Matriks Ruang Vektor Nilai Vektor Eigen

  Nilai dan Vektor Eigen Mengingat kembali: perkalian matriks

  Diberikan matriks A dan vektor-vektor u, v, dan w • 2x2

  r ur r  2    1    

  5 A = v = w = u =         4 1

  4

  4

  4        

• Hitunglah Au, Aw, Av. Manakah dari hasil kali tersebut yang hasilnya adalah vektor yang sejajar dengan vektor semula

  r r

  Jawab: 

  2    1   2  

  1 Av = = = 2 = 2 v v dan Av sejajar         4 1

  4

  8

  4         ur ur

   2     

  Aw = = =

  1. w      

  w dan Aw sejajar

  4

  1

  4

  4      

  r r      

  2

  5

  10 Au = = ≠ k u       u dan Au TIDAK sejajar

  4

  1

  4

  24       untuk semua k ∈ R Mengingat kembali: SPL homogen dan determinan

  1. A adalah matriks nxn dan SPL Ax = 0 mempunyai penyelesaian trivial saja. Apa kesimpulanm tentang A? Jawaban: A mempunyai inverse. Det(A) ≠ 0

  2. A adalah matriks nxn dan SPL Ax = 0 mempunyai penyelesaian TIDAK trivial. Apa kesimpulanmu tentang A dan det(A)? Jawaban: A tidak mempunyai inverse. Det(A) = 0 Perkalian vektor dengan matriks

  A x x = λ

  Ax x x

  Ax dan Ax sejajar x Perkalian vektor dengan matriks      2   

  1

  1 5          

  5  2       2   10   

          = 1   k = 2

  = ≠

  4

  4

  

4

  1

  4

  4 1         4 1 4 4   24  

  4         Au = 2u Av = v Aw ≠ kw y y y

  10

  2

  24

  8

  1

  4

  4

  5

  4 x x x

  Definisi: Nilai dan Vektor Eigen Definisi: n

  Diberikan matriks A , vektor tak nol v di R disebut vektor eigen nxn dari A jika terdapat skalar sedemikian hingga Av = λv.

  λ disebut nilai eigen, v adalah vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan λ . Syarat perlu: v ≠ 0 (3) -1 ≤ λ ≤ 0 (4) λ ≤ - 1

  (1) λ ≥ 1 (2) 0 ≤ λ ≤ 1 Masalah Vektor Eigen Diberikan matriks persegi A, sejajar

  A x x

  = A λ x x

  Temukan semua vektor tidak nol x sedemikian hingga Ax adalah kelipatan skalar x (Ax sejajar dengan x). atau Temukan semua vektor tak nol x sedemikian hingga Ax = λx untuk suatu skalar

  λ Masalah Nilai Eigen Diberikan matriks persegi A.

  = x λ

  A x

x vektor tak nol

  Temukan semua skalar λ sedemikian hingga Ax = λx untuk suatu vektor tak nol x. atau Temukan semua vektor skalar λ sedemikian hingga persamaan mempunyai penyelesaian tak nol

  Ax = λx Ax = λx Pernyataan-pernyataan ekuivalen Jika A matriks persegi nxn, maka kalimat-kalimat berikut ekuivalen 1. nilai eigen A

  λ

2. Terdapat vektor tak nol x sedemikian hingga Ax = x

  λ

  3. SPL (A – I )x = 0 mempuyai solusi tidak nol (non-trivial) λ

  4. adalah penyelesaian persamaan det (A – I ) = 0 λ λ

  Mencari nilai eigen A sama saja mencari penyelesaian persamaan det( I-A) = 0 λ

  Persamaan Karakteristik Jika diuraikan, det (A - λI) merupakan suku banyak berderajat n dalam λ, n -1 n -2

  λ p(λ ) = λⁿ + c +c λ + …+ c λ+ c suku banyak karakteristik n -1 n -2

  1 n-1 n -2 λ Persamaan det((A - λI) = λⁿ + c +c λ + …+ c λ+ c = 0 disebut

• 1 -2

  1 n n persamaan karakteristik

  A - λI =

  A-λI

• persamaan

  karakteristik n-1 n-2 det λ

  A-λI λⁿ + c +c λ + …+ c λ+ c = 0 n-1 n-2

  1 =

  Persamaan dengan derajat n mempunyai paling banyak n penyelesaian, jadi matriks nxn paling banyak mempunyai n nilai eigen.

