1. Bentuk Persegi (Rectangular) - DIKTAT KALKULUS 3
DIKTAT
KALKULUS 3
UNIVERSITAS INDRAPRASTA PGRI
JAKARTA
2012
BAB 1 BILANGAN KOMPLEKS Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari bilangan riil dan imajiner. Bilangan kompleks mempunyai bilangan konjugat yang digunakan pada operasi arimatik pembagian. Bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam dua bentuk:
1. Bentuk Persegi (Rectangular)
2. Bentuk Polar
Gambar 1. Sistem Bilangan
A. Bentuk Persegi Rumus Dasar : Dimana : A = bilangan riil j = tanda operator imajiner B = bilangan imajiner
Gambar 2. Bentuk Persegi
B. Bentu Polar A = C cos α + jC sin α
2
2 C = A B
√
- Operasi Aritmatik
1. Penambahan Misal C 1 = ±A 1 ± jB
1 dan C
2 = ±A 2 ± jB2 Maka : FUNGSI N VARIABEL
A. Definisi Fungsi n Variabel
Suatu fungsi f dari n variabel adalah suatu aturan yang memberikan kepada masing-masing pasangan terurut bilangan real rangkap n di dalam
n D R
daerah asal sebuah bilangan real tunggal yag dinyatakan oleh : Contoh : 1)
B. Diferensial Parsial
d)
Latihan 1
a)
4
,
3 2 f x y x y
b)
5 3 2
4
,
3 3 f x y x x y xy
c)
, sin cos f x y x y
, ln f x y y x
, anggap x sebagai kostanta dan diferensialkan
e)
,
x y f x y x y
f)
2
2
2
,
xy f x y x y
, f x y terhadap y. Pendiferensialan beserta aturannya ini berlaku juga untuk fungsi 3 variabel atau lebih.
y f
2
, , , lim
2
, 9 f x y x y
2)
2
2
2
, , f x y z x y z
Jika f adalah fungsi 2 variabel, dinotasikan
, f x y , maka diferensial parsialnya adalah
, , , lim
x x x h y y y h f x h y f x y f f x y f D f x h f x y h f x y f f x y f D f y h
, f x y terhadap x. 2) Untuk mencari
Aturan untuk pencarian diferensial parsial dari
, z f x y
:
1) Untuk mencari
x f
, anggap y konstanta dan diferensialkan
1) Carilah turunan parsial pertama dari fungsi berikut!
2 3 f x y z , , xy z
3 yz
g) 2 3 f x y z , , xy x
h) 2 yz f x y z , , x e
i) x y
f x y z t , , ,
z t
j)
2) Carilah diferensial parsial yang ditunjuk!
2 3
4 f x y , x y
2 x y
f xx
a) dari ! 2 xy f f x y , e
xy
b) dari !
5 4 4 3
2 f f x y z , , x x y z yz xyz
c) dari ! f f x y , x sin y
xyy
d) dari ! xyz f f x y z , , e yzy
e) dari !
C. Bidang singgung dan Diferensial Total
Andaikan f mempunyai diferensial parsial kontinu. Satu persamaan
z f x y , P x y z , ,
bidang singgung terhadap permukaan di titik
adalah z z f x y , x x f x y , y y
x y
z f x y ,
Untuk fungsi 2 variabel , maka diferensial total dz
didefinisikan oleh : z z
dz f x y dx f x y dy , , dx dy
x y
x y
Untuk fungsi 3 variabel atau lebih, berlaku hampir sama dengan
w f x y z , ,
fungsi 2 variabel. Sebagai contoh untuk fungsi 3 variabel
,
maka diferensial total dw didefinisikan oleh :
w w w
dw f x y z dx f x y z dy , , , , f x y z dz , , dx dy dz
x y z
x y z
Latihan 2
1) Carilah persamaan bidang singgung terhadap kurva yang diberikan
dz z dx z dy
dt x dt y dt
2
2
2 w x y z
Andaikan
, z f x y
adalah fungsi dari x dan y yang terdiferensiasi, dengan x g t
dan
y h t
. Keduanya adalah fungsi dari t yang terdiferensiasi maka z adalah fungsi dari t yang terdiferensiasi dan berlaku:
Andaikan
, z f x y
adalah fungsi dari x dan y yang terdiferensiasi, dengan
, x g s t dan
, y h s t . Keduanya adalah fungsi dari s dan t yang terdiferensiasi maka :
z z x z y
s x s y s
z z x z y
t x t y t
Untuk pendiferensialan implisit, rumus yang digunakan adalah :
d) sin w x yz e)
x z e y
pada titik berikut ini!
