Fungsi dan Limit Fungsi

  Contoh 5

  Buktikan, jika c lim x c > 0, maka =

  x → c Analisis Pendahuluan

  Akan dicari bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila 0 < ⏐x – c⏐ < δ berlaku

  x − c < ε untuk setiap ε > 0.

  Perhatikan: ( x − + c )( x c )

  =

  x − c

• x c

  x − c

  =

• x c

  x − c

  =

• x c x − c

  ≤

  c

  Dapat dipilih c δ = ε

  Bukti:

  Ambil sembarang ε > 0 dipilih δ = ε c . Oleh karenanya jika 0 < ⏐x – c⏐ < δ maka

  x − c

  ε c berlaku x − c ≤ < < ε. ฀

  c c

2.4 Teorema Limit Teorema 2.4.1

  Misalkan n bilangan bulat positif, k konstanta, serta f dan g fungsi-fungsi yang mempunyai limit di c, maka: 1) lim

  k = k x → c

  2) lim

  x = c x → c

  3) lim kf ( x ) = k lim f ( x )

  x → c x → c

• 4) lim [ f ( x ) g ( x )] = lim f ( x ) lim g ( x )

  x → c x → c x → c

  5) lim [ f ( x ) − g ( x )] = lim f ( x ) − lim g ( x )

  x → c x → c x → c

  6) lim [ f ( x ). g ( x )] = lim f ( x ). lim g ( x )

  x → c x → c x → c

  lim f ( x )

  f ( x ) x → c

  7) lim = , asalkan lim g ( x ) ≠ 0

  x → c g ( x ) lim g ( x ) x → c → x c n n ⎡ ⎤

  8) lim [ f ( x )] lim f ( x )

  = x → c ⎢⎣ x → c ⎥⎦ n

  9) lim f ( x ) lim f ( x ) , asalkan lim ( ) untuk n bilangan genap.

  = n f x >

  x → c x → c x → c Bukti teorema 2.4.1 ini dibiarkan untuk latihan.

  Dengan menggunakan teorema ini maka penentuan nilai limit suatu fungsi akan menjadi lebih mudah.

  Contoh 6

2 Carilah lim x

  5 x →

  3

  2

  2 Penyelesaian : lim x 5 = 5 lim x teorema 2.2.1 3) → 3 →

  3 x x

  

2

⎡ ⎤

  = 5 x teorema 2.2.1 8)

  → ⎢⎣ x lim ⎥⎦

  3

  2

  = 5(3) 2.2.1 2)

  teorema = 45.

  Contoh 7

  2 Carilah lim ( 5 x − 20 ) →

  3 x

  2

  2 Penyelesaian : lim ( 5 x 20 ) = lim 5 x lim 20 teorema 2.2.1 5) − −

  → → → x 3 x 3 x

  3

  45 – = 20 teorema 2.2.1 1) = 25.

  C ontoh 8

  2

  5 x −

  20 Carilah lim

  x → 3 x

  2

  lim

  5

  20

  x −

  2

  5 x −

  20

  x →

  

3

  : lim = 2.2.1 7)

  Penyelesaian teorema x → 3 x lim x x →

  3

  2

  lim 5 x −

  20

  

x →

  3

  = teorema 2.2.1 2) dan 9)

  3

  25 = dari contoh 7.

  3

  5 =

  3

  2 n

• In gat, bentuk f ( x ) = a a x a x ... a x disebut polinom dan hasil bagi

  1 2 n 2 n a a x a x ... a x

  1

  2 n polinom disebut fungsi rasional, .

  2 m

>b b x b x ... b x

  1 2 m Teorema 2.4.2

  1) Jika f fungsi p olinom maka lim f ( x ) = f(c)

  x → c 2) Jika f fungsi rasional maka lim f ( x ) = f(c) asalkan nilai penyebut di c tidak nol. x → c T eorema 2.4.2 ini dapat dibuktikan dengan menggunakan teorema 2.4.1.

  D engan adanya teorma 2.4.2 maka penentuan nilai limit fungsi polinom atau fungsi rasional menjadi sangat mudah, tentunya asalkan syarat perlu pada teorema tersebut untuk fungsi rasional dipenuhi.

