Integral Luas dan Volum benda

MEDIA PRESENTASI PEMBELAJARAN
Kompetensi
Pendahuluan
Luas daerah
Volume benda
putar
Latihan
Referensi

Penggunaan Integra
9

y  x2

Kompetensi
Kompetensi

Kompetensi Dasar

Penggunaan In
Penggunaan

Integral

Pendahuluan

Menggunakan integral untuk menghitung

Luas daerah

luas daerah dan volume benda putar.

Volume benda
putar
Latihan
Referensi
Readme
Author
Exit
Home

Indikator Hasil Belajar

Setelah pembelajaran siswa diharapkan
dapat :
1. menggambarkan suatu daerah yang
dibatasi oleh beberapa kurva.
2. menentukan luas daerah dengan
menggunakan limit jumlah.
3. merumuskan integral tentu untuk luas
daerah dan menghitungnya.
4. merumuskan integral tentu untuk volume
benda putar dari daerah yang diputar
terhadap sumbu koordinat dan
menghitungnya.

Referensi
Kompetensi

Penggunaan I
Penggunaan
Integral

Abdul Karim, dkk, Geometri : Lingkaran, Semarang,
2005

Pendahuluan
Luas daerah
Volume benda
putar
Latihan
Referensi
Readme
Author

Edwin J. Purcell, Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid
1,
Erlangga, Jakarta 1996
Kastolan dkk, Kompetensi Matematika SMA Kelas XII
Program IPA Jilid 3A,
2005

_______, Kurikulum Berbasis Kompetensi (KBK) Tahun

2004,
Depdiknas, Jakarta 2004

Exit
Home

Yudhistira, Jakarta

________, Microsoft Encarta Encyclopedia
________, Tutorial Maple 9.5
________, Kitaro
________, Bersyukur - Opick
www. mathdemos.gcsu.edu
www. curvebank.calstatela.edu

Readme
Kompetensi
Pendahuluan
Luas daerah
Volume benda

putar
Latihan
Referensi
Readme
Author
Exit
Home

Penggunaan Int
Penggunaan
Integral

Media Presentasi Pembelajaran ini disusun untuk

membantu guru dalam pembelajaran penggunaan integral
untuk menghitung luas daerah dan volume benda putar.
Pembahasan luas daerah diawali dari luas sebagai limit
jumlah, dilanjutkan dengan integral tentu, dan diakhiri
penggunaan integral tentu untuk menghitung luas daerah.
Pembahasan volume benda putar dikaji dari bentuk partisi

setelah diputar yang meliputi bentuk : cakram, cincin, dan
kulit tabung.

Agar dapat memahami keseluruhan materi, maka
pembahasan harus dilakukan secara berurutan dimulai dari
kompetensi, pendahuluan, luas daerah, dan volume benda
putar. Di akhir kegiatan diberikan soal latihan. Sebaiknya
dalam penggunaan media ini guru juga menyiapkan soal
latihan untuk menambah pemahaman konsep dan melatih
keterampilan siswa.

Untuk beberapa slide guru perlu menekan tombol klik kiri
agar prosedur yang diinginkan dalam slide tersebut berjalan
secara berurutan.

Pendahuluan

Penggunaan In
Penggunaan
Integral

Runtuhnya Jembatan Tacoma, Washington
Jembatan Tacoma yang panjangnya 1,8 km di
buka pada 1Juli 1940. Empat bulan kemudian
jembatan tersebut runtuh karena badai yang
berkekuatan 68 km/jam.

Back

Next

Pendahuluan
Kompetensi

Penggunaan In
Penggunaan
Integral

Pendahuluan
Luas daerah
Volume benda

putar
Latihan
Referensi
Readme
Author
Exit

Pilar-pilar jembatan pada gambar di atas

Home

membentuk partisi-partisi yang akan kita
temukan dalam pokok bahasan menghitung
luas daerah dengan menggunakan integral.
Back

Next

Pendahuluan
Kompetensi

Pendahuluan
Luas daerah
Volume benda
putar
Latihan

Bola lampu di samping

Penggunaan In
Penggunaan
Integral

dapat dipandang
sebagai benda putar
jika kurva di atasnya

Referensi

diputar menurut garis

Readme

horisontal. Pada pokok

Author

bahasan ini akan

Exit

dipelajari juga

Home

penggunaan integral
untuk menghitung
volume benda putar.
Back

Next

Luas sebagai limit jumlah

Luas

Luas
Daerah

Menentukan luas daerah

Y

dengan limit jumlah dapat
diilustrasikan oleh gambar
y  sin x

di samping. Langkah utama

X

yang dilakukan adalah
memartisi,
mengaproksimasi,
menjumlahkan, dan
menghitung limitnya.
Home

1/19

Back

Next

Luas
Daerah

Luas Sebagai Limit Jumlah

Langkah menghitung luas

y

Luas D

y  f (x)

daerah dengan limit jumlah
adalah:
1. Bagilah interval menjadi
selang

yang sama

Li

panjang.

