BARISAN DAN DERET, NOTASI SIGMA, DAN INDUKSI MATEMATIKA

  

BARISAN DAN DERET, NOTASI SIGMA, DAN INDUKSI MATEMATIKA

PENGERTIAN BARISAN DAN DERET

  Barisan yaitu susunan bilangan yang didapatkan dari pemetaan bilangan asli yang dihubungkan dengan tanda “,”. Jika pada barisan tanda “,” diganti dengan tanda “+”, maka disebut deret. Barisan banyak macamnya, tetapi yang akan dipelajari yaitu barisan Aritmetika dan barisan Geometri.

  1. BARISAN DAN DERET ARITMETIKA (HITUNG)

  1.1 BARISAN ARITMETIKA

  Barisan Aritmetika yaitu barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan menambahkan suatu bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut beda atau selisih dan dilambangkan dengan b. Contoh-contoh barisan Aritmetika : 1) 1,3,5,.... bedanya b = ...

  2) 0,5,10,... bedanya b = ... 3) 100,97,94,... bedanya b = ...

  3 2 7 2 11 2 4) , , ,... bedanya b = ... .

  Suku ke-n barisan aritmetika U ₁ Jika suku pertama = = a dan beda = b, maka : U U _{n a + (n – 1) b n : suku ke-n barisan aritmetika} 

  a : suku pertama n : banyak suku b : beda/selisih

  U U _{n  n  1}

  b = Contoh 1 : Tentukan beda dari :

  1

  8

  a) 1,5,9 b) 10, ,7,...

  2 Jawab : a) ………….

  b) …………. Contoh 2 : Tentukan suku ke-50 dari barisan 2,5,8, ..... ! Jawab : …………… Contoh 3 : Tentukan banyak suku dari barisan 50,47,44,...,-22 ! Jawab : …………..

  Contoh 4 : Tentukan rumus suku ke-n dari barisan 1,5,9,... ! Jawab : …………….

  

U 

₅

  21 U  ₁₀

  41 U ₁₅ Contoh 5 : Pada barisan Aritmetika diketahui dan . Tentukan ! Jawab : …………….

  LATIHAN SOAL

  1. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan berikut ! a) 3.5.7,...

  c) 20,17,14,...

  1

  1 5 2

  d) , , ,...

  4 2 3 2 b) 1, ,2,...

  2

  2. Tentukan suku yang diminta !

  a) 4,10,16,... suku ke-25

  20 3

  18

  3

  16

  3

  b) , , ,... suku ke-40

  3. Tentukan unsur yang diminta pada barisan Aritmetika berikut :

  U  ₆

  21 a) b = 4, , a = ...

  U

  33 ₂₀  b) a = -5, , b = ...

  U _n  19 c) a = 9, b = -2, , n = ... U

  1 U

  8 ₄    ₇ d) , , a = ... , b = ...

  1 U

  7 U

  15 U ₃   ... _{6 10}

  e) , ,

  2

  4. Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika jumlahnya 21 dan hasilkalinya 280, maka tentukan ketiga bilangan itu !

  5. Tentukan x jika x+1, 2x, x+7 membentuk barisan aritmetika ! 6. Ali pada bulan Januari 1999 menabung Rp. 100.000. Tiap awal bulan Ali menabung Rp.25.000.

  Tentukan jumlah tabungan Ali pada bulan April 2000 jika bunganya tidak diperhitungkan !

  1.2DERET ARITMETIKA Jika pada barisan aritmetika tanda “,” diganti dengan tanda “+” maka didapat deret aritmetika.

  Jadi pada deret berhubungan dengan jumlah barisan.

  Jumlah n suku pertama deret aritmetika S U U U ....... U U _{n  1  2  3   n  1  n} S  a  ( a  b )  ( a  _{n n n n} 2 b )  ..........  ( U  2 b )  ( U  b )  U

  S U ( U b ) ( U _{n  n  n   n       } 2 b ) ....... ( a 2 b ) ( a b ) a

• 2 S ( a U ) ( a U ) ( a U ) ........ ( a U ) ( a U ) ( a U )

              

  n n n n n n n

  2 S n ( a U )  

  n n

  1 S n a ( U ) _{n n U  a  ( n }   1 ) b

  , karena n , maka :

  2

  1 S n [ 2 a ( n 1 ) b ] S _{n : jumlah n suku pertama}    n

  2 U S S _{n n n 1}  

  Contoh 1: Hitunglah jumlahnya !

  a) 1+3+5+...sampai 50 suku

  b) 2+5+8+...+272 Jawab : a) ……………..

  b) …………….