  Contoh 9

  4 Tentukan lim 7 x − 10 x − 13 x

• 5

  6 x →

  2

  5

  4

  5

  4 7 x − 10 x − 13 x + Penyelesaian : lim 6 = 7(2) – 10(2) – 13(2) + 6 = 44 x →

2 Contoh 10

  5

  4

  10 x 13 x

• 7 x

  6 − −

  Tentukan lim

  2 x →

  2 3 x − 6 x −

  8

  5

  4

  5

  4

  7

  10

  13

  6

  7 ( 2 ) 10 ( 2 ) 13 ( 2 )

  6

  44

  11

  x − x − x − −

• Penyelesaian : lim = = = − .

  2

  2 x →

  2

  8

  2 −

  3 x − 6 x −

  8

  3 ( 2 ) − 6 ( 2 ) −

  8 Contoh 11

  3

  3

  3

  7

  3

  7

  x x x x + + + +

  Tentukan lim = lim

  2 x → 1 x →

  1 x − 2 x 1 ( x −

• 2

  1 )

  Penyelesaian :

  Teorema 2.4.2 tidak dapat digunakan karena nilai penyebut di x = 1 adalah nol dan teorema 2.4.1 bagian 7) juga tidak dapat dugunakan karena limit penyebut nol. Tetapi, karena limit pembilang 11, maka selama x mendekati 1 terjadi pembagian bilangan yang dekat 11 dengan bilangan positif dekat 0. Hasilnya adalah sebuah bilangan positif yang besar dan dapat dibuat besar sekehendak kita dengan membiarkan x cukup dekat dengan 1. Dalam hal ini dikatakan limitnya tidak ada. Contoh seperti ini akan diuraikan lebih lanjut pada bagian lain.

  Contoh 12 ² + x

  3 x −

  10 Tentukan lim

• →
^{x 2} x x − ²

  6 Penyelesaian : Sebelum mencoba mengambil limitnya terlebih dahulu diadakan penyederhanaan pecahan dengan faktorisasi. ₂

  x

  3 x − + 10 ( x − + 2 )( x 5 ) lim = lim _{x 2 x 2 2}

  → → x x −

• 6 ( x −

  2 )( x 3 )

• x

  5 = lim ^{x 2} +

  → x

  3

  7 =

  5

  Teorema 2.4.3 (Teorema Apit)

  Misalkan f, g dan h adalah fungsi-fungsi dengan f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) untuk setiap x di sekitar c, kecuali mungkin di c. Jika lim f ( x ) = lim h ( x ) = L,

  → → x c x c maka lim g ( x ) = L.

  → x c

  Bukti:

  Diberikan bilangan ε > 0 Karena lim f ( x ) = L, berarti terdapat bilangan δ

  1 > 0 sedemikian hingga x → c

  < ⏐x – c⏐ <

  1 ⇒ ⏐f(x) – L⏐ < δ ε ⇔ L – ε < f(x) < L + ε.

  Karena lim ( ) = L, berarti terdapat bilangan

  h x δ 2 > 0 sedemikian hingga x → c

  < ⏐x – c⏐ < δ

  2 ⇒ ⏐h(x) – L⏐ < ε ⇔ L – ε < h(x) < L + ε

  Dipilih

  1 , 2 }

  δ = min{δ δ Apabila 0 < ⏐x – c⏐ <

  δ maka berlaku

• – L ε < f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) < L + ε

  ⇒ L – ε < g(x) < L + ε

  ⇔ ⏐g(x) – L⏐ < ε Terbukti lim ( ) = L.

  g x x → c

  Contoh 13 ₂ x sin x

  Dapat diselidiki bahwa 1 – ≤ ≤ 1 untuk semua x yang mendekati tetapi 6 x sin x tidak 0. Tunjukkan bahwa lim = 1. _x

  → x

  Penyelesaian : _{2 2} x sin x x

  Misalkan f(x) = 1 – , g(x) = , dan h(x) = 1, maka lim f ( x ) = lim _{x x} 1 − = 1