  Contoh  2 0 

  Mencari semua nilai eigen A=   4 1  

  

2 - λ 2 - λ

det = 0 Mencari semua penyelesaian persamaan

  

4

4 1 - λ 1 - λ Mencari penyelesaian persamaan karakteristik ( )( ) = 0 2 - λ 1 - λ

  λ 2, 1 =

  Nilai eigen A adalah

  1 λ =

  2 Prosedur: menentukan nilai eigen Diberikan matriks persegi A.

  Nilai-nilai eigen A dapat diperoleh sebagai berikut:

  1. Tentukan persamaan karakteristik det((A - λI) = 0 tuliskan A dan matriks yang elemen diagonal utamanya dikurangi λ 2. (Jika diperlukan) uraikan persamaan karakteristik ke dalam persamaan sukubanyak karakteristik: n -1 n -2

  λ λⁿ + c +c λ + …+ c λ+ c = n -1 n -2

  1

3. Selesaikan persamaan yang diperoleh pada langkah di atas. Nilai-nilai eigen merupakan penyelesaian persamaan tersebut.

  Contoh: Menentukan nilai eigen  1 1 1   

  3 3 Diberikan matriks persegi A

  =    

  2 1 1  − 

  1. Tentukan persamaan karakteristik det(A - λI) = 0

   1 −

  1 1 

  λ

    det( A −

  I ) = det

  3 −

  3

  λ λ

     

  2

  1

  1

  − − λ

   

  2

  2

  (1 (1 ) (3 ) (3 ) 6 2(3 ) 6 2(3 ) 3(1 ) 3(1 ) )

  − − λ λ − − + − − + λ λ − − − − λ λ − − λ λ =

  2. Ubahlah persamaan karakteristik ke dalam persamaan sukubanyak karakteristik:

  3. Selesaikan persamaan di atas untuk memperoleh nilai-nilai eigen

  2 Nilai-nilai eigen A: (1 ) (3 ) (3 )

  − λ − − − λ λ = λ = 0

  1 ( 2)(3 )

  λ λ λ − − = λ = 2

  2 λ = 3

  3 Nilai eigen matriks diagonal

   2   

  5  

  Diberikan matriks diagonal A

  =

   

  6  

  1  

   2  λ −

    5 λ −

    A

  I λ − =

   

  6 − λ

   

  1  − λ 

• Persamaan karakteristik:

  (2 )(5 )(6 )(1 ) − λ − λ − λ − λ =

• Nilai-nilai eigen 2, 6, 5, 1 (merupakan entri diagonal utama)

  Nilai-nilai eigen matriks diagonal adalah elemen diagonal utamanya. Bagaimana menentukan apakah suatu skalar merupakan nilai eigen?

• Tentukan apakah 2, 0, 4 merupakan nilai eigen A.

   

  2

  2  

  A

  4

  =

     

  1  

  Jawab: Bentuk det(A-λI) untuk λ = 2, 0, 4. Jika det(A-λI) ≠ 0, maka merupakan nilai eigen, kalau = 0, maka bukan nilai eigen. Kunci: 2, 4 nilai eigen A, 0 bukan nilai eigen A.

