Interpolasi Polinom Materi Kuliah Teknik Optimasi | Blog Mas'ud Effendi

Interpolasi Polinom
(Suplemen)
Teknik Optimasi
TIP – FTP – UB

Interpolasi
• Metode untuk menentukan nilai di antara dua
nilai yang telah ditentukan, dimana suatu
interpolasi itu menghubungkan data-data
yang sudah ada.
• Ekstrapolasi
– Metode prediksi terhadap titik-titik yang akan
muncul dimana adanya perluasan data di luar data
yang tersedia, tetapi tetap mengikuti pola dari
data yang tersedia

Perbedaan Interpolasi dan Ekstrapolasi

Interpolasi Linier

f (x )

L(x)

x0

x1

x

Interpolasi Kuadratik

L(x)

f (x )

x0

h

x1

h

x2

x

Interpolasi Kubik

L(x)

x0

h

f(x)

x1

h

x2

h

x3

x

Interpolasi Newton

Interpolasi Linear
Diketahui: Dua titik(x1, y1), (x2, y2)

f x1   f x0 

Ditanya :Garis yang melewati 2 titik tersebut

f1 x  f x0  

x1  x0

x  x 0 

Contoh: f(x) = ln x
ln 2 = 0.6931472

(1, 0) dan (6, 1.791759)
x1 = 1 dan x2 = 6:
f1(2) = 0.3583519

(1, 0), (4, 1.386294)
x1 = 1 dan x2 = 4
f1(2) = 0.4620981

Semakin kecil intervalnya semakin baik hasil interpolasi!

8

Interpolasi Kuadratik

Diketahui: Tiga titik(x1, y1), (x2, y2), (x3,y3)
Ditanya: kuadratik f2(x) = a0 + a1x + a2x2 yang melewati ke-3 titik di atas
f 2 x   b 0  b1 x  x0   b 2 x  x0 x  x1 

b 0  f x 0 

b1 

f x1   f x0 
x1  x0

b2 

f x 2   f x1 
x 2  x1



f x1   f x0 

x 2  x0

x1  x0

Contoh: f(x) = ln x
ln 2 = 0.6931472

Titik data: (1, 0), (4, 1.386294), (6, 1.791759)
b0 = 0
b 1 = (1.386294 – 0)/(4 – 1) = 0.4620981
b 2 = [(1.791759 – 1.386294)/(6-4) – 0.4620981]/(6-1)

= -0.0518731

f2(2) = 0.5658444

9

Interpolasi Polinomial Newton
Diketahui: n titik (x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn)

(yi = f(xi), i=1,2,…,n )

Ditanya: fn(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn yang melewati n titik tersebut.

f n x   b 0  b1 x  x0   b 2 x  x0 x  x1   ...  b n x  x0 x  x1  x  x n 1 
b 0  f x 0 

b1  f x1 , x0 

dengan




b n  f x n , x n 1 ,  x1 , x0 



f xi , x j 



 

f xi   f x j



f xi , x j , xk 

xi  x j



 

f xi , x j  f x j , xk
xi  xk

f xn , xn 1 ,..., x1 , x0  



f xn , xn 1 ,..., x1   f xn 1 , xn 2 ,..., x0 
xn  x0

Rekursif!

10

Contoh Interpolasi Polinomial Newton
Diketahui: (1, 0), (4, 1.386294), (6, 1.791759), (5, 1.609438) (dari fungsi ln x)
Ditanya:

Perkirakan ln 2 dengan interpolasi Newton orde ke-3

f n  x   b0  b1  x  x0   b2  x  x0  x  x1   b3  x  x0  x  x1  x  x2 

f x1, x0  

1.386294  0
 0.462
4 1
f x2 , x1 , x0  

f x2 , x1  

1.791759  1.386294
 0.203
64

0.203  0.462
 0.052
6 1
f x3 , x2 , x1 , x0  

f x3 , x2 , x1  

f x3 , x2  

1.609438  1.791759
 0.182
56

0.182  0.203
 0.020
54

0.020  (0.052)
 0.008
5 1

f3(2) = 0.629

11

Contoh Interpolasi Polinomial Newton

x0

x1

12

x2
x3

Perkiraan Error Polinomial Newton
f n x   b 0  b1 x  x0   b 2 x  x0 x  x1   ...  b n x  x0 x  x1  x  x n 1 

Jika f(x) dinyatakan oleh deret Taylor , error setelah terms ke-n adalah:
Rn 

f n 1  

n  1!

xi 1  xi n 1

Untuk suatu polinomial Newton orde ke-n , Hubungan untuk error scr analogi:
Rn 

f n 1  

n  1!

x  x0 x  x1 x  x2  x  xn 

Tapi kita tidak tahu apakah itu f(x)! Sebagai suatu perkiraan untuk error, bisa kita
gunakan
Rn  f x n 1 , x n , x n 1 ,  , x0 x  x0 x  x1 x  x 2  x  x n 

(Ingat: fn+1(x) = fn(x) + Rn)

13