f (xi )

x
0

2. Partisilah daerah

xi a
x

tersebut.
3. Masing-masing partisi
buatlah

persegi

panjang.
Home

4. Perhatikan persegi

2/19

Back

Next

Luas
Daerah

Luas Sebagai Limit Jumlah

Langkah menghitung luas

y

Luas D

y  f (x)

daerah ( lanjutan ) :
5. Tentukan luas persegi
panjang ke-i (Li)
6. Jumlahkah luas semua

Li

f (xi )

persegi panjang

x

xi a

0

7. Hitung nilai limit

x

jumlahnya
Luas sebuah persegi panjang: Li =
f(xi) x
Jumlah luas persegi panjang :L  
f(xi) x
Home

Limit jumlah : L = lim  f(xi) x
∞)
3/19

(n
Back

Next

Luas D

Luas
Daerah

Luas Sebagai Limit Jumlah
Contoh 1.

Tentukan luas daerah yag dibatasi oleh kurva y = x2, sumbu X, dan garis x =
3 dengan menggunakan cara limit jumlah.
Jawab
Langkah penyelesaian:
1. Bagilah interval [0, 3] menjadi n
buah selang yang sama panjang;
yaitu 3/n.
2. Partisi daerah tersebut menurut
persegi panjang luar.
3. Tentukan ukuran persegi
panjang pada interval [xi , xi+1]

f (x)  x2

y

xi 12

dan hitunglah luasnya.
x0 = 0
x1 = 3/n



Li



3(i 1) 2 3
2 23= 6/n
x2 L
= (3/n)
×

x


n
i
i 1
n
n

0

Jadi xi 27
= 3i/n dan
xi + 1 = 3(i +1)/n
2
Li 

Home

n3

x1 x2

x3

xi

xi+1 3

x

3/n

i  1

4/19

Back

Next

Luas
Daerah

Luas Sebagai Limit Jumlah

Luas D

4. Jumlahkan luas semua
partisi
n 1 27

L

i 0

n ( n 1)( 2 n 1)
2
k 
6

n

27
L  3 12  22  ...  n2
n



L

n

i  1 2
3

k 1



f (x)  x2

y

27 1
 n(n  1)(2n  1)
n3 6

9
L  (1 n1)(2  n1)
2

xi 12

5. Tentukan

Li

limitnya

9
(1 n1)(2  n1)
n  2

L  lim

0

9
L  (1 0)(2  0) 9
2

x1 x2

x3

xi

xi+1 3

x

3/n

Jadi luas daerah = 9
satuan
Home

5/19

Back

Next

Luas D
Luas
Daerah

Integral Tentu

Perhatikan gambar di bawah
Misalkan selang [a, b] dibagi
ini!
y
menjadi n bagian (lebar tidak

harus sama) dengan lebar selang
ke-i adalah xi = xi – xi-1. Pada
selang [xi-1, xi] diambil titik
x
0

a

b
xi-1 xk xi
 xi

Selanjutnya didefinisikan

sampel xk maka jumlah Riemann
n

dituliskan 
sebagai
:x
f (x ) Δ
k1

b

k

k

n

f (x) dx  lim  f (xk) Δxk

n  k1
a
bahwa:b
Bentukf (x) dxdisebut dengan integral tertentu (Integral
a

Home

Riemann)
6/19

Back

Next

Luas D
Luas
Daerah

Integral Tentu
Teorema Dasar Kalkulus

Misalkan
Misalkan ff adalah
adalah fungsi
fungsi yang
yang kontinyu
kontinyu pada
pada selang
selang [a,
[a, b]
b]
dan
dan misalkan
misalkan F
F adalah
adalah anti
anti turunan
turunan dari
dari ff pada
pada selang
selang
tersebut,
tersebut,b maka
maka berlaku
berlaku ::
f (x) dx F(b)  F(a)

a

Untuk
Untuk meringkas
meringkas penulisan,
penulisan, F(b)
F(b) –– F(a)
F(a) dinotasikan
dinotasikan

 F(x)  ab

sebagai
sebagai
Contoh 2.
2





2
Hitunglah nilai dari
 6x  4x dx
1

Jawab

2



2

 6x

1



 4x dx

=2x  2x 
3

22
1

= 2(2)3 – 2(2)2 – [2(-1)3 – 2(-

1)2]
Home

= 7/19
16 – 8 + 2 - 2 = 8

Back

Next

Luas

Luas
Daerah
Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat

Menghitung Luas dengan Integral

diartikan sebagai luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada
interval [a, b].
Jumlah Luas
y
Partisi

Berubah
Menjadi

Integral
y

f (x)

f (x)

