Untuk SMA dan Sederajat

TRIGONOMETRI
Untuk SMA dan Sederajat

Husein Tampomas

Penerbit …
0 | Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018

BAB 1
PENGANTAR KE FUNGSI TRIGONOMETRI
PENGERTIAN
Dalam bahasa Yunani, trigonometri terdiri dari dua kata, yaitu trigono yang artinya
segitiga dan metro yang artinya ukuran.
Trigonometri adalah ilmu yang mempelajari hubungan antara sisi dan sudut dari
segitiga.

1.

PENAMAAN SISI DAN SUDUT PADA SEGITIGA
A
c

Gambar 1

b
a

B

C

Dalam geometri dasar, segitiga ABC dinotasikan ABC mempunyai unsur-unsur
yang meliputi sisi dan sudut. Penamaan sisinya adalah sisi BC  a (di depan A ),
sisi AC  b (di depan B ) , dan sisi AB  c (di depan C ). Tetapi kadangkadang sisi-sisi suatu segitiga dapat dinotasikan dengan huruf kecil lainnya seperti
x, y, z, h, dan sebagainya.
Sudut ABC dinotasikan ABC biasa juga menggunakan nama titik sudutnya B .
Tetapi kadang-kadang hanya menggunakan huruf kapital dari titik sudutnya,
misalnya A, B, P, W, X, dan sebagainya atau huruf kecil, misalnya p, t, x, y, z, dan
sebagainya. Penamaan sudut tersebut juga kerapkali menggunakan huruf kapital
BAC  A  A   ,
atau

kecil
dari
alphabet
Yunani,
misalnya
ABC  B  B   , dan ACB  C  C   .
Tabel 1 Alphabet Yunani
Huruf

Nama

Huruf

Nama

Huruf

1 | Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018

Nama

2.

PENGUKURAN SUDUT
Ukuran sudut yang dipergunakan di sini adalah derajat dan radian.
a. Ukuran Sudut dalam Derajat
Definisi:
1
putaran
1 
360
O adalah pusat lingkaran
r adalah jari-jari lingkaran
OA = OB = r
1
putaran
360
Sehingga, 1putaran  360
AOB = 1° =

O



r
r

A
B

1

Gambar 2

Ukuran sudut yang lebih kecil (halus) adalah menit dan detik.
1  60' (menit)
1'  60" (detik)
1  3.600"
Contoh 1:
Nyatakan dalam ukuran derajat, menit, dan detik dari 65,37 .

Solusi:

65,38  63  0,38  63  0,38  60'  63  22,8'  63  22 ' 0,8'
 63  22' 0,8  60"  63  22' 48"
Jadi, 63,38  6322'48" .

Contoh 2:
Nyatakan dalam ukuran derajat dari 12648'54" .
Solusi:
1  
1 

  126  0,8  0, 015  126,815
12648'54"  126   48      54 
60  
3600 


Contoh 3:
Diberikan   56,18 . Nyatakan dalam derajat, menit, dan detik dari 4 dan

Solusi:
4  4  56,18  224, 72  224  0, 72  224  0, 72  60'  224  43, 2'
 224  43' 0, 2'  224  43' 0, 2  60"  224  43' 12"
Jadi, 4  22443'12"
7
7
   56,18  49,1575  49  0,1575  49  0,1575  60'  49  9, 45'
8
8
 49  9' 0, 45  60"  49  9' 27"

2 | Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018

7
.
8

Jadi,

7

  499'27"
8

Contoh 4:
Diberikan   4348'27" . Nyatakan dalam derajat dari 6 dan

5
.
18

Solusi:
6  6  4348'27"  258288'162"  258288'  2  60  42  "  258288'2'42"
 258290'42"  258  4  60  50  '42"  258450'42"  26250'42"
Jadi, 6  26250'42" .
8   240 
5
5
5
5
5


' 15"
   4348'27"   43   48'  27"   23     
9   9 
9
9
9
9
9

8
 240 
 720 
 23   60 ' 
 ' 15'  23   9  ' 15"  23  80' 15"
9
 9 



 23  1  20' 15"  24  20' 15"