  → →

  6 x 6 dan = 1, sehingga diperoleh lim h ( x ) _x

  → ₂

x sin x

  lim _{x x x} 1 − ≤ lim ≤ lim

  1

  

→ → →

  6 x sin x ⇔ 1 ≤ lim ≤ 1 _x

  

→

x

  sin x Berdasarkan teorema 2.4.3 maka dapat disimpulkan lim = 1. _x

  → x

  SOAL 2

  3

  1. Untuk fungsi f(x) = 3x + x, hitunglah masing-masing nilai ₁

  a. f(1)

  c. f( ) ₂

  1

  b. f(–6)

  d. f ( )

  x t

  2. Untuk fungsi g(t) = , hitunglah masing-masing nilai ²

• 1 t
₁

  a. f(1)

  c. f( ) ₄

  1

  b. f(9)

  d. f ( ) ₄

  x

  3. Gambarlah grafik fungsi ⎧ ⎧

  − x ² + 4 , x ≤ 1 x − ² 1 , x ≤ ⎪ ⎪

  a. f ( x ) =

  b. g ( x ) = 1 , < x <

  2 ⎨ ⎨ ⎪ ⎪

  1 x 1 , x ≥

• 3 x , x >

  2 ⎩ ⎩

  2

  2

  4. Jika f(x) = x + x dan g(x) = , tentukan:

• x

  3

  a. (f + g)(2) d. (f / g)(1)

  o

  b. (f – g)(2)

  e. (g f)(1)

  o

  c. (f g)(1)

  f. (f g)(1) ₂

  2

  5. Jika f(x) = x −

  1 dan g(x) = , tentukan: x

• g

  Untu l b )

  −

  x x _x

  5 2 ( lim ³ ₁

  1 )

  → x _x

  4 7 ( lim ₃ −

  →

  1

  ) ( lim x F _{c x}

  →

  ) ( lim x G _{c x}

  6.

  5.

  4.

  − →

  )

  Misalkan F dan G adalah fungsi-fungsi sedemikian sehingga 0 ≤ F(x) ≤ G(x) mua x dekat dengan c,

  2 lim ₂ ² ₂ −

  7 lim ₂ ² ₁ − −

  7

  4

  5

  → u u u _u 18.

  −

  4

  2 7 )( 3 4 ( lim ^{3 2} x x x _x + −

  1 17.

  − → x x _x

  3 lim ₃ ⁴ ₂

  8

  24

  1

  →

  12. untuk se kecuali mungkin di c, buktikan bahwa jika = 0 maka = 0. k soal-soa erikut (no. 13 s.d. 20), tentukan nilai limit fungsi berikut 3.

  x f _{c x} → = M, maka L = M.

  − → t t t t _t

  o

  7 3 ( lim ₃ = −

  (x) D or 6 – 10, buktikan lim 2 )

  4

  e. f

  b. (f / g)(x)

  f)(x) alam soal nom it-limit tersebut.

  c. (g

  8 )

  (x)

  4

  g)(x)

  o

  d. (f

  a. (f g)(x)

  → 6. x _x

  4 2 ( lim ₂ − = −

  = L dan ) ( lim

  − +

  x f _{c x} →

  11. Buktikan bahwa jika ) ( lim

  → x _x

  2 2 lim ₂ =

  10.

  → x x x _x 9.

  5 lim ² ₁ = −

  − → 7. x _x 8.

  6

  1

  7

  → x x _x

  25 lim ² ₅ = − −

  5

  10

• −

  9.

  4

  4 ) 6 )(

  2 ( lim ₂ ² ₂

  − − +

  − → w w w w w _w

  1 20.

• −

  1

  2 )

  3 2 )( 1 ( lim ₂ ² ₁

  − + −

  → y y y y y _y

2.5 Limit Kiri dan Limit Kanan

  Definisi

  Limit f(x) untuk x mendekati c dari kiri adalah L, ditulis _{x c} lim f ( x ) = L ₋

  →

  jika untuk setiap bilangan ε > 0 (betapapun kecilnya), terdapat bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila 0 < c – x < f ( x ) − L <

  δ , maka berlaku ε. Limit f(x) untuk x mendekati c dari kanan adalah L, ditulis _{x c +} lim f ( x ) = L

  →

  jika untuk setiap bilangan ε > 0 (betapapun kecilnya), terdapat bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila 0 < x – c < δ , maka berlaku f ( x ) − L < ε.