Tentukan limitnya

n

n



b

f (x) dx

f (xi )xi

a

i 1

x

x
0

a

0

b

x

b

a

b

n

L  f (x) dx  lim  f (xi ) xi
a

Home

n  i 1

8/19

Back

Next

Kegiatan pokok dalam
menghitung luas daerah dengan

Luas

Luas
Daerah

Menghitung Luas dengan Integral

y

xi

y  f (x)

Li

f (xi )

integral tentu adalah:
1. Gambar daerahnya.
2. Partisi daerahnya
3. Aproksimasi luas sebuah
partisi Li  f(xi) xi

x

4. Jumlahkan luas partisi

xi

0

a

L   f(xi) xi
a

L
5. Ambil limitnya L = lim
 f(x
f (
i)x) dx
0

x
i
Home
6. Nyatakan dalam integral

9/19

Back

Next

Luas

Luas
Daerah

Menghitung Luas dengan Integral
Contoh 3.

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu x,
dan garis x = 3
Jawab

Langkah penyelesaian :

f (x)  x2

y

1. Gambarlah daerahnya

xi

2. Partisi daerahnya
3. Aproksimasi luasnya Li  xi2
xi
xi 2

4. Jumlahkan luasnya L  
Li

xi2 xi
5. Ambil limit jumlah
3 luasnya
2
L

x
dx

L = lim  xi2 xi 0
6.

3
3
33

x 
Nyatakan dalam
integral
L 3
3


dan hitung nilainya 0

Home

x
0

xi

3

 0 9
10/19

Back

Next

Luas

Luas
Daerah

Menghitung Luas dengan Integral
Contoh 4.

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4x - x2,
sumbu x,
dan garis x = 5
Jawab

y

Langkah penyelesaian:

xi

1. Gambar dan Partisi daerahnya
2. Aproksimasi : Li  (4xi - xi2)xi dan
Aj  -(4xj - xj2)xj

0

4. Jumlahkan : L  (4xi - xi2)xi dan

A   -(4xj - xj2)xj

4xi  xi 2

Li

xj
4
xi
0  (4x  x 2)

5

xj

x

Aj

5. Ambil limitnya L = lim  (4xi -

xi2)xi

dan A = lim  -(4xj - xj2)xj

6. Nyatakan
dalam integral
5
4
2
L  (4x  x ) dx
A   (4x  x 2) dx
0

Home

f (x)  4x  x2

4

11/19

Back

Next

Luas

Luas
Daerah

Menghitung Luas dengan Integral
4

L  (4x  x 2) dx
0



L  2x 2 
L  2(4)2 

y

xi



1 3 4
x 0
3
3
1
(
4
)
3

 0 32

4xi  xi 2

64
3

Li

xj

5

A   (4x  x 2) dx

0

4



A   2x 2 



1 3 5
x 4
3



64
3

64
 61

3
3

5

xj

x

Aj


f (x)  4x  x2

A  61
 18
3

Luasdaerah32

xi
0  (4x  x 2)

A   2(5)2  31 (5)3   2(4)2  31 (4)3

A   50 125
 32
3

4

18

Luasdaerah13
Home

12/19

Back

Next

Luas

Luas
Daerah

Menghitung Luas dengan Integral

LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA

Perhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x)
pada selang [a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara
: partisi, aproksimasi, jumlahkan, ambil limitnya,
integralkan, maka dapat ditentukan luas daerah antara dua
kurva tersebut.
Langkah
penyelesaian:

y

1. Partisi daerahnya

x

y  f (x)

2. Aproksimasi : Li  [ f(x) – g(x) ]
x

f (x)  g(x)

Li

4. Jumlahkan

: L   [ f(x) –

g(x) ] x

0

x

a

b
x

5. Ambil limitnya :

y  g(x)

L = lim b [ f(x) – g(x) ] x

L   f (x)  g(x) dx

a dalam integral
6.Home
Nyatakan

tertentu

13/19

Back

Next

Luas

Luas
Daerah

Menghitung Luas dengan Integral
Contoh 5.

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2 dan
garis y = 2 - x
Jawab
Langkah penyelesaian:
y 2  x
1. Gambar daerahnya
y 2  x
2. Tentukan titik potong kedua kurva
x2 = 2 – x  x2 + x – 2 = 0  (x + 2)(x – 1) = 0
diperoleh x = -2 dan x = 1
3. Partisi daerahnya
4. Aproksimasi luasnya
(2  x)  x2
Li  (2 - x - x2)x

y
5
x

4
3

Li

4. Jumlahkan luasnya
L   (2 - x - x2)x

y  x2

2
1
x

5. Tentukan limit jumlah luasnya
L = lim  (2 - x - x2)x
6. Nyatakan dalam integral tertentu

3

2

1 x

0

1

2

1

L  (2  x  x 2) dx
Home

2

14/19

Back

Next

Luas

Luas
Daerah

Menghitung Luas dengan Integral

1

L  (2  x  x 2) dx
2

L   2x 

L  2(1) 