   2 2 − 2    2 adalah nilai eigen A det( A − 2 ) I = det 4 2 − =  

    1 0 2 −    2 0 −

  2  0 bukan nilai eigen A

    det( A − 0 ) I = det 4 0 − = ≠

  8     1 0 0 −   

  2 −

  4 2  4 nilai eigen A

    det( A − 4 ) I = det 4 − 4 =

      1 0 4 −  

  Kelipatan skalar vektor eigen

• Diberikan A. Diketahui bahwa x adalah vektor eigen A yang bersesuaian dengan nilai eigen 2. Selidiki apakah 1/2x, 10x, 5x juga vektor-vektor eigen A

     40     1 1 1   4  2 − −

  20

  − −

  r r r r      

     

  1 x

  10 x 60 x 3 = − 5 = −

  30 A = 3 3 , x = − 6 = −      

   

  2

     

     

  20      1     10 

  − 2 1 1

  2  

     1 1 1   4   8       

  − −

  1 1 1 − 40 −

  80 r r r r

             

  Ax 3 3

  6

  12 2 x

  = − = − = A (10 ) x 3 3

  60 120 2(10 ) x

  = − = − =

                         

  − 2 1 1

  2 4  − 2 1 1   20   40       

  = 2 x (10x) = 2 (10x) Ax A

  = x λ x

  A (10) x (10) x

  λ A = Kelipatan skalar vektor eigen

     1 1 1   − 4  −

  2 r r  

     

  1 x A 3 3 , x

  6 = −

  3

  = = −  

  2

       

      2 1 1  1 

   − 

  2  

         1 1 1   − 4   − 8  1 1 1 − 2 −

  4 r r r r      

       

  1

  1 Ax 3 3

  6

  12 2 x A ( x ) = 3 3 − = −

  3 6 = 2( x )

  = − = − = 2      

  2

             

        2 1 1 2 4  − 2 1 1   1   2 

   −     

  Ax = 2 x A (1/2 x) = 2 (1/2 x) (1/2) (1/2) x = λ x x λ x

  A A = Kelipatan skalar (tak nol) dari vektor eigen adalah vektor eigen terhadap nilai eigen yang sama

  Menentukan semua vektor eigen E λ

  Diberikan vektor matriks A dan salah satu nilai eigennya, misalnya λ. Tentukan semua • vektor eigen yang bersesuaian dengan λ. Vektor-vektor eigen A yang bersesuaian dengan λ = 3 dapat diperoleh dengan • menyelesaikan SPL (A - λ I)x = 0. Vektor eigen adalah anggota Null(A - λ I)

  Null(A - λ I) Himpunan semua penyelesaian SPL (A - λ I)x = 0

  Himpunan semua vektor eigen bersesuaian dengan λ Null(A - λ I)-{ }

• Diberikan vektor matriks A dan salah satu nilai eigennya, misalnya λ = 3. Tentukan semua vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = 3.

  

1

2 , 0, a a a R  

 

 

 

  −

             

  − = − =

             

  − −      

  r

  SPL (A - 3 I)x = 0 Penyelesaian

  1

  2

  3

  2

  x a x a x

  = = =

  Himpunan vektor eigen A bersesuaian dengan λ =3 : Himpunan penyelesaian

  ≠ ∈  

 

 

 

   

  2 1 1 3

     

     

  =

     

  A

  1 1 1 3 3 2 1 1

  − −  

  − = −

  1 3

     

  A I λ −

  2 1 1 3

  3

  1 3 3

  1

  x A I x x x

  3

  Ruang Eigen Ruang penyelesaian SPL (A - λ I)x = 0

  3

  Null ( A - λ I)x

  Ruang Eigen Eλ

  Ruang eigen A yang bersesuaian dengan λ terdiri atas semua vektor eigen yang bersesuaian dengan λ dan vektor nol Null(A - λ I) = E

  λ Menentukan E

  λ sama dengan menentukan himpunan penyelesaian SPL (A - λ I)x =

  Menentukan ruang eigen E λ

  1

  2

  3

  3

  1

  2

  3

  2

  2

  1 ( 3 ) 3 3

     

  1

  1 3

  3

  2

  1

   

     

  2

  ∈  

   

     

  1 2 , a a R  

  − + + = = − + − =

  x x x x x x x

  −  

• Tentukan nilai eigen untuk • Diberikan sembarang matriks A dan diketahui bahwa λ adalah nilai eigennya.

  λ I) = 0, dengan

  2

  −    

  = −    

  −  

  Nilai eigen matriks singular

  λ = 0 merupakan nilai eigen dari A.