  Contoh 2: Tentukan x jika 5+7+9+……+ x = 192 Jawab : …………… Contoh 3: Tentukan jumlah bilangan antara 0 - 100 yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 5 !

  S

  Jawab : Yang habis dibagi 4 yaitu 4 + 8 + 12 + ……….. + 100 = ^{1 =……..}

  S

  Yang habis dibagi 4 dan 5 atau habis dibagi 20 yaitu 20 + 40 + 60 + 80 + 100 = ^{2 = ……}

  Jadi jumlah bilangan yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 5 = ^{1 2 = ……..}

• S S

  2 U n

  Contoh 4: Tentukan ^{10 jika S }

  n

  Jawab : …………

  LATIHAN SOAL

  1. Tentukan jumlah dari :

  a) 3+6+9+ ... sampai 20 suku

  b) 18+14+10+ ... sampai 20 suku

  c) -7-3+1+ ... + 53

  d) 25+21+17 + ... + 1

  2. Tentukan x jika ;

  a) 1+3+5+ ... + x = 441

  b) 1+5+9+ ... + x = 561

  3. Tentukan unsur yang diminta dari deret aritmetika berikut : S  737 , b  ... ₂₂ a) a = 2,

  U  ₁₀ 46 , S  ... ₁₅

  b) b=5,

  U 9 , U 18 , S ... ₄    _{7 10}

  c)

  4. Tentukan jumlah bilangan antara 100 dan 200 yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 3

  2 U _{8 n}

  2 n

  5. Tentukan jika S  

  n

  6. Tentukan jarak yang ditempuh bola yang dijatuhkan pada ketinggian 20 m, jika bola pantulannya 1/2 dari tinggi semula dan pada pantulan ke-6

2. BARISAN DAN DERET GEOMETRI (UKUR)

2.1 BARISAN GEOMETRI

  Barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan mengalikan suatu bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut rasio (pembanding) dilambangkan dengan r. Contoh 1: Tentukan rasio dari barisan 1,2,4,8,... Jawab : …………..

  Suku ke-n barisan geometri u  a ₁ Jika suku pertama dan rasio = r, maka : _{n  1} U  ar _n U _n r 

  Dimana

  U _{n  1} Contoh 1: Tentukan suku ke-8 dari barisan :1,2,4,....

  Jawab : ……………. Contoh 2: Tentukan rumus suku ke-n dari barisan 3,6,12,... Jawab : ………………

  U  ₃

  4 U  ₅

  16 U ₈ Contoh 3: Pada barisan geometri diketahui dan . Tentukan ! Jawab : ……………….

  Contoh 4: Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jika jumlahnya 13 dan hasilkalinya 27, tentukan ketiga bilangan itu !

  

x x

₃ , x , xr . x . xr 27 x 27 x

  3     

  Jawab : Misal ketiga bilangan itu maka

  

r r

  3 ₂

  3 3 r 13 x r 3 r 10 r 3 ( 3 r 1 )( r 3 )            r

1 Jadi

  r bilanganny a 9 , 3 ,

  1  

  3 r 3 bilanganny a 1 , 3 ,

  9  

  Contoh 5: Tentukan x jika x-1, x+2 dan 3x membentuk barisan geometri ! Jawab : ……………..

LATIHAN SOAL

  1. Tentukan suku yang diminta dari barisan :

  a) 1,3,9,..... suku ke-7

  b) 3,6,12,....suku ke-8

  c) 16,8,4, ... suku ke-10

  2. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan :

  1

  1 , , ,....

  1

  a)

  4

  2 2 2 , 2 4 , ,....

  b)

  3. Tentukan unsur yang diminta dari barisan geometri berikut :

  a 4 , U 32 , U ...

    

  a) ^{4 6}

  1 b , U 3 , a ...

    

  b) ⁵

  3 U 8 , U 64 , U ... ₃     _{6 5}

  c)

  U 1 , U 25 , U ... ₃    _{5 2}

  d)

  4. Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jika jumlahnya 21 dan hasilkalinya 216, tentukan ketiga bilangan itu !

  5. Tentukan x jika x-4, x, 2x membentuk barisan geometri !

  6. Suatu bakteri pada pukul 20.00 jumlahnya 4. Tiap 10 menit sekali tiap-tiap bakteri membelah menjadi 2. Tentukan banyaknya bakteri sampai pukul 21.20 !

