Bentuk umum suku ke-n barisan aritmatika

BAB 8 BARISAN DAN DERET A. Barisan Barisan adalah urutan bilangan yang memiliki aturan tertentu. Setiap bilangan pada barisan disebut “suku barisan” yang dipisahkan dengan lambang “,” (koma). Bentuk umum barisan: U , U , U , … ,U

  1

  

2

3 n

  dengan:

  U ¹

  = suku pertama

  U ²

  = suku kedua

  U ³

  = suku ketiga …

  U n

  = suku ke-n B.

   Deret Deret adalah bentuk penjumlahan barisan.

  Bentuk umum deret:

  U 1 + U 2 + U 3 + U 4 + … + U n C.

   Barisan Aritmatika Barisan aritmatika adalah barisan yang selisih suku yang berdekatan selalu tetap (konstan).

  Selisih dua suku yang berdekatan disebut beda.

  Bentuk umum suku ke-n barisan aritmatika U

  = a + (n – 1)b

  n

  dengan

  U n = suku ke-n a

  = suku pertama (U

  1 ) n

  = banyaknya suku

  b

  = beda/selisih = U

  2 – U 1 = U 3 – U

  2 Jumlah n suku pertama barisan aritmatika n

  S n = (a + U n ) …. jika diketahui a dan U n

  2 n

  S n = (2a + (n – 1)b) …. Jika diketahui a dan b

2 D.

   Barisan geometri

  Barisan geometri adalah barisan bilangan dengan perbandingan (rasio) dua suku yang berurutan selalu tetap (konstan). Perbandingan dua suku yang berurutan disebut rasio atau pembanding dan biasanya dilambangkan dengan “r”.

  Bentuk umum suku ke-n barisan geometri n – 1

  U n = a.r

  dengan

  U n = suku ke-n a

  = suku pertama (U1)

  n

  = banyaknya suku ₂ U ₃ r = rasio = U 

  U U _{1 2} Jumlah n suku pertama barisan geometri _n a r

  ( 1  )

  S

  Jika r < 1 dan r  1, maka  _n

  r

  1  _n

  a r

  ( 1 ) 

  S

  Jika r > 1 dan r  1, maka  , _n

  r

  1 

E. Deret Geometri Tak Hingga

  12 ) 3 (  4 

  = ) )

  S

  Jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah _n

   a

  12  12  a

  12  12  a

  a

  12  b 4  a

  2 b n a n

  15  b 5   3  b

  a

  27  b 9 

  →

  U

  27 ₁₀ 

  12  b 4  a

  1 ( 2 (

   

  U

  10 ₂₀ S = 570 3.

  U U

  54 _{2 5} 

  2

  U r a

    ⁿ _n

  Pembahasan: Suku ke-n barisan geometri adalah ¹ .

  Suku kedua dan kelima suatu barisan geometri berturut-turut adalah 2 dan 54. Suku ke-4 barisan tersebut adalah ....

  57

  Sehingga: ₂₀ S =   )

   

  19 10  ₂₀ S =

  =   ) 3 (

  20   ₂₀ S

  2

  2

  1 ) 20 ( (

  3 )(

  →

  Deret geometri tak hingga adalah deret geometri yang banyak sukunya tidak terbatas. Jika

  1  1   r

  →

  15  b 5 

  a

  26  b 8 

  →

  U

  26 ₉ 

  41  b 3  a

  U

  15   b

  41 ₄ 

  Pembahasan:

  Diketahui barisan arimatika dengan suku keempat adalah 41 dan suku kesembilan adalah 26. Suku kesepuluh barisan tersebut adalah ....

  1 Pembahasan Soal-soal: 1.

  





  r a S

  , maka rumus jumlah deret geometri tak hingga:

  5

   3  b

  Sehingga:

  U

  )  1 (  

  U b n a _n

  Pembahasan: Suku ke-n deret aritmatika adalah

  = 23 2. Diketahui deret aritmatika dengan suku kelima adalah 12 dan suku kesepuluh adalah 27. Jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah ....

  U

  50 ₁₀  

  27

  50 ₁₀   

  41  b 3  a

  9

  9 ₁₀   ) 3 (

  U b a

  50  a

  9  41  a

  41  9  a

  a

  41 ) 3 (  3  

  12 ₅ 

  27 . . ₁ ⁴

  12  a _{3 4}

  U

27 .