L  2

L 2 
L 5 

Home

1
2

x
2

12
2





1
3

1
2
1
2





1
x3 
3 
2

13 
3 


1
3

4  2

 4  2

5
x


  2( 2) 


  

y

y 2  x

8
3

( 2)2
2



( 2)3 
3 



3
(2  x)  x2



4

Li

y  x2

2
1

8
3

x
3

1
4 2

15/19

2

1 x

0

1

Back

2

Next

Luas

Luas
Daerah

Menghitung Luas dengan Integral

Untuk kasus tertentu

y  g(x)

y

pemartisian secara vertikal

y  f (x)
x

menyebabkan ada dua

Li

x

bentuk integral. Akibatnya
diperlukan waktu lebih lama

Ai
0

untuk menghitungnya.

f (x)  g(x)

x

a

b
2f (x)

a

b

0

a

Luas daerah 
=2f (x)dx  f (x)  g(x) dx

Home

16/19

Back

Next

Luas
Luas
Daerah
Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan

Menghitung Luas dengan Integral

diperoleh satu bentuk integral yang menyatakan luas
daerah tersebut. Sehingga penyelesaiannya menjadi lebih
sederhana dari sebelumnya.

y  g(x)  x  g(y)

y

y  f (x)  x  f (y)

d
g(y)  f (y)
Li

y
x

0

c

d

Luas daerah 
= g(y)  f (y) dy
c

Home

17/19

Back

Next

Luas

Luas
Daerah

Menghitung Luas dengan Integral
Contoh 6.

Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva y2 = x, garis x + y = 6,
dan sumbu x
Jawab
Langkah penyelesaian:
1. Gambar daerahnya
2. Tentukan titik potong kedua kurva
y2 = 6 – y  y2 + y – 6 = 0  (y + 3)(y
– 2) = 0
diperoleh y = - 3 dan y = 2
3. Partisi daerahnya
4. Aproksimasi luasnya
Li  (6 - y - y2)y

6

(6  y)  y2

x  y2

2
y

Li

y

4. Jumlahkan luasnya
L   (6 - y - y2)y

6

5. Tentukan limitnya
L = lim  (6 - y - y2)y
2
6. Nyatakan dalam integral 2
tertentu
Luas daerah 
=6  y  y dy



y

0

x

x 6  y



0

Home

18/19

Back

Next

2



Luas

Luas
Daerah

Menghitung Luas dengan Integral



2
Luas daerah 
=6  y  y dy
0


Luas daerah =6y



y

2




y
y3 

2
3 

0



2  23   0
6
(
2
)

Luas daerah 
=

2
3 



12
Luas daerah =


1 8 

3

6

(6  y)  y2

x  y2

2
Li

y

y
6

0

x 6  y

25
Luas daerah =
3

Home

19/19

x

Back

Next

Volume
Volume Benda
PutarBend

Pendahuluan

Suatu daerah jika di putar
mengelilingi garis tertentu
sejauh 360º, maka akan
terbentuk suatu benda putar.
Kegiatan pokok dalam
menghitung volume benda
putar dengan integral adalah:
partisi, aproksimasi,
penjumlahan, pengambilan

Gb. 4

limit, dan menyatakan dalam
integral tentu.
Home

1/17

Back

Next

Volume
Benda
Volume Benda
Putar

Pendahuluan

Dalam menentukan volume benda putar yang harus
diperhatikan adalah bagaimana bentuk sebuah partisi jika
diputar. Berdasarkan bentuk partisi tersebut, maka metode
yang digunakan untuk menentukan volume benda putar
dibagi menjadi :
1. Metode cakram
2. Metode cincin

y

y

y

3. Metode kulit tabung

4
3
0

x

x
r=x

2

x

1

h = x2
x

1
Home

2/17

2

0

1

2

Back

Next

Volume
Volume Benda
PutarBend

Metode Cakram

Metode cakram yang digunakan
dalam menentukan volume benda
putar dapat dianalogikan seperti
menentukan volume mentimun
dengan memotong-motongnya
sehingga tiap potongan berbentuk
cakram.

Home

3/17

Back

Next

Volume
Volume Benda
PutarBend

Metode Cakram

Bentuk cakram di samping

y
x

dapat dianggap sebagai tabung
dengan jari-jari r = f(x), tinggi h

f (x)

= x. Sehingga volumenya dapat
diaproksimasi sebagai V  r2h
atau V   f(x)2x.

a

x

x

y

Dengan cara jumlahkan, ambil

h=
x

limitnya, dan nyatakan dalam
integral diperoleh:

r  f (x)

V    f(x)2 x

x

0

2
V = lim
x
a   f(x)
2
v  [ f (x)] dx



0

Home

x

4/17

Back

Next

Volume
Volume Benda
PutarBend

Metode Cakram
Contoh 7.

