PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR ORDE DUA

PERSAMAAN DIFERENSIAL
LINEAR ORDE DUA
MATEMATIKA TEKNIK
Oleh Dessy Irmawati

TERMINOLOGI DAN KLASIFIKASI
• Definisi (persamaan diferensial linear)
Persamaan diferensial orde n dikatakan linear
jika diwujudkan dalam bentuk:
d y
d 1 y
dy
(1)
 a 1 ( x)

.....

(
)

(

)

(
)
a ( x)
a
x
a
x
y
f
x
1
0
1
n

n

n

dxn

n

dxn

dx

a0(x),a1(x), ....., an(x) dengan (an ≠ 0 adalah
koefisien. F(x) adalah fungsi dari x.

• jika ada sedikitnya satu koefisisen tidak
konstan, maka persamaan disebut persamaan
diferensial linear koefisien variabel.
• Sebalinya jika koefisien tersebut konstan,
maka persamaan menjadi
•
(2)
d y

d 1 y
dy
a
 .....  a
 a y  f ( x)
a
n

n

n

dxn

n 1

dxn 1

1

dx

0

• Disebut pers. Diferensial linear dengan
koefisien konstan.

• Jika f(X) = 0 dalam persamaan (1) dan (2),
maka kedua persamaan tersebut dikenal
sebagai persamaan homogen.
• Sebalik a jika f ≠0, aka dike al sebagai
persamaan non homogen

• Dari definisi di atas, persamaan (1) direduksi
ke orde pertama persamaan linear
a ( x)

dy
 b( x) y  f ( x)
dx

• Ketika n=2, maka persamaan menjadi
d2y
dy
a ( x) 2  b ( x)
 c ( x) y  f ( x)
dx
dx

• Yang mana persamaan linear tersebut adalah
orde dua

contoh
1. Persamaan diferensial linear orde dua dengan
koefisien konstan
x
d2y
dan
y
"


3
y
'

3
y

e
 16 y  0
dx2

Persamaan pertama homogen dan persamaan
kedua tidak homogen.

2.

2
d
y

dy
2
2
1
x

x

(
x

4)y  0
2
dx
dx

Dan

y"3 y'3 y  e x

Persamaan pertama homogen dan
persamaan kedua tidak homogen.
3.

d 2 y dy
2
y


 0 dan y"4  y'3 y  3 cos y
2
dx
dx

adalah nonlinear karena ada y2 di pers.
pertama dan cos y di pers. kedua

Latihan
Tentukan setiap persamaan berikut linear atau
tidak, jika linear apakah homogen dan

mempunyai koefisien konstan?
d y
dy
d2y
dy
x

x
 y0
 7  10 y  0
(a)
(b)
2
dx
dx
2

2

dx

2

dx

(c)

d2y
 xy  sin x
2
dx

(d)

(e)

d2y
2

y

0
2
dx

d2y
(f) 2  (1  x2 ) dy  xe y  cos x
dx
dx

d2y
dy
y 2  3  5 y  5 x2
dx
dx

Definisi linear independen dan
dependen
• Fungsi y1, y2, ..., yn dikatakan indipenden linear
jika
c1 y1  c1 y2  ....  cn yn  0
• Dikatakan dependen linear jika paling sedikit
c1, c2, ..., cn tidak sama dengan nol

contoh
Tentukan fungsi di bawah ini independen linear
(a) y1 = x2 dan y2 = cos x
(b) y1 = sin x dan y2 = 4 sinx
(c) Y1 = x dan y2 = x2
(d) Y1 = ex dan y2 = -3ex

jawab
(a) y1 = x2 dan y2 = cos x.
persamaan c1x2 +c2 cosx = 0
c1 = 0 dan c2 = 0 untuk semua x, sehingga y1 =
x2 dan y2 = cos x adalah fungsi independen
linear

Teorema penyelesaian kombinasi
linear
• Jika y1 dan y2 penyelesaian independen linear
untuk persamaan diferensial
d2y
dy
a 2 b
 cy  0
dx
dx

di mana a, b, dan c konstan, kemudian
penyelesaian umum dari persamaan tersebut
adalah (A dan B konstan)
y = Ay1 +By2

Pembuktian
• Y1 da y2 adalah dua penyelesaian linear
indipenden dari persamaan diferensial
homogen
d2y
dy
a 2 b
 cy  0
dx
dx

Dan

d 2 y1
dy1
a

b
 cy1  0
2
dx
dx

d 2 y2
dy2
a

b
 cy2  0
2
dx
dx

(3)

(4)

• Persamaan (3) dikalikan dengan A dan pers (4)
dikalikan dengan (B) dan dijumlahkan menjadi

 d 2 y1
d 2 y2   dy1
dy2 
  b A
a  A 2  B
B
  c  Ay1  By2   0
2 
dx   dx
dx 
 dx

atau

d2
d
a 2 [ Ay1  By2 ]  b  Ay1  By2   c  Ay1  By2   0
dx
dx

• Artinya

y = Ay1 + By2
Selama A dan B konstan, maka penyelesaian
disebut sebagai penyelesaian umum.

Teorema (prinsip superposisi)
• Jika y1 dan y2 adalah penyelesaian indipenden
linear
2
a

d y
dy

b
 cy  0
2
dx
dx

• Maka kombinasi linear
y = Ay1 + By2
Di mana A dan B adalah konstan dan juga
meupakan
penyelesaian
persamaan
diferensial yang diberikan

Teorema Prinsip superposisi secara
umum
• Jika y1, y2, y3, ..... , yn adalah penyelesaian
indipenden linear
dny
d n 1 y
dy
 a n 1 n 1  ....  a1  a 0 y  0
an
n
dx
dx
dx

• Dimana c1, c2, c3 ,...., cn adalah konstan, yang
merupakan penyelesaian dari persamaan
diferensial yang diberikan

contoh
Diberikan persamaan diferensial
” +9 = 0
Tunjukkan:
(a) y1 = cos 3x dan y2 = sin 3x adalah
penyelesaiannya
(b) Y1 = cos 3x dan y2 = sin 3x adalah independen
linear
(c) Y = A cos 3x + B sin 3x, di mana A dan B adalah
konstan adalah penyelesaian umum.