a) Kalimat Tertutup - Logika dan Himpunan

A. Logika Matematika

  Definisi

  Logika matematika adalah ilmu untuk berpikir dan menalar dengan menggunakan bahasa serta simbol-simbol matematika dengan benar.

1) Kalimat Matematika

  Definisi

  Kalimat matematika adalah kumpulan kata yang mengungkapkan suatu konsep pikiran dan perkataan.

  a) Kalimat Tertutup Definisi

  Kalimat tertutup adalah suatu kalimat yang dapat dinyatakan nilai kebenarannya, bernilai benar atau salah, dan tidak keduanya. Contoh: Tomy : Siapakah presiden pertama Republik Indonesia? Rizky : Presiden pertama Republik Indonesia adalah Ir. Soekarno. Tomy : Berapakah dua ditambah lima? Rizky : Dua ditambah lima sama dengan tujuh. Tomy : Berapakah enam dikurang satu? Rizky : Enam dikurang satu adalah sepuluh.

  b) Kalimat Terbuka Definisi

  Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya, bernilai benar saja atau salah saja. Variabel atau peubah adalah simbol yang ditulis dengan huruf kecil. Contoh:  Negara Republik Indonesia ibukotanya .  Provinsi terletak di Sulawesi.  Dua ditambah sama dengan delapan.  + 28 = 40  + 4 = 10

2) Kata Penghubung

  Definisi

  Kata penghubung adalah kata-kata yang digunakan untuk menghubungkan kalimat dengan kalimat.

  a) Dan Definisi

  Kata penghubung dan adalah kata yang digunakan untuk menghubungkan kalimat dengan kalimat serta berlaku untuk semuanya. Dinotasikan ' ∧'. Contoh:  Saya sekolah di SMP Negeri 2 Pare dan saya tinggal di kecamatan Pare.

   13 adalah bilangan ganjil dan bilangan prima.

  b) Atau Definisi

  Kata penghubung atau adalah kata yang digunakan untuk menghubungkan kalimat dengan kalimat serta berlaku untuk salah satu. Dinotasikan ' ∨'. Contoh:  Setelah lulus SD, saya akan sekolah di SMP atau MTs.

   Saya berangkat sekolah lewat jalan ke arah utara atau ke arah selatan.

  c) Jika ..., maka ...

  Definisi

  Kata penghubung Jika ..., maka ... adalah kata yang digunakan untuk menghubungkan dan mengandaikan suatu keinginan yang belum terpenuhi, tetapi bermaksud untuk melakukan hal tersebut. Dinotasikan '

  ⇒'. Contoh:  Jika saya berangkat sekolah lewat jalan ke arah utara, maka akan terlambat masuk sekolah.

  d) ... jika dan hanya jika ...

  Definisi

  Kata penghubung ... jika dan hanya jika ... adalah kata yang digunakan untuk menghubungkan dan mengandaikan keinginan yang harus dipenuhi. Dinotasikan '

  ⇔'. Contoh:  = 3, jika dan hanya jika 4 = 12.  = 3 ⇔ 4 = 12.

  B. Himpunan 1) Pengertian Himpunan Definisi Himpunan adalah sekumpulan objek yang dapat dinyatanan dengan jelas.

  Himpunan dinotasikan dalam huruf Kapital, misalnya: , , , dll. Contoh:  Tentukan, apakah pernyataan berikut merupakan himpunan atau bukan himpunan.

  Kumpulan binatang berkaki empat! Jawab: Kumpulan binatang berkaki empat merupakan himpunan karena kita dapat mendefinisikan dengan jelas binatang yang berkaki empat dan binatang yang tidak berkaki empat.  Tentukan, apakah pernyataan berikut merupakan himpunan atau bukan himpunan.

  Kumpulan makanan enak! Jawab: Kumpulan makanan enak bukan merupakan himpunan karena kita tidak dapat mendefinisikan dengan jelas makanan yang enak dan yang tidak enak.

  Makanan yang enak sangat bergantung pada orang yang merasakannya dan tidak sama menurut setiap orang.