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi
kurva y = x2 + 1, sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi
sumbu x sejauh 360º.
Jawab

y

Langkah penyelesaian:

y

y x2  1

1. Gambarlah daerahnya
2. Buat sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan
bentuk partisi
4. Aproksimasi volume

h=
x

x

1

x2  1
x

partisi yang diputar,

2

r x 2  1

x

x

x

jumlahkan, ambil
limitnya, dan
nyatakan dalam
bentuk
Home

integral.

5/17

Back

Next

Volume
Volume Benda
PutarBend

Metode Cakram

V  r2h
V  (x2 + 1)2 x

y

V   (x2 + 1)2 x
h=
x

V = lim  (x2 + 1)2
x

r x2  1

2

V   (x 2  1)2dx

x

0

2

V   (x 4  2x2  1) dx

x

0





2
5
3
1
2
V 
x  x x
5
3
0

V  ( 32  16  2  0) 1311
5

Home

3

15

6/17

Back

Next

Volume
Volume Benda
PutarBend

Metode Cakram
Contoh 8.

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi
kurva y = x2, sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh
360º.
Jawab

y

y  x2

Langkah penyelesaian:
2

1. Gambarlah daerahnya

y

2. Buatlah sebuah partisi

y
y

3. Tentukan ukuran dan bentuk

x

partisi

y

4. Aproksimasi volume partisi
yang diputar, jumlahkan,

r y

ambil limitnya, dan

y

nyatakan dalam bentuk
Home
integral.

h=
y
x

7/17

Back

Next

Volume
Volume Benda
PutarBend

Metode Cakram

V  r2h
V  (y)2 y
y

V   y y
V = lim  y y

2

2

r y

V 
ydy

h=y

0

2

y

V  ydy

x

0

V 



1
2

y2



2
0

V  ( 21 4  0)
V 2
Home

8/17

Back

Next

Volume
Benda
Volume Benda
Putar

Metode Cincin

Metode cincin yang digunakan
dalam menentukan volume
benda putar dapat
dianalogikan seperti
menentukan volume bawang
bombay dengan memotongmotongnya yang potongannya
berbentuk cincin.

Home

9/17

Back

Next

Volume
Benda
Volume Benda
Putar

Metode Cincin

Menghitung volume benda
putar dengan menggunakan
metode cincin dilakukan
dengan memanfaatkan
rumus volume cincin seperti
gambar di samping, yaitu V=
(R2 – r2)h

Gb. 5

R
h

Home

10/17

r

Back

Next

Volume
Benda
Volume Benda
Putar

Metode Cincin
Contoh 9.

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang
dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2x diputar mengelilingi
sumbu x sejauh 360º.
Jawab

Langkah penyelesaian:

y

y

y  x2

1. Gambarlah daerahnya
2. Buat sebuah partisi

y=
2x

4

x

3. Tentukan ukuran dan
bentuk partisi
4. Aproksimasi volume
partisi yang diputar,
jumlahkan, ambil

x

2x
x2
x

2

x

limitnya, dan
nyatakan dalam
bentuk
Home

integral.

11/17

Back

Next

Volume
Benda
Volume Benda
Putar

Metode Cincin

V  (R2 – r2) h

y

V   [ (2x) – (x ) ] x
2

2 2

y  x2

y=
2x

4

x

V   (4x2 – x4) x
V    (4x2 – x4) x

R=2x
r=x2

V = lim   (4x2 – x4) x

2

V 

x

2

y

2
4
 (4x  x ) dx

0



x



2
3
5
4
1
V 
x  x
3
5
0

V  ( 32  32)

3
5
V  (160 96)
15
V  64
15
Home

x

12/17

Back

Next

Volume
Volume Benda
PutarBend

Metode Kulit Tabung

Metode kulit tabung yang
digunakan untuk menentukan
volume benda putar dapat
dianalogikan seperti menentukan
volume roti pada gambar
disamping.

Home

13/17

Back

Next

Volume
Volume Benda
PutarBend

Metode Kulit Tabung
r

r

h

h

V = 2rhΔr
2r
Home

14/17

Δr
Back

Next

Volume
Volume Benda
PutarBend

Metode Kulit Tabung
Contoh 10.

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang
dibatasi kurva

y = x2 , garis x = 2, dan sumbu x diputar

mengelilingi sumbu y sejauh 360º.
Jawab

Langkah penyelesaian:
y

1. Gambarlah daerahnya

y  x2

2. Buatlah sebuah partisi

4

3. Tentukan ukuran dan bentuk

3

x

2

partisi.
4. Aproksimasi volume partisi
yang diputar, jumlahkan,

x2

1

x
0

x

1

2

ambil limitnya, dan nyatakan
Home
dalam

bentuk integral.