9
a)
2
2
2 , 1,1,3 z x y
b)
2
2
, 4,5,9 z y x
c)
2
2
6 3 5, 1, 2,18 z x y x y
sin
d)
ln , 3,1,0
x z e y
e)
ln 2 , 1,3,0 z x y
2) Carilah diferensial total dari fungsi berikut!
a) 2 3 z x y
b)
ln 2 3 z x y
c)
D. Aturan Rantai dan Pendiferensialan Implisit
x z y z
, , z x xy y x s t y st
c) tan , 2 , xy s z e y x s t y t
t t
x z x se y se y 1
, ,
b)
2
d)
2
z t ! a)
dan
2) Gunakan aturan rantai untuk mencari z s
2
, , sin , cos
!
b) xy yz xz
6 1 x y z xyz
3
3
3
a)
z y
2
dan
3) Gunakan diferensial implisit untuk mencari z x
e) sin tan , 3 , z x y x s t y s t
x z e y x st y s t
cos , ,
t t t w xy yz x e y e t z e t
2
F F z x F x F z F
Latihan 3 1) Gunakan aturan rantai untuk mencari dz dt
F x y .
,
dengan F didefinisikan sebagai
dw dt ! a)
F y z F y F z
atau
2
e)
, ,
y z w xe x t y t z t
, , 1 , 1 2
2
c) sin cos , , z x y x t y t d)
t t z x y x e y e
2
2
2
2
2
b)
, 2 , 1 z x y xy x t y t
3
4
c)
BAHAN UAS KALKULUS 3:
BAB 1 INTEGRAL LIPAT DUA A. Sifat 1)
, ,
, ,
b d b d a c a c f x y dydx f x y dy dx
d b d b c a c a f x y dxdy f x y dx dy
Teorema Fubini : Jika f kontinu pada segi empat
, , R x y a x b c y d
,
maka :
Secara umum :
cos xyz x y z
, , , ,
d)
2
2
2
2 2 x y z xy xz
e) 2 3 3 2 xy z x y z x y z
R R R f x y g x y dA f x y dA g x y dA
R R f x y dA g x y dA f x y g x y
2)
, , , konstanta
R R cf x y dA c f x y dA c
3)
, , , jika , ,
B. Integral Berulang
dengan
R y xy dA
sin
1 R x y x y c.
, 3,0
x y y dA
5 R
6
4
2 3
b.
R
dengan
, R 1 2, 0 x y x y d.
3 R x y x y
R
1, 2 0,1
dA x y
1 R
, 1, 3
2
dengan
xy dA x
1 R
2
0, 2 1, 2
dengan
, , ,
3 2
y dxdy x
2
4 3 0 0
b.
2 0 1 x y dydx
Latihan 1 1) Hitunglah integral berulang berikut ini! a.
/ 2 / 2
d b b d R c a a c f x y dA f x g y dxdy f x dx g y dy R a b c d
, , ,
Catatan :
b d d b R a c c a f x y dA f x y dydx f x y dxdy
c.
1
xy dydx x
x y dA
3 R
2
2) Hitunglah integral lipat dua berikut ini! a.