  2.2 DERET GEOMETRI Jika pada barisan geometri tanda “,” diganti dengan tanda “+” maka didapat deret geometri. Jumlah n suku pertama deret geometri _{2 n  3 n  2 n  1} S a ar ar .......... .... ar ar ar x r _n        _{2 3 n  2 n  1 n} rS ar ar ar .......... ... ar ar ar _n        _n

• - S rS a ar
_{n n}    _{n n} a ( 1 r ) a ( r 1 )

    U S S

    S , r _{n    dimana} 1 n n n 1

  1 r r

  1  

  Contoh 1: Tentukan jumlah 8 suku pertama dari 1+2+4+.... Jawab : …………… Contoh 2 : Tentukan jumlah dari 1+3+9+...+243 Jawab : ………………

  2 255     

  2 n Contoh 3: Tentukan n jika 1 2 2 ....

  Jawab : ………………

  LATIHAN SOAL

  1

  1

  )

  S   n Lim

  1 Untuk n   maka :  

  1

  1

     ( )

    

     

  2.3 DERET GEOMETRI TAK HINGGA S a r r a r r r ^{n n n}

  5. Jumlah penduduk suatu kota setiap 3 tahun menjadi dua kali lipat. Setelah 27 tahun jumlah penduduk menjadi 6,4 juta jiwa. Hitung jumlah penduduk semula !

  2    , , ...

  1

  6

  1 ( r r r a ⁿ

  Untuk –1 < r < 1 maka :

  15

  Contoh 1: Hitung ....

  Jawab : ……………… Contoh 2: Hitung 1 + 3 + 9 + …. (Beri alasannya !) Jawab : ……………….

  1   

  1

  2

  1

  4

  syarat –1 < r < 1 Jadi suatu deret geometri tak hingga akan konvergen (mempunyai jumlah) jika –1 < r < 1

    S r r a

  

1

  

    S r a

  sehingga

  1

  1

    

  5

  S r a ₈

  1. Tentukan jumlah dari :

  c)

  a) 3 3

  3. Tentukan n jika :

  b) 32+16+8+....+1/8

  a) 1/3+1+3=....+81

  2. Tentukan jumlah dari :

  2 2 2 2 _{ 8   } ... ... S

  S ₆ ...

  2

  1 ₁₀     .... ... S b) 36+18+9+....

  2

  1

  4

  1

  a)

  3 3 363

  3

  c)

  4. Tentukan unsur yang diminta dari deret geometri berikut :

  1 , 3 29524 , , ...

  a r S n _n    

  b)

  , , ...

  U U S _{1 3 5} 50 200   

  a)

  n

       ...

       ^ ...

  1

  3

  2

  2 2 1022

  b) 2 2

  n

  Contoh 3: Suku pertama deret geometri adalah 6. Jika jumlah sampai tak hingga sama dengan 9, maka tentukan rasionya ! Jawab : …………………….

LATIHAN SOAL

1. Hitunglah jumlahnya dari : a. 32+16+8+….

  e. 0,1+0,01+0,001+….

  b. 125+5+1+….

  f. 8+2+1/2+….

  c. 12+8+16/3+….

  g. 1+1+1+….

  

2

  2 1 ....

  d. 1/2+1/3+2/9+….

  h.   

2. Tentukan unsur yang diminta dari deret geometri berikut :

  S _{ } a. r = -2/5, 15 maka a = ….

  1 S U ₃    b. a = 2, maka ….

  8

  1 S U 9 , U    

  c. ^{2 7 maka ….}

  27

  9

1 S

  U  U  , U    _{1 3 5} d. maka ….

  2

  8

  3. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 100 m . Bola memantul 3/5 dari tinggi semula. Hitung jarak seluruhnya yang ditempuh bola sampai bola berhenti

  4. Jika sisi bujur sangkar terbesar pada gambar di samping 8 cm, maka tentukan jumlah luas keseluruhan bujur sangkar jika diteruskan hingga tak terhingga jumlahya.