15/17

Back

Next

Volume
Volume Benda
PutarBend

Metode Kulit Tabung
y

y x

y

2

4

4

3

x

3

x

r=x

2

2
x2

1

1

h = x2

x
0

x

1

x

2

1

V  2rhx

0

1

2

2

V  2  x3 dx
0

V  2(x)(x2)x



1x
V  2 4

V   2x x
3

V = lim  2x3x
Home

2

16/17

4



2
0

V 8
Back

Next

Volume
Volume Benda
PutarBend

Metode Kulit Tabung

Jika daerah pada contoh ke-10 tersebut dipartisi secara
horisontal dan sebuah partisi diputar mengelilingi sumbu y,
maka partisi tersebut membentuk cincin. Volume benda
putar tersebut dihitung dengan metode cincin adalah sebagai
V  (R2 – r2)y
berikut.
y

y x

V  (4 - x2)y

y

2

4

V   (4 – y)y

4

3

V = lim  (4 –

3

y)y 4
V   4  y  dy

R=2
2

2

r=x

0

y

1



V  4y 

1
x

0

Home

x

1

2

x
2

1

0

1

2

1 y2
2



4
0

V (16 8)

V 8
17/17

Back

Next

Latihan

Latihan (6 soal)

Penggunaan Integ
Penggunaan
Integral

Petunjuk : Kesempatan menjawab hanya 1 kali

1/19

Back

Next

Latihan

Penggunaan Integ
Penggunaan
Integral

Soal 1.

Luas
Luas daerah
daerah yang
yang diarsir
diarsir pada
pada gambar
gambar di
di bawah
bawah ini
ini dapat
dapat
dinyatakan
dinyatakan dalam
dalam bentuk
bentuk integral
integral sebagai
sebagai ....
.... Y
A
B
C

2

2
x dx

0

D

4

y dy

0
4

x

0

2

E

2

(4 

x2) dx

4

x2) dx

0

(4 

0

dx

4

0

2/19

y  x2

2

X

Back

Next

Latihan

Penggunaan Integ
Penggunaan
Integral

Soal 1.

Luas
Luas daerah
daerah yang
yang diarsir
diarsir pada
pada gambar
gambar di
di bawah
bawah ini
ini dapat
dapat
dinyatakan
dinyatakan dalam
dalam bentuk
bentuk integral
integral sebagai
sebagai ....
.... Y
A
B
C

2

2
x dx

0

D

4

y dy

E

0
4

x

0

2

2

(4 

x2) dx

4

x2) dx

0

(4 

0

dx

y  x2

4

0

2

X

Jawaban Anda Benar
 L  (4 – x2) x
L   (4 – x2) x
L = lim  (4 – x2) x
2

L  (4  x2) dx ( Jawaban D )
0

3/19

Back

Next

Latihan

Penggunaan Integ
Penggunaan
Integral

Soal 1.

Luas
Luas daerah
daerah yang
yang diarsir
diarsir pada
pada gambar
gambar di
di bawah
bawah ini
ini dapat
dapat
dinyatakan
dinyatakan dalam
dalam bentuk
bentuk integral
integral sebagai
sebagai ....
.... Y
A
B
C

2

2
x dx

0

D

4

y dy

E

0
4

x

0

2

x

2

2
(4  x ) dx

0

4

(4 

0

y  x2

4
4 - x2

2

x ) dx

dx

0
x

2

X

Jawaban Anda Salah
 L  (4 – x2) x
L   (4 – x2) x
L = lim  (4 – x2) x
2

L  (4  x2) dx ( Jawaban D )
0

4/19

Back

Next

Latihan

Penggunaan Integ
Penggunaan
Integral

Soal 2.

Luas
Luas daerah
daerah yang
yang diarsir
diarsir pada
pada gambar
gambar di
di bawah
bawah ini
ini sama
sama dengan
dengan ….
….
A

4,5 satuan luas

D

Y

9 1/3 satuan luas
y  4  x2

B

6 satuan luas

C

7,5 satuan luas

E 10 2/3 satuan luas

X

0

5/19

Back

Next

Latihan

Penggunaan Integ
Penggunaan
Integral

Soal 2.

Luas
Luas daerah
daerah yang
yang diarsir
diarsir pada
pada gambar
gambar di
di bawah
bawah ini
ini sama
sama dengan
dengan ….
….
A

4,5 satuan luas

D

Y

9 1/3 satuan luas
y  4  x2

B

6 satuan luas

C

7,5 satuan luas

E 10 2/3 satuan luas

X

0

Jawaban Anda Benar
 L  (4 – x2) x
L   (4 – x2) x
L = lim  (4 – x ) x
2

2



L  4x 

1
3

x3



2
2

L (8  83)  ( 8  83)
L

L  (4  x2) dx

32
3

( Jawaban E )
102
3

2

6/19

Back

Next

Latihan

Penggunaan Integ
Penggunaan
Integral

Soal 2.