Jadi,

5
  2420'15"
9

b. Ukuran Sudut dalam Radian
Definisi:
Satu radian ditulis 1 rad, adalah besar sudut yang dihasilkan oleh perputaran
sebesar jari-jari lingkaran.
A
O adalah pusat lingkaran
r adalah jari-jari lingkaran
Busur AB = OA = OB = r

r
Gambar 3

180° 180
AOB = 1rad =

 57,3
π
3,14

c. Konversi Ukuran Putaran, Derajat, dan Radian






Konversi dari ukuran radian ke derajat:
180
1rad 
π
Konversi dari ukuran derajat ke radian:
π

rad
1 
180
Konversi ukuran derajat ke putaran:
1 



1
putaran
360

Konversi ukuran putaran ke derajat:

1putaran  360

3 | Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018

O



r
1 rad
B
r



Konversi ukuran radian ke putaran:
1rad 



1
putaran
2

Konversi ukuran putaran ke radian:

1putaran  2 rad

dengan   3,14159...
Catatan:
Perhatikan bahwa  dan
  3,14159...

22
7

adalah dua bilangan yang berbeda, karena

bilangan irrasional dan

rasional. Kedua bilangan  dan



22
 3,142857143...
7

bilangan

22
sama senilai pada nilai 3,14.
7

Contoh 5:
Tentukan dalam ukuran derajat dari
a.

1
putaran
12

b.

5
putaran
18

3
4

c. 2 putaran

d. n putaran

Solusi:
1
1
putaran   360  30
12
12
5
5
b. putaran   360  100
18
18

a.

3
4

c. 2 putaran 

d. n putaran  n  360

Contoh 6:
Tentukan dalam ukuran putaran dari
a. 60
b. 150
c. 270
Solusi:
1
1
putaran  putaran
360
6
1
5
b. 150  150 
putaran  putaran
360
12

a. 60  60 

11
 360  990
4

d. n

1
3
putaran  putaran
360
4
1
n
d. n  n 
putaran 
putaran
360
360

c. 270  270 

Contoh 7:
Tentukan setiap sudut berikut ini dalam radian.
a.

2
putaran
3

b.

3
putaran
5

1
4

c. 1 putaran

d. n putaran

Solusi:

2
2
4
putaran   2 rad 
rad
3
3
3
3
3
6
b. putaran   2 rad 
rad
5
5
3

a.

1
4

5
4

c. 1 putaran   2 rad 

5
rad
2

d. n putaran  n  2 rad  2 n rad

Contoh 8:
4 | Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018

Tentukan setiap sudut berikut ini dalam putaran.
a. 3 rad

b.

4
5

3
 rad
4

c. 1  rad

d. n rad

Solusi:
1
3
4
9
1
9
c. 1  rad    putaran  putaran
putaran  putaran
2
2
5
5
2
10
n
3
3
1
3
1
b.  rad    putaran  putaran d. n rad  n  putaran  putaran
4
4
2
8
2
2

a. 3 rad  3 

Contoh 9:
Tentukan setiap sudut berikut ini dalam derajat.
a. 2 rad

b.

3
 rad
4

c. 1

5
 rad
12

d. n rad

Solusi:
a. 2, 7 rad  2, 7 
b.

180°
180
 2, 7 
 154,8
π
3,14

3
3
180°
 rad   
 135
4
4
π

5
17
180°
 rad   
 255
12
12
π
180°
d. nrad = n 

c. 1



Contoh 10:
Tentukan setiap sudut berikut ini dalam  (radian).
a. 45
b. 210
c. 300
d. n
Solusi:



5
c. 300  300 
a. 45  45 
 rad

rad
180

b. 210  210 


180

4



180

7
rad
6

d. n  n 


180



3

n
rad
180

Contoh 11:
Jika jika   3,14 , tentukan setiap sudut berikut ini dalam radian.
a. 145
b. 7254'
c. 3836'45"
Solusi:

3,14

a. 145  145 

180

 145 

b. 7254'  72,9  72,9 

180


180

 2,53rad

 72,9 

c. 3836'45"  38,6125  38,6125 

3,14
 0,13rad
180


180

 38,6125 

3,14
 0,67 rad
180

SOAL-SOAL LATIHAN 1
Selesaikanlah setiap soal berikut ini.
1.

Nyatakan dalam ukuran derajat, menit, dan detik dari

5 | Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018

2.
3.

a. 0, 49
b. 8,51
c. 54, 28
d. 108,355
Nyatakan dalam ukuran derajat dari
a. 930'
b. 72836"
c. 2536'54"
d. 4812'45"
Jika   15,36 , nyatakan dalam derajat, menit, dan detik dari
a. 2

4.

7.

1
putaran
9

5
putaran
12

2
 rad
9

b.

