dasar
a kan men jabarka n sa tu- persatu kepa da kalian men genai permu ta si dan kom bi nasida lam
ma tema ti ka . Sedan gkan un tuk ma teri peluan g dapat kal ian a kses pada arti kel yang membahas tentang
Pengertian dan Rumus Peluang Matematika.
Di dalam sebuah ruangan terdapat 150 siswa yang baru lulus SMP. Diketahui ada 75 siswa memilih untuk masuk
SMA dan 63 siswa memilih untuk masuk SMK sementara ada 32 siswa yang belum menentukan pilihannya. Lalu,
berapakah banyaknya siswa yang hanya memilih untuk masuk SMA dan SMK saja?
Pembahasan:
Siswa yang memilih masuk SMA dan SMK adalah:
n{AΛB} = (n{A} + n{B}) - (n{S} - n{X})
n{AΛB} = (75 + 63) – (150 – 32)
n{AΛB} = 138 – 118
n{AΛB} = 20 siswa
Siswa yang memilih masuk SMA saja = 75 – 20 = 55 orang
Siswa yang mmeilih masuk SMK saja = 63 – 20 = 43 orang
Contoh Soal 4:
Dari 40 orang bayi, diketahui bahwa ada 18 bayi yang gemar memakan pisang, 25 bayi gemar makan bubur, dan 9
bayi menyukai keduanya. Lalu ada berapa bayi yang tidak menyukai pisang dan bubur?
Pembahasan:
n{AΛB} = (n{A} + n{B}) - (n{S} - n{X})
9 = (18 + 25) - (40 - n{X})
9 = 43 - 40 + n{X}
9 = - 3 + n{X}
9 + 3 = n{X} =
n{X} = 12
Contoh Soal 5:
Dari sekelompok atlet diketahui bahwa 17 orang menyukai sepak bola, 13 menyukai renang, dan 12 orang menyukai
keduanya. coba kalian gambarkan diagram venn dan tentukan pula jumlah keseluruhan dari atlet tersebut.
Pembahasan:
Jumlah keseluruhan dari atlet tersebt adalah:
Atlet ang menyukai sepakbola saja : 17-12 = 5 orang
Atlet yang menyukai renang saja = 13 – 12 = 1 orang
Diagram venn-nya adalah:
Jadi, jumlah keseluruhan atlet tersebut adalah 18 orang
Cara Mudah Menyelesaikan Soal Himpunan
Himpunan merupakan materi pelajaran matematika untuk anak SMP dan tak jarang juga ketika di SMA masih
memakai himpunan. Nah untuk membantu dalam menyelesaikan soal-soal himpunan, berikut akan saya berikan cara
penyelesaian mudahnya.
Contoh 1 :
Dalam sebuah kelas terdapat 48 anak. 23 orang suka matematika, 35 orang suka fsika dan 14 orang suka keduaduanya. Berapakah jumlah anak yang tidak suka kedua-duanya?
Jawaban :
diagram ven
Mari kita lihat gambar di atas. Soal diatas bisa dibuat menjadi diagram ven.
M = anak yang suka matematika
F = anak yang suka fsika
X = anak yang tidak suka kedua-duanya. Kalau tidak suka harus ditempatkan diluar lingkaran.
Dalam soal ada anak yang suka kedua-duanya, berarti kedua lingkaran M dan F saling berpotongan dan ditengahnya
diisi dengan angka 14, yaitu jumlah anak yang suka kedua-duanya (angka berwarna biru).
Kemudian dicari jumlah anak yang suka matematika saja, yaitu dengan mengurangkan jumlah anak yang suka
matematika dengan jumlah anak yang suka kedua-duanya, yaitu 23-14.
Sekarang dicari jumlah anak yang suka fsika saja, yaitu anak yang suka fsika dikurangi dengan anak yang suka
kedua-duanya, yaitu 35-14.
Langkah terakhir adalah menjumlakan semuanya :
Jumlah anak = jumlah anak yang hanya suka matematika + jumlah anak yang suka fsika + jumlah anak yang suka
kedua-duanya+ jumlah anak yang tidak suka kedua-duanya
.
48 = (23-14) + (35-14) + 14 + x
48 = 9 + 21 + 14 + x
48 = 44 + x
48 - 44 = x
4=x
Jadi jumlah anak yang tidak suka kedua-duanya adalah 4 orang.