4
sin cos x y dydx
2
2 0 0
1 1
e.
2 4 1 1 x y dxdy y x
d.
3) Carilah volume benda pejal jika dibatasi oleh :
2
2
2
3
3 R
y x y dA x
dengan
1, 4 2,5
R b.
2 cos
sin x y dydx
R xy y dA
dengan
0, / 2 0, / 2
R
3) Carilah volume benda pejal jika dibatasi oleh permukaan 6 z xy
dan di atas persegi panjang
2, 2 0,3
R
!
2) Hitunglah integral lipat dua berikut ini! a.
a. Paraboloid eliptik
2
c. Paraboloid eliptik
2
2 16 x y z dan di atas bujur sangkar
0, 2 0, 2
R
b. Bidang
2
5 1 z x y
dan di atas segi empat
1,0 1, 4
R
2
2
1
4
9
x y z
dan di atas bujur sangkar
1,1 2, 2
R
TUGAS TERSTRUKTUR 1
MK. KALKULUS 3
Kerjakanlah soal-soal berikut ini dengan teliti! 1) Hitunglah integral berulang berikut ini! a.
3 4
3 1 2 x y dydx
b.
/ 2 / 2
C. Integral pada Daerah Umum
, , D x y c y d h y x h y maka :
x y dydx
2 x x
1 2
Latihan 2 1)
h y d D c h y f x y dA f x y dxdy
, ,
2 1
Jika f kontinu pada daerah D jenis I sehingga
1
Jika f kontinu pada daerah D jenis II sehingga
g x b D a g x f x y dA f x y dydx
, ,
2 1
, , D x y a x b g x y g x maka :
2
1
2
D xy dA
2 y x
!
4) Carilah volume benda pejal yang terletak di bawah paraboloid
2
2 z x y
dan di atas daerah D di bidang-xy yang dibatasi oleh garis
2 y x
serta parabola
!
2
5) Hitunglah
2)
dengan D adalah daerah yang dibatasi oleh garis
1 y x
dan parabola
2
1 y x
2 y x dan
!
dengan
2
2
1 D
y dA x
2
, 1,0 D x y x y x !
3) Hitunglah
2 D
x y dA
dengan D adalah daerah yang dibatasi oleh parabola
2 6 y x
D. Integral Berulang pada Koordinat Polar
Jika f kontinu pada segi empat polar R yang diberikan oleh 0 a r b ,
2
2 x y r
2
Catatan :
h D h f x y dA f r r rdrd
, cos , sin
2 1, , D r h r h maka :
1
Jika f kontinu pada daerah polar berbentuk :
b
R a f x y dA f r r rdrd
, cos , sin
, maka :
2
, dengan
- 2
- cos x r
- tan
-
-
-
-
2
2
4)
!
25 x y
2
2
4 x y dan
2
dengan R adalah daerah di kuadran I yang dibatasi oleh lingkaran
R xy dA
3) Hitunglah
!
4 x y
2
x y dA
1 x y dan
dA
!
4 D r r
4
, ,0 cos 2
dengan
1 D
dengan
5)
!
2 D r r
2
, ,0 2cos
2
2
y x
2
Latihan 3 1)
2 x x
1 cos 1 cos 2
2
2 x x
1 sin 1 cos 2
2
a a f x dx f
0, jika fungsi ganjil
a a a f x dx f x dx f
2 , jika fungsi genap
2
2
2) Hitunglah
dengan R adalah daerah di setengah bidang atas yang dibatasi oleh lingkaran
x y dA
4 R
3
2
!
1 D
1 D r r
, 2 ,0
dengan
x y dA
2 D
TUGAS TERSTRUKTUR 2
MK. KALKULUS 3
Kerjakanlah soal-soal berikut ini dengan teliti!2 2 xy dxdy
1 y 1)
3 2 x y dA
D 2)
D x y , x 2, x y x
dengan !