1

5

4

3

c.

d. 2

8

15

b.

7
putaran
12

c.

7
putaran
2

b.

3
putaran
2

1
6

c. 2 putaran

d. 2 1 putaran
18

d. 315
d. 1,6putaran

b. 0,6 rad

c. 1

7
 rad
12

d. 2

5
rad
18

d. 4

35
 rad
36

Tentukan setiap sudut berikut ini dalam derajat.
a. 0,54rad

b. 3,84rad

c.

11
 rad
18

10. Tentukan setiap sudut berikut ini dalam  (radian).
a. 50
b. 135
c. 255

3.

5
8

d. 2 

Tentukan setiap sudut berikut ini dalam putaran.
a.

9.

3

2

Tentukan dalam ukuran putaran dari
b. 120
c. 240
a. 75
Tentukan setiap sudut berikut ini dalam radian.
a.

8.

c.

Tentukan dalam ukuran derajat dari
a.

6.

1

4

Jika   6518'30" , nyatakan dalam derajat dari
a. 4

5.

b.

d. 330

PENERAPAN PADA LINGKARAN
Pada lingkaran yang berpusat di O berjari-jari r dan diameternya d  2r , dengan
AOB   dan COD masing-masing adalah sudut pusat.
1. Keliling lingkaran: K  2 r atau K   d
A

2. Luas lingkaran: L   r 2 atau L  d 2
4
r
D
r
3.  Sudut pusat dalam derajat:
O 

B

r
Panjang busur AB: PB 
 2 r atau
360
r

Panjang busur AB: PB 
 d
360
C
 Sudut dalam radian:
Gambar 4

Panjang busur AB: PB 
 2 r   r atau
2
1
2

Panjang busur AB: PB   d
6 | Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018

4.  Sudut dalam derajat:
Luas juring AOB: LJ 
Luas juring AOB: LJ 


360


360

  r 2 atau



4

d2

 Sudut dalam radian:
Luas juring AOB: LJ 
Luas juring AOB: LJ 


 r2
atau
 r2 
2
2
 1 2 d2
2

 d 
4
8

5. Hubungan Panjang Busur, Sudut Pusat, dan Luas Juring (sector)
Dalam suatu lingkaran, panjang busur sebanding dengan sudut pusatnya dan
juga sebanding dengan luas juringnya.
Panjangbusur AB Besar AOB Luasjuring AOB


Panjangbusur CD Besar COD Luasjuring COD

Contoh 12:
Suatu lingkaran berjari-jari 12 cm. Hitunglah
a. diameter lingkaran.
b. keliling lingkaran.
c. luas lingkaran.
d. panjang busur lingkaran dihadapan sudut pusat 60 .

e. luas juring lingkaran dihadapan sudut pusat .
3

Solusi:
a. Jari-jari lingkaran r  12 cm
Diameter lingkaran: d  2r  2 12cm  24cm
b. Keliling lingkaran: K  2 r  2  3,14 12  75,36cm atau
K   d  3,14  24  75,36cm
c. Luas lingkaran: L   r 2  3,14 122  452,16cm2 atau
 2 3,14
2
2
L

4

d 

4

 24  452,16cm

d. Panjang busur lingkaran dihadapan sudut pusat 60 :


PB 


360

 2 r

60

60
 d 
 2  3,14 12  12,56cm atau PB 
 3,14  24  12,56cm
360
360
360

e. Luas juring lingkaran dihadapan sudut pusat
LJ 

r2
2


 3

122
2




6

122 


3

: Luas juring AOB:

3,14
144  75,36cm 2 atau
6

7 | Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018

LJ 

d2
8


 3

 242
8



  242
24



3,14  576
 75,36cm2
24

Contoh 13:
Perhatikan gambar 5. Titik O adalah pusat lingkaran,

4
dan COD 
. Jika luas juring AOB adalah
AD adalah diameter, AOB 
5

9

70,65 cm2. Tentukan luas juring COD, jari-jari, luas lingkaran, dan jumlah
panjang busur AB dan CD.
B
A

5

C
Gambar 5

4
9

O

D
Solusi:



Luasjuring AOB Besar AOB

Luasjuring COD Besar COD

COD
 Luasjuring AOB
AOB
4
20
Luas juring COD  9  70, 65 
 70, 65  157 cm 2

9
5
 2
r
 Luasjuring COD  5  70, 65
2
Luasjuring COD 

 r2
10
r2 

 70, 65
70, 65 10
 225
3,14

r  15cm
Jadi, jari-jari lingkaran adalah 15 cm.