  Teorema 2.5.1

  lim f ( x ) L jika dan hanya jika lim f ( x ) = lim f ( x ) = L _{x c} = _{− +}

  → x → c x → c Contoh 14

  2 − x , x ≥

  1 ⎧ ⎪ f (x) =

  ⎨ ₂ ⎪ x , x <

  1 ⎩

  Tentukan , , dan lim f ( x ) lim f ( x ) lim f ( x ) , selanjutnya gambarkan grafik _{x 1 x 1 x → + − 1}

  → → fungsi f.

  Penyelesaian: _{2 x}

  lim f ( x ) = lim x = _{1 x → − 1}

  1 → _{x +}

  lim f ( x ) = lim _{1 x} 2 − x =

  1

  → ¹ →

  Karena = lim f ( x ) lim f ( x ) = 1 maka lim f ( x ) = 1. _{x 1 x − + 1 x 1}

  → → →

• ₊ x g _x
• ₊ x g _x
• ₊ x g _x

  10.000 ± 0,001

  x g _x →

  Carilah ₂

  1 lim

  x ^x → jika ada.

  Penyelesaian: x ₂

  1

  x

  ± 1

  1 ± 0,5

  4 ± 0,2

  25 ± 0,1

  100 ± 0,05

  400 ± 0,01

  1.000.000 Untuk menunjukkan jenis perilaku seperti uang ditunjukkan dalam contoh ini kita gunakan notasi

  →

  Semakin x mendekati 0, x

  2

  juga semakin dekat dengan 0, dan nilai ₂

  1

  x

  menjadi sangat besar (lihat tabel di samping). Nampak dari grafik fungsi f(x) = ₂

  1

  x

  yang diperlihatkan pada

gambar 2.4 bahwa nilai f(x) dapat dibuat sangat besar dengan mengambil x cukup dekat ke 0.

  dengan demikian nilai f(x) tidak mendekati suatu bilangan , sehingga ₂

  1 lim

  x ^{x →} tidak ada.

  ) ( lim ₁

  ( lim ₁

  →

  ₋ x g _x →

  3 ₂ x x x x

  ) ( lim ₁

  ₋ x g

_x

→

  ) ( lim ₁

  →

  ) ( lim ₁

  x g _x →

  selanjutnya gambarkan grafik fungsi g Tentukan , , dan , selanjutnya gambarkan grafik fungsi f.

  ) ( lim ₁

  ₋ x g _x →

  ) ( lim ₁

  ) ( lim ₁

  ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ <

  x g _x →

  Penyelesaian:

  ) ( lim ₁

  ₋ x g _x →

  =

  1 lim ² ₁ = → x _x

  ) ( lim ₁

  →

  =

  2 3 lim ₁ = −

  → x _x

  Contoh 15

g (x) = Tentukan , , dan ,

  ≥ − 1 , 1 ,

• ₊ x g _x

  ) Karena ≠ maka tidak ada. ) ( lim ₁

2.6 Limit Tak Hingga Contoh 16

  1 lim = ∞ _{x 2}

  → x

  Hal ini tidak berarti bahwa kita menganggap ∞ sebagai suatu bilangan. Tidak juga bermakna bahwa limit tersebut ada. Notasi tersebut hanyalah menyatakan cara khusus untuk menunjukkan bahwa limit tersebut tidak ada. Secara umum kita tuliskan lim f ( x ) = ∞ _{x → c} untuk menunjukkan nilai f(x) menjadi semakin besar ketika x semakin mendekati c.