3. NOTASI SIGMA

  Untuk mempersingkat bentuk penjumlahan yang sifatnya mempunyai sifat keteraturan digunakan notasi sigma yang dilambangkan dengan _{" x i "  i  a b} dimana I sebagai

  x _i

  indeks dengan batas bawah a dan batas atas b sedangkan adalag rumus sigma sesuai dengan indeks yang digunakan. Indeks menggunakan huruf kecil.

  b x x i 1 dibaca “sigma dari untuk harga i dari a sampai b”.

   i  a

  5

  ( 2 k 1 ) 

  Contoh 1 : Tentukan bentuk penjumlahan dan nilainya dari

   k 

  1

  5

  ( 2 k 1 ) 

  Jawab : = ………………… = …………

   k _

1 Contoh 2 : Tulislah dalam notasi sigma dari bentuk penjumlahan 1 + 4 + 7 + ……. + 28 Jawab : 1 + 4 + 7 + ……. + 28 = …………..

  Jika batas bawah diubah maka otomatis rumus sigmanyapun akan berubah. Jadi rumus sigma sifatnya tidak unik.

  k k  c x x

  

  n n  c   n n c _{ }

  Contoh 3 : Ubahlah

  3 2 .

  74 ......

  5 1 .

  9

  41 ......

  17 10 .

  26

  101 ......

  2

  5 2 .

  4

  3

  21 ......

  20

  2 1 .

  4

  256 .......

  4 2 .

  8

                  

  56 .........

  3

  4. INDUKSI MATEMATIKA

  4 . 3 (

  )

  2 . 10 (

  )

  1 . 2 .

  2

  8

  10

               g f e d c b a

  7

  10

  n i x x n k i i d c n b k a

   

   

   ^{  }

     

  3. Ubahlah bentuk sigma berikut dengan batas bawah = 5

  6

  4 1 .

   _

  7

  3 4 (

  4 )

  25 4 ( 3 ) 7 (

  )

  5

  7

  5

  7

  12

  LATIHAN SOAL

       

     _ ^ _{ }

  menjadi bentuk sigma dengan batas bawah 7 ! Jawab :

  k k

  3 4 (

  )

  5

  

  k k k k k k

  1. Tulislah dalam bentuk penjumlahan dari :

  9

  3

  2. Tulislah dalam notasi sigma dari bentuk penjumlahan berikut : 144 .........

  4 . 5 (

  )

  3 ) . 1 ( .

  2 .

  1 2 .

  7

  2

  7

     

  1

  10

  6

  1

  n k k n k ki i k x e n n d k c i b k a

  

   

    ^{   }

  Induksi matematika adalah salah satu bentuk pembuktian suatu rumus dalam matematika dengan menggunakan pola bilangan asli.

  Misalkan Pn suatu pernyataan dan n

  3 3 .

  6 ) 11 (

  2 2 .

  2

  2 2 ........

  2

  1

  7

  8 2 .

  9

  5 ) 5 ....... 30 (

  3 8 .

  7

   

  Buktikan dengan induksi matematika !

  LATIHAN SOAL

   Asli.

  benar untuk n

  1       n n n

  2

  15

  3

  3 ) 1 ....... 2 (

                      

  2 ^{3 2 3 2 2 2}   

  1

  4 2 .

  6

  2 ) 1 ( 2 .....

  3 1 .

  5

  7 2 .

  20 25 .

  12

  3 ....... 5 (

  )

  2 ) 1 5 (

  4

  8 10 .

  6

  5 11 ) 2 ..... 12 (

  2

  ) 1 ( 2 .....

  

  benar untuk n

  1

1 (

  )

  dengan menggunakan induksi matematika ! Jawab : Untuk n = 1 (suku pertama) maka 1 =

  2 1       n n n

  3

  ) 1 ( 2 .....

  Hal ini bisa digambarkan dengan penataan kartu berdiri yang dijajarkan dengan jarak yang sama sehingga jika kartu yang pertama jatuh maka semua kartu akan jatuh pula. Contoh 1 : Buktikan

   Asli.

  P

  1 

  benar pula, maka ⁿ

  P

  benar dimana k sembarang bilangan antara 1 dan n sehingga menyebabkan _{1  k}

  P

  2. Misal ^k

  benar untuk n = 1

  P

  Asli sedemikian sehingga : 1. ⁿ

  2

  benar. Misal untuk sembarang n = k maka

  Jadi

  ) 1 ( 1 (

  k k k k k k k k k k benar.

               

   

  1 

  2

  3

  ...... 1 (

  2 )

  2 )

  ) 1 ( 2 .....

  2 ) 1 (

  2 ) 1 (

  1

  2

  Sehingga untuk n = k+1 : ) 2 (

  1       k k k benar.

  2

  3

                     n ^{n n} dari faktor n n dari faktor n n dari faktor n n n n n n n n n n n n n n