  2) Elemen atau Anggota Definisi

  Elemen atau anggota adalah setiap objek yang termasuk dalam sebuah himpunan. Elemen dinotasikan dalam huruf Kecil, misalnya: , , , dll. Contoh:

  = {1,2,3} = 3, ∈ = 4, ∉ Jika termasuk dalam anggota himpunan , maka ditulis ∈ (dibaca merupakan anggota dari himpunan ) Jika tidak termasuk dalam anggota himpunan , maka ditulis ∉ (dibaca bukan anggota dari himpunan )

  Definisi Kardinalitas himpunan adalah banyak anggota suatu himpunan.

  Contoh: = {5,10,15,20} = { , , , , } ● Himpunan memuat 4 anggota, disimbolkan dengan ( ) = 4.

  ● Himpunan memuat 5 anggota, disimbolkan dengan ( ) = 5.

C. Penyajian Himpunan 1) Dengan Kata-kata

  Contoh: Misalkan diketahui himpunan lima bilangan asli yang pertama adalah 12,3,4, dan 5. Jawab:

  = himpunan lima bilangan asli pertama

  2) Dengan Mendaftar

  Contoh: Misalkan diketahui himpunan lima bilangan asli yang pertama adalah 12,3,4, dan 5. Jawab:

  = {1,2,3,4,5}

  3) Dengan Notasi

  Contoh: Misalkan diketahui himpunan lima bilangan asli yang pertama adalah 12,3,4, dan 5. Jawab:

  = { | < 6, ∈ } atau = { | ≤ 5, ∈ }

  4) Diagram Venn Definisi Diagram venn merupakan suatu cara untuk menyajikan suatu himpunan.

  Contoh : = {−2, −1,0,1,2, }

D. Jenis-jenis Himpunan 1) Himpunan Berhingga

  Contoh: adalah himpunan nama-nama hari, dapat ditulis = { , , , , , , }. Pada himpunan P di atas, semua anggota himpunan P sudah didaftar, yaitu senin, selasa, rabu, kamis, jumat, sabtu, dan minggu. Jadi, banyaknya anggota himpunan adalah 7 .

2) Himpunan Tak Hingga

  Contoh: adalah Himpunan bilangan ganjil, dapat ditulis = {1, 3, 5, 7, … } dengan anggotanya

  1, 3, 5, 7, … dan seterusnya. terbesar yang merupakan anggota himpunan. Karena tidak diketahui anggota yang terbesar maka tidak dapat dihitung banyaknya anggota pada himpunan G. Himpunan seperti G disebut himpunan tak hingga.

3) Himpunan Kosong

  Definisi

  Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Himpunan Kosong dinotasikan dengan ∅ { }.

2 Contoh :

  = { : = 9, adalah bilangan genap} Karena tidah ada yang memenuhi

  2 = 9, adalah bilangan genap.

  Jadi adalah himpunan kosong, ditulis = ∅ atau = { }.

4) Himpunan Semesta

  Definisi

  Himpunan Semesta adalah himpunan yang terdiri atas semua himpunan bagian yang dibentuk darinya. Himpunan semesta dinotasikan .

  Contoh : adalah himpunan bilangan bulat atau = {⋯ , −2, −1,0,1,2, ⋯ , }.

E. Relasi Himpunan 1) Himpunan Bagian

  Definisi

  Himpunan dikatakan himpunan bagian dari , jika dan hanya jika setiap anggota juga anggota pada . Dinotasikan ⊂ .