Luas Juring AOB AOB

LuasLingkaran
2
LuasLingkaran 

2
2
 70,56  705, 6 cm 2
 LuasJuring AOB 

AOB
5

Kita juga boleh mengerjakannya sebagai berikut.
Luaslingkaran   r 2  3,14  152  706, 5 cm 2

8 | Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018



3,14
15  9, 42cm
5
5
4
4  3,14
Panjang busur CD:   r 
15 
15  20,93cm
9
9

 Panjang busur AB:   r 

15 

Kita dapat juga mengerjakannya sebagai berikut.
Panjangbusur AB Besar AOB

Panjangbusur CD Besar COD
4
20
COD
Panjang busurCD 
 Panjangbusur AB  9  9, 42 
 9, 42  20,93cm

9
AOB
5

Jadi, jumlah panjang busur AB dan CD = 9,42 cm + 20,93 cm = 30,35 cm.
Contoh 14:
Juring OAB dari suatu lingkaran yang berpusat di O mempunyai keliling 16.
Tentukan jari-jari lingkaran agar luas juring tersebut maksimum. Berapakah besar
sudut pusat AOB?
Solusi:
Misalnya r adalah jari-jari,  adalah sudut pusat dalam radian, sehingga
Keliling juring AOB  r  r   r   2    r  16

Keliling juring AOB  OA  OB  panjang busur AB  r  r   r  16

 r  16  2r


A

16
 2 …. (1)
r

Luas juring AOB 

r
 r2
2

Gambar 6

…. (2)

O



Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
 16
 2
 r  2 r
  8r  r 2   r 2  8r  16  r  4 2
Luas juring AOB  
 
2





Karenanya agar luas juring tersebut maksimum, maka r  4 dan   2 .

SOAL-SOAL LATIHAN 2
Selesaikanlah setiap soal berikut ini.
1. Suatu lingkaran berjari-jari 15 cm. Hitunglah
a. diameter lingkaran.
b. keliling lingkaran.
c. luas lingkaran.
d. panjang busur lingkaran dihadapan sudut pusat 150 .
e. luas juring lingkaran dihadapan sudut pusat

5
.
4

9 | Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018

r

B

2. Titik O adalah pusat lingkaran, AD adalah diameter, AOB 
BOC 


4


3

dan

. Jika luas juring AOB adalah 54 cm2. Tentukan

a. luas juring COD.
d. luas lingkaran.
b. luas juring BOC.
e. keliling lingkaran.
c. jari-jari lingkaran.
f. jumlah panjang busur AB dan CD.
3. Pada lingkaran yang berpusat di O terdapat juring AOB, dengan AOB  60
dan BC  OA , sehingga luas daerah yang diarsir adalah

96  72 3  cm .
2

Tentukan diameter dari lingkaran tersebut.
B

Gambar 7
O

60

A
C
4. Juring OPQ dari suatu lingkaran yang berpusat di O mempunyai keliling 20.
Tentukan jari-jari lingkaran agar luas juring tersebut maksimum. Berapakah
besar sudut pusat POQ?

4.

JENIS-JENIS SUDUT
Sekilas kita mengingat kembali pada pelajaran geometri dasar tentang definisi
sudut lancip, sudut siku-siku, sudut tumpul, dan sudut lurus.
Definisi:
a. Sudut lancip adalah sudut yang besarnya antara 0°dan90 . (Gambar 8 (a))
b. Sudut siku-siku adalah sudut yang besarnya 90 . (Gambar 8 (b))
c. Sudut tumpul adalah sudut yang besarnya antara 90°dan180 . (Gambar 8 (c))
d. udut lurus adalah sudut yang besarnya 180 . (Gambar 8 (d))

(a) Sudut lancip

(b) Sudut siku-siku

(c) Sudut tumpul

(d) Sudut lurus

Gambar 8

Contoh 15:
Diberikan tiga buah sudut x, y, dan z. Jika x  y  z  180 dan x : y : z  1: 5 : 6 .
Tentukan jenis-jenis sudut tersebut.
Solusi:
Misalnya x  k , y  5k , dan z  6k , sehingga
x  y  z  180

10 | Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018

k  5k  6k  180
12k  180
180
k
 15
12
 x  15, y  75, dan z  90

Jadi, x dan y adalah sudut lancip dan z adalah sudut siku-siku.