  

    

  3 2   

   _{3 4} ) 3 .(

  U a

  .r

  24  a

  

2

₄  U

  2

  a

  24 ) 2 .( 

  U 24 . ¹  r a

  24 ₂ 

  2 ³ 

  8

  , karena

  

3

  18 ₄ 

  8 

  r r a ⁿ ₈ S =

  = ) 255 .(

  12 

  ) .( 1 256

   =

  12 ⁸ 

  1 2 .(

  2 )

  1

   

  U

  1 ) 1 .(

  =

  S

  Sehingga: _n

  

1 

r .

  dan

  2  r

  Karena suku-sukunya positif, maka

  r 2  r

  r ₃

  

  3 ³ 

  .r

  2  a _{3 4}

  3

  a

  2 ) 3 .( 

  U 2 . ¹  r a

  2 ₂ 

  27

   _{3 4} ) 3 .(

  , karena

  r 3  r

  27 

  r ₃

  27 ³ 

   r

  27 ^{1 4} 

  r a r a

  U a

  3 2   

  8 ³ 

  U r a

   r

  8 ^{1 4} 

  r a r a

  

  8 . . ₁ ⁴

  U U

  

  24 192 _{2 5}

    ⁿ _n

    

  Pembahasan: Suku ke-n barisan geometri adalah ¹ .

  Suku ke-2 dan suku ke-5 deret geometri berturut-turut adalah 24 dan 192. Jumlah 8 suku pertama deret tersebut adalah ….

  U 4.

  18 ₄ 

  

2

₄  U

  

3

  U

27 .

  

  12 = 3.060

  5. Seorang ayah akan membagikan 78 sapi kepada keenam anaknya yang banyaknya setiap bagian merupakan barisan aritmatika. Anak termuda mendapat bagian paling sedikit, yaitu 3 sapi dan anak tertua mendapat bagian terbanyak. Anak ketiga mendapat bagian sebanyak …. sapi. Pembahasan:

  S ₆ 

  78

  a 

  3 n

  S a n b _n

  = (

  2  (  1 ) )

  2

6 S b

  ₆  ( 2 ( 3 )  ( 6  1 ) )

  2 b

  78 = 3 ( 6  5 )

  b

  78 =

  18 

  15 b

  78  18 

  15 b

  60 

  15

  60 b

  

  15 b

  

  4 a b

  U

  =

  

2

₃ 

  = 3  2 ( 4 ) =

  3 

  

8

U ₃ = 11 6.

  Pada tahun pertama, sebuah perusahaan memproduksi barang sebanyak 2.000 unit. Pada tahun-tahun

  3

  berikutnya produksinya naik dari jumlah produksi sebelumnya. Jumlah hasil produksi selama 3

  4 tahun adalah .... unit.

  Pembahasan:

3 Produksinya naik dari jumlah produksi sebelumnya, berarti barisan geometri.

  4 a

   2 . 000

  3 r

  

4 Karena r < 1, maka:

  _n

  a r

  ( 1  )

  S _n  r

  1  ₃  

  3  

    2000 .

  1 

     

  4  

   

  S ₃ 

  3 1 

  4 ₃  

  3 2000 .

  1  ₃

   

  4  

  S ₃ 

  4

  3 

  4

  4

  64

  27   2000 .   

  64

  64  

  S ₃ 

  1

  4

  37   2000 .

   

  64  

  S ₃ 

  1

  4 2000 .

  37

4 S

  ₃  .

  64

  1

  2000 .

  37 S ₃ 

  16 74000 S ₃ 

  16 S ₃  4625

  8

  8

  

8

7.

• – + + ... adalah ....

  Jumlah deret geometri tak hingga 8 –

  3

  9

  

27

Pembahasan: a

  

  8 U ₂ Pembanding/rasio (r) = U ₁

  8 

  3 =

  8

  8

  1 =  .

  3

  8

  1

  = 

  3

a

  S

  Jumlah deret geometri tak hingga: =

  

1 r



  8

  =

  1 

1  

 

  3  

  8 =

  3

  1 

  3

  3

  8 =

  4

  3

  

3

  = 8 .