  Limit jenis serupa, untuk fungsi yang menjadi negatif tak berhingga ketika x mendekati c dituliskan dengan lim f ( x ) = – ∞ _{x → c}

  Contoh 17

  1 ⎞ lim ⎛− = –

  ∞ _x ⎜ ⎟ ₂

  → x

  ⎝ ⎠ Hal ini juga dapat diberlakukan untuk limit kiri dan limit kanan _{x c x c} lim f ( x ) = ∞ lim f ( x ) = ∞ _{− +}

  → → _{x c x c} lim f ( x ) = – ∞ lim f ( x ) = – ∞ _{+ −} → →

  Sebuah garis x = c disebut asimtot tegak kurfa y = f(x) jika paling sedikit salah satu dari pernyataan berikut benar: lim f ( x ) = lim f ( x ) = lim f ( x ) = _{x c} ∞ ∞ ∞ _{+ −}

  → x → c x → c

  lim f ( x ) = – ∞ lim f ( x ) = – ∞ lim f ( x ) = – ∞ _{x c − +}

  → x c x c → →

  1 Sebagai contoh, sumbu Y atau x = 0 merupakan asimtot tegak kurva y = karena ₂

  x

  1 lim _{x 2} = ∞.

  → x

  Contoh 18

  = – ∞

  = ( ) x

  x _x

  cos sin lim _{2 +}

  → ^π

  = ( )

  ( )

  x x _{x x} cos lim sin lim _{2 2 + +}

  → → _π ^π

  Definisi

  tan lim _{2 +}

  Misalkan f : A → R suatu fungsi, maka

  a. Fungsi f dikatakan kontinu di c ∈ A jika ) ( ) ( lim c f x f _{c x} =

  → b. Fungsi f dikatakan kontinu pada himpunan A jika f kontinu disetiap anggota A.

  Definisi a mengandung arti bahwa f dikatakan kontinu di c ∈ A jika dipenuhi ketiga syarat berikut:

  1) ada ) ( lim x f _{c x}

  →

  2) Nilai f(c) ada 3) ) ( ) ( lim c f x f _{c x} =

  →

  → ^π

  x _x

  Hitunglah ( )

  x _x

  x _x

  tan lim _{2 −}

  → ^π

  dan ( )

  x _x

  tan lim _{2 +}

  → ^π Penyelesaian:

  ( )

  tan lim _{2 −}

  = ∞ ( )

  → ^π

  = ( ) x

  x _x

  cos sin lim _{2 −}

  → ^π

  = ( )

  ( )

  x x _{x x} cos lim sin lim _{2 2 − −}

  → → _π ^π

2.7 Kekontinuan Fungsi

• −
• →

  2 ( lim ₂ −

  x x

  Apakah f kontinu di x = 2? Gambarkan grafik fungsi f.

  Penyelesaian :

  1) = ) ( lim ₂

  x f _x →

  2

  4 lim ² ₂ −

  −

  → x x _x

  =

  2 ) 2 )(

  → x x x _x

  4 ² −

  = ) 2 ( lim ₂

  x _x

  = 4 (ada) 2) f(2) tidak ada 3) Karena f(2) tidak ada, maka f tidak kontinu di x = 2.

  Gambarkan grafik fungsi f diserahkan kepada pembaca.

  3. f(x) = ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧

  = ≠

  − − 2 ,

  2 ,

  4

  2

  4 ²

  x x x x

  −

  2

  Apakah f kontinu di x = 2? Gambarkan grafik fungsi f.

  x f _x →

  Contoh 19

  1. f(x) = ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧

  = ≠

  − − 2 ,

  2 ,

  1

  2

  4 ²

  x x x x

  Apakah f kontinu di x = 2? Gambarkan grafik fungsi f.

  Penyelesaian :

  1) = ) ( lim ₂

  2

  Gambarkan grafik fungsi f diserahkan kepada pembaca. 2. f(x) =

  4 lim ² ₂ −

  −

  → x x _x

  =

  2 ) 2 )(

  2 ( lim ₂ −

  → x x x _x

  = ) 2 ( lim ₂

  x _x

  = 4 (ada) 2) f(2) = 1 (ada) 3) Karena

  ≠ f(2) maka f ) ( lim ₂

  x f _x → tidak kontinu di x = 2.