SOAL-SOAL LATIHAN 3
Selesaikanlah setiap soal berikut ini.
1. Jika a, b, dan c adalah tiga buah sudut, dengan 2a  b  c  180 dan
a : b : c  5 : 9 :1 . Tentukan jenis-jenis sudut tersebut.
3

, 2 x  y  , dan
2. Jika x, y, dan z adalah tiga buah sudut, dengan x  y  z 
2

3

x : z  3: 2 . Tentukan jenis-jenis sudut tersebut.

3. Jika p, q, dan r adalah tiga buah sudut, dengan p  q 
pr 

5.

5
7
, qr 
, dan
3
3

3
. Tentukan jenis-jenis sudut tersebut.
2

JENIS-JENIS PASANGAN SUDUT
Jenis-jenis pasangan sudut meliputi sudut komplemen (sudut yang berpenyiku),
sudut suplemen (sudut yang berpelurus), dan sudut kojugat.
Definisi:
a. Sudut komplemen (sudut yang berpenyiku) adalah dua sudut lancip yang
jumlahnya 90 . Dengan perkataan lain, andaikan 0   ,   90 maka sudut
 dan  saling berkomplemen jika     90 . Kita mengatakan bahwa sudut
 adalah penyiku sudut  dan sebaliknya sudut  adalah penyiku sudut  .
b. Sudut suplemen (sudut yang berpelurus) adalah dua sudut antara 0 dan 90 yang
jumlahnya 180 . Dengan perkataan lain, andaikan 0   ,   180 maka sudut
 dan  saling bersuplemen jika     180 .Kita mengatakan bahwa sudut 
adalah pelurus sudut  dan sebaliknya sudut  adalah pelurus sudut  .
c. Sudut konjugat adalah dua sudut antara 0 dan 360 yang jumlahnya 360 .
Dengan perkataan lain, andaikan 0   ,   360 maka sudut  dan  saling
berkonjugat jika     360 .





(a) Sudut Komplemen
    90







(b) Sudut Suplemen
    180
Gambar 9


(c) Sudut Konjugat
    360

11 | Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018

Contoh 16:
Diketahui sudut-sudut   x  20 dan   3x  10 . Jika sudut-sudut  dan  saling
berkomplemen, tentukan nilai x.
Solusi:
Jika sudut-sudut  dan  saling berkomplemen, maka haruslah
    90
x  20  3x 10  90
4x  80
x  20
Contoh 17:
Diketahui sudut-sudut   70  x dan   6 x  40 . Jika sudut-sudut  dan 
saling berpelurus, tentukan nilai x.
Solusi:
Jika sudut-sudut  dan  saling berpelurus, maka haruslah
    180
70  x  6x  40  180
5x  150
x  30

SOAL-SOAL LATIHAN 4
Selesaikanlah setiap soal berikut ini.
1. Diketahui sudut-sudut   2x  40 dan   3x  20 . Jika sudut-sudut  dan 
saling berpelurus, tentukan nilai x,  , dan  .


2. Diketahui sudut-sudut   x  dan   5 x  . Jika sudut-sudut  dan 
4

15

saling berkomplemen, tentukan nilai x,  , dan  .
3. Dua buah sudut saling berkomplemen. Selisih dua kali sudut dan sudut kedua
adalah pertama 90 . Tentukan kedua sudut tersebut.

6.

JENIS-JENIS SEGITIGA
Pada pelajaran geometri dasar telah didefinisikan bahwa: “Jumlah sudut-sudut
pada suatu segitiga adalah 180 .” Di samping itu telah dikemukakan pula tentang
jenis-jenis segitiga yang ditinjau dari sudut-sudutnya, jenis-jenis segitiga ditinjau
dari panjang sisi-sisinya, serta jenis-jenis segitiga ditinjau dari besar sudut dan
panjang sisinya.
1.

Jenis-jenis Segitiga Ditinjau dari Sudut-sudutnya
Ada 3 jenis segitiga ditinjau dari sudut-sudutnya, yaitu segitiga lancip (acute
triangle), segitiga siku-siku (right triangle), dan segitiga tumpul (obtuse
triangle).