  Maka 0 merupakan penyelesaian persamaan karakteristik: dengan menganti λ dengan 0, diperoleh c0 = 0. Padahal det(A-

  λ = 0, maka det(A) = c0 = 0.

  5 6 12 12 , ,

  Karena det(A) = 0 maka A tidak mempunyai inverse.

  λ I) dengan mengambil

  λ = 0.Jadi det(A) = c0.

  Jika A tidak mempunyai inverse, maka det(A) = 0 = c0. Sehingga

  λ = 0 merupakan salah satu penyelesaian persamaan karakteristik;

  λ = 0 merupakan salah satu nilai eigen dari A.

  0 adalah nilai eigen A jika dan hanya jika A tidak mempunyai inverse.

  4

  5

1 A A A

  

2

  Nilai eigen matriks pangkat • Nilai eigen dari A adalah 0, 2, dan 3.

  Maka terdapat vektor tak nol x sedemikian hingga Ax = λx kalikan kedua ruas dengan matriks A A.Ax = A λx A

  2 x = λ(Ax) substitusi Ax dengan λx

  A

  2 x = λ

  2 x jadi, λ

  2 merupakan nilai eigen A

  n adalah nilai eigen A n

  1

  1 1 1 3 3 2 1 1

  A    

  =    

  −  

  2

  13

  20

• Teorema: Jika n adalah bilangan bulat positif, λ nilai eigen matriks A, maka λ
• Misalkan
• Sebaliknya, det(A) = det(A -

  Nilai eigen matriks transpose T T det(B) = det(B det(B) = det(B ) )

  T T T T (A- (A- I) I) = (A = (A - - I) I)

  λ λ λ λ Misalkan = 0 merupakan nilai eigen dari A,

  λ maka det(A- I)= 0

  λ Karena matriks dan transposenya mempunyai determinan yang sama,

  T maka det(A- λ I) = 0

  T T

• Karena (A- λ I) = (A λ I) ,

  T maka det(A λ I)= 0 -

  T Jadi, λ adalah nilai eigen dari A

  T A dan A mempunyai nilai eigen yang sama

• 1 -1

  A A dan A dan A mempuyai nilai mempuyai nilai eigen yang sama eigen yang sama

  Diagonalisasi Definisi: Matriks persegi A dapat didiagonalkan jika terdapat matriks yang

• 1 .

  mempunyai inverse sedemikian hingga P AP = D adalah matriks diagonal 

  5 6  −

  Contoh: A

  =   

  3 4  −

  

  1 1 

   2 1  − −

1 P =

  P   =  

  1

  2  − 

  1 1   

  1 1     2 1    −

  5

  6

  2 −

  D     = =    

• 1 1 1

  −

  1

  2

  3 4  

  1 P AP=    −   −  Matriks diagonal

  A dapat didiagonalkan

• Teorema:
• 1
• 1
• 1

            ^{L L M M M L 11 12 1 21 22 2 1 PD 2 n n n n nn p p p p p p p p p}

  1 , λ

  2 , λ

  3 , …,λ n merupakan nilai-nilai eigen A, dan kolom-kolom P adalah vektor-vektor eigen A yang bebas linier

  (karena P mempunya inverse) Bukti untuk (2) (1) kerjakanlah sebagai latihan untuk memperdalam pemahaman. ^{1 2 n}

  λ λ λ

              ^{L L M M M L} _{11 12 1 21 22 2 1 AP 2 n n n n nn a a a a a a a a a}  

      =

        ^{L L M M M L 11 12 1 21 22 2} _{1 2} ^{n n} _{n n nn} ^{p p p p p p p p p}  

       

  , AP = PD AP = PD, jadi Karena P mempunyai inverse, maka kolom-kolmnya bukan kolom nol.