• −
• →

  Penyelesaian : ₂ x

  − + 4 ( x − 2 )( x 2 ) _{x 2 x 2 x 2 x 2} + 1) = lim f ( x ) lim = lim = lim ( x 2 ) = 4 (ada)

  → → → → x −

  2 x −

  2 2) f(2) = 4 (ada) 3) Karena lim f ( x ) = f(2) maka f kontinu di x = 2. _{x 2}

  → Gambarkan grafik fungsi f diserahkan kepada mahasiswa.

  2 − x , x ≥

  1 ⎧ ⎪

  4. f(x) =

  ⎨ ₂ ⎪ x , x <

  1 ⎩

  Apakah f kontinu di x = 1? Gambarkan grafik fungsi f.

  Penyelesaian: ₂

  1) lim f ( x ) = lim x = _{x 1 → − x 1}

  1 →

• _{+ x} lim f ( x ) = lim _{1 → x}
₁ 2 − x =

  1

  →

  Karena lim f ( x ) = lim f ( x ) = 1 maka lim f ( x ) = 1 (ada) _{x 1 x 1 → + − x 1}

  → → Lihat kembali contoh 14 .

  2) f(1) = 2 – 1 = 1 (ada) 3) Karena lim f ( x ) = f(1), maka f kontinu di x = 1. _{x 1}

  → Gambarkan grafik fungsi f diserahkan kepada mahasiswa.

  3 − x , x ≥

  1 ⎧ ⎪

  5. g(x) =

  ⎨ ₂ ⎪ x , x <

  1 ⎩

  Apakah g kontinu di x = 1? Gambarkan grafik fungsi g.

  Penyelesaian: ₂

  1) lim g ( x ) = lim x = _{x 1 → − x 1}

  1 → _{x +}

  lim g ( x ) = lim _{1 → x 1} 3 − x =

  2

  →

• ₊ x g _x

  o

  g kontinu di c.

  ) Karena ≠ maka tidak ada. ) ( lim ₁

  ₋ x g _x →

  ( lim ₁

  →

  ) ( lim ₁

  x g

_x

→

  (lihat kembali contoh 15) Karena tidak ada, maka g ) ( lim ₁

  x g _x →

  tidak kontinu di x = 1

  Teorema 2.7.1 1. Fungsi polinom (fungsi suku banyak) kontinu pada R.

  2. Jika fungsi-fungsi f dan g keduanya kontinu di c dan k sembarang konstanta maka fungsi f + g, f – g, kf , f /g (asal ) ( lim x g _{c x}

  → ≠ 0) juga kontinu di c.

3. Jika g fungsi yang kontinu di c dan f fungsi kontinu di g(c) maka f

• ₊ x f _x

  ₋ x f _x →

• ₊ x f _x

  t t t t

  8 ³

  2

  12

  2 ,

  − − 2 ,

  = ≠

  a. h(t) = ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧

  2. Apakah fungsi-fungsi berikut kontinu di 2?

  →

  ) ( lim ₁

  →

  ) ( lim ₁

  SOAL 2

  , , , dan ) ( lim

  ₋ x f _x →

  ) ( lim

  x x x x x x x f

  ) ( ²

  2 1 , ,

  < = 1 ,

  , ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧

  →0 lim c.

  x x _{x −} → lim b. x x _{x +}

  1. Tentukan limit (sepihak) berikut: a.

  > − ≤ ≤

• 2 , 2 ,
• − 2 , 2 ,

  ≤ −

  a. Apakah g kontinu di 0?

  1 , 1 , , ) ( ² x x x x x x x g

  > ≤ ≤ − < =

  ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧

  b. Apakah f kontinu di 1? 4.

  a. Apakah f kontinu di 0?

  x x x x x x

  , ₂

  < 1 , 2 1 ,

  > − ≤ ≤

  3. f(x) = ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧

  3 x x x

  4

  2

  ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ >

  b. h(t) = ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧

  d. f(x) =

  3 ₂ x x x x

  1

  <

  ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥

  c. g(x) =

  t t t t

  4

  8

  2

  2

  2 ,

  − − 2 ,

  = ≠

  b. Apakah g kontinu di 1?