12 | Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018

a. Segitiga Lancip (Acute Triangle)
Segitiga lancip adalah segitiga yang besar setiap sudutnya lancip atau besar
setiap sudutnya berkisar antara 0 dan 90 (acute angle).
Pada gambar 10: ABC adalah segitiga lancip, 0  A, B, C  90
A
Gambar 10
B

C

b. Segitiga Siku-siku (Right Triangle)
Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya siku-siku atau
besar sudutnya 90 (right angle)
Pada gambar 11: ABC adalah segitiga siku-siku, C  90 ( C siku-siku)
A
Gambar 11
C

B

c. Segitiga Tumpul (Obtuse Triangle)
Segitiga tumpul adalah segitiga yang salah satu sudutnya merupakan sudut
tumpul atau besar sudutnya berkisar antara 90 dan180 (obtuse angle).
Pada gambar 12: ABC adalah segitiga tumpul, 0  A, B  90 dan
90  C  180 ( B tumpul).
A

Gambar 12
C
2.

B

Jenis-jenis Segitiga Ditinjau dari Panjang Sisi-sisinya
Ada 3 jenis segitiga ditinjau dari panjang sisi-sisinya, yaitu segitiga sembarang
(scalene), segitiga sama kaki (isosceles), segitiga sama sisi (equilateral).
a. Segitiga Sembarang (Scalene)
Segitiga sembarang adalah segitiga yang besar ketiga sudutnya berbeda
dan juga ketiga panjang sisinya berbeda.

13 | Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018

Pada gambar 13: ABC adalah segitiga sembarang, A  B  C dan
BC  AC  AB .
A
Gambar 13
B

C

b. Segitiga Sama Sisi (Equilateral)
Segitiga sama sisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sama panjang.
Pada gambar 14: ABC adalah segitiga sama sisi, A  B  C dan
BC  AC  AB .
Karena ABC adalah segitiga sama sisi, maka A  B  C  180 : 3  60
A

Gambar 14

C

B
c. Segitiga Sama Kaki (Isosceles)

Segitiga sama kaki adalah segitiga yang mempunyai dua sisi sama panjang.
Pada gambar 15: ABC adalah segitiga sama kaki, AB  AC .
Karena ABC adalah segitiga sama kaki, dengan AB  AC , maka
B  C 

180  A
.
2

A

Gambar 15

B

C

3. Jenis-jenis Segitiga Ditinjau dari besar sudut dan Panjang Sisinya
Ada 7 macam jenis-jenis segitiga ditinjau dari besar sudut dan panjang sisinya.
a. Segitiga Sembarang
Ada 3 jenis segitiga sembarang, yaitu segitiga lancip sembarang, segitiga
siku-siku sembarang, dan segitiga tumpul sembarang.
14 | Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018

A

A

B

C

C

B

(a)  ABC Lancip
Sembarang

(b)  ABC Siku-siku
Sembarang

A

C

B

(c)  ABC Tumpul
Sembarang

Gambar 16
b. Segitiga Sama Kaki
Ada 3 segitiga sama kaki, yaitu segitiga lancip sama kaki, segitiga sikusiku sama kaki, dan segitiga tumpul sama kaki.
A
A
A

B

(a)  ABC Lancip Sama
Kaki, Kaki AB  AC
dan B  C

C

B

C

(b) ABC Siku-siku Sama

AC  BC ,
A  B dan C  90

Kaki, Kaki

C

B

(c) ABC Tumpul Sama Kaki,
Kaki AC  BC ,
dan C tumpul

A  B

Gambar 17
c. Segitiga Sama Sisi
Segitiga sama sisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sama panjang.
Segitiga sama sisi dapat dilihat gambar Gambar 14.
3.

Jenis-jenis Segitiga Istimewa
Segitiga istimewa atau khusus adalah segitiga yang mempunyai sifat-sifat
istimewa atau khusus, yang berkaitan dengan panjang sisi-sisinya maupun
besar sudut-sudutnya. Adapun yang tergolong ke dalam jenis-jenis segitiga
istimewa tersebut adalah segitiga sama sisi (Gambar 14), segitiga sama kaki
(Gambar 15), dan segitiga siku-siku (Gambar 16 (b)).