3)
Hitunglah
2 y x dA
2 x y
D
dengan D adalah daerah yang dibatasi oleh dan
2 x 3 2 y
4)
2 D r r
x y dA
dengan
, ,0 2cos
Hitunglah
, , , B a b c d r s
, maka :
, , , ,
s d b
B r c a f x y z dV f x y z dxdydz
10 D
2
2
2
5
9 R
x y dA
dengan R adalah daerah di setengah bidang atas yang dibatasi oleh lingkaran
5)
2
2
4 x y dan
2
2
9 x y
!
SELAMAT MENGERJAKAN
BAB 2 INTEGRAL LIPAT TIGA A. Teori Fubini untuk Integral Lipat Tiga Jika f kontinu pada kotak
- Untuk :
- Untuk :
2
2
, , , , , , E x y z c y d h y x h y u x y z u x y maka :
2 2 1 1 , ,
, , , ,
h y u x y d E c h y u x y f x y z dV f x y z dzdxdy
Jika f kontinu pada daerah E jenis II sehingga
1
, , , , , , E x y z y z D u y z x u y z maka :
2
2
1
, ,
, , , ,
u y z
E D u y zf x y z dV f x y z dx dA
Jika f kontinu pada daerah E jenis III sehingga
1
2
1
1
Jika f kontinu pada daerah E jenis I sehingga
1
2
, , , , , , E x y z x y D u x y z u x y maka :
2 1, ,
, , , ,
u x y E D u x y f x y z dV f x y z dz dA
1
2
1
2
, , , , , , E x y z a x b g x y g x u x y z u x y maka :
2 2 1 1 , ,
, , , ,
g x u x y b E a g x u x y f x y z dV f x y z dzdydx
, , , , , , E x y z x z D u x z y u x z maka :
2 12 E
2 E
2 3 2 1 0 0 y x
1 0 0 0
6
z x z xz dydxdz
4)
1
5)
x y z dzdydx
! 3)
1 1 1 0 0 x y x
z dzdydx
Koordinat Silinder
2 2 cos , sin
, , cos , sin ,
E h u r r f x y z dV f r r z rdzdrd
3 E x y z x y z
, ,
, , , ,
u x z E D u x z f x y z dV f x y z dy dA
Latihan 4
1)
x yz dV
, , 1, 1 2,0
dengan
, , 2, 3 0, 1
1 E x y z x y z
! 2)
xyz dV
dengan
C. Integral Lipat Tiga dalam Koordinat Silinder dan Koordinat Bola
Catatan : r , , h r h
1
2
- x r cos
- y r sin
- 2
2
2 x y r
- Koordinat Bola
f x y z dV , ,
E d b
2 f sin cos , sin sin , cos sin d d d
c a
Catatan : E , , a b , , c d
- sin cos
x
- sin sin
y
- cos
z
- 2
2
2
2 x y z
- 2
dV sin d d d
- Latihan 5
2 2 2
2 r rdzdrd
0 0 r
1) 2 2 2 4 r
1 rdzdrd
0 0
2) /2 /2 1
2
1 sin d d d
0 0 0 3)
2 /4 cos
2
1 sin d d d
5) 3
2 1
2 0 0 0
sin e d d d
TUGAS TERSTRUKTUR 3 MK. KALKULUS 3 Kerjakanlah soal-soal berikut ini dengan teliti!
2
3 2 b a c x y z dV
3
Maka nilai a = 0, b = 3, dan c = 5.
Catatan : Nilai a, b, dan c diambil dari 3 digit terakhir NPM Anda. Contoh : 20074150035.
5 sin a c d d d
2 0 0 b+2
cos 2 /4
5)
b c b c d d d
3 sin
2 0 0
/2 /2
4)
c r a b c rdzdrd
1
2 2 4
3) 2
xz dydxdz
3 b z c x z a b c
2)
3 E x y z x a y a b z c
, , 2, 2 ,1