  

4

S

  = 6

  

  LATIHAN UN: 1.

  Jika suku ke-8 adalah 23 dan suku ke-20 adalah 59 dari suatu barisan aritmatika, maka suku ke-10 adalah ....

  A.

  17 B.

  25 C.

  27 D.

  29 E.

  31 2. Diketahui suatu barisan aritmatika mempunyai suku ketiga adalah 10 dan suku keenam adalah 22.

  Suku ke-20 barisan tersebut adalah ....

  A.

  72 B.

  74 C.

  76 D.

  78 E.

  80 3. Diketahui suatu barisan aritmatika dengan suku ke-5 dan suku ke-20 berturut-turut adalah 6 dan 66.

  Nilai suku ke-25 barisan tersebut adalah ....

  A.

  72 B.

  76 C.

  86 D.

  96 E. 106

  4. Suku keenam suatu deret aritmatika diketahui adalah 17 dan suku kesepuluhnya adalah 33. Jumlah tiga puluh suku pertamanya adalah ....

  A.

  1.650 B. 1.710 C. 3.300 D.

  4.280 E. 5.300 5. Suku ke-4 dan suku ke-9 suatu barisan aritmatika berturut-turut adalah 5 dan 20. Jumlah dua puluh suku pertama barisan tersebut adalah ....

  A.

  680 B. 650 C. 570 D.

  530 E. 490 6. Suatu gedung pertunjukan mempunyai 20 barisan kursi. Pada baris pertama terdapat 10 kursi dan banyak kursi pada baris berikutnya selalu bertambah 6 dari banyak kursi pada baris di depannya.

  Jumlah kursi dalam gedung tersebut adalah ....

  A.

  1.300 B. 1.340 C. 1.360 D.

  1.960 E. 2.680 7. Suatu gedung pertunjukan mempunyai beberapa baris kursi. Setelah baris pertama, setiap baris mempunyai kursi 4 lebih banyak dari pada baris sebelumnya. Perbandingan banyak kursi pada baris ke-5 dan ke-9 adalah 5 : 9. Baris terakhir mempunuai 72 kursi. Banyak kursi yang dimiliki gedung tersebut adalah .... kursi.

  A.

  648 B. 684 C. 700 D. 720 E. 756 8. Seorang karyawan mempunyai gaji pertama Rp500.000,00 dan setiap bulan naik sebesar

  Rp25.000,00. Jika gaji tersebut tidak pernah diambil, maka jumlah gaji yang terkumpul selama 2 tahun adalah ....

  A.

  Rp18.900.000,00 B. Rp15.750.000,00 C. Rp14.500.000,00 D.

  Rp12.000.000,00 E. Rp11.100.000,00 9. Diketahui barisan geometri dengan suku ke-1 adalah 80 dan suku ke-5 adalah 5. Suku ke-3 barisan tersebut adalah ....

  A.

  6 B.

  9 C.

  15 D.

  20 E.

  27 10. Suku pertama suatu barisan geometri sama dengan 5, sedangkan suku ketiganya sama dengan 245.

  Jika rasio barisan geometri tersebut positif, maka suku ke-5 adalah ....

  A.

  12.005 B. 8.575 C. 5.145 D. 3.145 E. 1.715 11. Suku ke-2 dan suku ke-5 suatu barisan geometri berturut-turut adalah 12 dan 96. Suku ke-7 barisan tersebut adalah ....

  A.

  192 B. 288 C. 384 D.

  576 E. 768

  2

  2 12.

  dan suku ke-3 adalah . Jumlah empat Diketahui suatu deret geometri dengan suku ke-1 adalah

  3

  27 suku pertama barisan tersebut adalah ....

  81 A.

  82

  80 B.

  81

  60 C.

  81

  20 D.

  81

  4 E.

  81

  1

  1

  1 13. 1     ... adalah ....

  Jumlah deret geometri tak hingga dari

  2

  4

  8 A.

  2

  31 B.

  16

  30 C.

  16

  31 D.

  32

  30 E.

  32

1

14. 4  2  1   ... adalah ....

  Jumlah tak hingga dari deret geometri

  

2

A.

  6 B.

  8 C.

  10 D.

  12 E.

  13