Luas
Luas daerah
daerah yang
yang diarsir
diarsir pada
pada gambar
gambar di
di bawah
bawah ini
ini sama
sama dengan
dengan ….
….
A

4,5 satuan luas

D

Y

9 1/3 satuan luas

x

y  4  x2

B

6 satuan luas

C

7,5 satuan luas

E 10 2/3 satuan luas

-2

0

2

x

X

Jawaban Anda Salah
 L  (4 – x2) x
L   (4 – x2) x
L = lim  (4 – x ) x
2

2



L  4x 

1
3

x3



2
2

L (8  83)  ( 8  83)
L

L  (4  x2) dx

32
3

( Jawaban E )
102
3

2

7/19

Back

Next

Latihan

Penggunaan Integ
Penggunaan
Integral

Soal 3.

Luas
Luas daerah
daerah yang
yang diarsir
diarsir pada
pada gambar
gambar di
di bawah
bawah ini
ini sama
sama dengan
dengan ….
….
Y

A 5 satuan luas

D 9 1/3 satuan luas

B 7 2/3 satuan luas

E 10 1/3 satuan luas

y  2x

C 8 satuan luas
0

8/19

X

y 8  x2

Back

Next

Latihan

Penggunaan Integ
Penggunaan
Integral

Soal 3.

Luas
Luas daerah
daerah yang
yang diarsir
diarsir pada
pada gambar
gambar di
di bawah
bawah ini
ini sama
sama dengan
dengan ….
….
Y

A 5 satuan luas

D 9 1/3 satuan luas

B 7 2/3 satuan luas

E 10 1/3 satuan luas

y 2x

C 8 satuan luas

X

0 2

y  8  x2

Jawaban Anda Benar
 L  (8 – x2 -2x)
x

L 16

2

L  (8  x2  2x) dx
0



L  8x 

1
3

x3  x2



L

28
3

8
3

 4

 9 31

( Jawaban D )

2
0

9/19

Back

Next

Latihan

Penggunaan Integ
Penggunaan
Integral

Soal 3.

Luas
Luas daerah
daerah yang
yang diarsir
diarsir pada
pada gambar
gambar di
di bawah
bawah ini
ini sama
sama dengan
dengan ….
….
Y

A 5 satuan luas

D 9 1/3 satuan luas

B 7 2/3 satuan luas

E 10 1/3 satuan luas

y  2x

C 8 satuan luas

X

0 2

y 8  x2

Jawaban Anda Salah
 L  (8 – x2 -2x)
x

L 16

2

L  (8  x2  2x) dx
0



L  8x 

1
3

x3  x2



L

28
3

8
3

 4

 9 31

( Jawaban D )

2
0

10/19

Back

Next

Latihan

Penggunaan Integ
Penggunaan
Integral

Soal 4.

Luas
Luas daerah
daerah yang
yang dibatasi
dibatasi oleh
oleh kurva
kurva xx =
= yy22 dan
dan garis
garis xx +
+ yy =
= 22
adalah
adalah ….
….
A 2,5 satuan luas

D

10 2/3 satuan luas

B

4,5 satuan luas

E

20 5/6 satuan luas

C

6 satuan luas

11/19

Back

Next

Latihan

Penggunaan Integ
Penggunaan
Integral

Soal 4.

Luas
Luas daerah
daerah yang
yang dibatasi
dibatasi oleh
oleh kurva
kurva xx =
= yy22 dan
dan garis
garis xx +
+ yy =
= 22
adalah
adalah ….
….
A 2,5 satuan luas

D

10 2/3 satuan luas

B

E

20 5/6 satuan luas

4,5 satuan luas

Y

1
X

0

C

6 satuan luas

-2

x  y2
x 2  y

Jawaban Anda Benar
 L  [(2 – y ) – y2 ] y

L (2 

1

L  (2  y  x2) dy

L

2



L  2y 

1
2

y2 

1
3

y3



1

1
2

 31)  ( 4  2  83)

9
 4,5
2

( Jawaban B )

2

12/19

Back

Next

Latihan

Penggunaan Integ
Penggunaan
Integral

Soal 4.

Luas
Luas daerah
daerah yang
yang dibatasi
dibatasi oleh
oleh kurva
kurva xx =
= yy22 dan
dan garis
garis xx +
+ yy =
= 22
adalah
adalah ….
….
A 2,5 satuan luas

Y

D

10 2/3 satuan luas
1

B

4,5 satuan luas

C

6 satuan luas

E

20 5/6 satuan luas 0

X

-2

x  y2
x 2  y

Jawaban Anda Salah
 L  [(2 – y ) – y2 ] y

L (2 

1

L  (2  y  x2) dy

L

2



L  2y 

1
2

y2 

1
3

y3



1

1
2

 31)  ( 4  2  83)

9
 4,5
2

( Jawaban B )

2

13/19

Back

Next

Latihan

Penggunaan Integ
Penggunaan
Integral

Soal 5.