  =       ^{L L M M M L 1 1 2 2 n n p p p}

  λ λ λ  

  =   ^{uur uur uur L 1 11 2 12}

¹

^{1 21 2 22}

²

_{1 1 2 2}

^{n n}

^{n n}

_{n n n nn} ^{p p p p p p} _{p p p}

  λ λ λ λ λ λ λ λ λ

       

  =       ^{L L M M M L} _{A p A p A p 1}

_{2 n}

    =

    ^{uur uur uur}

^L

1 1 1 2 2 2 ^{n n n}

  Berdasarkan deinisi nilai eigen, maka λ

  AP = D, kalikan dengan P

  Kapan matriks A dapat didiagonalkan?

  =       ^{L L M M M L 11 12 1 21 22 2 1 2} AP=PD ^{n n} _{n n nn} p p p p p p p p p

  Jika A adalah matriks nxn, maka kalimat-kalimat berikut ini ekuivalen:

  1. A dapat didiagonalkan

  2. A mempunyai n vektor-vektor eigen yang bebas linier Bukti (1) (2) Diberikan A Misalkan A dapat didiagonalkan, maka terdapat matriks P yang mempunyai inverse Sedemikian hingga P

  A P = D matriks diagonal ^{11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn} a a a a a a

  A a a a      

  =       L

  L M M M L _{11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn} p p p p p p

  P p p p      

       

  P

  =       ^{L L M M M L} _{1 2} n

  D λ λ

  λ      

  =       L

  L M M M L ^{1 11 2 12 1 1 21 2 22 2} _{1 1 2 2} ^{n n n n} _{n n n nn} p p p p p p p p p

  λ λ λ λ λ λ λ λ λ

             

  L L M M M L Kapan matriks A dapat didiagonalkan? (lanjt)

  A p p A p p A p p λ λ λ = = = uur uur uur uur uur uur L Prosedur mendiagonalkan matriks

• 1 Diberikan matriks A • . Akan dicari P sedemikian hingga PAP = D.

  nxn Prosedur

  1. Tentukan n vektor eigen A yang bebas linier, misalkan p , p , p , …, p

  1

  2 3 n

  2. Dibentuk matriks P yang kolom-kolomnya adalah p , p , p , …, p

  1

  

2

3 n

• 1

  3. Mariks D = P AP adalah matriks diagonal yang entri diagonal utamanya adalah λ , λ , λ , …,λ dengan λ adalah nilai eigen bersesuaian dengan p untuk

  1

  2 3 n j j j = 1, 2, 3, …, n

  Contoh: mendiagonalkan matriks

• 1

  Diberikan matriks A . Akan dicari P sedemikian hingga PAP = D. • nxn

   5 − 6  A

  =  

  −

  3

  4   Prosedur

  1. Tentukan 2 vektor eigen A yang bebas linier. Pertama kita tentukan nilai-nilai eigennya yaitu λ = 2 dan λ = -1 (telah dihitung sebelumnya). Tentukan vektor eigen bersesuaian

  1

  2 dengan nilai eigen, dengan menyelesaiakn SPL (A - λ I)x =0. Diperoleh ur ur    

  2

  1 p p

  = =

  1   2  

  1

  1    

  2. Dibentuk matriks P yang kolom-kolomnya adalah vektor-vektor eigen di atas.

   

  1

  1   − 2 1

  1

  − P

  P = =  

    1 1

  1

  2    − 

• 1

  3. Matriks D = P A P adalah matriks diagonal yang entri diagonal utamanya adalah λ , λ

  1

  2 berturut-turut

   2  D

  =  

  1  −  Masalah Diagonalisasi dan masalah vektor eigen Masalah vektor eigen • n

  Diberikan matriks A , apakah terdapat basis di R terdiri atas vektor-vektor nxn eigen? Masalah diagonalisasi •

  Diberikan matriks A apakah terdapat matriks yang mempunyai inverse P nxn

• 1

  sedemikian hingga nP A P adalah matriks diagonal? Teorema : A dapat didiagonalkan jika dan hanya jika terdapat n vektor eigen yang bebas nxn linier. n n Padahal, setiap n vektor yang saling bebas linier di R merupakan basis R .

  Kesimpulan: masalah vektor eigen sama dengan masalah diagonalisasi