Contoh 18:
Diketahui ABC dengan sudut-sudut A, B, dan C berbanding sebagai 2 : 7 : 9 .
Tentukan sudut-sudut segitiga dan jenis segitiga tersebut.
Solusi:
Misalnya sudut-sudut A  2k , B  7k ,dan C  9k .
Dalam ABC berlaku bahwa jumlah sudut-sudutnya adalah 180 .
15 | Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018

A  B  C  180
2k  7k  9k  180
18k  180
x  10
A  20, B  70,dan C  90

Jadi, jenis ABC adalah segitiga siku-siku.
Contoh 19:
Diketahui ABC dengan sudut-sudutnya adalah A  x  20 , B  7 x 10 , dan
C  110  5x . Tentukan jenis segitiga tersebut.
Solusi:
A  B  C  180
x  20  7 x 10  110  5x  180
3x  60
x  20
A  x  20  20  20  40
B  7 x 10  140 10  130
C  110 100  10
Jadi, jenis ABC adalah segitiga tumpul.

SOAL-SOAL LATIHAN 5
Selesaikanlah setiap soal berikut ini.
1. Diketahui ABC dengan sudut-sudutnya berbanding sebagai 1: 2 : 6 . Tentukan
besar sudut-sudut segitiga dan jenis segi tiga tersebut.
2. Tentukan besar sudut-sudut dan jenis PQR yang sudut-sudutnya adalah
P  x  50 , Q  5x  30 , dan R  120  2x .
3. Tentukan jenis segitiga yang sudut-sudutnya berbanding sebagai 1: 2 : 3 .

7.

TEOREMA PYTHAGORAS
Pada segitiga siku-siku, sisi yang terletak di depan sudut siku-siku disebut adalah
hipotenusa (hypotenuse) atau sisi miring dan sisi-sisi yang lainnya disebut kakikaki atau sisi-sisi siku-siku. Hipotenusa selalu lebih panjang dari sisi sikusikunya. Pada gambar 14 ditunjukkan ABC dengan sudut siku-siku C , sehingga
hipotenusanya adalah segmen garis AB yang panjangnya c, dan sisi-sisi
AC dan BC adalah kaki-kakinya atau sisi siku-sikunya yang panjangnya masingmasing a dan b.
A
c

b

Gambar 18
B

a

C

16 | Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018

Hubungan sisi-sisi pada segitiga siku-siku dapat ditentukan menggunakan
Teorema Pythagoras yang dirumuskan sebagai berikut.
“Kuadrat panjang hipotenusa dari segitiga siku-siku sama dengan jumlah
kuadrat panjang sisi siku-sikunya”
Kita dapat menuliskan teorema Pythagoras dari gambar 14:
AB 2  BC 2  AC 2
c2  a 2  b2

Bukti:
Tarik garis tinggi CD.
Misalnya AD  x , sehingga BD  c  x .
Perhatikan ADC dan ACB

D

x

cx

CAD  BAC


  akibatnya ACD  ABC
CDA  BCA  90

 ADC  ACB
Sehingga

B

A
b
C

a
Gambar 19

AC AB

AD AC
b c

x b
cx  b 2 …. (1)
Perhatikan BDC dan BCA
CBD  CBA 
  akibatnya BAC  BCD
BDC  BCA  90

 BDC  BCA
Sehingga
BC BA

BD BC
a
c

cx a
c 2  cx  a 2 …. (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
c2  b2  a 2

c 2  a 2  b 2 (QED)

Contoh 20:
Diketahui ABC siku-siku di A, dengan BC  15cm dan AC  8cm . Tentukan
panjang sisi AB.
A
Solusi:
Menurut Pythagoras:
c
Gambar 20
b=8
AB 2  BC 2  AC 2
AB 2  152  82  225  64  289

AB  289  17 cm

B

a = 15

17 | Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018

C

Contoh 21:
Diketahui ABC dengan BC  13cm , AC  14cm , dan AC  15cm . CD adalah
garis tinggi yang ditarik dari titik C ke sisi AB. Tentukan panjang CD.
Solusi:
C
Misalnya BD  x , sehingga AD  15  x .
Menurut Pythagoras dalam BCD :
b = 14
Gambar 21
a = 13
CD 2  BC 2  BD 2
CD 2  132  x 2  169  x 2 …. (1)

Menurut Pythagoras dalam ACD .

A 15  x D x B
15
2
CD 2  142  15  x   196  225  30 x  x 2  29  30 x  x 2 …. (2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
CD 2  AC 2  AD 2

169  x 2  29  30 x  x 2

30x  198
x

33
5
2

1089 3136
 33 
CD 2  169     169 

5
25
25
 

CD 

3136 56

 11, 2 cm
25
5

Contoh 22:
Selembar kertas berbentuk persegi panjang yang berukuran panjang 8 cm dan
lebar 6 cm dilipat dengan cara menghubungkan titik B dan D sepanjang garis
lipatan EF. Tentukan EF.
F
D
C

Gambar 22

kertas

A

B

E

Solusi:
Kertas dilipat dengan cara menghimpitkan
titik B pada titik D, sehingga titik C
menjadi C dan BCF  DC ' F
Misalnya G adalah titik tengah BD.
Perhatikan DGF dan BGF .