  Contoh : = {1,3,5,7} = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} Jawab:

  Definisi

  Himpunan Kuasa dari himpunan adalah semua himpunan bagian dari A, dilambangkan dengan

  ( ). Banyaknya anggota himpunan kuasa dari himpunan dinotasikan dengan . ( ( )) = 2

  Contoh: Diberikan himpunan = {1,3,5}, carilah himpunan kuasa yang merupakan himpunan bagian dari

  . Jawab: Himpunan-himpunan yang merupakan himpunan bagian dari adalah:

   Himpunan yang banyak anggotanya 0 adalah 1, yaitu: ∅.  Himpunan yang banyak anggotanya 1 adalah 3, yaitu {1}, {3}, {5}  Himpunan yang banyak anggotanya 2 adalah 3, yaitu {1,3}, {1,5}, {3,5}  Himpunan yang banyak anggotanya 3 adalah 1, yaitu {1,3,5} ( ) = {∅, {1}, {3}, {5}, {1,3}, {1,5}, {3,5}, {1,3,5}}.

  3 ( ( )) = 2 = 8.

  3) Kesamaan Dua Himpunan Definisi

  Dua himpunan dan dikatakan sama jika dan hanya jika ⊂ dan ⊂ , dinotasikan dengan = .

  Contoh: Diberikan himpunan = {1,3,5} dan = {3,5,1}, apakah himpunan dan himpunan sama?

  Jawab:  ⊂ ⇔ {1} ⊂ {3,5,1}, {3} ⊂ {3,5,1}, {5} ⊂ {3,5,1}.

   ⊂ ⇔ {3} ⊂ {1,3,5}, {5} ⊂ {1,3,5}, {1} ⊂ {1,3,5}. ⊂ dan ⊂ , jika dan hanya jika =

  4) Himpunan Berpotongan Definisi

  Himpunan dan dikatakan saling berpotongan jika ada anggota himpunan dan yang sama. Dinotasikan ≬ .

  Definisi

  Himpunan dan dikatakan saling lepas jika tidak ada anggota himpunan dan yang sama.

F. Operasi Himpunan 1) Irisan

  Definisi

  Irisan dari himpunan dan adalah himpunan yang terdiri dari himpunan dan himpunan , dinotasikan dengan ∩ = { | ∈ dan ∈ }.

  Contoh: Diberikan himpunan = {1, 2} dan = {2, 3, 4, 5}, carilah ∩ !

  Jawab: Jadi, ∩ = {2}.

2) Gabungan

  Definisi

  Gabungan dari himpunan dan adalah himpunan yang terdiri dari himpunan

  atau himpunan atau semuanya, dinotasikan dengan ∪ = { | ∈ atau ∈ }.

  Contoh: Diberikan himpunan = {1, 2} dan = {2, 3, 4, 5}, carilah ∪ !

  Jawab: Jadi,

  ∪ = {1, 2, 3, 4, 5}

  Definisi

  Komplemen dari adalah himpunan yang tediri atas semua anggota tetapi

  ′

  bukan anggota , dinotasikan atau = { | ∈ ∉ }.

  Contoh: Diberikan himpunan !

  = {1, 2, 3, 4, 5} dan = {1, 2, 3}, carilah Jawab: Jadi, = {4, 5}.

4) Selisih

  Definisi

  Himpunan yang elemennya ada di , tetapi tidak ada di , dinotasikan

  − = { | ∈ ∉ } Contoh: Diberikan himpunan

  = {1, 2} dan = {2, 3, 4, 5}, carilah − ! Jawab: Jadi,

  − = {1}

G. Sifat-sifat Operasi Himpunan 1) Komutatif (Pertukaran)

   ∩ = ∩  ∪ = ∪

  2) Asosiatif (Pengelompokkan)

   ∩ ( ∩ ) = ( ∩ ) ∩  ∪ ( ∪ ) = ( ∪ ) ∪

  3) Himpunan Kosong

   ∩ ∅ = ∅  ∪ ∅ =

   ∩ =  ∪ =

  5) Distributif (Penyebaran)

   ∩ ( ∪ ) = ( ∩ ) ∪ ( ∩ )  ∪ ( ∩ ) = ( ∪ ) ∩ ( ∪ )

  6) Komplemen ′ ′

  ) =  (

  ′

   ∩ = ∅

  ′

   ∪ =

  ′

  =  ∅

  ′

   = ∅

  7) De Morgan

′ ′ ′

  = ∪  ( ∩ )

  

′ ′ ′

  = ∩  ( ∪ )