Daerah
Daerah yang
yang di
di arsir
arsir pada
pada gambar
gambar di
di bawah
bawah ini
ini diputar
diputar mengelilingi
mengelilingi
sumbu
sumbu Y
Y sebesar
sebesar 360.
360. Jika
Jika digunakan
digunakan metode
metode kulit
kulit tabung,
tabung, maka
maka
bentuk
bentuk integral
integral yang
yang menyatakan
menyatakan volume
volume benda
benda putar
putar tersebut
tersebut
adalah
adalah ....
....
4
v


x dx
A
0

B
C

4

v  x2 dx
0

Y

4

D

v  2 x x dx

E

v  2 (16 y) dy

0

y X

2

2

0

0

X

4

2

v  y dy
0

14/19

Back

Next

Latihan

Penggunaan Integ
Penggunaan
Integral

Soal 5.

Daerah
Daerah yang
yang di
di arsir
arsir pada
pada gambar
gambar di
di bawah
bawah ini
ini diputar
diputar mengelilingi
mengelilingi
sumbu
sumbu Y
Y sebesar
sebesar 360.
360. Jika
Jika digunakan
digunakan metode
metode kulit
kulit tabung,
tabung, maka
maka
bentuk
bentuk integral
integral yang
yang menyatakan
menyatakan volume
volume benda
benda putar
putar tersebut
tersebut
adalah
adalah ....
....
4
v


x dx
A
0

B
C

Y

4

D

v  2 x x dx

E

v  2 (16 y) dy

4

v  x2 dx
0

0

y X

2

2

0

0

X

4

2

v  y dy
0

Jawaban Anda Benar
 V  2xx x
4

V  2 x x dx ( Jawaban D )
0

15/19

Back

Next

Latihan

Penggunaan Integ
Penggunaan
Integral

Soal 5.

Daerah
Daerah yang
yang di
di arsir
arsir pada
pada gambar
gambar di
di bawah
bawah ini
ini diputar
diputar mengelilingi
mengelilingi
sumbu
sumbu Y
Y sebesar
sebesar 360.
360. Jika
Jika digunakan
digunakan metode
metode kulit
kulit tabung,
tabung, maka
maka
bentuk
bentuk integral
integral yang
yang menyatakan
menyatakan volume
volume benda
benda putar
putar tersebut
tersebut
adalah
adalah ....
....
4
v


x dx
A
0

B
C

4

2

v  x dx
0

4

D
E

v  2 x x dx

Y

0

y X

2

2

v  2 (16 y) dy

x

0

0

2

v  y dy

x

X

4

0

Jawaban Anda Salah
 V  2xx x
4

V  2 x x dx ( Jawaban D )
0

16/19

Back

Next

Latihan

Penggunaan Integ
Penggunaan
Integral

Soal 6.

Daerah
Daerah yang
yang di
di arsir
arsir pada
pada gambar
gambar di
di bawah
bawah ini
ini diputar
diputar mengelilingi
mengelilingi
sumbu
sumbu X
X sebesar
sebesar 360.
360. Volume
Volume benda
benda putar
putar yang
yang terjadi
terjadi adalah
adalah ….
….
A 4 satuan volum D
B

6 satuan volum E

C

8 satuan volum

12 satuan volum
15 satuan volum

Y

0

17/19

y X

2

X

4

Back

Next

Latihan

Penggunaan Integ
Penggunaan
Integral

Soal 6.

Daerah
Daerah yang
yang di
di arsir
arsir pada
pada gambar
gambar di
di bawah
bawah ini
ini diputar
diputar mengelilingi
mengelilingi
sumbu
sumbu X
X sebesar
sebesar 360.
360. Volume
Volume benda
benda putar
putar yang
yang terjadi
terjadi adalah
adalah ….
….
A 4 satuan volum D
B

6 satuan volum E

C

8 satuan volum

Y

12 satuan volum
15 satuan volum

y X

2

0

X

4

Jawaban Anda Benar
 V  (x)2 x
4

V  x dx
0

V  

V 8
Home

1
2

x

2



4
0

( Jawaban C )
18/19

Back

Next

Latihan

Penggunaan Integ
Penggunaan
Integral

Soal 6.

Daerah
Daerah yang
yang di
di arsir
arsir pada
pada gambar
gambar di
di bawah
bawah ini
ini diputar
diputar mengelilingi
mengelilingi
sumbu
sumbu X
X sebesar
sebesar 360.
360. Volume
Volume benda
benda putar
putar yang
yang terjadi
terjadi adalah
adalah ….
….
Y

A 4 satuan volum D

12 satuan volum
y X

2

B
C

6 satuan volum E

15 satuan volum

x
0

8 satuan volum

x

X

4

Jawaban Anda Salah
 V  (x)2 x
4

V  x dx
0

V  

V 8
Home

1
2

x

2



4
0

( Jawaban C )
19/19

Back

Next