C

D=B

6

Gambar 23 A

arah lipatan
kertas

F

C

8x

B

G
x

E

18 | Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018

BF  DF 

BG  DG   DGF  BGF (S- S- S)
FG  FG 

AG  CG



GCF  GAE  GCF  GAE (S- Sd- Sd)
GFC  GEA 

BE  AB  AE  CD  CF  DF
segi empat BEDF adalah belah ketupat
Menurut Pythagoras dalam ABD :
BD 2  AD 2  AB 2  62  82  100

BD  100  10
10
DG 
5
2

Misalnya AE  CF  x , sehingga BE  BF  DF  AD  8  x
Menurut Pythagoras dalam ABE :
DE 2  AD2  AE 2

 8  x 2  62  x 2
64  16 x  x 2  36  x 2

16x  64  36  28
28 7
x

16 4
DE  8  x  8 

7 25

4 4

Menurut Pythagoras dalam DEG :
2

625
225
 25 
EG 2  DE 2  DG 2     52 
 25 
16
16
 4 
EG 

225 15

16
4

 EF  2  EG  2 

8.

15 15
1

 7 cm
4
2
2

TRIPEL PYTHAGORAS
Perhatikan pasangan bilangan  3, 4,5  . Bilangan ini memenuhi hubungan
32  42  52 . Demikian pula pasangan bilangan

 8,15,17  juga memenuhi

hubungan 202  212  292 . Pasangan-pasangan bilangan ini disebut Tripel
Pythagoras. Karenanya, dikatakan bahwa Triple Pythagoras adalah tripel bilangan
bulat positif a, b, dan c yang memenuhi persamaan a 2  b2  c 2 . Bilangan-bilangan
ini berpadanan dengan sisi-sisi segitiga siku-siku, sehingga memenuhi teorema
Pythagoras. Sebenarnya berlaku secara umum pada sembarang segitiga siku-siku
19 | Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018

dengan sisi-sisi tegak a dan b dan hipotenusa (sisi miring) c dengan a, b, dan c
tidak harus merupakan bilangan bulat, tetapi sembarang bilangan real positif.
Untuk mendapatkan Triple Pythagoras digunakan rumus sebagai berikut ini.
Untuk m dan n anggota bilangan bulat positif, m dan n tidak mempunyai faktor
sekutu selain 1, FPB = 1 dan m  n , berlaku a  m 2  n 2 , b  2mn , dan
c  m2  n 2 dengan m  n dan a, b, c memenuhi teorema Pythagoras.
Pada tabel 1 disajikan beberapa tripel Pythagoras.
Tabel 1:
No. m
1.
2
2
3
3
4
4
4
5
5
6
5

n
1
2
1
3
2
4

a  m2  n2

b  2mn

3
5
15
7
21
7

c  m2  n2

4
12
8
24
20
40

5
13
17
25
29
41

Contoh 23:
Tentukan nilai x dan y dari setiap pasangan tiga bilangan  88,105, x  dan
 44,125, y  yang merupakan Tripel Pythagoras.
Solusi:
a 2  b 2  c 2 , dengan a, b, dan c adalah Tripel Pythagoras Dasar, sehingga a genap,
b ganjil, dan c ganjil atau a ganjil, b genap, dan c ganjil.
 88,105, x  berarti a  88, b  105, c  x atau a  88, b  x, c  105
x 2  882  1052  18769  137 2

 x  137

 44,125, y  berarti

a  44, b  125, c  y atau a  44, b  y, c  125

y  44  125  17561 (bukan bilangan kuadrat sempurna)
2

2

2

1252  442  y 2
y 2  1252  44 2  13689  117 2

 y  117

SOAL-SOAL LATIHAN 6
Selesaikanlah setiap soal berikut ini.
1. Diberikan ABC siku-siku di C. Lengkapilah table 2 berikut ini.
Tabel 2:
Panjang Sisi
a
b
c

(1)
12
35
….

(2)
….
84
85

Nomor Soal
(3)
(4)
24
25
….
312
145
….

(5)
….
840
841

(6)
43
….
925

20 | Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018